幻方的学术论文

幻方的学术论文

先从数独的历史来认知数独：

数独很容易就可以学习却很容易上瘾的独立于语言的逻辑谜题，最近由风暴的整个世界。使用纯粹的逻辑和要求没有数学来解决，这些令人着迷的困惑提供无穷的乐趣与智力娱乐益智球迷的所有技能和年龄。
太难，也许是不可能的更要找出确切的时间和的地方原始概念的数独 (日语: 数独，sūdoku) 开始，但它似乎出现了第一个魔方相关。根据在线杂志收敛，魔术方块文章中所引用的帕特 Ballew 幻方的想法已转交阿拉伯人从中国人，很可能通过印度，在第八世纪。它讨论了由萨比特 · 伊本 · Qurra，他的亲和数，在早期的第九届方程式而闻名。在百科全书，由一群称为瓦尼铝萨的阿拉伯语学者编制约 990 显示的所有订单从 3 到 9 平方列表 (英语: 弟兄的纯度)。到那个时候出现没有一般的建设性方法。

1225 年，根据上面的引文，Ahmed al Buni 表明如何构造幻方使用一种简单的周边技术，但他不可能发现自己的方法。比格斯，指的由 Camman，本文建议由 Moschopoulos 所解释的方法有可能源于波斯和链接到那些由 al Buni 阐述了。Camman 实际上声称到波斯人，援引匿名的波斯手稿 (加勒特集合号 1057，普林斯顿大学) 知道由 Moschopoulos 给出了构造奇数阶幻方的两种方法。即便如此，该文档包含的例子并不显式方法。
伊斯兰文学幻方
根据国家医学图书馆的幻方 (在阿拉伯语作为济贫已知) 伊斯兰文学中第一次出现发生在 Jabirean 语料库-伊斯兰医学手稿作品组归因于贾比尔 · 伊本 · 扬 (称为在欧洲别)，和一般认为 9 或早期公元前一世纪结束时编制了Jabirean 语料库建议幻方作为缓解分娩时的魅力。这些正方形组成九个单元格的数字 1 到 9 设有中心 5 这样内容的每个行、 列和两条对角线添加达 15。这些数字写在 abjad 字母-数字，和因为这个广场的四个角落包含字母 ba'，dal，waw 或 u，和医管局 '，这个特定的广场被称为 buduh 广场。
到那个时候，幻方概念变得如此受欢迎的名字 buduh 本身被分配了魔力属性。在随后几年伊斯兰作家开发各种方法形成较大的幻方，哪个没有数字重复和汇总每一行和每一列和两条对角线都是一样。幻方与细胞 4 x 4 或 6 × 6 或 7 x 7 则特别受欢迎，与正在产生的 13 世纪的 10 × 10 正方形。
按照在线杂志收敛，所引用的 Ballew，也似乎幻方可能介绍给欧洲通过由亚伯拉罕本梅厄 · 伊本 · 拉 (c.1090 1167年)，西班牙的西班牙犹太哲学家和占星家。本梅厄 · 伊本 · 以斯拉记翻译许多阿拉伯语作品为希伯来语和一般有幻方与数字命理学的浓厚兴趣。他游历了整个意大利和超越，并且可能已经负责幻方引入欧洲的人之一。
从对拉丁和希腊拉丁幻方
拉丁方的概念一直以来至少中世纪时期。从 13 世纪有时阿拉伯语手稿似乎功能第一的拉丁方，往往给出神秘的 Kabblahlic 意义。拉丁语平方米，在阿拉伯语作为济贫 majazi，被称为是包含单元格，每行和每列有相同的符号集是没有重复的幻方的区别一个正方形。
这一连串的事件继续的瑞士数学家和物理学家莱昂哈德 · 欧拉 (1707年-1783)。欧拉欧拉档案，在他纸 De quadratis magicis (关于幻方)，在 1776 年 10 月 17 日，圣彼得斯堡学院提交表明如何构造幻方与一定数量的细胞，特别是 9、 16、 25 和 36。本文档中欧拉开始与希腊拉丁方和放对变量的值的约束，这样，其结果是幻方。名称拉丁方，然而，只有在后面的文章从上来欧拉关于拉丁名为研究和宣传 sur une 中篇小说 espece de 争吵神采 (英语: 关于新物种幻方的调查)。欧拉把拉丁文字母放入一个格子，并称之为拉丁方。后来，当他添加希腊字母，他叫它希腊拉丁方阵。
支出幻方的不同可能性他生活行为的最后一年，欧拉面临着特别的问题，结合 n 符号每两套，既不在行，也不在一条线一对符号发生两次。他证明了构建希腊拉丁 n 是奇数或 4 的倍数的方法。观察无秩序 2 广场存在，并且无法构建顺序 6 广场，他推测不存在时 n ≡ 2 (mod 4)。事实上，非存在订单 6 平方，是绝对在 1901 年由法国数学家加斯顿留住通过详尽列举的各种可能的安排的符号就可以证实。
58 年后，才在 1959 年和计算机的帮助，当两个美国数学家命名为玻色和 Shrikhande，发现欧拉猜想一些反例。在同一年，帕克发现反秩序 10 例。1960 年，帕克，玻色和 Shrikhande 表明欧拉猜想是虚假的所有 n ≥ 10。因此，希腊拉丁方存在的所有订单 n ≥ 3 接口除 n = 6。
数独的诞生我们所知
数独谜题是实际上的拉丁方; 特殊情况任何解决数独谜题是拉丁方。然而，9 × 9 标准数独设置额外的限制，3 × 3 子群还必须包含数字 1-9。
做脑力力量和博士让 Paul 拉哈耶在他科学美国人 2006 年 6 月"科学数独"，第一次现代形数独谜题的故事由一位美国建筑师命名 Howard Garns，他从达盖特建筑退休后所引述的研究公司在印第安纳波利斯。Garns 花了欧拉拉丁方概念并将其应用到 9 × 9 网格中加上九 3 x 3 个子网格或框，每个都包含从 1 到 9 的所有数字。由 Garns 的第一个难题出现在 1979 年 5 月版的戴尔铅笔拼图和文字游戏下名称号码的地方，他们被称为仍由本公司直到今天。尽管戴尔没有出版 Garns 的名字对这一难题，脑力力量的研究它出现在名单的参与者在杂志封面上每当一些地方出现了，并缺席从所有其它版本。
也有其他指示 Howard Garns 第一个现代的数独游戏创造者的参考。根据维基百科的文章致力于 Garns，绘图员盖特建筑公司命名为乔治 · 威利告诉印第安纳波利斯每月:"我们有两个额外绘图板，有一天 Howard 坐在那边。我走过去，问他什么工作，他说，'哦，游戏'。它看起来像一个纵横字谜，但它有数字。它有小方块。我走在他身边和他掩盖它了。这是一个秘密。另一个同事在公司命名罗伯特 · 德曼证实作证他看到的他认为是一个纵横字谜的"草图"的故事。"我不是真的对它感兴趣了"辛德曼说，"但这是他的事。他只被喜欢这么做。Garns 在 1989 年 10 月 6 日死于癌症，并且埋在冠山公墓，印第安纳波利斯。
所以，数独游戏概念不发明了日本很多人可能会相信，但名称数独。1984 年无知者，日本领先益智创建的公司，发现的戴尔的一些地方，决定把他们介绍给他们日本益智球迷。谜题，其中第一名苏吉洼 Dokushin Ni Kagiru，("数字必须单"数字必须只出现一次") 迅速走红。
在 1986 年，经过增加了一些重要的改进，主要由制作对称图案和减少的数量给出线索，数独成为最畅销的日本的难题之一。主席的无知者实现数独谜题的唯一问题他们长的名字，Kaji Maki 缩写它数独-(苏 = 数字，位数字;Doku = 单，未婚)。今天有超过 60 万份的数独杂志每个月只在日本出版。
与以上所述，在所有的时间几乎没有人在欧洲知道或注意到数独谜题。
缓慢进展的老年痴呆症
在 2004 年年底 Wayne 古尔德，一个退休的 Hong 香港判断以及益智风扇和一个电脑程序员，参观了伦敦试图说服编辑的纽约时报 》 刊登数独谜题。古尔德，写计算机程序产生的不同的难度级别的数独谜题，要求没钱的谜题。时报 》 决定试一试，并在 2004 年 11 月 12 日推出其第一次的数独谜题。
数独在伦敦时报 》 的出版是现象的刚刚开始的一种巨大，迅速传遍英国和其附属国的澳大利亚和新西兰。三天以后，每日邮报开始出版题为"Codenumber"的数独谜题。悉尼每日电讯报 》 随后在 2005 年 5 月 20 日。2005 年 5 月底通过拼图定期刊登在很多全国性的报纸，在英国，包括每日电讯报 》、 独立，卫报 》、 太阳和每日镜报 》。
但那不是它。2005 年 7 月通道 4 包括他们 Teletext 服务每日的数独游戏和天空一推出世界上最大数独谜题 — — 275 英尺 (84 米) 的正方形谜题，刻在凿的出生，布里斯托尔附近一座小山的一侧。BBC 电台 4 今天开始读数字在第一的数独游戏电台版朗读。作为大哥哥 Jadegoody 和卡罗尔 · 沃德，她的书如何做数独是畅销书的国家，英国名人有作证其利益作为锻炼心智。即使老师是由政府支持的杂志推荐数独作为大脑锻炼在教室里和已提出建议，解决数独是能够延缓阿尔茨海默氏症等脑疾病条件。
回到曼哈顿
2005 年 4 月数独完成一个完整的圆圈，到达回到曼哈顿作为一项常规功能在纽约邮报 》。在 7 月 11 日，星期一，数独热潮蔓延到美国其他地区每日新闻 》 和今日美国 》 启动在同一天的数独谜题时。在两种情况下数独谜题，而不是传统的填字游戏和桥梁墩柱。
2006 年的数独繁荣发芽了数以百计的益智书籍和杂志，数独俱乐部、 聊天室、 战略书籍、 视频、 手机游戏、 纸牌游戏、 棋类游戏，日历，陈列产品和甚至一数独游戏的电视剧。数独也兴起在数以千计的世界各地的每日报纸和通常在世界媒体描述作为"魔方的 21 世纪"和"世界上增长最快之谜"。
数独的繁荣也萌生了一个巨大的包括较小和较大的网格、 多个重叠网格，网格的对角线和奇数或偶数细胞、 网格具有不规则形状的盒子和更多的变异范围。这些变体中有些是很有趣和世界尖端，维持数独的位置作为最受欢迎的逻辑谜题。
2006 年 3 月，卢卡，意大利举行了第一次世界数独锦标赛 (WSC) 举办的世界谜题联合会 (WPF)。解决后 45 的数独谜题，包括经典的数独、迷你数独、对角线数独、不规则数独、总和数独，数独多， OddEven和其他的变化，在两天期间，赢得比赛，这是由 Jana Tylova，今年 31 岁来自捷克共和国的经济学家。Thomas 斯奈德，26，哈佛大学的研究生，来了第二次同时魏华黄，30，来自加利福尼亚州的一名软件工程师，谷歌工作是季军。
今天，专用和谜杂志掺数独和数独变形由 Conceptis 经常刊载在超过 35 个国家包括美国、 日本、 英国、 德国、 荷兰、 加拿大、 法国、 俄罗斯、 波兰、 芬兰、 丹麦、 以色列、 匈牙利、 奥地利、 西班牙、 挪威、 瑞典、 希腊、 瑞士、 比利时、 意大利、 澳大利亚、 新西兰、 捷克共和国、 巴西、 土耳其、 韩国、 泰国、 罗马尼亚、 菲律宾、 爱沙尼亚、 拉脱维亚、 秘鲁和更多。

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组合数学概述

组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。

组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。

在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。

2. 组合数学与计算机软件

随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听到过一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。

3. 组合数学在国外的状况

纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的组合数学家。计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是没有对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，AT&T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了组合数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威。我所熟悉的美国重要的国家实际室（Los Alamos国家实验室，以造出第一颗原子弹著称于世），从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括组合数学的研究。我所接触到的有关组合数学的计算机模拟项目经费达三千万美元。不仅如此，该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究实力。美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数学有密切的联系，各国对生物信息学的研究都很重视，这也是组合数学可以发挥作用的一个重要领域。前不久召开的北京香山会议就体现了国家对生物信息学的高度重视。据说IBM也将成立一个生物信息学研究中心。由于DNA就是组合数学中的一个序列结构，美国科学院院士，近代组合数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为组合数学的一个前沿领域。

美国的大学，国家研究机构，工业界，军方和情报部门都有许多组合数学的研究中心，在研究上投入了大量的经费。但他们得到的收益远远超过了他们的投入，更主要的是他们还聚集了组合数学领域全世界最优秀的人才。高层次的软件产品处处用到组合数学，更确切地说就是组合算法。传统的计算机算法可以分为两大类，一类是组合算法，一类是数值算法（包括计算数学和与处理各种信息数据有关的信息学）。依我个人的浅见，近年来计算机算法又多了一类：那就是符号计算算法。吴文俊院士开创的机器证明方法就属于符号计算，引起了国际上的高度评价，被称为吴方法。而国际上还有专门的符号计算杂志。符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密切的联系。组合数学，数值计算（包括计算数学，科学计算，非线性科学，和与处理各种信息数据有关的信息学）和统计学可能是应用最广的数学分支，而组合数学的价值甚至不亚于统计学和数值计算。由于数学机械化近年来的发展和在计算机科学中的重要性，把数学机械化，科学计算和组合数学组合起来，就可以说是中国信息产业的基础。组合数学家H. Wilf和D. Zeilberger1998因为在组合恒等式的机械化证明方面的成果，获得1998年美国数学会的Steele奖。

Gian-Carlo Rota教授在他去年不幸逝世之前，还专门向我提出，希望我向中国有关部门和领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。中国在软件技术上远远落后于美国，而在组合数学上则更是落后于美国和欧洲。如果中国只是想在软件技术上跟着西方走，而不在组合数学上下功夫，那么中国的软件将一直处于落后的状态。他特别强调组合数学在计算机科学中的作用，以及在大学计算机系加强组合数学教学和人才培养。

最近Thomson Science公司创刊的一份电子刊物《离散数学和理论计算机科学》即是一个很好的说明。它的内容涉及离散数学和计算机科学的众多方面。由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学基础，逐渐成为了数学的主流分支。本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。这一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得到了中国数学界的赞同和响应。

加拿大在Montreal成立了试验数学研究中心，他们的思路可能和吴文俊院士的数学机械化研究中心的发展思路类似，使数学机械化，算法化，不仅使数学为计算机科学服务，同时也使计算机为数学研究服务。吴文俊院士指出，中国传统数学中本身就有浓厚的算法思想。

今后的计算机要向更加智能化的方向发展，其出路仍然是数学的算法，和数学的机械化。另外的一个有说服力的现象是，组合数学家总是可以在大学的计算机系或者在计算机公司找到很好的工作，一个优秀的组合数学家自然就是一个优秀的计算机科学家。相反，美国所有大学计算机系都有组合数学的课程。

除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。

4. 组合数学花絮

** 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。

** 我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九这九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数之和都是一十五。组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。

** 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。

** 在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。

** 我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。

** 航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足 不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是 组合数学的问题。

** 对于城市的交通管理，交通规划，哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方 应该设单行道，立交桥建在哪里最合适，红绿灯怎样设定最合理， 如此等等，全是组合数学的问题。

** 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该怎样选择什么样的路径，这就是著名的"中国邮递员问题"，由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J. Edmonds和他的合作者给出了一个解答。

** 一个通讯网络怎样布局最节省？美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。

** 据说，假日饭店的管理中，也严格规定了有关的工序，如清洁工的第一步是换什么，清洗什么，第二步又做什么，总之，他进出房间的次数应该最少。既然，这样一个简单的工作都需要讲究工序，那么一个复杂的工程就更不用说了。

** 库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取（如存储时间短的应该放在容易存取的地方）。

** 我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。

** 组合数学中有一个著名问题：是否存在稳定婚姻的问题。假如能找到两对夫妇（如张（男）--李（女）和赵（男）--王（女）），如果张（男）更喜欢王（女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜在的不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。这种组合数学的方法却有 一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请排序。按这样的 次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。 实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。

** 组合数学还可用于金融分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。南开大学组合数学研究中心开发出了"金沙股市风险分析系统"现已投放市场，为短线投资者提供了有效的风险防范工具。

总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。

胡锦涛同志在1998年接见"五四"青年奖章时发表的讲话中指出，组合数学不同于传统的纯数学的一个分支，它还是一门应用学科，一门交叉学科。他希望中国的组合数学研究能够为国家的经济建设服务。

如果21世纪是信息社会的世纪，那么21世纪也必将是组合数学大有可为的世纪。

高分求数学论文（选一）

古代数学史：
①古希腊曾有人写过《几何学史》，未能流传下来。
②5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。
③中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。
④12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。
近代西欧各国的数学史：
是从18世纪，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多,断代史和分科史的研究也逐渐展开,1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。
①通史研究 代表作可以举出M.B.康托尔的《数学史讲义》(4卷,1880～1908)以及C.B.博耶(1894、1919D.E.史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亚（3卷，1929～1933）等人的著作。法国的布尔巴基学派写了一部数学史收入《数学原理》。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972年美国M.克莱因所著《古今数学思想》一书，是70年代以来的一部佳作。
②古希腊数学史 许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作出了成绩的有J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范·德·瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A.萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。
③古埃及和巴比伦数学史 把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》（1935、1937）、《楔形文字数学书》（与萨克斯合著，1945）都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》(1951)一书，汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范·德·瓦尔登的《科学的觉醒》(1954)一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威性著作之一。
④断代史和分科史研究 德国数学家（C.）F.克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》(1926～1927)一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家J.迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特23个数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参预数学史的研究,可能是基于（J.-）H.庞加莱的如下信念,即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或是如H.外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。”
⑤历代数学家的传记以及他们的全集与《选集》的整理和出版 这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。
⑥专业性学术杂志 最早出现于19世纪末，M.B.康托尔（1877～1913，30卷）和洛里亚（1898～1922，21卷）都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》（1884～1915，30卷）。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。
中国数学史：
中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳,钩深致远,莫不用焉”。《隋书·律历志》记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。
在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。
如刘徽注《九章算术》序 (263)中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。
以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：①对古算书的整理和研究，《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789～1853)等人 ②编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的(1795～1799)。其后，罗士琳作“补遗”(1840)，诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。
利用现代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起，开始搜集古算书,进行考订、整理和开展研究工作的 经过半个多世纪,李俨的论文自编为《中算史论丛》(1～5集，1954～1955),钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》(1984)行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有《中国算学史》(1937)、《中国数学大纲》（1958）；钱宝琮有《中国算学史》（上，1932）并主编了《中国数学史》(1964)。钱宝琮校点的《算经十书》(1963)和上述各种专著一道，都是权威性著作。
从19世纪末，即有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》(第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。

为什么古代中国应称为数学王国？

我国古代数学家，创造了光辉的业绩，在许多数学领域处于领先地位。因此我国应称为古代数学王国。仅举几例说明。

约公元前5世纪，我国数学家就研究了幻方。即从1到n2的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的

方。如图，每行每列3个数的和都是15，而且两条主对角线上的3个数的和也都是15。西方人大约在14世纪才开始研究幻方构造。比我国晚约2000年。

公元1世纪，我国数学家就开始研究开平方法与开立方法。魏晋间杰出的数学家刘徽在公元263年又有所发展，而西方出现类似的方法晚于公元 390年。

我国对于一元同余方程组的研究约在公元400年时就开始了，到了秦九韶时代（公元1247年）已经有完整的解法，被世界称为“中国剩余定理。”

我国古代数学家祖冲之（429--500）在公元500年之前，已将圆周率计算到小数点后7位，得到3.1415926＜n＜3.1415927，又

结果的。

祖冲之之子祖暅提出“祖暅原理”之后的1200年，意大利数学家B.卡瓦列里才重新发现这个事实。

我们最早提出的代数方程的近似解法--秦九韶法，贾宪三角形或称杨辉三角形是世界上最早研究二项式展开式系数的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。
中国古代数学家，创造了光辉的业绩，被世人所公认，在许多数学领域处于领先地位，和当今中国许多数学家一样，永载史册，因此中国应称为古代数学 王国。仅举下列数学世界之最，便可见一斑。

我国数学家不晚于公元前5世纪，就研究了被称为幻方的问题，如图，每行每列三个数的和均为15。我国古代称为九宫或纵横图。西方人大约在14世纪才开始研究幻方构造。我国早于西方约2000年！

4 9 2

3 5 7

8 1 6

我国在公元1世纪就开始研究开平方法与开立方法，刘徽在公元263年又有所发展，西方出现类似的方法不早于公元390年。

我国早在公元1世纪的“九章算术”中的“方程术”，结合“正负术”的使 用，就是今天的对增广矩阵用矩阵的初等变线性方程组，或称高斯消元法，欧洲是 近300年的事！

中国对于一元同余方程组的研究约在公元400年时就开始了，到了秦九韶时 代（公元1247年）已经有完整的解法，被世界称为“中国剩余定理”。

我国古代数学家祖冲之（429梍500）在公元前500年前，已将圆周率计算到小数点后7位，得到3.1415926＜π＜3.1415927，又将355/113称为祖冲之圆周率的“密率”，亦称祖率，是世界上最早得到这个结果的。

我国最早提出的代数方程的近似解法枣秦九韶法，贾宪三角形或称杨辉三角形是世界上最早研究二项式展开式系数的三角形，早于西方帕斯卡三角形四五百年之多！

数学王国的巾帼英雄
陀螺是中小学生熟悉一种玩具。一只小小的陀螺在桌面上飞速地旋转着。单见它立定一点，一面绕倾斜于桌面的轴急速自转，另一面自转轴又宛如锥体母线般绕着过定点而垂直于桌面的轴线，缓慢而稳定地做公转运动。

陀螺旋转的时候为什么不会倒？在千万个玩陀螺的人中，能正确回答出这个问题的，大概不会太多。的确，陀螺的转动是十分有趣而神秘的。

陀螺在科学上有很高的研究价值。把旋转着的陀螺抛向空中。它能使自己的轴保持原来的方向。陀螺的这一特性，被用来制造定向陀螺仪，广泛用于航海、航空和宇宙飞行之中。

然而，关于陀螺运动的研究，或者用更有学术味道的话，叫刚体绕固定点运动的问题，却有一段神奇的历史。

公元1888年，法兰西科学院举行第三次有奖国际征文，悬赏三千法郎，向全世界征集关于刚体绕固定点运动问题的论文。在此之前的几十年内，鉴于该问题的重要性，法兰西科学院曾以同样的奖金进行过两次征文。不少杰出的数学家曾尝试过解答，但都没有能够得到成功。两次征文的奖金，依然原封不动地高搁着。为此，法兰西科学院决定第三次征集论文，这使许多素有盛望的数学家跃跃欲试。可是到了评判那天，评委们全都大为震惊。他们发现有一篇文章在无数平凡之中鹤立鸡群。这是一篇闪烁着智慧光芒的佳作，每一个步骤，每一个结论，都充溢着高人一筹的才华。鉴于它具有特别高的科学价值，评委们破例决定，把奖金从原来的三千法郎提到五千法郎。

评判结束了，打开密封的名字一看，原来获奖的是一位俄罗斯女性，她就是数学王国的巾帼英雄，一位蜚声数坛的女数学家索菲娅。

打开世界的科学史，科学家中的女性屈指可数，女数学家更是寥若晨星。而在二十世纪之前能够载入数学史册的，大约只有柯瓦列夫斯卡娅一个。而她的奋斗经历则是充满着传奇的色彩。

索菲娅生于将军之家，由于叔叔彼得的启蒙，她对数学产了浓厚的兴趣。但她的父亲，一位退休了的军人，带着对女性古老的偏见，反对女儿学习数学。在这种情况下，索菲娅只好躲在自己的房间里偷偷地看数学书。这种神秘的学习气氛，反而增加了索菲娅的好奇心和求知欲，她的进取心更强了，这时她才13岁。翻过一个年头，一本基利托夫的物理书引起了索菲娅的注意，因为基利托夫教授是她的邻居。在翻看教授的著作时，她发现书中利用到许多三角知识，然而三角对于这时的她，却是一个陌生的世界。于是她从画弦开始，自己推导出一系列三角公式，这无疑相当于一个数学分支史的再创造！这一超人的天赋，使基利托夫教授惊鄂了，他仿佛看到了一位新帕斯卡的出现。法国数学家帕斯卡在少年时代曾是世人公认的神童。在基利托夫教授的再三说服下，索菲娅的父亲终于同意她前往外地学习微积分和其他课程。就这样索菲娅得以刻苦学习了两年。正当她渴望能上大学深造的时候，父亲严令将她召回。这位当过将军的父亲怎么也不能理解女儿和数学是不可共容的两个词，况且女儿已经长大成人。

为了继续自己的学业，索菲娅使出了作为姑娘的最为有效的一招。她决定出嫁了，丈夫是一位年轻开明的生物学家。婚后，她与丈夫双双来到彼得堡。可是一到那里，美好的幻影立即破灭，因为当时的俄国大学不招收女生。

世界上的许多事情常常是事与愿违。结婚，既带给索菲娅欢悦，也带给她苦恼。没过多久，索菲娅?柯瓦列夫斯卡娅当了母亲。幼小的生命，繁重的家务，淡化了她对数学的酷爱。一天，小孩屋里没有糊墙的纸，她就用数学家奥斯特洛格拉德斯基的书撕下来裱糊。没想到这到这些散页中的各种符号，重新燃起了柯瓦列夫斯卡娅学习数学的热情。在丈夫的支持下，她一面买了许多数学书日夜攻读，另一面在彼得堡大学非正式跟班旁听。随着学业的进步，她对深造的愿望更加强烈了！

公元1870年，年仅20岁的柯瓦列夫斯卡娅毅然决定前往柏林，那里有一所她所倾慕的学府——柏林大学。但是她不知道，在那个时代，歧视妇女的思想并没有国界，柏林大学拒绝接纳这位外国女生。然而柯瓦列夫斯卡娅并不因此甘休，她找到了在柏林大学任教的著名数学家魏尔斯特拉斯，直接向他陈述自己的请求。这位年近花甲的教授迷惑了，他用怀疑的眼光看了看这个异邦的姑娘，然后向她提出了一个当时相当深奥的椭圆函数问题，这是教授前此一刻思考的。柯瓦列夫斯卡娅当场作了解答。精辟的结论，巧妙的构思，非凡的见解！魏尔斯特拉斯震撼了！教授破例答应收她为私人学生。在名师指点下，柯瓦列夫斯卡娅如虎添翼，迅速地成长着。

公元1873年，柯瓦列夫斯卡娅连续发表了三篇关于偏微分方程的论文。由于论文的创造性和价值，1874年7月，哥廷根大学破例在无须答辩的情况下，授予柯瓦列夫斯卡娅博士学位，那年她才24岁。

1875年，柯瓦列夫斯卡娅满怀热情返回故土，但等待她的确是无限的忧愁。沙皇俄国决定不允许一个女人走上讲台，研究机构也没有女人的位置。就这样，这位俄罗斯的天才儿女，令人惋惜地中断了三年研究。而后又因小女儿的出生再次耽搁了两年。1880年彼得堡召开科学大会，著名数学家车比雪夫请她为大会提供一篇文章。她从箱底翻出一篇六年前没有发表的，关于阿贝尔积分的论文，献给大会。然而这篇放置了六年之久的文章，依旧引起了大会的轰动。

1888年12月，法兰系科学院授予柯瓦列夫斯卡娅波士顿奖，表彰她对于刚体运动的杰出研究。1889年，瑞典科学院也向柯瓦列夫斯卡娅授予了奖。同年11月慑服于这位女数学家的巨大功绩，和以车比雪夫为首的一批数学家的坚决请求，俄国科学院终于放弃了“女人不能当院士”的旧规。年已古稀的车比雪夫激动地给柯瓦列夫斯卡娅大去了如下电报：

“在没有先例地修改了院章之后，我国科学院刚刚选举你做通讯院士。我非常高兴看到，我的最急切和正义的要求之一实现了。”

1891年初，柯瓦列夫斯卡娅在从法国返回斯得哥尔摩途中病倒。由于医生的误诊，无情的病魔夺去了她光彩的生命。此时她年仅42岁

数学王国的神性(3)

4． “Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik”（数理逻辑和数学基础杂志，德文版）；

5． “Mathematical Review”（数学评论）；

6． “J． Symb． Logic”（形式逻辑杂志）；

7． “Jahresbericht der Deutschen Mathematiker�Vereinigung”（德国数学家协会年度报告，德文版）；

8． “Enzyklop�die der Mathematischen Wissenschaften”（数学科学百科全书）；

9． “Amer． J． Math．”（美国数学杂志）；

10． “J． London Math． Soc”（伦敦数学协会杂志）。

其中不少期刊是全套的合订本，创刊号常常是19世纪的出版物，这更激起了我肃然起敬。由此可见北大图书馆馆藏的丰富。因为它集中了几所大学的馆藏（主要是老北大和燕京大学的家底），令我感动，惊讶。

翻开这些杂志，我的内心充满了一种敬畏感，有如一本圣书展现在我面前。是的，这是我的《圣经》。每个人心目中的《圣经》是不尽相同的。透过这些杂志（尽管90％的文章我看不懂），我或多或少能感受到“上帝·自然”的存在。因为数学是上帝的语言。

从这些杂志，我主要阅读两类文章：大数学家的生平和工作；数学哲学。下面我就来分别谈谈我在这两方面的感悟和收获（读书笔记有两本）：

1． 大数学家生平和工作

这些文章给了我许多知识，更为重要的是自然哲学智慧。我渐渐明白：智慧高于知识。知识往往会过时，智慧的寿命则是千年，它与人类同在。

柏拉图特别看重几何学。他说：“不要让不懂几何学的人入内！”

这句箴言写在他主办的雅典哲学学园的入口处。我第一次读到这句格言，不是在别处，而是在北大数学系图书馆。我特别欣赏他的英译文：

“Let no man ignorant of Geometry enter here！”

从此我知道了数学对哲学的重要性。当然还有物理学（实验物理加上理论物理）。

18世纪法国伟大数学家拉格朗日（J．L．Lagrange， 1763—1813）的创作准则给了我难忘印象。他说：当一位数学家走出他的书斋，把他得出的结果告诉他在街道上遇见的第一个人，并且让他明白这个结果，那末，这位数学家才算是完完全全弄懂了他自己的工作。”

当然这只是一种理想。其实拉格朗日所追求的是数学真理的简洁性、清晰性和明确性。这使我联想起白居易的创作风格：通俗平易，朴素浅显，反对艰深晦涩。这样白居易的诗歌便赢得了最广泛的读者，以致于当时“禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、牛童、马走之口无不道……自篇章以来，未有如是流传之广者。”

也许由拉格朗日发现的“中值定理”便是一例。因为不久我便读到它的几何意义：明晰，清楚，简洁。

当我读懂了这条定理（它在整个微分学中占有重要地位）的时候，内心有种难以言表的激动或激情。我知道，这是对真理的追求怀有一种激情（a Passion for Truth）。在当年那种非理性、混乱和不正常的政治现实生活中，数学真理之光于我无疑是种高贵的鼓舞和安慰。在这里我要说明四点：

a． 北大有些阅览室的自然科学图书都是开架的。不管你是哪个系的学生，只要你乐意，便可随手把任何一本书取下来阅读。这是当年北大最有利于我成长和发展的环境。

为了吃透中值定理，我至少参照、比较了五本微积分教程。因为每本教程解释的角度、语言略有不同。我是“兼听则明”，“兼采众长”，“兼收并蓄”，最后达到融会贯通。——后来它便成了我自学数学的方法。

b． 反右后北大的恶劣环境迫使我进一步退隐到自己的内心深处。这种心理也有利于我进入中值定理。因为我把数学王国看成是一种避难所，是一种拯救。

数学真理的惟一性、确定性和可靠性在我的内心深处可以构筑成一座坚不可摧的碉堡。

白居易的话是对的：“道屈才方振，身闲业始专。”

此处“道屈”即指艰难时世，命运坎坷。所以黑格尔才说：“哲学开始于一个现实世界的没落”；精神逃避到思想的空旷和深邃领域，建立起一个思想或观念的王国，以反抗混浊的世界。

没有比数学更空旷、更幽深的领域了！

c． 那些年，我是随心所欲地阅读。精神非常自由。

我像个钟摆，在理科和文科这两头来回摆动：在理科呆得太久，怕冻僵；在文科停留的时间太长，又有被烧焦的危险。所以我总是在两头不断地来回波动，求得精神上的平衡，和谐，文科理科的统一。

d． 后来我读英国杰出数学家和哲学家怀特海（A．N． Whitehead， 1861—1947）的《科学与近代世界》（Science and the Modern World）一书便恍然大悟。因为他是这样推崇数学和音乐的：这两样东西是人类性灵所能创造出来的最伟大的产物。
数学王国的优秀群体
==感谢作者惠寄==

赵光斗

摘要本文简要介绍了,华罗庚教授领导的以“哥得巴赫猜想讨论班”为核心的几位数学家,目的在于宣扬为世界解析数论做出贡献的,数学王国的优秀群体。

一、开头 语

本文献给为我国解析数论做出贡献的优秀的数学家——数学王国的优秀群体。

无论将来“哥德巴赫猜想”用什么方法被证明,代数的还是解析的,初等或高等、简单也可能更加高深复杂,但为我国解析数论做出杰出贡献的一批优秀的数学家,所组成的我国数学史上的特殊学派,他们的功绩不可磨灭,勇于攀登的精神、学识、钻研和谦虚、谨慎、尊重师长的美德、永远值得我们学习。

此处仅用拙劣的笔写一个开头,以解决“哥德巴赫猜想”的过程为例,介绍为我国解析数论做出贡献的优秀的数学家。希望才华横溢的文学家和新闻工作者,象徐迟同志那样报导这优秀的群体,群体中的每一员,表彰他们为国际解析数论所做出的杰出贡献……激励后来者……。

二、群体的优秀代表

1996年3月19日,陈景润教授逝世,解析数论王国的一颗璀璨的明星陨落了。

陈景润教授在特殊的历史时期,被幸运的发现。随着徐迟同志的报告文学《哥德巴赫猜想》的发表,陈景润的事迹家喻户晓。他的献身精神及他在解论数论中所做的贡献永远值得学习和赞誉。陈景润教授于1966年发表的“大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”的证明，仍然是该领域最好结果。

陈景润教授的逝世，在新闻媒体中引起了很大反响，他的事迹再次成为新闻媒体观注的热点。

1997年12月24日，陈景润教授逝世仅一年零九个月后，解析数论王国的又一颗巨星，潘承洞教授也与世长辞了。

潘承洞教授在我国解析数论中，同样做出过杰出贡献。早在1962年对于哥德巴赫猜想，就首先证明了命题(1+5)成立。(命题(1+5)是数学家对逼近“哥德巴赫猜想”的一种表示方法)并于同年与王元教授证明了(1+4)成立。(1+5）是潘承洞首次对1948年匈牙利数学家兰恩易所得命题(1+c)中，c的定性结果到定量结果。从定性到定量经过了十几年的时间，可以说是一个飞跃。

这些结果在当时都处于世界领先地位。“陈氏定理”发表以后的短短几年中,国际上又连续发表了五个简化证明，其中包括我国学者潘承洞、丁夏畦、王元都给出过实质性的简化证明。

潘承洞和陈景润同属于解析数论中的巨星，潘承洞的逝世却没有引起新闻媒体的应有注意。

我国对解析数论的研究，从50年代开始就一直处于世界领先地位，在这一领域为我国和世界做出贡献的，是我国一批优秀的数学家，是一个值得赞誉的优秀群体。当提到陈景润的成绩时，不应忽略这个群体——“解析数论王国的优秀群体”，不应忽略群体中每位数学家所做出的杰出贡献。

陈景润、潘承洞都是这群体中的一员，是这群体中的优秀代表。

三、特殊的学派

在国际数学界，本世纪三十年代中期的波兰，由教授和青年学者组成的利沃夫学派，在1935年到1941年期间，以“苏格兰咖啡馆”作为学术讨论的集聚地，在历次聚会中提出的193个数学问题，被称为苏格兰咖啡馆数学。几乎是在同一时期的法国，以19世纪名将布尔巴基命名，组成了新的数学学派——布尔巴基学派。由于学派内激烈的讨论和争论，被人称为一群疯子。然而，他们集体的努力，一丝不苟的精神，使布尔巴基学派以严谨、细密、清晰的特点称著于世。

五十年代初，在中华大地上也聚集了一批中青年数学人材，办起了“哥德巴赫猜想讨论班”下面仅以王元教授所著《哥德巴赫猜想研究》一书〈序〉中论述，对“哥德巴赫猜想讨论班”做一简单介绍：

1952年中国科学院数学研究所成立了数论研究组，由华罗康亲自担任组长，组织并领导了“哥德巴赫猜想讨论班”。他选择哥德巴赫猜想作为学习与研究对象的指导思想，考虑到哥德巴赫猜想与解析数论最重要的理论与方法都有密切关系，特别是园法、三角和估计、密率论筛法、L——函数与素数分布等，通过讨论班的学习，可以使参加者相当全面地掌握解析数论的诸重要方面，达到即出成果又出人材的良好效果。

后来实践证明，“哥德巴赫猜想讨论班”是非常成功的，以“哥德巴赫猜想讨论班”为核心，组成了中国数学的一个特殊学派，一个数学王国的优秀群体。高深的理论知识，团结互助的精神，谦虚、谨慎的美德，承上启下的民族传统，构成了这一群体的主要特征。

四、优秀群体的指导者

领导这群体的是华罗庚和闵嗣鹤教授，下面我们对两位学者做一简单介绍：

华罗庚生于1910年11月12日，1985年6月12日于北京逝世。这位名扬中外的大数学家，研究范围十分广泛，是中国解析数论、典型群矩阵、几何学、自守函数论、多复变函数论等多方面研究的创始人与开拓者，一生写了200多篇学术论文，10部专著。

早在1938年就证明了“几乎所有偶数都是两个素数之和”。1952年中国科学院数学研究所成立了数论研究组，由华罗庚亲自担任组长，组织并领导了“哥德巴赫猜想讨论班”，为这一群体的正常良好的发展殿定了基础。

闵嗣鹤教授，1913年3月8日生于北京，1973年10月10日于北京逝世。

闵嗣鹤教授对数学的许多分支都有研究，工作涉及数论，几何、调和分析、微分方程、复变函数论，多重积分的近似计算及广义解析函数等多方面，但他的主要贡献是在解析数论。在解析数论及黎曼猜想的证明中，发表了许多具有独到见解的文章和论述。

就是在有二位学识渊博，研究广泛的导师带领下，展现了新中国解析数论领域的雄厚实力。在该领域的研究中屡居世界领先地位。两位教授的功绩不单单在于他们的学识和研究领域的广泛，更可贵的是培养了大批解析数论的人材——为国际解析数论做出贡献的，一批顶尖的数学家，这正是华罗庚、闵嗣鹤这两位教授的优异之处。

五、群体中的杰出代表

当我们提到这优秀群体的时候，不能不对这一群体的杰出代表王元教授做一简单介绍。

王元教授是“哥德巴赫猜想讨论班”的一员，如果没有猜错的话，他应该是这一集体的班长，当年也不过是三十岁左右的青年，年龄刚好比讨论班中如陈景润和潘承洞年龄大，而比华罗庚和闵嗣鹤的年龄小，起到了承上启下的作用。现在算起来王元教授已经是七十几岁的老人了。

早在1956年对于“哥德巴赫猜想”，王元教授就证明了命题(3+4)，仅仅过了一年，1957年就证明了命题(2+3)，(2+3)是从命题(a+b)开始证明哥德巴赫猜想的最好结果，处于世界领先地位。

1962年王元教授指出了证明(1+4)的关键，并于同年与潘承洞教授证明了命题(1+4)，王元教授不但审阅和帮助了1973年“陈氏定理”的发表，“陈氏定理”发表后,是世界上给出过的几个简化证明的作者之一。

宽阔的胸怀、渊博的知识，对新知识和新方法的敏锐、谦虚、谨慎的优秀品质等，是王元教授赋予这一群体、使这一群体充满活力的主要原因。

以哥德巴赫猜想讨论班为核心，集聚了我国解析数论的优秀人才，“越民义、丁夏畦、吴方、尹文霖、邵品棕、任建华、潘承彪、谢盛刚、楼世拓、姚琦、于秀沅、陆洪文、陆鸣皋、冯克勤、于坤瑞等，都对我国解析数论做出过贡献。都是这优秀群体的一员。

本文写到此处，本来只是一个开头，对于这一学派的许多特征还都没有论述但又不得不就此撂笔，希望才华横溢的文学家和新闻工作者，象徐迟同志那样报导这优秀的群体，群体中的每一员，表彰他们为我国和国际解析数论所做出的杰出贡献......。