线代论文题目

线代论文题目

解: 由已知, A(B-E)=B
所以 A = B(B-E)^-1 =
1 -2 0 0 1/2 0
2 1 0 乘 -1/2 0 0
0 0 0 0 0 -1
=
1 1/2 0
-1/2 1 0
0 0 0
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A=
1 4 2
0 -3 4
0 4 3
|A-λE|=
1-λ 4 2
0 -3-λ 4
0 4 3-λ
= (1-λ)[(-3-λ)(3-λ)-16]
= (1-λ)(λ^2-25)
= (1-λ)(λ-5)(λ+5).
所以A的特征值为 1,5,-5
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T
所以A的属于特征值1的特征向量为 k1a1, k1为任意非零常数
(A-5E)x=0 的基础解系为 a2=(2,1,2)^T
所以A的属于特征值5的特征向量为 k2a2, k2为任意非零常数
(A+5E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-2,1)^T
所以A的属于特征值-5的特征向量为 k3a3, k3为任意非零常数
A可对角化, P=(a1,a2,a3), 对角矩阵为 diag(1,5,-5)
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(a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a5,a5+a1)=(a1,a2,a3,a4,a5)K
其中K=
1 0 0 0 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
因为 |K|=1+(-1)^t(51234) = 1+1 = 2 ≠ 0
所以K可逆
所以 r(a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a5,a5+a1)=r(a1,a2,a3,a4,a5)=5
所以a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a5,a5+a1线性无关
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线性代数论文

关于线性代数，首先搞清楚线代都能干什么:
求Ax=B的时候，我们不是基于求解具体的解，而是先研究A的各种特性，看看这些特性是如何影响Ax=B的解的。所有的特性就是行列式，矩阵，秩，特征向量和特征值，等等。这就是线性代数的主要内容。它的应用就是对于向量和方程作正交分解(对角化，特征向量)，达到降低方程组维数的作用，使得经典方法那一求解的问题变得可解，应用在图像处理，天气预测等诸多领域。具体的你可以看看我的blog的讲解。
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漫谈高数(二)
方程和矩阵的物理含义

漫谈高数(三)
线性相关和秩的物理意义

漫谈高数(四)
特征向量物理意义

漫谈高数(七)
正交,相关,消元

漫谈高数(八)
正交分析和谱分析

线代题目求助

Aα=λα，那么A2α=λ^2α，特征值的和是矩阵对角线元素的和，
A^2的对角线元素设为bii，bii=∑(j=1→n)aijaji
所有加起来，那么就是i=1→n时这个∑(j=1→n)aijaji求和

一道线代题目，求教

二次型的矩阵是 A =
[ 0 -1 1]
[-1 0 1]
[ 1 1 0]
它满足 f = x^TAx = -2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

|λE-A| =
| λ 1 -1|
| 1 λ -1|
|-1 -1 λ|
= λ^3 + 2 - 3λ = (λ+2)(λ-1)^2
特征值 λ = -2， 1， 1
则特征值矩阵 ∧ = diag(-2, 1, 1)
求出对应特征向量， 将独立特征值对应的特征向量单位化，
再将重特征值对应的特征向量正交化、单位化，
将单位化的特征向量依次作为列，组成正交矩阵 P
则 P^TAP = ∧，
这是解题步骤，具体计算请自己完成。