数学美学论文文献

数学美学论文文献

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以（数学中的美）为题目的论文

什么是数学美呢？它的本质是什么呢？从国内的研究来看，有这样一些描述：“数学美是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现”，“数学美是数学创造的自由形式”，“数学美是真与善的统一”，“数学美的本质在于序”……等等。
数学美的客观性：即指客观存在于数学领域中的审美对象是不以审美主体是否承认、是否意识到为转移的，尽管因审美主体的主观条件的不同，并不是所有的或特定的数学美都能为审美主体所感知，但这并不能改变这数学美的存在。
数学美的社会性：数学美是一种社会现象，因为数学美是对人而言的。数学家通过数学实践活动（特别是数学理论创造的实践活动），使自己的本质力量“对象化”了，或者说“自然人化”了。所谓的“人化”就是人格化，即自然物具有人的本质的印记，实质上就是社会化。这种社会化的内容正是数学美的内容，它是数学美产生的本原。
数学美的物质性：数学美的内容――人的本质力量必须通过某种形式呈现出来，必需要有附体，数学美的这种形式或附体，即数学美的物质属性。
数学美的宜人性：即数学美形式应该使审美主体感到愉悦。审美主体的愉悦性，一方面自然是由审美主体的心理和生理的原因造成的，另一方面，也是最根本的，还在于对象本身是具有足以引起主体愉悦的属性和条件。简言之，数学美的形式必须与人的认识、人类心灵深处的渴望的本质上相吻合。
首先要提到的当推古希腊时期的毕达哥拉斯，毕达哥拉斯学派第一次提出了“美是和谐与比例”的观点，认为宇宙的和谐是由数决定的，他运用这一美学思想形成了点子数（即形数）理论；并以所谓亲和数与完全数来反映体现宇宙和谐的“亲和”与“完全”。
作为古希腊唯心主义哲学的主要代表人物，柏拉图认为数学的美是一种纯抽象的美，尽管柏拉图的理念世界是抽象的世界，但他却第一次提出了理念世界是“真善美的统一”的见解。
17世纪，笛卡儿所创立的解析几何是数学史上极其杰出的成果，它使几何与代数得到完美的统一，充分揭示了数学的协调美和统一美。
18世纪，该世纪著名数学家欧拉的数学美思想在其《无穷小分析引论》中得到生动的体现，这是一部极其优美的数学专著。
19世纪，有人称19世纪的数学是“革命的数学”，数学美学思想在这一时期也极为活跃，拉普拉斯、高斯、哈密尔顿、黎曼等人在这方面都作出了贡献。
20世纪，数学家们开始自觉地运用数学美学方法，总结数学审美标准，探讨数学发明中的审定心理，其突出代表人物是19世纪末及20世纪初的庞加莱及被誉为“超人的天才”的冯·诺伊曼，还有研究数学领域中的发明心理学的法国著名数学家雅克·阿达玛。
数学美的表现形式
简单性 是数学美的基本表现形式之一。作为反映现实世界量及其关系规律的数学来说，那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。
简单性又是数学发现与创造中的美学因素之一。最简单的例子便是代数运算中之乘法与幂的运算的引进是源于避免重复的加法运算和重复的乘法运算：
统一性 是指部分与部分，部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐、协调、一致。
数学美中的统一性在数学中有很多体现。数学推理的严谨性和矛盾性体现了和谐；表现在一定意义上的不变性，反映了不同对象的协调一致。例如，数的概念的一次次扩张和数系的统一，运算法则的不变性；几何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统一形式。
对称性 是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶性、数学方法中的对偶原理方法都是对称美的自然表现。毕达哥拉斯说：“一切立体图形中，最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”因为这两种形体在各个方向上都是对称的。此外，象正多边形、正多面体、旋转体和圆锥曲线等都给人以完善、对称的美感。在代数中轮换对称式表明了代数式中字母可以互换的对称关系。在数学解题方面，对称方法和反射方法往往使问题解决的过程简捷明快。
秩序性，就其愿意而言，秩序是事物在空间或时间上排列的先后、也可作为层次等等的理解。数学中的“秩序”具有极其重要的、决定性的意义，意大利数学家G·卡雷里认为，“数学是而且将总是一门被看作关系系统的序的科学。当涉及形式时，它从不会与它们的实质有关，而仅仅与这些形式之间可陈述的联系有关。单一元素只能在使之有序化的系统联系之中才得到决定并因而获得意义。”
奇异性，奇异性是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物（思想、方法、理论）所突破，或出乎意料、超乎想象的结果所带来的新颖和奇特。
数学美学方法的特点
1、直觉性，审美直觉是数学直觉中的一种重要类型，数学美学方法主要还是一种受审美直觉所驱动，而作出美学考虑的方法。正因为如此，数学美学方法的成功运用与主体的直觉能力就有很大关系。这一特点也说明，运用它所得到的结论，最终还要通过逻辑方法的检验才能成立。
2、情感性
数学美学方法的运用是建立在审美主体的数学美感之上的，和任何美感一样，人们对于数学的美感也具有强烈的感情色彩。愉悦、平和、明快、困惑、兴趣盎然、心满意足乃至于激动与惊异……数学美学方法总是是伴随着这种种感情体验，这与逻辑方法所具有纯粹理性形成了鲜明的对比。
3、选择性　
数学美学方法是自觉地依据美学的考虑来作出选择的方法，它是“非常自足的、美学的、不受（近乎不受）经验的影响。”这种选择性使美学方法并不成为解决数学问题或获得数学发现的具体方法，而是一种确定方向、原则的策略方法。这种选择性是导致数学发现发明的指路灯，因此，它又使数学美学方法具有创造性。
4、评价性　
数学美学方法常常表现为对已获数学成果的一种鉴赏与评价，一般来讲，逻辑方法的运用以问题的解决为方法的终结，而美学方法不仅关注问题是否解决，更主要是考虑问题的解决优美？前者着意于数学问题的“真”，后者着意于“真、善、美的统一”。庞加莱指出：“这并非华而不实的作风”，数学发展的历史已表明，美学方法的评价性对于“数学理论的富有成果性”来讲是不可或缺的。
数学美学方法运用的基本途径
1、增强审美自我意识，善于发现数学美因
在数学活动中，活动者的审美意识是客观存在的审美对象在活动者头脑中的能动反映，一般意义上也称为美感。它包括审美兴趣、审美倾向、审美能力、审美理想、审美感受等等。美感尽管表现为主观的，但它最终是来源于数学活动实践，数学中丰富的美的形式和美的因素（简称为美因）是美感产生的客观基础。只有在美因促使主体美感产生的条件下，主体才能作出美学的考虑。因此，善于发现数学美因，“识得庐山真面目”，是运用数学美学方法的前提。
2、在数学审美活动中，注意逻辑方法与直觉方法的结合。
美感的产生一般而言是直觉的，但这并不意味理性思维与审美无关，美学研究表明，理性思维在审美中是有重大作用的（数学审美更是如此）。在数学活动中，发获得真正的审美要，必须把逻辑思维方法与直觉方法结合起来。逻辑思维在数学审美中可以起到规范知觉、想象的趋向作用，前者渗透溶化于后者之中，才使审美感受不是一种初级的感性知觉，或一堆空幻的主观想象，而是对数学对象本质的某种能动的反映。
3、在数学认识、评价及创造过程中，自觉地以数学审美标准作指导。
审美教育的特征
1、和谐性：“和谐”是美学的一条重要的原理。中学数学教学中有许多内容是和谐性教育的好题材，和谐性也有助于开拓解题思路，培养学生解题的能力。
2、形象性：美育是一种形象性的教育，它总是通过审美对象的鲜明形象来诱发和感染教育者的。数学中直观教具、精美图形以及数形转化的方法都能产生审美教育中的形象性。
3、情感性：美育通过审美对象来激发人的审美情感，受教育者将有一定情绪体验，得到一定的情绪陶冶和心理满足，若能通过富有艺术性的教学活动激发起学生情感的涟漪，那无异于为学习添加了催化剂。
4、自由性：美育给人以自由感，人对客观事物的感受只有进入自由境界才能产生美感，因此，在审美教育中，要注意学生心理和生理的发展规律，善于引导和启发。
5、鲜明性：审美教育伴随着情感的激动，使受教育者不知不觉地在心灵中留下鲜明的印象，有时，即使知识被遗忘，而那触动情感的形象，却终生难忘。

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[1]
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Drennen,
ed.,
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New
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Free
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此书是一本从巴门尼德到怀特海的著作选集，按形而上学中的问题分类。
[2]
参见R.
G.
Collingwood,
An
Essay
on
Metaphysics,
Oxford:
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1940。此书正文的第一句话是：“要讨论形而上学，唯一正派的、当然也是聪明的方式就是从亚里士多德开始。”
[3]
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[4]
引自《古希腊悲剧经典》，罗念生译，北京：作家出版社，1998年，49页。
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[7]
《古希腊哲学》，78页。
[8]
《毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派》，115页以下。
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同上书，125页。译文稍有改动。
[10]
《希腊哲学史》第1卷，290页。
[11]
亚里士多德：《论天》，引自〈希腊哲学史〉第1卷，283页。
[12]
《毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派》，107页以下。
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巴门尼德的话可以简略地表述为：“是是，它不能不是”，因为“存在”与“是”在古希腊和大多数西方语言中从根子上是一个词，如英文之“being”与“be”。
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