插值方法研究论文

插值方法研究论文

GIS空间插值方法如下：

1、IDW

IDW是一种常用而简便的空间插值方法，它以插值点与样本点间的距离为权重进行加权平均，离插值点越近的样本点赋予的权重越大。 设平面上分布一系列离散点，已知其坐标和值为Xi，Yi, Zi （i =1，2，…，n）通过距离加权值求z点值。

IDW通过对邻近区域的每个采样点值平均运算获得内插单元。这一方法要求离散点均匀分布，并且密度程度足以满足在分析中反映局部表面变化。

2、克里金插值

克里金法（Kriging）是依据协方差函数对随机过程/随机场进行空间建模和预测（插值）的回归算法。

在特定的随机过程，例如固有平稳过程中，克里金法能够给出最优线性无偏估计（Best Linear Unbiased Prediction, BLUP），因此在地统计学中也被称为空间最优无偏估计器（spatial BLUP）。

对克里金法的研究可以追溯至二十世纪60年代，其算法原型被称为普通克里金（Ordinary Kriging, OK），常见的改进算法包括泛克里金（Universal Kriging, UK）、协同克里金（Co-Kriging, CK）和析取克里金（Disjunctive Kriging, DK）；克里金法能够与其它模型组成混合算法。

3、Natural Neighbour法

原理是构建voronoi多边形，也就是泰森多边形。首先将所有的空间点构建成voronoi多边形，然后将待求点也构建一个voronoi多边形，这样就与圆多边形有很多相交的地方，根据每一块的面积按比例设置权重，这样就能够求得待求点的值了。个人感觉这种空间插值方法没有实际的意义来支持。

4、样条函数插值spline

在数学学科数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工程学术语中“放样”一词而得名。

在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

5、Topo to Raster

这种方法是用于各种矢量数据的，特别是可以处理等高线数据。

6、Trend

根据已知x序列的值和y序列的值，构造线性回归直线方程，然后根据构造好的直线方程，计算x值序列对应的y值序列。TREND函数和FORECAST函数计算的结果一样，但是计算过程完全不同。

精细油藏描述技术的深化与发展

柳世成　王延忠　杨耀忠　孙国　贾俊山　隋淑玲参加本次研究的人员还有陈德坡，于金彪，付爱兵等.

摘要 在孤东油田七区西馆陶组上段的精细油藏描述研究中，精细油藏建模、剩余油描述、油藏描述计算机应用等取得了较大深化与发展，并在现场实施中收到显著效果，预计可提高采收率2.67%，增加可采储量154.8×104t，其中，按中间研究成果新打的10口井投产后已累计增油9088t。

关键词 孤东油田 油藏描述 深化与发展 油藏建模 剩余油 效果

一、引 言

按开发阶段的不同，油藏描述可划分为开发准备阶段的早期油藏描述，主体开发阶段的中期油藏描述和提高采收率阶段的精细油藏描述[1～4]。

油田进入高含水期开发以后，挖潜难度越来越大，该阶段的油藏描述以提高油田最终采收率为根本目的。精细油藏描述是以挖潜难度大的开发单元为研究对象，以建立精细三维地质模型为基础，以揭示剩余油的空间分布规律为重点，以制定挖潜剩余油、提高采收率措施为最终目标所进行的油藏多学科的综合研究[3]。很显然，精细油藏描述已不仅仅是纯静态的油藏描述，而是将精细油藏描述与剩余油分布研究紧密地联系在一起，是集地质、测井、数值模拟、油藏工程多学科为一体的系统工程。

精细油藏描述及剩余油分布研究是提高高含水油田最终采收率的重点技术。通过“八五”的单项技术攻关和“九五”的推广应用，不仅形成了对高含水、特高含水期油藏进行精细油藏描述及剩余油分布研究的系列配套技术，而且取得了显著的应用效果。自1995年开始，已在胜利油田进行了4期110个单元16.9×108t储量的精细油藏描述。前两期精细油藏描述实施的新井及老井措施截止到1998年12月共增油181×104t，预计增加可采储量799×104t，提高采收率1.80%。

1999年初，对前两期精细油藏描述进行了较系统的总结，形成了精细油藏描述的系列配套技术：一是建立了适合于多种油藏类型的精细油藏描述及剩余油分布研究的基本程序、技术和方法；二是总结出了不同类型油藏精细油藏描述及剩余油分布研究的关键技术和研究侧重点；三是初步形成了精细油藏描述及剩余油分布研究的计算机自动化软硬件系统。但其仍存在以下几方面的差距：①基础数据的数据库化程度低；②虽然油藏描述的较细，但精细的技术政策界限不太明确；③静态与动态的结合程度较低；④计算机自动化程度不够。

本文主要以孤东油田七区西馆上段精细油藏描述及剩余油分布研究为例，介绍高含水期整装油田精细油藏描述技术取得的深化和发展，同时为断块、低渗透以及稠油、海上等特殊油藏提供研究思路和技术储备。

二、精细油藏建模技术

精细油藏建模技术是剩余油分布研究的基础，其研究内容可概括为建立五个模型，即地层模型、构造模型、储集层模型、流体模型和油藏模型。下面重点介绍五项关键技术。

1.精细地层对比

孤东油田七区西精细地层对比，是在前人划分对比的基础上，针对存在的问题以及特高含水期油田开发方案调整和建立剩余油预测模型的要求，开展的储集层细分对比研究。根据七区西馆上段河流相沉积特点，进行储集层细分对比的原则是：以标准层控制层位，用沉积旋回和岩相厚度法结合标志层划分砂层组；以砂体等高程对比模式、平面相变对比模式、叠加砂体对比模式和下切砂体对比模式确定时间单元。

在整个细分对比工作中，纵向上由砂层组、小层到沉积时间单元进行逐级控制，平面上则以现代沉积学研究成果为指导，以取心井为基础，以自然电位、微电极曲线、感应曲线为依据，参照所建立的等高程平面闭合对比模式、相变对比模式、叠加及下切对比模式，采用点、线、面相结合的对比方法，将七区西馆上段4～6砂层组划分为36个沉积时间单元，其中522和531、621和622、631和632、641和642、651和652两个砂体的连通率均大于40%，进一步细分对开发及剩余油挖潜没有实质的意义。所以，该砂层组可细分为30个沉积时间单元（表1）。

表1　孤东油田七区西地层细分成果表

在前两期精细油藏描述研究中，没有对地层细分的初步结果结合生产动态进行进一步的合理技术界限研究，其在矿场应用的实用性相对差一些。

2.微型构造研究

砂层的微型构造是指砂层顶面或底面的起伏形态，其起伏形态与地下油水运动规律有着一定的关系，影响油水井的生产及剩余油在平面上的分布。

通过对微构造储存剩余油的有效性和在有利微构造上部署加密井的可行性研究表明，微构造的尺度并不是越微越好，应具有规模有效性和经济有效性。一个油田微构造的尺度能满足分辨最终经济极限井网的井与井之间在微构造中的相对位置即可。

在孤东油田七区西微构造研究中，将平均井网井距看做是拾取的微构造信息的周期，再把横向上的分辨率转到纵向上，通过公式

胜利油区勘探开发论文集

即得到分析所需要的微构造的等间距为2m。

式中：D——微构造等间距，m；

L——平均井网井距，m；

θ——油藏地层倾角，（°）。

3.储集层参数井间插值优选

储集层参数空间分布规律研究的关键是对井间储集层参数的分布进行准确描述。过去对于井间储集层参数的插值往往是选取一种比较流行或比较新的方法，并且各种参数一般都用相同的方法进行插值，易造成较大的生产误差，影响了地质建模的准确性。

在孤东油田七区西油藏描述中选取8大类17种井间插值方法，对不同储集层参数通过井位抽稀验证进行最佳插值的方法优选，并编制成软件实现了计算机的自动优选。其研究思路如下：第一，采用井点数据抽稀法，对实测数据进行抽稀；第二，对未抽稀掉的井实测数据采用距离加权平均法、趋势面分析法、克里金法、随机建模法等等，进行井间参数拟合（网格化）；第三，对各种插值方法的估计值与抽稀井的实测值的误差进行分析对比，同时也可以利用各种等值图进行分析对比；第四，优选出符合油田地质特征、沉积特征的储集层参数井间拟合方法；第五，利用优选出的方法对参数的空间分布进行拟合，形成网格数据和等值图，进行参数的空间描述及用于计算储量。

利用上述研究思路对七区西馆上段4～6砂层组的有效厚度、孔隙度、泥质含量、渗透率、渗透率变异系数、粒度中值、分选系数、含油饱和度等参数进行井间插值，形成了30个沉积时间单元合计240个参数的网格数据体（表2）。

表2　孤东油田七区西馆上段储集层参数最优插值方法选取表

上述研究表明，不同油藏类型、不同储集层参数对应不同的最佳插值方法，并且各种插值方法之间的误差较大。因此，对必须选取多种井间插值方法对井间插值进行实际验证，以选取最佳插值方法。

4.沉积微相定量识别[4-5]

在孤东油田七区西沉积微相研究中，根据取心井已知微相的各项参数，通过影响沉积微相参数选取、沉积微相标准化、沉积微相特征值的计算，实现了沉积微相划分的定量化和计算机自动化。

（1）储集层参数选取

根据工区内取心井划分取心层位的沉积微相，选取影响沉积微相的七种储集层参数，即砂体厚度、孔隙度、渗透率、渗透率变异系数、粒度中值、泥质含量及分选系数。

（2）储集层参数得分值计算

采用最大值标准化法，计算每种参数在不同微相的得分值，最大值标准化法公式：

胜利油区勘探开发论文集

或

胜利油区勘探开发论文集

式中：Fi——某种参数在某一微相中的得分值；

Xi——某种参数在某一微相中的平均值；

Xmax——所有微相中本项参数的最大平均值。

（3）储集层参数权衡系数计算

对于不同相带，变化越明显的参数对相带的确定程度越大；不同相带中变化不明显的参数对相带的确定程度越小。因此，可根据各项参数在不同相带中的变化程度确定其权衡系数的大小，计算公式为：

胜利油区勘探开发论文集

式中：qi——参数的权衡系数；

Vi——某一参数的平均值在不同微相之间的变异系数；

V总——所有参数的变异系数之和；

σ——参数的标准偏差；

〓——不同相带某参数的平均值。

（4）定量识别模式建立

用每种参数的得分值和权衡系数，采用加权求和的方法建立沉积微相的定量识别模式，计算出每种沉积微相的一个综合特征值。

根据七区西馆陶组上段12口取心井取心层位中各个砂体（或时间单元）的沉积微相，可以计算得其不同沉积微相综合特征值的范围，即：特征值＞0.50为心滩或边滩；0.35＜特征值＜0.50为废弃河道；0.20＜特征值＜0.35为天然堤；0.10＜特征值＜0.20为决口扇；特征值＜0.10为泛滥平原。

依据新建立的油砂体数据库和测井二次解释成果，按照上述沉积微相定量识别模式计算每口井每一砂体综合特征值，采用多次定性赋值技术和EarthVision地质绘图软件的多文件叠合功能，实现沉积微相图的自动绘制。

5.储量计算

孤东油田七区西首次采用网格积分法计算其石油地质储量。网格积分法储量计算结果实际上是储集层有效厚度、孔隙度、含油饱和度等参数评价结果的集中体现。

网格积分法储量计算的流程是：①将各沉积时间单元井点有效厚度、孔隙度、含油饱和度数据进行网格估值，形成网格数据体；②利用储量计算参数网格数据体，结合地面原油密度及体积系数选值结果，采用容积法储量计算公式，形成地质储量网格数据体；③利用地质储量网格数据体，分别计算统计单砂体、沉积微相、沉积时间单元地质储量。

三、剩余油描述技术

1.数值模拟方法

油藏数值模拟是大规模描述剩余油的重要方法[3]，近年来取得重大进展，形成了不规则网格及网格自动生成、历史拟合实时跟踪、三维可视化、窗口及并行等十项新技术；在历史拟合中强调步长优化等四项调参约束机制，提高了数值模拟的研究水平。研究中，地质模型纵向上细到沉积时间单元，平面上网格步长进一步细化，动态模型细到月度数据，油层物理参数细到与沉积时间单元一一对应。

根据数值模拟可以计算不同小层、不同时间单元的剩余油饱和度、可动油饱和度、剩余储量丰度、剩余可采储量丰度、采出程度等指标，对这些结果进行综合分析可以找出剩余油富集区，提供挖潜措施方向。

2.流线模型方法

流线模型技术的提出和应用于20世纪90年代[3]，是研究井间剩余油的一种新的方法，具有允许节点多、运算速度快、研究周期短的特点。

流线模型求解的思路是：先求取流体在多孔介质中的压力场和速度场，然后求出流体的流动轨迹即流线，最后求得任一流线在任一点的饱和度值。通过流线模型计算，可以求得井间任一点的含油饱和度、剩余油饱和度，从而确定驱油效率、可动油饱和度、可采储量、剩余可采储量等参数。

3.油藏工程计算剩余油方法[5～8]

根据油田开发已进入特高含水期的实际，结合矿场应用的需要，油藏工程计算选用了5种计算剩余油的方法。

（1）水驱特征曲线法

根据井点动态资料作水驱特征曲线，结合井点采出状况求出水驱储量、剩余可采储量等指标。

（2）渗饱曲线法

选择油层有代表性的相渗曲线，结合水驱特征曲线求出生产井出口端含水饱和度，进而求得剩余油饱和度、剩余可动油饱和度、剩余可采储量等。

（3）无因次注入采出曲线法

据注入采出情况，做无因次注入采出曲线，结合注入倍数求出剩余采出程度、剩余可采储量、剩余可采储量丰度。

（4）物质平衡法

根据物质平衡原理求得井点剩余地质储量、剩余可动油饱和度、剩余可动油地质储量等。

（5）水线推进速度法

根据注水井的水线推进速度，求出一线油井不同层段相对水线推进速度，结合动态监测资料研究层段水淹状况。

油藏工程计算方法最大特点是数据文件要求相对简单，可操作性强，适用于矿场人员进行计算分析。孤东油田七区西精细油藏描述将5种方法综合起来编制成软件系统，进行动态分析和剩余油研究。随着软件系统的推广应用和不断完善，将大大提高工作效率和对剩余油分布规律的认识程度。

4.水淹层测井解释方法

开发过程中的水淹层测井资料可解释剩余油饱和度、残余油饱和度、含水率和剩余有效厚度等，是研究油水运动状况、储集层动用状况及剩余油分布状况的重要手段。常规的测井方法如电阻率测井、自然电位测井、声波时差测井、放射性测井等原则上都可用于水淹层测井解释剩余油，但这些方法受地层水矿化度的影响较大，而水淹层地层水电阻率已是注入水与地层水的混合电阻率，其大小取决于两种水混合的程度。因此，求准地层混合液的电阻率是水淹层测井解释的关键。

水淹层测井解释提供的储集层参数模型，是进行精细数值模拟的关键和基础，其层内每米8个点的测井解释可以细致地分析层内剩余油分布情况。

5.动态监测方法

主要包括生产动态分析、测试资料分析和检查井分析三种方法。利用动态监测方法综合分析各套层系、各个小层在平面、层间、层内井点的水淹状况及剩余油分布特征，其结果可用来分析和约束数值模拟、流线模型及其他方法的研究。

（1）生产动态分析

主要分析生产井生产指标、单采井生产指标、历年新井生产状况及指标、历年补孔改层井指标，计算层系、井排、小层等的累积采出和注入量，研究油层水淹状况和剩余油分布特点。

（2）测试资料分析

分析C/O、同位素测井、产液剖面、吸水剖面等矿场测试资料，分析计算层间层内各项水驱指标，总结剩余油分布特点。

（3）密闭取心井分析

密闭取心井是用来检查注水开发油田油层水淹特征和剩余油分布规律的比较可靠的方法，它以井点剩余油研究为主，主要描述井点层间、层内的剩余油分布，同时也可依据岩电关系进行平面剩余油分布规律研究，但受检查井数量的影响，往往被用来分析和约束数值模拟、水淹层解释、油藏工程综合研究的结果。

四、油藏描述计算机应用技术

1.建立基础数据库，编制数据库转换程序

孤东油田七区西精细油藏描述基本实现了数据管理计算机化，共建5个静态数据库，即小层数据库、井位坐标数据库、储集层参数数据库、断层参数库、沉积参数数据库；12个动态数据库，即综合开发数据库、油井数据库、水井数据库、射孔数据库、分层注水数据库、生产层位数据库、压力数据库、封堵数据库、相渗曲线数据库、取芯井数据库、原油物性数据库、天然气数据库；并编制3个数据库转换程序，即开发数据转换程序、油井单井数据转换程序和水井单井数据转换程序。

2.开发Earth Vision地质建模软件，实现地质成果图件编制的计算机化

在七区西精细油藏描述研究中，对Earth Vision地质建模软件进行了较为全面的开发和应用，不仅为数值模拟提供了静态模型数据体，还利用工作站绘制了小层平面图、微构造等值图、沉积微相平面图、油藏剖面图等基本地质图件。

3.新编制动态分析辅助程序

在对开发状况及水淹状况进行分析时，为了提高工作效率，编制了3组6个动态分析辅助程序，主要包括动液面分级程序及等值线作图程序、泵效分级程序及等值线作图程序、含水分级程序及等值线作图程序。因而，可以对任意时期的动液面、泵效、含水数据进行不同范围内的自动统计分级，并形成电子表格；也可以绘制任意时期的动液面、泵效、含水的彩色等值线图。

4.编制井间插值方法优选程序及储量计算程序

在测井精细解释研究中，编制了井间插值方法优选程序，实现了从井点数据的输入、井间抽稀、插值方法的选取、误差分析到形成网格数据体和等值线图的计算机自动化。

在储量计算中，新编的网格积分法储量计算程序，能够精确地计算每个网格数据体的地质储量，并能分沉积相带、时间单元和小层进行储量的计算和评价。

5.采用5种油藏工程方法编制计算剩余油的软件

该软件系统包括数据处理、无因次注入采出法、驱替特征曲线法、物质平衡法、渗饱曲线法、水线推进速度法6个主菜单5种计算方法。该系统中5种方法既独立又相互联系，可单独计算也可全部计算。可提供层系、井区或井点的剩余地质储量、剩余油饱和度、剩余可采储量等指标。

6.完善了井点与井间剩余油分布研究软件系统

井点与井间剩余油分布研究软件系统包括参数准备、井点剩余油解释、井间剩余油解释、剩余油描述、图形管理等5项主菜单。可以研究井点原始含油饱和度、残余油饱和度井点和井间剩余油饱和度，用含水率、剩余油饱和度、可动油饱和度、剩余储量丰度、驱油效率等多种参数来反映剩余油在空间的分布规律。

该软件能够根据油藏含油面积的大小和研究要求，建立所需的网格系统。在网格系统的基础上，确定井位、断层边界及各项地质参数分布图，建立地质模型。并能根据井点成果、基础数据库，自动插值形成各种参数网格图和分布图。

五、孤东油田七区西精细油藏描述的应用效果

1.措施潜力

在七区西精细油藏描述的基础上，共提出新井措施6口，提出补孔改层、卡封、下大泵、扶躺井、堵水调剖等老井措施330井次，合计实施措施336井次，预计可提高采收率2.67%，增加可采储量154.8×104t（表3）。

表3　综合分析潜力分类表

2.矿场应用效果

在孤东油田七区西精细油藏描述研究中，利用中间研究成果提出的部分措施已取得显著效果。

从1999年开始，截止到2000年12月，该区共打新井10口；完成补孔改层井79口、堵水油井26口、下大泵井49口等老井措施共154井次。10口新井投产初期平均单井日产油6.14t，综合含水90.75%；截止到2000年12月，累计增油9088t。154井次的老井措施取得了显著效果，截止到2000年12月，措施后比措施前平均增油518t/d，综合含水降低3.1%，累计增油73074t。

部分单井措施效果显著。如，原生产61小层，后在井网不完善、剩余油饱和度和剩余储量丰度均较高的43小层补孔生产的GDS2井，获得了单井日产油60t，综合含水61.7%的良好效果；原生产52+3小层，后在断层附近、剩余油饱和度和剩余储量丰度均较高的62小层补孔生产的7-23-2306井，也获得了单井日产油44.7t，综合含水仅33%的好效果。这对于综合含水高达96.7%，单井日产油只有4.9t的特高含水油田实属不易。另外，补孔未动用的412小层进行生产的7-31-306井、补孔井网不完善的441小层进行生产的7-33-2286井也分别取得了单井日产油40t和21.3t、综合含水仅51.1%和59.2%的好效果。

由此可见，只要查清其地质情况，掌握剩余油分布，特高含水期的老油田也是有潜力可挖的。

六、结论

通过对孤东油田七区西的研究，精细油藏描述技术取得了较大的深化与发展。提高了精细油藏描述的水平，使研究成果与矿场应用更为贴近、实用。实施后取得良好效果。

但精细油藏描述技术的计算机一体化、流程化还有待进一步攻关。在统一的工作平台上实现数据采集、管理、地质三维建摸、数值模拟到油藏工程综合分析的计算机一体化、动静态参数的网格数据体化和跟踪分析自动化，是今后的发展方向。

主要参考文献

[1]刘泽容，信全麟等.油藏描述原理与方法技术.北京：石油工业出版社，1993.

[2]张一伟等编著.陆相油藏描述.北京：石油工业出版社，1997.

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[4]裘怿楠，陈子琪主编.油藏描述.北京：石油工业出版社，1996.

[5]孙永传，李蕙生编著.碎屑岩沉积相和沉积环境.北京：地质出版社，1986.

[6]陈元千.实用油气藏工程方法.东营：石油大学出版社，1998.

[7]郎兆新.油藏工程基础.东营：石油大学出版社，1991.

[8]C R史密斯等编.岳清山等译.实用油藏工程.北京：石油工业出版社，1995.

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彩色图象的二维变形_电子通信论文

摘 要 该文讨论了彩色图像的变形扭曲技术，并针对二维变形给出了一个速度、精度均令人满意的算法。
一、引言
在图像处理的应用中，一般图像所覆盖区域边界是规则的矩形。为获得某种特殊效果，常常需要将图像变换到具有任意不规则边界的二维区域或映像到三维空间曲面，简单地说，这就是所谓的图像变形技术。本文重点讨论了其中的任意二维多边形区域的变形问题，并针对彩色图像给出一个切实可行的算法。而三维情况下，则属于计算机图形学中的纹理贴面范围，一般均会牵涉到立体图形消隐、明暗处理等技术，比较复杂，本文未作深入探讨。
二、变换原理
本文所要讨论的二维变形问题可以形式化说明如下:图像定义在矩形区域ABCD之上，源多边形区域P=p1p2…pnp1(Pi为顶点，i=1，2，…n)完全包含在ABCD内；变形就是通过变换f，将P上的图像变换到目的多边形区域Q=Q1Q2…QnQ1(Qi为顶点，i=1，2，…n)，其中，P与Q中的各顶点一一对应，即有:Qi=f(Pi)(i=1,2…n)。图1是变形的一个简单例子:图中的源多边形区域是矩形区域ABCD，目的多边形为任意四边形EFGH，阴影部分在变换前后的变化清楚地说明了变形的效果。
@@;图1@@
那么，变换应该如何进行呢?
一种直接的思路是显式地求出变换f的表达式。而f的实施又分两种方法；其一为正向变换法，即用f将P内的任一像素点变换到Q内，取原像素值加以显示。由于P与Q所包含像素点的数目一般不相同，甚至相差很大，造成Q中的像素点或者未被赋值，形成令人讨厌的空洞，或者被多次赋值，浪费了时间，总的效果不理想；其二利用f的反变换f-1，将Q内的每一像素点反变换至P内的对应点，一般此点具有实数坐标，则可以通过插值，确定其像素值，这样，结果图像中的每一像素点均被赋值唯一的一次，既提高了精度，又可以避免不必要的赋值，使用效果较好。
上述显示求变换(或反变换)的表达式的思路，比较精确，但是这往往牵涉到复杂的多元方程求解问题，并非轻易可以完成。本文所给出的另外一条思路是:既然P与Q中各顶点一一对应，组成变换对，即源多边形P中的任一顶点Pi(i=1,2…n)经过变换f，得到目的多边形Q中的顶点Qi(i=1,2…n)，则Qi的反变换点也必为Pi。这样，对Q内(包括边界)的各像素点A，可以利用各顶点的反变换点的坐标值通过双线性插值技术近似求出其反变换点B；再用点B的坐标值在源图像中进行插值，最终求得结果像素值，用于显示A。
第二种方法在保留一定精度的前提下，避免了变换表达式的显式求解，实现简便。本文基于此思想，设计了一个快速变形算法；另外，算法中还借鉴了多边形区域扫描转换的扫描线算法的思路，以实现对Q内各像素点的高效扫描。以下，本文首先介绍了插值技术及增量计算技术，然后将给出二维变形算法的详细步骤。
三、插值技术
已知目的多边形Q各顶点Qi(i=1,2…n)的变换坐标值，如何求出Q内任一像素的反变换坐标呢?双线性插值法是一种简单快速的近似方法。具体做法是:先用多边形顶点Qi(i=1,2…n)的反变换坐标线性插值出当前扫描线与多边形各边的交点的反变换坐标，然后再用交点的反变换坐标线性插值出扫描线位于多边形内的区段上每一像素处的反变换坐标值用于以后的计算。逐条扫描线处理完毕后，Q内每一像素点的反变换坐标值也就均求出来了。如图2中所示，扫描线Y(纵坐标=Y)与多边形相交于点A和B两点，D则是位于扫描线上位于多边形内的区段AB上的任一点。已知多边形的3个顶点Qi(i=1,2，3)的反变换坐标为(RXi,RYi)；
又令A、B及D各点的反变换坐标分别是(RXa,RYa),(RXb,RYb)和(RXd,RYd)。则RXp可按以下公式求出:
RXa=uRX1+(1-u)RX2 式1
RXb=vRX1+(1-v)RX3式2
RXd=tRXa+(1-t)RXb 式3
其中，u=|AQ2|/|Q1Q2|，v=|BQ3|/|Q1Q3|，t=|DB|/|AB|，
称为插值参数。
RYd的值亦可完全类似地求出，甚至不必改变插值参数的计算。(Rxd,Ryd)即是D点在原图像中对应点的坐标近似值。
@@;图2@@
上述的双线性插值过程可以通过增量计算方法提高速度。其中，在水平方向上，位于多边形内的各区段上的各像素的反变换坐标可以沿扫描线从左至右递增计算。仍以反变换的X坐标为例。如图2所示，在扫描线Y上，C与D是相邻两像素点，对C点，插值参数tc=|CB|/|AB|，对D点，td=|DB|/|AB|，则插值参数之差△t=|CD|/|AB|，由于C与D相邻，且在同一扫描线上，|CD|=1，即△t=1/|AB|，在AB区段上为常数。根据式1～式3，不难推得D点的反变换X坐标Rxd与C点的反变换X坐标Rxc之间的关系如下:
Rxd=Rxc+(Rxa-Rxb)·△t=Rxc+△Rxx
由于△Rxx在AB区段仍为常数，故AB区段上各像素点的反变换X坐标均可由A点的Rxa依次递增求得，而反变换Y坐标的递增求法亦是相同。这样，AB区段上各像素点的反变换坐标值的计算简化为两次加法，时间的节省是惊人的。事实上，在垂直方向，每条边也可在相邻扫描线间递增计算其与扫描线交点的反变换坐标。如图2中的Q1Q2边，其与相邻的两条扫描线Y与Y-1分别交于A点和E点。则两点的插值参数之差△u=|AE|/|Q1Q2|，而Q1Q2边与扫描线交角固定为θ，且A和E两点的Y坐标之差为1，则有:|AE|=1/Sinθ，对于Q1Q2边而言是常量，因此△u对此边也是常量，于是推得两点反变换X坐标关系如下:
Rxa=Rxe+(Rx1-Rx2)△u=Rxe+△Rxy
显然，△Rxy沿Q1Q2边亦是常数，故而可知，相邻扫描线与各边交点的反变换坐标也只要两次浮点加法的计算量。这样，区域内每一像素点的反变换均可通过增量计算高效地完成，这大大提高了整个变形算法的速度。
另外，前面提到，经过反变换后的点一般具有实数坐标，无法直接在原图像中获得颜色值。但我们知道，一幅所谓数字图像，其实质是对连续图像在整数坐标网格点上的离散采样，因而可以用插值的方法，得到区域内具有任意坐标的点的颜色值。插值即是对任意坐标点的颜色值，用其周围的若干像素(具有整值坐标值，颜色值确定)的颜色值按一定插值公式近似计算。一般有最近邻点法、双线性插值法及3次样条函数法等插值方法，出于精度与速度的折衷要求，选用双线性插值方 法对绝大多数的应用场合是适宜的。需特别指出的是，应该对颜色的3原色分量分别进行插值，而不要直接使用读像素点得到的颜色索引号。详细讨论见文献[1]。
四、算法细节
下面将要给出的彩色图像的二维变形算法以多边形区域扫描转化的扫描线算法为框架，且使用相仿的数据结构，对目的多边形区域高效地进行逐点扫描，同时实现前面讨论的各种技术。
首先给出的是用C语言描述的数据结构:
struct Edge {
float x; /*在边的分类表ET中表示边的下端点的x坐标；在边的活化链
表AEL中则表示边与扫描线的交点的x坐标；*/
float dx; /*边的斜率的倒数；即沿扫描线间方向X的增量值*/
int Ymax; /*边的上端点的y坐标*/
float Rx; /*在ET中表示边的下端点*/
float Ry; /*的反变换坐标；在AEL中则表示边与扫描线交点的反变换坐标*
/
表float dRx; /*沿扫描线间方向，反变*/
float dRy; /*换坐标(Rx,Ry)的增量值*/
struct Edge *next;/*指向下一条边的指针*/
}; /*多边形的边的信息*/
struct Edge *ET[YResolution];
/*边的分类表，按边的下端点的纵坐标Y对非水平边进行分类的指针数组。
下端点的Y值等于i的边归入第i类，同一类中，各边按X值及△X的值递增顺序排列；YResolution为扫描线数目*/
struct Edye *AEL;
表 /*边的活化链表，由与当前扫描线相交的所有多边形的边组成，记录了多边形边沿当前扫描线的交点序列。*/
struct Polygon {
int npts; /*多边形顶点数*/
struct Point *Pts;
/*多边形的顶点序列*/
}; /*多边形信息*/
struct Point {
int X;
int Y; /*顶点坐标*/
float Rx;
float Ry; /*顶点的反变换坐标*/
}; /*多边形各顶点的信息*/
注意以上注释中边的下端点指纵坐标值较小的一端，另一端即为上端点。
以下则为算法的详细步骤:
1.数据准备
对于每一条非水平边QiQi+1，设Qi与Qi+1的坐标分别为(Xi,Yi)
及(X
i+1,Yi+1)；其反变换坐标为(Rxi,Ryi)及(RXi+1,RYi+1)。
则按以下各式对此边的信息结构各域进行填写:
X=Xi,Yi＜Yi+1
Xi+1,Yi＞Yi+1
RX=RXi,Yi＜Yi+1
RXi+1,Yi＞Yi+1
RY=RYi,Yi＜Yi+1
RYi+1,Yi＞Yi+1
dx=(xi-xi+1)/(yi-yi+1)
Ymax=max(yi，yi+1)
dRx=(Rxi-Rxi+1)/(yi-yi+1)
dRy=(Ryi-Ryi+1)/(yi-yi+1)
然后将其插入链表ET[min(yi，yi+1)]中。活化边表AEL置空。
当前扫描线纵坐标y取为0，即最小序号。
2.扫描转换
反复作以下各步，直到y等于YResolution
(1)若ET[y]非空，则将其内所有边插入AEL。
(2)若AEL非空，则将其按X及dx的值从小到大排列各边，接(3)；否则转
(3)将AEL内各边按排列顺序两两依次配对。则沿当前扫描线Y组成若干水平区间[xLeft,xRight]，其左右端点的反变换坐标分别为:(lRx,lRy)，(rRx,rRy)。则对于每一个这样的区间作以下各步:
dRxx=(lRx-rRx)/(xleft-xRight)
dRyx=(lRy-rRy)/(xleft-xRight)
又设原图像已读入二维数组Image之中。令XX=xleft, Rxy=lRx, Ryx=lRy则对于每个满足xLeft≤xX≤xRight的坐标为(xx,y)的像素，其反变换坐标(Rxy,Ryx)可按下式增量计算:
Rxx=Rxx+dRxx
Ryx=Ryx+dRyy
用(Rxx,Ryx)在数组Image之中插值，(参见文献[1])，按所得颜色值显示该像素。然后边x=x+1，计算下一像素。
(4)将AEL中满足y=Ymax的边删去，然后按下式调整AEL中各边的信息。
X=X+dx
Rx=Ry+dRx
Ry=Ry+dRy
(5)y=y+1,重复下一点。
五、讨论
上述算法针对彩色图像的二维变形问题，给出了一个简单快速的实现方案。至于三维变形，由于一般会牵涉到隐藏面消除等问题，比较复杂。但在一些情况下，可以避开消隐问题，如目的曲面形状比较简单，投影到屏幕后，各部分均不发生重叠，也就没有必要使用消隐技术，直接投影就可以了。

徐世烺的中文期刊论文

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PVA纤维增强水泥基复合材料拉伸特性实验研究。大连理工大学学报，2007,47⑵：233-239，高淑玲，徐世烺。95. 纤维编织网增强混凝土薄板力学性能的研究。建筑结构学报，2007，28⑷：117-122，李赫，徐世烺。96. 高轴压比PVA纤维超高强混凝土短柱延性的试验研究，土木工程学报，2007，40⑻：54-60，姜睿，徐世烺，贾金青。97. 基于碳纤维混凝土机敏性的Ⅱ型断裂试验研究。建筑材料学报，2007,10⑷：484-487，张滇军，徐世烺。98. 钢骨超高强混凝土短柱抗震性能实验研究。大连理工大学学报，2007,47⑸：699-706，徐世烺，姜睿，贾金青，孙根勤，厚童。99. 碳纤维编织网与PVA短纤维联合增强水泥基复合材料弯曲性能的试验研究，土木工程学报，2007，40⑿：69-76，徐世烺，李庆华，李贺东。100. 水泥净浆和水泥砂浆材料的Ⅰ型断裂韧度测定。水利学报，2008,39⑴：41-46，徐世烺，朱榆，张秀芳。101. 混凝土软化本构关系与裂缝扩展GR阻力曲线的相关性，清华大学学报（自然科学版）2008，48⑶，316-320，张秀芳，徐世烺。102. 不同尺寸楔入式紧凑拉伸试件双K断裂参数的试验测定，土木工程学报，2008，41⑵：70-76徐世烺，卜丹，张秀芳。103. 超高性能水泥基复合材料弯拉作用下虚拟应变硬化机制分析，复合材料学报，2008，25⑵：129-134，吴香国，韩相默，徐世烺。104. 用荷载-裂缝口张开位移曲线确定混凝土断裂能，水利学报，2008,39⑹：714-719，张秀芳，徐世烺。105. 超高韧性水泥基复合材料研究进展及其工程应用，土木工程学报，2008，41⑹:72-87，徐世烺，李贺东。106. 基于碳纤维混凝土（CFRC）机敏性的三点弯曲梁断裂参数试验研究，水力发电学报，2008，27⑵：71-77，张滇军，徐世烺，郝红曼。107. 用能量方法研究混凝土断裂过程区的力学性能，工程力学，2008，27⑺：18-23，张秀芳，徐世烺。108. 利用导电性能确定接缝灌浆材料Ⅱ型断裂临界荷载，大连理工大学学报，2008,48⑷：546-550，徐世烺，喻常雄，张滇军。109. 提高纤维编织网与混凝土粘结性能的实用方法，大连理工大学学报，2008，48⑸：685-690，李庆华，徐世烺，李赫。110. 超高韧性水泥基复合材料与钢筋粘结本构关系的试验研究，工程力学，2008，25⑾：53-61，徐世烺，王洪昌。111. 采用超高韧性水泥基复合材料提高钢筋混凝土梁弯曲抗裂性能研究⑴：基本理论，土木工程学报，2008，41⑿：53-59，张秀芳，徐世烺。112. 混凝土裂缝扩展的断裂过程准则与解析，工程力学，2008，25(S2）：20-33，徐世烺，赵艳华。113. 水压作用下大坝混凝土裂缝扩展与双K断裂参数，土木工程学报，2009，42⑵：119-125，徐世烺，王建敏。114. 不同软化曲线形状对裂缝扩展阻力GR曲线的影响，工程力学，2009,26⑵：5-9，张秀芳，徐世烺。115. 超高性能纤维加劲混凝土断裂参数研究与应用，工程力学，2009,26⑶：93-98，吴香国，徐世烺，吴明喜。116. 钢筋增强超高韧性水泥基复合材料RUHTCC受弯梁的计算理论与试验研究，中国科学（E辑）2009,39⑸：878-896，徐世烺，张秀芳。117. 超高韧性复合材料控裂功能梯度复合梁弯曲性能理论研究，中国科学（E辑）2009,39⑹：1081-1094，徐世烺，李庆华。118. 定向多壁碳纳米管-M140砂浆复合材料的力学性能，中国科学（E辑），2009,39 ⑺： 1228-1236，徐世烺，高良丽，晋卫军。119. 超高韧性复合材料控裂功能梯度复合梁弯曲性能试验研究，中国科学（E辑）2009,39 ⑻： 1391-1406，李庆华，徐世烺。120. 超高韧性水泥基复合材料直接拉伸试验研究，土木工程学报，2009，42⑼：32-41，徐世烺，李贺东。121. 超高韧性纤维增强水泥基复合材料（UHTCC）抗冻耐久性能试验研究，土木工程学报，2009，42⑼：42-46，徐世烺，蔡新华，李贺东。122. 超高韧性水泥基复合材料基本力学性能研究，水利学报，2009,40⑼：1055-1065，徐世烺，蔡向荣。123. 采用超高韧性水泥基复合材料提高钢筋混凝土梁弯曲抗裂性能研究（Ⅱ）：试验研究，土木工程学报，2009，42⑾：53-66，张秀芳，徐世烺。124. 超高韧性水泥基复合材料单轴受压应力应变全曲线试验测定与分析，土木工程学报，2009，42⑾：，徐世烺，蔡向荣，张英华。125. 配筋率对RUHTCC梁弯曲性能的影响研究，土木工程学报，2009，42⑿：16-24，张秀芳，徐世烺，侯利军。126. 钢筋增强超高韧性水泥基复合材料梁的弯曲承载力及延性分析，工程力学，2009，26⑿：133-141，张秀芳，徐世烺。127. 超高韧性水泥基复合材料基本性能和结构应用研究进展，工程力学，2009,26(S2）： 23-67. 李庆华，徐世烺.128. 双K断裂模型粘聚韧度KIcc实用插值计算方法，计算力学学报，2010，（27）1:47-52，高洪波，徐世烺，吴智敏，卜丹.129. UHTCC薄板弯曲荷载-变形硬化曲线与单轴拉伸应力-应变硬化曲线对应关系研究，工程力学，2010,27⑴：8-16，徐世烺，蔡向荣。130. 钢/聚丙烯混杂纤维对HPC深梁受弯性能的影响，哈尔滨工业大学学报，2010,42⑵：313-316，夏冬桃，徐世烺，夏广政.131. 超高韧性水泥基复合材料弯曲性能及韧性评价方法，土木工程学报，2010，43⑶：32-39，徐世烺，李贺东。132. 钢筋增强超高韧性水泥基复合材料弯曲性能试验研究与计算分析，建筑结构学报，2010,31⑶： 51-61，李庆华，徐世烺。133. 超高韧性水泥基复合材料考虑拉应力增长影响的控裂钢筋混凝土复合梁正截面承载力计算，建筑结构学报，2010,31⑶：62-69，张秀芳，徐世烺。134. 水工有压隧洞衬砌双K断裂理论分析及裂缝宽度计算，土木工程学报，2010，43⑴：114-124，徐世烺，刘建强，张秀芳。

好的学术论文具有哪些特点

　　学术论文使学生发现自己的长处和短处，以便在今后的工作中有针对性地克服缺点，下面我给大家分享一些好的学术论文的特点，大家快来跟我一起欣赏吧。
　　好的学术论文具有的特点
　　以医学学术论文为例，好的医学论文具有以下特点：　一篇好的医学SCI论文诞生，既要有好的选题，好的设计，又要有具体的实施和认真的总结，作者必须把握好每一个环节，做到严肃、严谨、严密。有的人临时想写一篇论文，平时没有选题、没有设计、没有素材、更谈不上积累，怎么能临时写出论文呢?所以，医学SCI论文写作一定要注意积累!

　　按医学论文来源分类：

　　分为原着(包括论着、着术及短篇报道)和编着(包括教科书、参考书、专着、文献、综述、讲座、专题笔谈、专题讨论等)两类;

　　按论文写作目的分类为：学术论文和学位论文两类;

　　按医学学科及课题性质分为：基础医学、临床医学、预防医学、康复医学等四类;

　　按论文的研究内容分：实验研究论文、调查研究论文、实验研究论文、资料分析论文、经验体会论文五类;

　　按论文的论述体裁分为：论着、文献、综述、述评、讲座、技术与方法、个案报告和医学科普论文等。所以，作者必须根据自己研究工作和研究资料的内容，选择相应体裁的论文表达形式。

　　每一项实验或者临床观察，均应有严密的计划和步骤。在应用严密的操作和相关的程序当中，更不允许随意更改自己的科研设计和论证。专家经常看到许多作者写文章时，经常使用，可能，大概，估计，或者数据没有经过统计便说有明显的疗效等，这些用词都是不严谨的。
　　关于医学的学术论文
　　算法在医学图像三维重建中的应用

　　摘要：

　　医学图像三维重建技术最早可以追溯到20 世纪70 年代初。由于集成三维重建平台的医学影像设备价格昂贵等客观原因，国内医学图像三维可视化诊断起步较晚，到90年代某些高校才开始进行各层面上的研究[1]。随着计算机技术的发展，短短几年，三维重建技术已成为人们探索生命奥秘，以及疾病诊断、手术规划的重要手段。

　　1 常见的医学三维重建素材

　　电子计算机断层扫描Computed tomography，简称CT，是电子计算机和X线相结合的一项新颖的诊断新技术。其主要特点是具有高密度分辨率，比普通X线照片高10～20倍[2]。CT能准确测出某一平面各种不同组织之间放射衰减特性的微小差异，并以数字图像方式显示，能极其精细地区分出各种软组织的不同密度，从而形成对比。例如，头颅X线平片不能区分脑组织及脑脊液，但CT不仅能显示出脑室系统、还能分辨出脑实质的灰质与白质。CT如再引入造影剂以增强对比度，其分辨率更为提高，可加宽疾病的诊断范畴，提高诊断正确率。

　　磁共振成像Magnetic Resonance Imaging ，简称MRI。磁共振成像是断层成像的一种，它利用磁共振现象从人体中获得电磁信号，并重建出人体信息。1946年斯坦福大学的Flelix Bloch和哈佛大学的Edward Purcell各自独立发现了核磁共振现象。1972年Paul Lauterbur 发展了一套对核磁共振信号进行空间编码的方法，这种方法可以重建出人体图像。磁共振成像技术与其他断层成像技术有一些共同点，比如它们都可以显示某种物理量(如密度)在空间中的分布。同时磁共振成像也有自身的特色，可以得到任何方向的断层图像、三维体图像、甚至可以得到空间——波谱分布的四维图像。

　　目前，医学图像三维重建方法主要有面绘制、体绘制以及由物体表面的二维灰度图像重构其三维几何形状法或称明暗恢复形状法等几种。

　　2 Marching Cubes算法基本原理

　　移动立方体Marching Cubes[3]算法是Lorensen等人在1987年提出的等值面构造方法，一直沿用至今，是体素单元内等值面抽取技术的代表[4]。所谓等值面，是指在一个网格空间中由采样值等于某一给定值的所有点组成的集合。该算法的本质是将一系列两维的切片数据看做是一个三维的数据场，从中将具

　　有某种域值的物质抽取出来，以某种拓扑形式连接成三角面片。

　　等值面是空间中所有具有某个相同值的体素点的集合，体素点的值采用V0~V7八个点在体素区域内三线性插值的结果。可以表示为：c是常数。F(f)为体数据f中的等值面。计算公式可表达为：

　　⑴

　　其中α0,α1,……,α7是由V0~V7八个定点的值决定的常数。

　　在MC算法中，假定原始数据是离散的三维空间规则数据场如图1所示。用于医疗诊断的断层扫描(CT)及核磁共振成像(MRI) 等产生的图像均属于这一类型。

　　MC算法的基本思想是逐个处理数据场中的体素，如图2所示，分类出与等值面相交的体素，采用插值计算出等值面与体素棱边的交点(V0~V7) 。根据体素中每一顶点与等值面的相对位置，将等值面与立方体边的交点按一定方式连接生成等值面，作为等值面在该立方体内的一个逼近表示。在计算出关于体数据场内等值面的有关参数后，利用常用的图形软件包或硬件提供的面绘制功能绘制出等值面[5]。

　　等值面的绘制一般采用二值化的方法，即通过与给定阀值的比较来确定该点的值(0或1)，顶点密度值<域值为Outside的为1，顶点密度值≥域值Inside的为0。V0~V7每个顶点有Outside和Inside 2个状态，因此8个顶点共有256种组合状态，根据互补对称性以及旋转对称性，共有15种三角构型。在重建时根据索引进行查找时，每个索引分为索引，旋转，三角模型三部分。Marching Cubes算法主要流程如下：

　　⑴将三维离散规则数据场分层读入内存。

　　⑵扫描两层数据，逐个构造体素，每个体素中的8个角点取自相邻的两层;8个定点可定义为(i，j，k)，(i+1，j，k)，(i+1，j+1，k)，(i+1，j，k+1 )，(i+1，j+1，k+1)，(i，j+1，k+ 1)，(i，j+1，k)，(i，j，k+1)(如图3所示)。

　　⑶将体素每个角点的函数值与给定的等值面值c比较，根据比较结果，构造该体素的状态表。

　　⑷根据状态表，得出将与等值面有交点的边界体素。

　　⑸通过线性插值方法计算出体素棱边与等值面的交点。

　　⑹利用中心差分方法，求出体素各角点处的法向量，再通过线性插值方法，求出三角面片各顶点处的法向。

　　⑺根据各三角面片上各顶点的坐标及法向量绘制等值面图像。

　　3 空间等值点的判断及等值面与体素边界的交点计算

　　任取一离散网格棱边，设棱边上两结点分别为：Mi(xi, yi, zi, qi)和Mj (xj, yj, zj, qj);取量值的等值为C，当满足(q-c)(q-c)≤0(等值点判定条件式)则Mi和Mj两点间取等值点Mo。另设等值点Mo的坐标为(xo，yo，zo)，由Mi和Mj两点根据线性插值可得公式⑵：

　　⑵

　　式中k=(qi-c)(qj-c)≤0。根据等值面判定条件式⑴，和等值点坐标公式⑵可以按结构离散信息对网格棱边进行搜索判断，从而求出指定域中结构体所有等值点。求出等值点以后，就可以将这些等值点连接成三角形或多边形形成等值面的一部份。

　　4 等值面的法向量的计算

　　为了利用图形硬件显示等值面图像，必须给出三角面片等值面的法向，选择适当的光照模型进行渲染，生成真实感图形。对于等值面上的每一点，其沿面的切线方向的梯度分量应该是零，因此沿该点的梯度矢量方向也就代表了等值面在该点的法向。等值面往往是具有不同密度物质的分界面，因而其梯度矢量值不为零，即公式⑶：

　　⑶

　　直接计算三角面片的法向是费时的，为了消除各三角面片之间的明暗度的不连续变化，只要给出三角面片各顶点处的法向，并采用Gouraud模型绘制各三角面片。这里我们采用中心插分方法来计算各体素各角点的梯度。在三角形的情况下，计算出每一个三角形面片的法向量，然后用三角面的法向量求得每个顶点的法向量，最后用三角形三个顶点的三个法向量插值求出三角形面上某一点的法向量。对于等值面来说有简单的方法计算顶点的法向量。考虑到等高线的梯度方向与等高线的切线垂直，因此，可以用梯度矢量代替等高线的垂直线。在三维情况下，等值面的梯度方向就是等值面的法向方向。由此，可得到公式⑷：

　　⑷

　　5 Marching Cubes的优化--网格模型简化算法

　　网格模型简化算法已经取得了一系列的成果。目前的简化算法大多考虑以边折叠前后的模型几何位置变化为折叠代价，从而减少多边形的数量，以达到提高运算效率的目的。网格简化算法的目的是在尽可能保证图像精度的前提下提高效率。因此，选取坐标点的原则是尽可能接近原始网格，一般有子集选择法和优化选择法[6]两种子集选择法即简单地在边的两个端点中选择代价较小的那一个，优化选择法则是选取二次误差最小的点v作为折叠点，该点所对应的二次误差测度为，而点v的二次误差是二次方程，求其最小值就是求方程对x，y，z偏导为零的点，解出的x，y，z即为新的顶点坐标。这一过程等价于公式⑸的矩阵方程求解。

　　⑸

　　折叠代价的度量

　　折叠代价的计算分为两步。第一步：计算每个顶点的二次误差侧度时，以Garland的标准二次误差测度为基础，同时考虑周边三角形面积的影响，计算每个顶点的二次误差测度均值;第二步：计算边折叠代价时，以边的长度和边折叠后所引起的三角形形态变化的程度作为加权因子。

　　具体计算方法为：在三维空间中，平面P可以表示为ax+by+cz+d=0，也可以表示为PTv=0.其中P=[a，b，c]T是平面P的单位法向量，且有，d为常量。模型空间中任一点v=[x，y，z，1]T到该平面的距离的平方为公式⑹：

　　⑹

　　网格模型中的任意点v=[x，y，z，1]T的二次误差Δ(v)的定义为该顶点到与该定点相关的平面的平方和，可以表示为公式⑺：

　　⑺

　　其中，planes(v)表示所有包含定点v的三角平面构成的一个集合，称为顶点v的相关平面集。初始状态下网格模型中每个点的二次误差为0，上式变形后可以得到公式⑻。

　　⑻

　　其中kp为平面P的二次误差测度。

　　⑼

　　称为v=[x，y，z，1]T的二次矩阵。

　　称为点v的二次误差。当进行边折叠时，可使用一个附加规则(Garland et al. ， 1987)获得点v处的二次误差测度，该顶点的二次误差值为，也就是该边的折叠代价。

　　6 网格简化算法在 医学三维重建上的 应用

　　网格算法一般应用于加快三维重建的速度，但是单纯的网格算法却缺乏实用价值。相对于其高速的绘制，损失的精度是无法接受的。因此，对网格简化算法又进行了进一步的优化—基于体绘制的网格简化算法。

　　体绘制是将切片中所有的物质(皮肤、骨骼、肌肉等)集中在一幅图中显示。但在只需要观察骨骼的情况下，很多的三角面绘制都是没有意义的。忽略那些不必要的三角面可在保证精度的同时有效地提高重建速度。

　　7 结束语

　　MC算法通过对比阀值来确定体素的多边形，在面对大容量数据时往往有着速度慢这一无法回避的缺点，但现在各种有针对性的改进使得它有了更大的 发展潜力，所以MC算法不仅仅是个单纯的算法，它更接近于“体素” 这个概念。现在流行的很多三维重建算法都是基于MC进行改良的，目的是为了获得所需要的特定的三维模型。象基于小波变换的医学图像融合算法，断层医学图像插值算法等，则主要是为了使CT等数据容易受到MC算法中阀值的分割。现在，OpenGL，VTK等图像函数库的使用已使得三维图像建模变得简单期望三维重建技术在医学上的应用会有更大的发展。

　　参考文献：

　　[1] 蒲超,张育民.医学图象三维处理算法与应用[J].兵工自动化,2004.6:210~212

　　[2] 罗述谦,周果宏,石教英.基于三角形移去准则的多面体简化模型[J]. 计算机学报,2008.2:135~138

　　[3] Nielson Marching Visualization 2004.

　　[4] 田捷,包尚联,周明全. 医学图像处理与分析[M].电子工业出版社2003.

　　[5] 金天弘,刘振宅. 医学图像三维重建的研究[J].医疗卫生装备,2008.2:34

　　
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