悖论论文研究

悖论论文研究

郭敦顒回答：
数学自古诞生以来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。在数学以外的瓴域，数学概念及其推论为重大的科学理论提供了精髓。
任何事物都含有矛盾，事物内部的矛盾性，推动着事物的发展，数学也不例外。数学是在发现矛盾解决矛盾中发展的。数学中的矛盾有个委婉的说法，叫做悖论。由数学的悖论导致了更严重的后果就是数学危机。而所谓数学危机，只是在数学内部数学家们出于对数学真理地严格探求精神下的对数学界的严厉警示而已。正是由于有了这种严厉警示，而解决了诸多悖论，推动了数学的不断发展。
数学史上出现过三次悖论与数学危机。
第一次数学危机发生于古希腊时期。是在当时毕达哥拉斯学派所倡导的是一种称为"唯数论"的哲学观点，认为一切事物和现象都可归结为整数或整数与整数之比，称为"数的和谐"。但后来在证明勾股定理时希帕索斯发现直角三角形斜边上的高x，存在
1：x=x：2，x=√2，
√2与整数并不成整数之比。于是"数的和谐"被打破了，导致了无理数的产生（无理数这一称呼沿用至今，虽然不雅，已约定成俗）。
第二次危机发生在17世纪，涉及的是微积分理论基础的问题，是由贝克莱悖论引起的。贝克莱指出在计算式
Δy/Δx
中无穷小Δx既不作为零进行计算，又作为零将其舍去这违反了矛盾律。无穷小如果是零就不能作除数，如果不是零，就不能舍弃。这就是著名的"贝克莱悖论"。这导致数学界的思想混乱，爆发了第二次数学危机。人们认识到虽然微积分是解决众多实际问题的良法，但缺乏严谨的理论基础。于是众多数学家为建立微积分理论基础的问题进行了不懈的努力。法国数学家柯西首先给出了极限的定义，继而建立了连续、导数、微分、积分等理论。
近代三个世纪以来笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、柯西、拉格朗日、阿贝尔、康托尔、费尔马、伯努力利家族、欧拉、拉普拉斯、希尔伯特等众多数学家为发展数学建立数学基础成就辉煌。
康托尔建立的集合论,成了数学的基础，然而英国数学家罗素提出了一个著名的 “理发师悖论”——小城里的理发师放出豪言：“我帮且只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸”。但问题是：理发师该给自己刮脸吗？如果他给自己刮脸，那么按照他的豪言“只为那些不为自己刮脸的人刮脸”他不应该为自己刮脸；但如果他不给自己刮脸，同样按照他的豪言“为城里所有不为自己刮脸的人刮脸”他又应该为自己刮脸。理发师悖论（Barber paradox）是罗素用来比喻罗素悖论的一个通俗说法，是由伯特兰·罗素在1901年提出的。罗素悖论的出现是由于朴素集合论对于元素的不加限制的定义。由于当时集合论已成为数学理论的基础，这一悖论的出现直接导致了第三次数学危机，也引发了众多的数学家对这一问题的补救，最终形成了现在的公理化集合论。同时，罗素悖论的出现促使数学家认识到将数学基础公理化的必要性
于是数学家们为致力于公理化做了大量工作，到1930年数学基础建立了三大学派；直觉主义、逻辑主义和形式主义，虽然还都存有缺陷，但毕竟都为数学的发展做出了重大贡献。
在三大学派中似乎主要由希尔伯特建立的形式主义学派略胜一筹，曾宣称解决了“相容性和完备性”的问题，然而1931年，奥地利数学家哥德尔（后移居美国）证明了两个不完备性定理，“揭示了形式主义化方法不可避免的局限性．”哥德尔不完备性定理是对排中律的否定，但是“如果存在一个矛盾，任何命题都是可以证明的”，这又揭示了哥德尔不完备性定理本身的局限性．
总之，虽然数学成就辉煌。但至今仍存在众多问题，而且是根本问题尚未得到解决，如数学定义和数的定义问题等等均未解决，这需要人们致力于数学研究，特别需要致力于数学基础的研究，希望有志者致力于其中。
为此，郭敦顒进行数学研究达40年，写出了论文《哥德巴赫猜想证明》、《数学纲领—微观数学与宏观数学》、《欧几里得几何平行线问题解》、《浅论反证法—活的泛性公理》等论文，于2008——2009年在博客中国郭敦颙专栏中已经发表。
《数学纲领—微观数学与宏观数学》的前几章也在百度发表；《哥德巴赫猜想证明》为百度快照收录。

关于开题会议发言稿

发言稿是参加会议者为了在会议或重要活动上表达自己意见，看法或汇报思想工作情况而事先准备好的文稿。以下是我为大家整理的开题 会议发言稿 ，供大家参考学习。

开题会议发言稿1

各位老师、同学：

下午好!我是 教育 科学学院x级教育学原理研究生：x。我的论文题目是：杜威道德教育思想中的悖论研究。我的 报告 内容分为5个方面即研究意义、概念界定、文献综述、研究思路与 方法 、参考文献。为何这样安排哪?我个人认为做一项研究首先应该明白为什么研究即研究的必要性，也是研究意义;其次就是研究中的核心概念的确定可以让一项研究不跑题，也是概念界定;再次就是看看前人对这个问题是如何研究的，也就是文献综述;然后就是自己如何来研究，也就是研究思路;自己的研究不是想当然的而是有依据的，这个依据就是参考文献。

首先，我谈一下研究意义，这个研究意义分为理论意义与实践意义。在理论意义方面，我认为此研究有两个方面的贡献。第一，此研究可以完善和深化人们对杜威道德教育思想的认识。第二，此研究用逻辑学中悖论的 逻辑思维 方法来解读杜威道德教育思想中的悖论，可以扩展道德教育的理论。在实践方面，主要改变人们对德育实效性低的新认识。长期以来人们认为德育实效性低归因于：德育目标政治化;德育内容教材化;德育方式僵硬化等。其实，早在苏格拉底对道德是否可教问题进行了探讨，如果把道德看为知识，那么就是可教的;如果把道德看为德性，道德就是不可教的;本研究主要探索德育自身存在着不可调和的矛盾而使德育低效。试图尝试改变外在条件解决这些矛盾，解决德育低效问题。

其次，概念界定。道德教育悖论是指：道德教育中的逻辑矛盾。这个逻辑矛盾指违反矛盾律要求而出现的一个事物的一种自相矛盾。那么什么是矛盾律哪?在亚里士多德那里，认为矛盾律是指：一个事物为真就不能同时为假;一个事物为假时就不能同时为真。那么例如：我这句话不是有十三个字组成。如果是指其他不是十三个字组成的 句子 ，肯定为真;如果指向自身时，我这句话就是十三个字组成。是真的呀;为何说它不是十三字组成哪?说他是假的哪?这就是一个基本的语义悖论。

再次，文献综述。由于没有前人对这方面进行过研究，我把文献综述分为两个部分杜威道德教育思想研究综述和道德教育悖论研究综述。在杜威道德教育思想中分为国内研究现状与国外研究现状。在国内研究中为三个阶段：1.从1919年4月30日，杜威登上中国上海土地开始到1949年，称为重视学习阶段;2.从1949到1978年为大规模批评阶段;3.从1978年到90年代为谨慎、学习阶段;4.从90年代至今，全面客观研究的崭新阶段。在国外对杜威的教育思想也分为四个阶段：1.从1896年创办杜威实验学校到1957年苏联人造卫星上天为重视肯定阶段;从1957年到1971年为批判、否定阶段;从70年代到80年代，为重新评估和学习阶段;从80年代至今为重新肯定阶段，国外厚达几十卷德《杜威全集》出版。关于道德教育悖论研究综述分为五个方面即：概念、产生的原因、悖论现象、悖论消解、小结。

最后，自己的研究思路与方法。主要读书，杜威哲学方面的书籍：分析哲学、数理逻辑、语言逻辑方面的书籍。这些书籍只是提供研究的方法。关键还是要用这些悖论的逻辑思维方法来分析比较杜威道德教育思想，从中分析其中的逻辑矛盾，然后用清晰的语言来解读难懂的悖论。主要的研究方法为：文献法与逻辑分析法。

开题会议发言稿2

今天是一个不错的日子，我们肥西二中语文等教研组申报的七个市级课题已获批并于今天开题，这七个课题是：语文教研组《新课标下语文教学生活化的探索》、英语教研组《全面渗透情感教育》、生物教研组《中学生物教学与生活实际相联系的研究》、物理教研组《围绕基础知识点，施行台阶式教学设计研究》、数学教研组《新课程下中学生数学学习兴趣的培养》、政治教研组《政治教学中指导学生优化学习策略》、历史教研组《新课程下中学历史教学的适应和有效性研究》

这在我们肥西二中来说有着里程碑的意义，是我们在“以研兴校、以研促教”的办学道路上迈出的一大步，更是一个新的起点。

我校由于历史的原因，办学条件简陋，基础比较薄弱，教育教研这一方面显得滞后。我们希望通过课题研究，搭建教师学习和研讨的平台，促进教师不断提高专业素养，培养一批专业素质过硬、勤于思考、善于钻研的教师队伍，并通过这些教师的引领，形成浓厚的教研氛围，促进教师不断提升自身素质，推动学校良性发展。

开题后，我们要做到以下几点：

1、提高认识，转变观念，增强教育科研责任意识，扎实做好研究工作。本次我们申报和确定的课题是基于促进教师专业化发展来考虑的，有明确的研究目标而不仅是一个科研课题，也不是以最后的鉴定成果为主要目的的，更不是为了评职称、评先进而获得资本，所以要高度重视研究的过程，优化研究的过程，切实把研究工作落实到行动中，扎实开展研究工作。

2、要把开展课题研究和教育教学工作的实践紧密结合起来，切实发挥课题实施对学校发展的促进作用。学校所开展的课题研究，首先是一种教育教学行为，然后才是科学研究行为，即做课题的目的是要研究教育教学，提高学校的办学水平，促进教师的专业发展，使之服务于学校教育教学质量的提高。教育科研并不是独立于教育教学之外的额外工作，而是立足于学校工作的实践、渗透于学校工作的方方面面、着眼于解决教育教学工作中的实际问题而展开的。所以各课题组要紧紧围绕学校工作的中心开展实验研究，要把课题研究作为解决实际工作中存在问题的主要途径，在实践中探索，在实践中提高，在实践中 总结 ，切实在课题的实施中服务于自己的本职工作，促进学校教育教学质量的提高。

3、要加强学习和教学 反思 ，提高自身的理论素养，促进专业化发展。 学校发展的关键是教师，素质教育的实施和教学改革的推行，迫切需求教师职业的专业化发展。“教师应成为研究者”是教师专业发展的方向。所以，在开展课题研究的过程中，我们要学习国内外相关的教育教学理论，尤其要掌握最前沿的理论信息来指导课题研究;要广泛查阅资料，了解目前关于这个课题研究的深度和高度，避免重复做别人已做过的事情;要加强教学反思，重视学习、实践、认识的积累和感悟，在课题研究中促进自己的专业化发展，逐步从一个普通的“教书匠”成长为一个乐于研究、善于研究的研究者。

4、要发扬团队精神，重视研究方法的总结和应用。各课题组的教学科研已经有了一个良好的开端，但艰辛的研究工作正等待着我们，研究过程中一定会遇到诸多的新情况，新困难。希望课题组的老师能团结协作，紧密配合，发扬团队精神;课题组成员要有明确分工，切实履行研究任务，加强交流合作。要做到各负其责，密切配合，分工而不分家，耐心细致做好研究工作。同时要注意科学的研究实验方法的运用和总结，避免少走弯路，提高研究的效果。

5、要拓展研究视野，广泛交流借鉴。课题组要根据课题研究和实践的需要，开展形式多样的研讨会、培训会、交流会、总结会;要采取走出去、请进来的方式广泛交流借鉴，拓展研究视野，对课题研究提供理论和实践支持。

我们学校从未承担过市级课题的研究，没有这方面 经验 ，我们课题组的所有成员还是第一次参加这种工作，我们的计划、方案还不完备。今后我们还要经常邀请教育局、教研室的领导及专家来校指导研究工作，以便使我们的工作做得更好。

我相信我们的课题研究工作在上级领导及专家的指导、帮助下，只要我们课题组成员同心协力，扎实工作，我们的目标就一定能实现!

开题会议发言稿3

十分高兴受邀参加z一中《有效课堂教学》和《特色班级管理》课题开题报告会。z一中作为我市的龙头学校，无论在管理方面还是在教育教学方面，都有亮点，很有特色，是一面旗帜。

夏校长经历丰富，对基础教育十分了解，是专家型校长，无论是工作目标、工作思路还是工作的方法、 措施 都非常清晰和具体。

大家知道，优质学校应体现在以下四个方面：先进的办学理念、科学的教育管理、高素质的教师队伍、培养出高质量的学生(品德高尚、素质全面、身心健康、有创新精神和实践能力)。大家都知道，课程改革也好， 毕业 班教学也好，教师的专业水平和综合素养是关键。同样一节课，不同教师上效果是不一样的，就是这个道理。那是因为不同的教师，他的教学经验、理论储备、知识积累、生活阅历、应变能力或者说驾驭课堂的能力是不一样的。所以，对教师的培养，特别是青年教师的培养都是学校的重点工作之一。市教育局，特别是高局长对骨干教师的培养，尤其是对发挥名师的示范、引领作用十分重视。上个月在城南中学召开了全市“名师工作室”建设现场促进会议，要求省示范学校，有条件的重点学校都要积极申报市级“名师工作室”，希望z一中在这方面带个好头。

我所了解，我市各校包括z一中都十分重视对青年教师的培养，也有很多好的做法和经验。比如，青蓝工程(拜师结对)，校本培训，校本教研，对青年教师提出几个一，给他们压担子，委以重任等等。我认为开展课题研究是培养青年教师，提升教师整体素质，提高教育教学质量最有效最捷径的途径之一。当然开展课题研究不仅仅在于取得了什么成果，更重要的在于研究的过程。通过课题研究，可以聚合一批人，锻炼一批人，培养一批人，推出一批人。它可以成就一批善于学习，勤于反思，勇于实践，敢于创新的教师。如果学校坚持开展课题研究，不断提高教科研水平，并将研究成果转化到学校日常的管理和教学上，就能够使得“学校有品位，教师有风格，学生有特长，办学有特色”。这也是很多名校成功的做法所证明了的。

当然，我们开展的研究，多数属于行动研究(问题研究)，以解决本校、本班、本学科的具体问题，这是对的。但也要思考带有共性的问题，如课堂教学的效率与质量问题(有效、高效)，学生的管理包括班级管理问题，学生的教育包括心理健康教育问题等等。z一中这次开展的两个课题研究，我认为很有针对性，各位老师、各位班主任都可以参与研究，大家可以从不同角度，不同的方面进行研究和探索，最后形成大家认可的、具有指导性的研究成果。而且，在研究的过程中，逐步形成学习、研究良好的浓厚的教科研氛围，使得教师们把学习、研究当作工作和生活的必需。在家长和社会心目中，形成这样的深刻印象，那就是“学校高雅，教师儒雅，学生文雅”，充满生机，和谐自信，高水平，高质量。

希望大家在今天的开题会议后，积极地行动起来，把着眼点放在理论与实践的结合上，把切入点放在不断改进 教学方法 上，把生成点放在改革创新的精品意识上。以问题为动力，以课题为载体，以效益(质量)为中心。也希望学校在开展研究的同时，注意收集、学习借鉴外地成功的经验，比如有效教学，z县从小学到高中坚持了四五年研究，属于国家级课题实验，并已结题。2019年市政府在z县召开过现场会，参加会议的有各县区分管教育的领导、教育局长、基教科长、教研室主任以及各省市示范高中校长和部分小学、初中校长。规格高、效果好。霍邱县在部分学校开展的“新教育”实验研究，也是国家级课题，2019年全国现场会在霍邱县召开，影响很大。

有效教学提出也好， 高效课堂 提出也好，并不是新课程改革这几年才提的，而是已经提了好几十年。因为，我们做过老师的都知道，教学上的最大的效益在课堂，最大的浪费也在课堂。如何进行课堂教学改革，充分发挥课堂教学效益，进而提高学习质量，这是我们每年都要在教学工作会上提出的，道理都十分清楚。但具体怎么改，怎么做，各有各的说法和做法。俗话说“教学有法但无定法”，课堂教学改革可以说“仁者见仁，智者见智”。

z县进行的有效课堂教学实验，无论是在理论层面上，还是在实践操作层面上以及所取得的效果来看，都是符合新课程理念和实施要求的。他们进行的有效教学的理念就是“先学后教，问题评价”以及“教师为主导，学生为主体，训练为主线”。我个人理解就是“以学定教，先学后教，以教促学”。老师通过导学案(单)的设计，将“知识问题化，问题层次化”。教师在备课时必须要做到备教材、备教法、更要备学生。而且课堂教学的模式也发生了变化，自主学习，合作交流，总结检测，很有新意，效果也很好。希望大家抽时间去了解一下。

最后，我相信，有夏校长和各位领导的高度重视，有z一中教师多年积累的经验，开题很顺，研究也会很顺，更相信必定会结出丰硕的研究成果。

占用大家时间，谢谢大家!

开题会议发言稿4

尊敬的各位领导、专家、各位老师：

大家好!

在这丹桂飘香，秋高气爽的美好季节，我校隆重召开课题研究开题报告会。这是我校教育科研工作中的一件大喜事。非常感谢各位领导、专家亲临开题报告会，这是对我校课题研究工作的信任和支持，也是对我校课题研究组成员的鼓励和鞭策。今天的课题研究开题报告会，是白中课题组成员进行更深入的教育科研工作的良好开端。在此，我谨代表白泽湖中学和全体课题组教师对莅临白中的各位领导、专家表示衷心的感谢。

课题研究是项意义深远的教育科研工作，旨在通过教师课题研究的过程，共同探讨各学科教师的教学技艺对学生能力培养的影响，促进教师在不断实践、反思、再实践的过程中积淀教育经验，分享教学智慧，更好地提升课堂教学的实效性。引导教师在理性地思考中归纳总结出符合学生年龄特点的教育策略，提升教育教学的实效。

课题研究是学校提升办学品味的必由之路。目前白泽湖中学正在争创省示范，课题研究是学校升格、教师升职的重要台阶，也是学校组织教师有效提高办学质量的重要推手。

开展课题研究有利于教师的个人成长。课题研究的过程是教师分享教育生命，感受教育幸福的过程，是教师职业价值的精彩绽放。在研究过程中,教师以理论学习为先导，以探索实践为重点，把敬业爱生溶到了提高课堂教学质量之中，在课题研究中形成了自己的特色，积累了较多的卓有成效的做法和经验，既丰富和推进了研究，又丰富和提高了自己，以艰辛的付出换回了丰硕的成果，也为学校的教育科研注入了新的活力。

开展课题研究可以促使教师更清楚地意识并思考自己的教育理念，并自觉地选择更科学的教育理念去改进自己的教育手段和教学方法，进行反思教学。育人为本，科研先行。有没有高规格、高质量的课题研究成果，这是衡量一所学校教育教学研究水平高低的重要标准。因此，争出高规格、高质量的课题研究成果已经成为我校教育科研工作的奋斗目标。在当前实施新课程改革的大好形势下，我校语文组和政治组申报的课题研究顺利开题，是我校继数学组省级课题开题之后教学研究工作的又一次突破，必将进一步提高我校的教育科研水平。

希望课题组全体教师明确肩上的光荣责任和各自的研究职责，再接再厉，不断探索，不断突破，在今后的一年里，发挥才智，奉献汗水，圆满完成课题研究工作，以丰厚的科研成果，回馈各级领导、各位同仁的热忱期待，期待各位同志在课题研究的过程中人人争当教研骨干，不断更新教学观念，改善教学行为，使自己真正成为教学和教学研究的主人。预祝开题成功，课题研究圆满成功!谢谢!

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研究悖论有什么意义？

“……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”
——N·布尔巴基

什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。

希帕索斯悖论与第一次数学危机

希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。

在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。

毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

欧多克索斯

二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

贝克莱悖论与第二次数学危机

第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。

贝克莱主教

1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将 x 取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。

牛顿与莱布尼兹

针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？

“向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。

无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？

当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到

1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)

后，令 x = －1，得出

S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！

由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音，把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。

柯西

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。

柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年，另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。

罗素悖论与第三次数学危机

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

康托尔

可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。

罗素

其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。

以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。
参考资料：

柏克松悖论

伯克松悖论 是医学统计中的一种 偏差 。当不同个体被纳入研究样本的机会不同时，研究样本中的两个变量 X 和 Y 表现出统计相关，而总体中 X 和 Y 却不存在这种 相关性 。这一现象便是伯克松悖论。

伯克森悖论 是美国医生和统计学家约瑟夫·伯克森在 1946 年提出的一个问题。他研究了一个医院中患有糖尿病的病人和患有胆囊炎的病人，结果发现患有糖尿病的人群中，同时患胆囊炎人数较少；而没有糖尿病的人群中，患胆囊炎的人数比例较高。这似乎说明患有糖尿病可以保护病人不受到胆囊炎的折磨，但是从医学上讲无法证明糖尿病能对胆囊炎起到任何保护作用。他将这个研究写成了论文《用四格表分析医院数据的局限性》 [1] ，并发表在杂志《生物学公报》上，这个问题就称为 伯克森悖论 。

伯克森悖论产生的最主要原因是：文章中统计的患者都是医院的病人，从而忽略了那些没有住院的人。

幸存者偏差指的是当取得资讯的渠道，仅来自于幸存者时，此资讯可能会与实际情况存在偏差。

幸存者偏差，是由优胜劣汰之后自然选择出的一个道理：未幸存者已无法发声。 [1] 人们只看到经过某种筛选而产生的结果，而没有意识到筛选的过程，因此忽略了被筛选掉的关键信息 [2] 。

与幸存者偏差类似，数据的筛选还导致 “ 伯克松悖论 ”，以及电话民调偏差等。

1941年, 第二次世界大战 中，美国哥伦比亚大学统计学沃德教授(Abraham Wald)应军方要求，利用其在统计方面的专业知识来提供关于《飞机应该如何加强防护，才能降低被炮火击落的几率》的相关建议。沃德教授针对联军的轰炸机遭受攻击后返回营地的轰炸机数据，进行研究后发现：机翼是最容易被击中的位置,机尾则是最少被击中的位置。沃德教授的结论是“我们应该强化机尾的防护”，而军方指挥官认为“应该加强机翼的防护，因为这是最容易被击中的位置”。

沃德教授坚持认为： (1)统计的样本，只涵盖平安返回的轰炸机； (2)被多次击中机翼的轰炸机，似乎还是能够安全返航； (3)并非是机尾不易被击中，而是因为机尾被击中的飞机早已无法返航，寥寥几架返航的飞机都依赖相同的救命稻草— 引擎尚好。 军方采用了教授的建议，并且后来证实该决策是正确的，看不见的弹痕却最致命。 这个故事被后人用一个词语概括——幸存者偏差

论诺斯的国家悖论 简单点的论文该怎么写？急~~~

首先，在我国向市场经济转轨过程中，政府要实现的目标函数，主要包括充分就业、社会稳定、经济增长、社会发展，本质上是公平与效率，实现二者的有机结合是政府的最终施政目标。公平与效率存在永恒的矛盾，任何把握二者各自的“度”，考验着各国政府的决策能力与水平。任何政府都必须通过实现“公平”的政策来保持社会的稳定，但这往往会以牺牲效率为前提。这是“国家悖论”最一般意义上的表现。
其次，我国财政主张是“分灶吃饭”，税收也分为国税与地税。这刺激地方政府的积极性，但是也带来了负面影响，是增加了地方政府的独立性，形成大大小小的“诸侯经济”，各地各样的地方保护主义盛行，不利于全国统一市场体系的形成。当地方利益与国家利益冲突时，牺牲国家利益现象普遍，“跑部寻租”现象屡禁不止，从根本上影响国家经济的增长。
第三、政府不仅是社会经济的管理者，也是国有资产的所有者，这种“裁判员”与“运动员”集一身的二元身份导致政府在决策时陷于两难困境。作为社会经济的管理者必须凌驾于社会所有的阶层之上，制定出对所有经济者一视同仁的政策。但作为国有资产的所有者与经营者，又必须保证国有资产保值增值。各种“父爱主义”的保护，扶持国有资产的政策都有可能出现，这好像是支持国有企业的发展，实质上是保护了一些落后的国有企业。阻碍了整个经济效益的提高。
第四，在干部考核、选拔制度上，往往要求地方政府干部在任期之时出政绩，同时又要求一定数量的选票。因此不少地方干部置社会长远利益与根本利益而不顾，追求短期利益与短期行为，或者地方利益、眼前利益迎合某些群众心理。从而制约了经济增长，这又产生了“国家悖论”。如，从理论上讲，经济增长与可持续发展之间的矛盾并不难解决，但我国二十几年的经济增长中的这个矛盾却始终得不到解决。
第五，政府公务员也是“经济人”，他们在为政府工作时也要求最大限度的实现劳动力的价值，这在市场经济条件下有一定的合理性，但我们长期以来对政府公务员实行的都是普通的工资，导致他们的劳动力价值不能实现，导致他们对工作的热情不高，同时腐败现象也层出不穷。