研究牛顿的论文

研究牛顿的论文

牛顿在数学上的成果要有以下四个方面：
【发现二项式定理】
1665年，牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。
【创建微积分】
牛顿在数学上最卓越的成就是创建微积分。他超越前人的功绩在于，他将古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，如：面积计算可以看作求切线的逆过程。
微积分方法上，牛顿所作出的极端重要的贡献是，他不但清楚地看到，而且大赡地运用了代数所提供的大大优越于几何的方法论。他以代数方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴罗的几何方法，完成了积分的代数化。从此，数学逐渐从感觉的学科转向思维的学科。
微积产生的初期，由於还没有建立起巩固的理论基础，被有受别有用心者钻空子。更因此而引发了着名的第二次数学危机。这个问题直到十九世纪极限理论建立，才得到解决。
【引进极坐标，发展三次曲线理论】
牛顿对解析几何作出了意义深远的贡献，他是极坐标的创始人。第一个对高次平面曲线进行广泛的研究。
【推进方程论，开拓变分法】
牛顿在代数方面也作出了经典的贡献，他的《广义算术》大大推动了方程论。他发现实多项式的虚根必定成双出现，求多项式根的上界的规则，他以多项式的系数表示多项式的根n次幂之和公式，给出实多项式虚根个数的限制的笛卡儿符号规则的一个推广。

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论文：《牛顿定理的物理意义及历史意义的探析》

1．牛顿第一定律
内容：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到其它物体的作用力迫使它改变这种状态为止。
说明：物体都有维持静止和作匀速直线运动的趋势，因此物体的运动状态是由它的运动速度决定的，没有外力，它的运动状态是不会改变的。物体的这种性质称为惯性。所以牛顿第一定律也称为惯性定律。第一定律也阐明了力的概念。明确了力是物体间的相互作用，指出了是力改变了物体的运动状态。因为加速度是描写物体运动状态的变化，所以力是和加速度相联系的，而不是和速度相联系的。在日常生活中不注意这点，往往容易产生错觉。
注意：牛顿第一定律并不是在所有的参照系里都成立，实际上它只在惯性参照系里才成立。因此常常把牛顿第一定律是否成立，作为一个参照系是否惯性参照系的判据。
2．牛顿第二定律
内容：物体在受到合外力的作用会产生加速度，加速度的方向和合外力的方向相同，加速度的大小正比于合外力的大小与物体的惯性质量成反比。
第二定律定量描述了力作用的效果，定量地量度了物体的惯性大小。它是矢量式，并且是瞬时关系。
要强调的是：物体受到的合外力，会产生加速度，可能使物体的运动状态或速度发生改变，但是这种改变是和物体本身的运动状态有关的。
真空中，由于没有空气阻力，各种物体因为只受到重力，则无论它们的质量如何，都具有的相同的加速度。因此在作自由落体时，在相同的时间间隔中，它们的速度改变是相同的。
3．牛顿第三定律
内容：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一条直线上，大小相等，方向相反。
说明：要改变一个物体的运动状态，必须有其它物体和它相互作用。物体之间的相互作用是通过力体现的。并且指出力的作用是相

历史意义； 牛顿三大定律是力学中重要的定律，它是研究经典力学的基础。

物理论文 牛顿对经典力学的贡献

牛顿与经典力学的建立
吕增建
焦作大学
摘要 牛顿一是一位伟大的物理学家、数学家和天文学家。他
在自然科学史上占有独特的地位。他的科学巨著《自然哲学的数学原理》的出版,
标志着经典力学体系的建立。经典力学理论体系的科学成就和科学的方法论启迪了
人类征服自然的无穷智慧, 对现代化科学技术发展和社会进步产生了极其深远的影
响。
关键词 牛顿经典力学贡献
牛顿是伟大的物理学家, 在他所处的时代, 哥白尼提出了日心说, 开普勒从第谷的观测
资料中总结了经验的行星三定律, 伽利略又给出了力、加速度等概念并发现了惯性定律和自
由落体定律。但是, 这些物理概念和物理规律是孤立的, 在逻辑上是各自独立的东西。牛顿
正是“ 站在这些巨人的肩上” 对行星及地面上的物体运动作了整体的考察和研究, 用数学方法, 使物理学成为能够表述因果性的一个完整体系。正如牛顿所说“ 自然哲学应称之为
“ 物理学,’ 的目的在于发现自然界的结构和作用, 并且尽可能地把它们归结为一些普遍的法则和一般的定律—用观察和实验来建立这些法则, 从而导出事物的原因和结果⋯ ⋯” 牛顿对力学的研究成果集中体现在他的科学巨著《自然哲学的数学原理》以下简称《原理》
中, 这本书是科学史上极为重要的伟大著作。牛顿在《原理》书中, 提出了力学的三大定律
和万有引力定律, 对宏观物体的运动给出了精确的描述, 总结了他自己的物理发现和哲学观
点。可以说在整个科学史上没有一部著作在创新或思维方面可以和该书相媲美, 在取得伟大
成就方面也是如此。它不仅标志了十六、十七世纪科学革命的顶点, 也是人类文明进步的划
时代标志, 它不仅总结和发展了牛顿之前物理学的几乎全部重要成果, 而且也是后来所有科
学著作和科学方法的楷模。该书的出版, 标志着经典力学体系的建立, 立即作为新科学的经
典著作而受到崇敬, 在科学发展史上建立了一个不朽的丰碑。
1.1划时代的巨著《原理》
《原理》一书分为两大部分, 在第一部分中, 牛顿首先明确了当时人们常常混淆的几个
重要概念, 如质量、惯性、外力、向心力、时间、空间等, 然后提出了运动的基本定理和定
律, 即牛顿力学三定律, 力的合成与分解、动量守恒定律、质心运动定律、相对性原理以及
力的等效原理等。这一部分虽然篇幅不大, 但它是全书的基础, 内容极为重要。第二部分是
这些定律的应用, 又分为三篇, 前两篇是用演绎推理的方法导出了万有引力定律, 确定了这
一定律的具体形式讨论了阻尼运动、流体动力学以及流体静力学等。在第三篇中, 用已发,
第期吕增建牛顿与经典力学的建立现的规律解释宇宙体系, 研究天体的观测资料, 其中包括行星围绕太阳的运动, 卫星围绕行星的运动, 地面上物体的降落运动和抛射运动, 慧星轨道的确定, 岁差以及潮汐现象与万有引力的符合程度等, 首次把地上的运动与天体运动用数学方式联系起来。
牛顿的时空观是绝对的, 它虽然不能正确揭示作为物质存在形式的空间和时间的统一
性, 不能正确揭示物质和运动的统一性, 但它正确反映了当速度远低于光速时的经典理论的
基础, 它是在当时实验条件下的科学总结, 是人类认识自然的一个里程碑。
1.2著名的牛顿三定律
在明确了这些概念, 建立了时空观以后, 牛顿又精辟地阐述了著名的运动三定律。
“ 定律工每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运动的状态, 除非有力加于其上
迫使它改变这种状态。”
“ 定律运动的改变和所加的动力成正比, 并且发生在所加的力的那个直线方向上。”
“ 定律每个作用总有一个相等的反作用和它相对抗, 或者说, 两物体彼此之间相互
作用永远相等, 并且各指其对方。”
牛顿三定律是在观察和实验的基础上发现的, 已被公认为宏观自然规律, 并成为数学
演绎的基础。第一定律是在伽利略、笛卡儿关于惯性定律的基础上建立起来的, 对当今的物
理学家来说, 它几乎自然地成了力学的基础。第二定律是在明确了质量概念以后, 对伽利略
动力学思想的发展, 它是运动三定律的核心。牛顿第一和第二定律是密切相关的。第一定律
表明一个不受干扰力的质点保持它的原有的运动状态第二定律则表明, 力只能引起原有运
动状态的改变。故这两个定律否定了伽利略—牛顿时代以前关于必须有力才能保持运动的
错误观点。第三定律的指出, 可以说是牛顿对力学发展的一个最具创造性的独到的贡献, 这
个定律的确立指出了每一个力都有其反作用力, 从而对力的概念作了完整的概括。这三个看
起来非常简单的物体运动定律作为一个整体是动力学的基础。这个基础, 从牛顿奠定之后又
成为近代动力学和天体力学研究的基本出发点, 因此得到物理学家, 甚至所有科学家和自然
哲学家的极大重视。
1.3万有引力定律
在引力问题上, 牛顿在观念上肯定了地球上的重力与天体间引力的同一性, 这在科学史上有特别重要的意义。他从建立总的力学体系出发, 排除次要因素, 发挥他高超的数学才能处理变量问题, 在前人已知引力平方反比定理的基础上, 把向心力与物体天体的质量联系起来,并利用了他的反作用定律, 从而推广为普适的万有引力定律峡。利用万有
引力理论, 人们发现了海王星、冥王星, 解释了今后几百年内极多的地面现象与天体现象, 例如哈雷慧星、地球的扁形等。定律经过了实践的严格检验, 得到了全世纪的公认。直到今天, 万有引力定律仍是最精密可靠的基本定律之一, 也是天体力学和宇宙航行计算的基础。
牛顿的功绩及经典力学的创立对现代科学发展的影响和启示
恩格斯在谈到牛顿的成就时说, 牛顿“ 借助于万有引力定律而创造了科学的天文学, 借助于对光学的分解而创造了科学的光学, 借助于二项式定理和无穷级数理论而创立了科学的数学, 借助于对力的本性认识而创造了科学的力学” 。对牛顿的科学贡献作了极高的评价。牛顿是一位伟大的物理学家、数学家和天文学家。他一生的重要贡献是集十六、十七世纪科学先驱们成果的大成。以《原理》出版为标志创立了一个完整的经典力学理论体系, 把天地间万物的运动规律概括在一个严密的统一理论中, 正确地反映了宏观物体低速运动的宏观运动规律, 从而完成了人类文明史上第一次自然科学的大综合。以牛顿命名的力学是经典物理学和天文学的基础, 也是现代工程力学以及与之有关的工程技术的理论基础。此外, 为了说明天体现象和物理规律, 牛顿在数学上创建的微积分微积分之发明, 史学家也归功于莱布尼兹, 他们几乎同时创立了微积分学与微分方程, 为后来自然科学的发展提供了最为必要的思想工具和数学手段, 开创了数学发展的新纪元。同样, 牛顿在热学、光学、天文学等方面都做出了自己的卓越贡献。如同历史上一切伟大人物一样, 牛顿虽然对人类作出了巨大的贡献, 但他也不能不受时代的限制。他对那些暂时无法解释的自然现象归结为上帝的安排, 提出所谓“ 第一推动力” , 花费后半生的心血写出巧万字的神学著述。牛顿虽然有这样或那样的缺点或不足, 然而正是经典力学的建立表明了一个新时代和新科学文明的到来。
牛顿是近代理论物理学的创始人, 他所建立的力学理论体系不仅能说明已有的理论已经说明的现象, 更重要的是, 经典力学理论能预见到新的物理现象和物理事实, 并能以天文观测或实验证实它们的正确性。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁教授在谈到物理学发展时曾指出物理学发展的动力有两个, 一个是实验, 另一个是物理学本身的结构。理论物理学是以实验为基础的, 没有实验, 没有对客观现象的分析和研究就不可能有物理学的发展。和经典力学体系相应的是, 牛顿建立了研究自然科学的新方法。他站在巨人的肩上以培根的实验归纳方法为基础, 又吸收了笛卡儿的数学演绎体系, 形成了他的比较全面的科学方法通过实验和观察即分析现象, 然后加以概括和总结为普遍法则即综合方法, 启开了实验科学的大门, 使作为实验科学的物理学形成了一个光辉的体系。这已成为人类认识事物本质的智能体现和重要的方法论之一, 三百年来为自然科学的繁荣立下了不朽功勋。
牛顿的经典力学体系和他的方法论使物理学在十八、十九世纪期间得以迅速发展, 并成为那时理论物理学的纲领或规范, 直到麦克斯韦电磁理论诞生, 人类对客观世界的认识扩展到电磁领域, 提出电磁场概念。这也可以认为是牛顿引力场理论的一次重大飞跃。量子力学和相对论的建立以及人们对自然过程的物理认识都可以看作是牛顿思想的一种系统的发展。
牛顿是位伟大的科学家。他在自然科学史上占有独特的地位, 给两个多世纪的自然科学的
内容和结构打上了自己的烙印。他的经典力学体系所奠定的物理基础和方法启迪了人们征服
自然的无穷智慧, 二百多年来受到人们的高度崇敬。他的科学成就和哲学观点不仅对当时的学术界和思想界起着重大推动作用, 而且还影响了的后来的一些社会变革, 对现代化科学发展和社会进步都产生了极其深刻的影响。
参考文献
谷世义物理学史简编 天津和科学技术出版社,
陈毓芳, 邹延肃物理学史简明教程 北京师范大学出版社,
丁士章等简明物理学史 山西人民出版社,
周培源在纪念牛顿《原理》三百周年大会上的讲话 物理通报,
钱令希等中国大百科全书物理学 中国大百科全书出版社,
梅益等中国大百科全书物理学 中国大百科全书出版社,

议论文 牛顿的故事后感

大家都知道牛顿这个人物吧！他发现了地球有引力。今天，看了一篇作文，也是关于牛顿的。
　　作文中说牛顿他很喜欢工作，把别人休息时间来工作，可是弄得自己像一个“马大哈”，一天早上，牛顿要研究一个难题，他起得很早。管家怕他饿，就派了一个佣人煮鸡蛋，而牛顿要自己煮，佣人就把鸡蛋话在怀表旁。过了一个小时，佣人进来一看，牛顿在煮怀表。
　　我想：牛顿他为什么煮的是怀表而不是鸡蛋呢？去问妈妈，说：“牛顿并不是特意把怀表煮到锅里，而是他以为手里拿着的是鸡蛋，其实是怀表，佣人一看，牛顿煮的是怀表，这就是他认真工作引起的。
　　文章最后一段说，牛顿把精力都花在工作上，这种废寝忘食的精神值得大家学习。

牛顿出生在英国的一个农民家庭里。小时候他沉默寡言，而且学习成绩一般。但他从小就热爱读书，也很喜欢做手工。有一次牛顿带着一架自己做的小风车到学校给同学们看，有两个同学讽刺他，牛顿就把他们两个人打翻在地上。结果牛顿受到了老师严厉的惩罚，并被勒令退学，母亲也怪他不争气。这件事对牛顿的打击很大，于是他发奋读书，要为自己争一口气，不久他的成绩就开始直线上升，老师和同学不得不对他刮目相看了。

因为家庭经济条件不好，牛顿被迫辍学回家干农活。但是他却还是不放弃读书和科学实验。有一天下起了倾盆大雨，牛顿为了做他的实验，在狂风大雨里逆风、顺风地跳跃，浑身淋得像落汤鸡一样，他的妈妈心疼地将他强行拽回了家。在听了他的反复解释后，他妈妈决定让他重返校园。牛顿很珍惜这个机会，更加努力学习。不久他就考上了剑桥大学。

在大学里，他发现他的数学不好。于是他就制定了详细的三年计划，并认真地去完成，最后数学成为他最好的功课。凭着他的勤奋努力，最终他成为了历史上最伟大的科学家。

读完牛顿的故事后，我觉得我们应该学习牛顿的耐心和毅力。牛顿虽然是一名知识渊博的科学家，可是他也遇到了许多困难，但他从来不因为困难而退却，遇到挫折总是顽强地站起来。所以我们应向他学习不怕困难，勇往直前的精神！

联想到我自己，我虽然有非常好的学习条件，但是我却不知道珍惜。学习缺乏主动性，总是需要别人的催促；学习中碰到一点儿困难就大呼小叫，让别人帮忙，而不是积极地开动脑筋想办法。看了牛顿的故事后，我决定以后要养成独立学习的习惯，多动脑，勤练习，争取更大的进步。

走近百科全书式天才科学家：牛顿和他的微积分研究

艾萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家！高等数学的奠基人，万有引力的发现者，经典力学的开创者。

他的研究涉及物理、化学、天文、地理、哲学、经济和艺术，所学包括飞机制造、船舶设计、火箭导弹、现代建筑等众多领域，是迄今为止人类 历史 上绝无仅有的“百科全书”式天才。著有《自然哲学的数学原理》（现常简称作《原理》）、《光学》。伟大的法国科学家拉普拉斯写到：“《原理》是人类智慧的产物中最卓越的杰作。”

牛顿被誉为人类 历史 上最伟大的科学家之一。他的万有引力定律在人类 历史 上第一次把天上的运动和地上的运动统一起来，为日心说提供了有力的理论支持，使得自然科学的研究最终挣脱了宗教的枷锁。牛顿还发现了太阳光的颜色构成，制作了世界上第一架反射望远镜。拉格朗日经常说：牛顿是有史以来最伟大的天才。

据说小牛顿把风车的机械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上，然后在轮子的前面放上一粒玉米，刚好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不断地跑动，于是轮子不停地转动；又一次他放风筝时，在绳子上悬挂着小灯，夜间村人看去惊疑是彗星出现；他还制造了一个小水钟。每天早晨，小水钟会自动滴水到他的脸上，催他起床。他还喜欢绘画、雕刻，尤其喜欢刻日晷，家里墙角、窗台上到处安放着他刻画的日晷，用以验看日影的移动。

12岁左右牛顿被送进离家不远的格兰瑟姆镇的金格斯皇家中学读书。并成为了该校最出色的学生。在国王中学时，他寄宿在当地的药剂师威廉·克拉克家中，在这里，牛顿跟随克拉克接受了化学试验的熏陶。并在19岁前往剑桥大学求学前，与药剂师的继女安妮·斯托勒订婚。之后因为牛顿专注于他的研究而使得爱情冷却，斯托勒小姐嫁给了别人。据说牛顿对这次的恋情保有一段美好的回忆，但此后便再也没有其他的罗曼史，牛顿也终生未娶。

1665年，他发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学。同年，剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定。

牛顿的广义二项式定理适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线（两变量的三次多项式），为有限差理论作出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调和级数的部分和（这是欧拉求和公式的一个先驱），并首次有把握地使用幂级数和反转（revert）幂级数。他还发现了π的一个新公式。

1676年，牛顿首次公布了他发明的二项式展开定理。牛顿还利用它发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。

在1699年初，皇家学会的其他成员们指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布，一项调查表明了牛顿才是真正的发现者，而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来，发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写，因此该调查遭到了质疑。这导致了激烈的牛顿与莱布尼茨的微积分学论战，并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟，并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。

牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述，牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法，但在1693年以前他几乎没有发表任何内容，并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间，莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外，莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用，大约在1820年后，英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程，而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学，是因为他怕被人们嘲笑。

牛顿的微积分

1665年，牛顿开始考虑无穷小。他提出的问题是：假定我们知道物体在任意时间t内经过的距离是D(t)，如何得到任意时刻的速度？他提出对变速运动而言，任意时刻的瞬时速度是在该时刻的无穷小时间区间内经过的距离与时间区间的比值。引入符号o作为无穷小时间区间，牛顿定义时间t的速度为在时刻t和时刻t+o之间经过的距离与o的比值，即速度[d(t+o)-D(t)]/o。例如，如果D(t)=t

,那么D(t+o)=t+3ro+3to+o。由于o是无穷小，我们可能忽略正比于o和o的项，取D(t+0)=t+3to，于是D(t+0)-D(t)=3ro，由此得出速度是3r。牛顿称之为D(t)的“流数”，但后人称之“导数”，它是现代微积分的基本工具。

然后牛顿研究了曲线所围成图形面积的问题。他的回答是微积分的基本定理：必须找到一个量，其流数是描述曲线的函数。例如，我们已经看到，3x是x的流数，因此抛物线y=3x与x=0之间的面积就是x.牛顿称之为“反流数术”，如今被称为“积分”。

1666年，在担任数学教授之前，牛顿已经开始关于微积分的研究，他受到了沃利斯的《无穷算术》的启发，第一次把代数学扩展到分析学。牛顿真实的研究使用的是静态的无穷小量分析，像费尔马那样把变量看成是无穷小元素的集合。1669年，牛顿完成了第一篇有关微积分的论文《无穷多项方程的分析》。这篇论文当时在他的朋友中间散发、传阅，直到1711年才正式出版。牛顿在论文中不仅给出了求瞬时变化率的一般方法，而且证明了面积可由求变化率的逆过程得到。

接着，牛顿进行微积分研究第二阶段的工作，研究变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此他把变量叫做流量，把变量的变化率叫做流数。牛顿这阶段的工作成果，主要体现在成书于1671年的一本论著《流数法和无穷级数》。书中叙述了微积分的基本定理，并对微积分思想做了广泛而更明确的说明，但这本书直到1736年才出版。在书中，牛顿还明确表述了他的流数法的理论依据：“流数法赖以建立的主要原理乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，即数学量，特别是外延量都可以看成是连续轨迹运动产生的，而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的。”

他又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以（至少在理论上说）使之连续变小，直到比任何一个指定的量都小。”牛顿这里提出的“连续”思想以及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的。

牛顿进行微积分研究的第三阶段用的是最初比和最后比的方法，否定了之前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合，不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成，而认为它是由几何元素经过连续运动生成的。他也不再认为流数是两个实无限小量的比，而是初生量的最初比或消失量的最后比，这就从原先的实无限小量观点进入了量的无限分割过程，即潜无限观点上去。这是他对初期微积分研究的修正和完善。

牛顿在流数术中提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法），已知运动的速度求给定时间内经过的路径（积分法）。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固定量作为流量。不仅如此，他还把几何图形－线、角、体，都看作力学位移的结果，因而一切变量都是流量。

所谓“流量”就是随时间而变化的自变量，如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度，即变化率。牛顿所说的“差率”、“变率”就是微分。与此同时，他还在1767年首次公布了自己发明的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等。

牛顿指出，“流数术”基本包括三类问题：

第一类问题：已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学；

第二类问题：已知表示流数之间关系的方程，求相应的流量间的关系，这相当于积分学。牛顿意义下的积分学不仅包括求原函数，还包括解微分方程；

第三类问题：“流数术”的应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。

牛顿已完全清楚上述第一与第二两类问题中的运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到了“流数术”，因而有人把这一天作为微积分诞生的标志。

关于莱布尼茨的微积分，在另一边文章中将作介绍～