有理数毕业论文

有理数毕业论文

浅谈数学中的研究性学习 （转，供参考）找个自己感兴趣的题目去写，参考范文！ 现代社会知识更新的速度不断加快，在高中阶段，对学生传授的知识是有限的，学校教育不可能让学生学的知识用上一辈子。人们在获得生存与发展中所面临的问题越来越具有社会性、复杂性和不可预见性，人们所必需的知识范围与能力素养的范围急剧扩大。而作为一名数学教师我们有责任引导学生从数学的角度分析社会生活和实践活动中的问题、开展探究活动，让学生在获得必要的数学知识与技能的同时，认识知识探究与问题探索的基本方法和途径，提高参与社会生活的探究、发现和改造等一切活动中进行决策的基本能力。 一、 正确的认识是开展数学研究性学习的基础 弄清概念：什么是数学研究性学习 数学研究性学习是培养学生在数学教师指导下，从自身的数学学习和社会生活、自然界以及人类自身的发展中选取有关数学研究专题，以探究的方式主动地获取数学知识、应用数学知识解决数学问题的学习方式。它同社会实践等教育活动一样，从特定的数学角度和途径让学生联系社会生活实例，通过亲身体验进行数学的学习。数学研究性学习强调要结合学生的数学学习和社会生活实践选择课题，学生从自身数学学习实践出发，找到他们感兴趣的、有探究价值的数学问题。开展数学研究性课题学习将会转变学生的数学学习方式，变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“研究性学习”，它有利于克服当前数学教学中注重教师传授而忽视学生发展的弊端，有利于调动学生的研究热情，激发学生的求知欲和进取精神，从而有效提高学生对数学的探究性学习能力、实践能力、创造能力和创新意识。 数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学和现实问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。 二、如何进行数学研究性学习 数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。古希腊哲学家德谟克利特曾经指出：“教育力图达到的目标不是完备的知识，而是充分的理解。”我国古代教育家说得更精辟且形象：教学中应“授之以‘渔’”，而不仅是“授之以‘鱼’”。数学研究性学习更加关注学习过程，然而老师又如何让学生在数学课堂上进行研究性学习呢？ （一） 从教材切入让学生在数学家探索数学规律的研究思维过程中体验研究性学习 ?在高中数学教材中有大量的材料可切入研究性学习的探索。在课堂教学中，教师应把握住“遵循大纲、教材，但又不拘泥于大纲、教材”的原则，结合生产、生活实际适当地加深、加宽，选出探究的切入点，对学生创新意识和能力进行初步培养。如：在讲复数的概念的引入时，告诉学生数的发展是由生产与生活的需要和解方程的需要推动的，是科学实际和生产、生活相结合的产物，然后要学生：解方程： 。学生一定会说无解或无实数解，教师引导学生分析“无解”和“无实数解”的区别，要学生探讨是不是有什么新的东西？如果有应该是怎样的？学生会通过探求及讨论发现此方程的解有但不是实数从而就会想到是虚的，教师要求学生用已有的方法求出方程的解，学生往往会感觉困难，教师就要问学生为什么困难？学生会说无法求，教师要求学生探求一个新的东西出来解决。 通过问题的层层揭示，并通过联系数的开方知识、解方程知识等手段来突破难点。这一过程使学生亲历数学研究之中，是学生主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。这一过程能充分调动学生的参与意识，培养学生的探索精神，启迪学生的思维，使学生能自然地掌握知识。 教师引导学生把提出的新东西进行归纳、总结，上升到理论。然后提出新的问题。如上面这节课对要求学生：解方程：x3-1=0.这样处理能再次将理论和实践结合起来，使学生感悟到在数学学研究中理论和实践之间的辩证关系。课后教师可以再布置几个探究性思考题，让学生在课外进一步巩固课堂上的探究方法和思路，拓展和活跃学生思维。 指导学生进行一题多解和一题多变也是一种研究性学习的方法。 这样以数学教材为载体渗透研究性学习，有一定的灵活性能更好的培养学生探求规律的能力。数学知识探索是数学学习的核心，用类似科学的研究方式，让学生置于探索和研究的气氛之中，亲身参与研究，体会知识及规律的探索方法，提高学生发现和解决问题的能力。 （二） 把握教材例、习题的潜在功能，有效培养学生的研究性学习能力 数学知识由纷繁复杂的客观世界抽象而来，研究性学习能力是学习数学知识的必要条件。很多教师都有一个发现：在学习单个知识时，学生似乎学得不错，但学完了多个知识或一个系统后，却变成简单的题目都不会，这除了综合能力不高外，还与平时没有养成研究性学习有关。像二倍角公式的理解就不能只知道2α是α的二倍角，类似的：4α是2α的二倍，α是的二倍， 例如：已知Sin= ,? ?, 求4的三角函数值。 分析：由，两次运用二倍角公式；又如：Cosα=2Cos 2? ?- 1 = 1 – 2Sin2 ???????? ?Cos 2? ??=? ,? Sin2 ?= ?????? ????tan2 ?= 这实际上是二倍角公式的逆向运用，得到的半角公式（或降幂公式）。有了对例题的深刻理解和研究性学习就能解决一类问题，如求的值；化简等。 通过变式、逆用、一题多解等训练思维的深度，引导学生不满足表面知识，能深入钻研问题，探求各种知识的联系，从而找到解决问题的本质和规律。 在教学上要鼓励学生敢于主动、独立的发现问题、探讨问题，敢于提问，敢于发表自己的不同观点，例如：在△ABC中 ，，求CosC值，可我在批改作业时，没有考究教材参考资料提供的答案（实际上只有），结果把正误答案颠倒。发现错误后，我主动向全班同学道歉，并表扬了善于研究思考、敢于坚持真理的同学。并及时提出新问题：（1）在△ABC中若 ，，求CosC值。有几个解？（2）在△ABC中，成立吗？作为留给学生的课外研究性学习题。学习了正弦定理后，再回头证明。通过这一问题的深刻探讨，不但使学生牢固掌握知识，更大大提升了学习的自信心和学习的热情，在潜移默化中培养了学生的科学态度和研究性学习精神。在学习等比数列前n项和知识时，有一题是：在等比数列中：已知 。在求解过程中学生得到了：? ，进一步发现：成等比数列 ，这就是研究性学习所得的成果，继续引导这一结论并推广就就可完成下面一题。证明：等比数列的也成等比数列。学生们总结前面的学习也较顺利地完成了证明，心理充满了成功的喜悦。真的没有漏洞吗？鼓励学生进行研究性学习探讨其严谨性，有学生举出了反例：数列 1，-1，1，-1……是公比q= -1等比数列，但 ，并不是等比数列；这一发现令人吃惊，因为在课本和其他所有的课外书都没有此说法。从理论上讨论：当，显然当n为偶数且q= -1时， ，不可能为等比数列。由此可见数学研究性学习的重要。 （三） 数学开放题与研究性学习 ??? 研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类。作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥。实践证明，数学开放题用于研究性学习是合适的。 自70年代日本、美国在中小学教学中较为普遍地使用数学开放题以来，数学开放题已逐渐被数学教育界认为是最富有教育价值的一种数学问题，因为数学开放题能够激起学生的求知欲和学习兴趣，而强烈的求知欲望浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力。80年代介绍到我国后，在国内引起了广泛的关注，各类刊物发表了大量的介绍、探讨开放题的理论文章或进行教学实验方面的文章，并形成了一个教育界讨论研究的亮点。 高考命题专家也敏锐地觉察到开放题在考查学生创新能力方面的独特作用，近几年在全国和各地的高考试题中连续出现具有开放性的题目。 数学开放题体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，数学开放题体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态，数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感。因此数学开放题用于学生研究性学习应是十分有意义的。 1、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 2、一道排列组合题的解法探讨及延伸 3、整除与竞赛 4、足彩优化 5、向量的几件法宝在几何中的应用 6、递推关系的应用 7、坐标方法在中学数学中的应用 8、小议问题情境的创设 9、数学概念探索启发式教学 10、柯西不等式的推广与应用 11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用 12、一道高考题的反思 13、数学中的研究性学习 15、数字危机 16、数学中的化归方法 17、高斯分布的启示 18、 的变形推广及应用 19、网络优化 20、泰勒公式及其应用 21、浅谈中学数学中的反证法 22、数学选择题的利和弊 23、浅谈计算机辅助数学教学 24、数学研究性学习 25、谈发展数学思维的学习方法 26、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法 27、数学教学中课堂提问的误区与对策 28、中学数学教学中的创造性思维的培养 29、浅谈数学教学中的“问题情境” 30、市场经济中的蛛网模型 31、中学数学教学设计前期分析的研究 32、数学课堂差异教学 33、浅谈线性变换的对角化问题 34、圆锥曲线的性质及推广应用 35、经济问题中的概率统计模型及应用 36、通过逻辑趣题学推理 37、直觉思维的训练和培养 38、用高等数学知识解初等数学题 39、浅谈数学中的变形技巧 40、浅谈平均值不等式的应用 41、浅谈高中立体几何的入门学习 42、数形结合思想 43、关于连通性的两个习题 44、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学 45、情感在数学教学中的作用 46、因材施教与因性施教 47、关于抽象函数的若干问题 48、创新教育背景下的数学教学 49、实数基本理论的一些探讨 50、论数学教学中的心理环境 51、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则 52、不等式证明的若干方法 53、试论数学中的美 54、数学教育与美育 55、数学问题情境的创设 56、略谈创新思维 57、随机变量列的收敛性及其相互关系 58、数字新闻中的数学应用 59、微积分学的发展史 60、利用几何知识求函数最值 61、数学评价应用举例 62、数学思维批判性 63、让阅读走进数学课堂 64、开放式数学教学

急求数学论文一篇

　　第
　　25卷 第
　　2期
　　自然辩证法研究
　　Vol. 25, No.2

　　2009年
　　2月

　　Studies in Dialectics of Nature

　　Feb. , 2009

　　文章编号
　　:1000 -8934 (2009) 02 -0025 -05

　　穆勒的算术哲学

　　宋 伟

　　(湖北大学哲学学院
　　,武汉
　　430062)

　　摘要
　　:穆勒的算术哲学包含两个方面的内容
　　:一方面是对先天论几何观和唯名论算术观的批判
　　;另一方面是对
　　数的性质和数的形成方式的阐明。尽管这种算术哲学通常被认为具有一种“极端的”或“狭隘的”经验主义特征而受
　　到弗雷格和胡塞尔等人的严厉批判
　　,但这些批判本身也都面临着各自的困难
　　,而这使得穆勒的算术哲学至今都不能

　　被彻底抛弃。
　　关键词:穆勒;算术哲学;数
　　中图分类号:B5504 文献标志码:A
　　收稿日期:2008 -10 -27
　　哥德尔( Kurt Gêdel)在《数学是语言的语法
　　吗?》一文中指出:“经验主义数学观的信条显然是
　　说,归根结底一切知识都是基于(外在的或内在的)
　　感观知觉,我们并不具有一种对某个抽象数学对象
　　领域的直观,而且既然由于数学的先天确定性,这样
　　一个抽象对象领域并不能由经验上得知,所以必须
　　假定它根本不存在”〔1〕335n。穆勒(Jo hn S. Mill)的数
　　学观就具有哥德尔所指出的这种经验主义信条的典
　　型特征,而且由于穆勒坚持认为归纳是一切科学的
　　基础,因而他还进一步否认了数学具有任何的“先天
　　确定性”。这种通常被称为“极端或狭隘的经验主
　　义”的特征在穆勒的数的观念中得到了充分的体现,
　　为了表明这一点让我们首先看看他是如何针对“先
　　天论”的观点对两种先天论几何观进行批判的。
　　1 对先天论几何观的批判
　　先天论的几何观通常存在着两种反对经验论观
　　点的论证。
　　第一种论证:如果有人认为“两条直线不能围成
　　一个空间”这一命题可由感观知觉得到,那么他就必
　　须要实际观察到或感觉到两条直线无论延伸到多远
　　都不会相交这一事实,但他怎么能跟随两条直线到
　　无限远的地方呢?因此,除非人们对这一命题有不
　　同于感观知觉的证明方式,否则就根本没有相信这
　　一命题的理由。
　　第二种论证:几何公理都是普遍必然真的命题,
　　因为人们无法想象它们的反面,对它们的否定不仅
　　是假的而且是不可能的。经验不可能使任何几何命
　　题具有普遍必然真的特征,因为一方面,经验总是有
　　限范围内的经验,并不适用于普遍的情况;另一方
　　面,经验只是观察并记录所发生的什么,并不保证必
　　然要发生什么。因而,对普遍必然真的命题的证明
　　必须依赖于一种与经验无关的更高层次的方式。
　　针对第一种论证,穆勒认为,人们关于几何形式
　　的观念与引起它们的感觉完全相似,几何形式可以
　　与实在一样被描绘在人们的想像中,只要这些几何
　　图像足够精确,它们就可以显示出与实在同样的特
　　征,因而,只要思考直线的观念而不用实际观察到或
　　感觉到它们,人们就能够认识到“两条直线不能围成
　　一个空间”〔2〕154。按照这种看法,似乎可以想像当两
　　条直线在彼此分离又再次接近时,不管这发生在多
　　么远的地方,人们一定会在感观知觉上产生出一种
　　“曲线”而不再是“直线”的印象。只是这里要注意,
　　穆勒并不是说人们可以通过想像的直观(imaginary
　　int uition)来认识“两条直线不能围成一个空间”这
　　一命题,而是说想像的直线与真实的直线相似,人们
　　可以从想像的直线得出有关真实的直线的结论,这
　　一命题仍是一个来自观察的归纳结果。
　　对于第二种论证,穆勒主要针对普遍必然真的
　　命题的否定或反面的不可想像(inco nceivableness)
　　进行了批判。穆勒认为,并不存在什么人类天性所
　　普遍承认的事实,不可想像只是人们很难想像与长
　　期形成的熟悉的经验以及古老的思维习惯相矛盾的
　　东西,如当人们常常看到和想到两个东西在一起而
　　从没有分别看到和想到它们时,由心理的联想律就
　　作者简介
　　:宋伟
　　(1973 —),安徽临泉人
　　,湖北大学哲学学院讲师
　　,主要研究方向为科学哲学。

　　
　　自然辩证法研究 第
　　25卷 第
　　2期

　　产生了一种可能永远无法超越的分别想像两个东西
　　的困难〔2〕157。显然
　　,在穆勒看来
　　,将普遍必然性归之
　　于某些几何命题仅仅是人们心理联想律的作用
　　,这
　　种普遍必然性并不是什么先天的东西
　　,而是一种来
　　源于经验归纳的现象。

　　在对先天论几何观进行了上述批判后
　　,穆勒认
　　为有必要将这种批判带向另一个领域
　　,因为
　　“我们现
　　在所断定的并不能被认为对于演绎或证明科学普遍
　　成立
　　,除非将它们运用于所有科学中最卓越的数的
　　科学以及运算理论、算术和代数而得到证实”〔2〕166。
　　所以
　　,接下来我们就来看看穆勒如何将其经验论的
　　认识运用于数的科学。

　　2 对唯名论算术观的批判
　　在对数的认识中,存在着一种唯名论的或符号
　　论的观点,这种观点认为:数的科学的命题仅仅是言
　　语(verbal)表达式,数的运算过程仅仅是一个表达
　　式代入另一个表达式的简单语言转换。根据这种观
　　点,“2加1等于3”这一命题并不是一个真理,也不
　　是对一种实际存在的事实的断定,而是“3”这个符号
　　的一个定义,是一个人们同意用“3”这个符号来作为
　　“2加1”的记号的命题,以便用后者这一较长的短语
　　称呼的东西也能用前者来称呼。同样,在这一观点
　　看来,代数中最长的运算过程只是用等值表达式一
　　个代入另一个的一系列术语变化过程,或者说是同
　　一个事实从一种语言到另一种语言的翻译过程。
　　针对这种观点,穆勒指出:仅仅通过语言的人为
　　操作来发现事实和探究自然的隐秘过程是与常识相
　　悖的,而当用代数证明一个新的几何定理时如何解
　　释事实本身的变化正是这种观点的致命困难〔2〕166。
　　不过,唯名论者或符号论者可能会认为,人们在使用
　　算术或代数符号进行运算时并不带有任何观念(i2
　　deas) ,因为符号a、b等并不表示某个确定的线、角
　　或量,所以在人们的思想中就只有符号而没有观念。
　　对此,穆勒指出:这种情况只是反映了算术或代数运
　　算高度综合的本质及其语言的极端概括性,事物和
　　符号在其中相互转换的归纳过程在人们的思想中仅
　　仅是被隐藏起来了〔2〕167。
　　针对另外一种认为算术和代数命题仅仅是言语
　　符号的观点,即认为“2加1等于3”这类命题只是断
　　定了两个名称之间的指示( signification)相同,穆勒
　　反驳说,尽管“2加1”和“3”这两个名称指谓( de2
　　note)相同的东西,但它们的涵谓(co nnotation)却可
　　以不同,3个石子分成两堆和3个石子放在一堆在
　　人们的感官上会留下不同的印象,所以“2加1等于
　　西”〔9〕167。在穆勒看来,数都是对象或事物的名称,
　　“10”意味着10个东西或10种声音或10次心跳等
　　等,并没有脱离对象或事物的抽象的“10”存在。不
　　62
　　3”这一命题仍是人们根据以往的经验归纳出的一个
　　关于数的真理〔2〕168。当然
　　,穆勒进一步认为
　　,要是人
　　们愿意
　　,人们可以称命题
　　“3是
　　2加
　　1”为数
　　3的定义
　　并且象断定几何那样断定算术是一门建立在定义上
　　的科学
　　,只是这些定义是几何意义上的而不是逻辑

　　“
　　意义上的定义
　　,其所断定的不只是一个项的意指
　　(meaning) ,而且还有与这个项一起的一个被注意
　　到的事实”〔2〕168。

　　3 数的性质

　　基于以上这些认识
　　,穆勒得出结论说
　　:

　　“所有的
　　数都必须是某种东西的数
　　,没有抽象的数这样的东

　　过
　　,由于一切东西都有量
　　(quantity) ,都由可以被计
　　数的部分构成
　　,因而都具有一种可以被称作数的性
　　质
　　,所以
　　,数虽然必须是某种东西的数
　　,但却可以是
　　任意东西的数
　　,人们只需要想像一个被分成了
　　10等
　　份的东西就可以用
　　“10”这个数的性质来谓述它。对
　　此
　　,穆勒认为代数作了进一步的概括
　　,即“每个数都
　　表示事物的一种无区分的特殊性质
　　,而每个代数符
　　号则表示一切无区分的数”〔2〕167。具体来说
　　,只要人
　　们想像一个东西被分成了若干等份但并不确定是几
　　等份的时候
　　,就可以称这个“几”为
　　a或
　　x并且可将
　　其用于每一个代数公式而不会有犯错误的危险
　　,如

　　“2( a + b) =2 a +2 b”就是一个在一切情况下都为真
　　的命题
　　,只是这一命题的真并不是由于其中言语符
　　号自身性质的缘故
　　,而是由于其与事物的性质相符
　　合从而可由事物的性质来谓述的缘故。在求解一个
　　代数方程时
　　,其中连续进行的推论也是关于事物而
　　不是关于符号的推论
　　,因为像
　　“等量加上等量其和相
　　等”和“等量减去等量其差相等”以及其他以这两个
　　命题为基础的命题虽然运用于
　　a、b、x、y等符号上
　　,
　　但它们所说的是事物的性质而不是那些符号的性
　　质
　　,其中的每一步只有在与事物而不是与符号相关
　　时有关的证据才不会失效。

　　通过以上的论述可以看出
　　,穆勒坚决反对对数
　　作符号的和逻辑的这些抽象意义上的解释
　　,坚持认
　　为数有经验的根源
　　,这种认识显然与其几何观相一
　　致。也正因为如此
　　,穆勒试图进一步表明数的科学
　　在更多的情况下类似于几何学
　　,即算术中同样不存
　　在普遍必然真的命题
　　,归之于算术命题的必然性和
　　确定性同样是虚构的和假定的
　　,它们仅仅是在那些
　　命题从假设为真的前提合法推出的意义上来说的。

　　
　　穆勒的算术哲学

　　在穆勒看来,算术中的归纳命题可以分成两类:一类
　　是“1加1等于2”、“2加1等于3”等等这类可以从
　　几何学的意义上被看做定义的命题;另一类是“等量
　　加上等量其和相等”和“等量减去等量其差相等”这
　　两个算术公理。这两类命题似乎对一切对象都成
　　立,而从中推出的其他命题似乎也都具有绝对的确
　　定性。不过,穆勒认为,“只要再作进一步的思考就
　　会发现,在所有这些关于数的命题中都隐藏着这样
　　一个假设,即所有的数都是相同或相等单位的数,也
　　即是说1 = 1。但因为实际上的1磅①重与另1磅重
　　并不完全相等,1英里②与另1英里也不完全相等,
　　所以,包含无条件真和绝对精确性这两重概念的数
　　学确定性并不是所有数学真理的性质,而只是在不
　　假设数是实际量的准确标记(index)的情况下在更
　　广泛的意义上与量相区别的纯粹数(p ure Number)
　　的真理的性质”〔2〕169。正是基于这一认识,穆勒得出
　　结论说:“一切演绎科学的方法都是假设的方
　　法”〔2〕169。这一结论的得出显然是穆勒坚持其经验
　　主义几何观和算术观的一个必然结果。
　　4 数的形成方式
　　在论述了数的性质之后,穆勒认为:“在所有已
　　知的现象中,在最严格的意义上,惟独数的性质是所
　　有一切东西的性质。并不是所有的东西都有颜色、
　　重量和广延,但所有的东西都有数( numera2
　　ble) ”〔2〕146。在穆勒看来,数的定义与别的定义一样
　　由名称的说明与事实的断定两部分构成,在2、3、4
　　等数中每个数都各自指谓一组对象或一种物理现象
　　并涵谓那组对象或那种物理现象的一种物理性质。
　　对于这种物理性质,穆勒认为:“它是一种我们用数
　　的名称所称呼的对象的聚合(t he agglomeration of
　　t hings)的性质,这种性质是对象的聚合构成和分解
　　的特有方式”〔2〕400。具体来说,当一组对象被人们称
　　为2、3或4时,它们所涵谓的是单个对象为了产生
　　特殊的聚合( aggregate)而必须放在一起的方式。
　　以石子为例,如果人们称一堆石子的聚合为2 ,那么
　　这就意味着一个石子必须与另一个石子放在一起;
　　而如果称它为3 ,则意味着必须把一个石子加一个
　　石子再加一个石子放在一起,或者把一个石子与已
　　经存在的某个被称为2的石子聚合放在一起;对于
　　人们称为4的一堆石子聚合则有更多的形成方式,
　　可以把石子一个加一个地放在一起,也可以将两个
　　被称为2的石子聚合放在一起,或者将一个石子与
　　一个被称为3的石子聚合放在一起。依此类推,每
　　一个上升序列中的后继数都可以通过不断增多的方
　　式与较小的数相结合而形成。除此之外,还可以不
　　通过较小聚合的结合而是通过较大聚合的分解来得
　　到一个新的聚合,如3个石子可以从一个4的聚合
　　中去掉一个石子来形成;2个石子可以由一个4的
　　聚合的平分来形成,如此等等。由此可见,一个数的
　　形成方式可以有许多种,而且当一些数的形成彼此
　　关联时,人们完全可以根据它们的一种形成方式推
　　演出它们的其他形成方式,如当人们知道a从b和c
　　形成、b从c和d形成、c从e和f形成时,从中就可
　　以推演出a从c和d的形成方式、a从d、e、f的形
　　成方式以及b从d、e、f的形成方式。
　　在此认识的基础上,穆勒进一步认为:“每个算
　　术命题和每个算术运算的结果都是关于某个数的某
　　种形成方式的陈述”〔2〕400。对此穆勒举例进行了说
　　明,如当人们说“12的立方是1728”时,其中所断定
　　的是:如果有足够多的石子或别的什么东西,就可以
　　把它们放在一起形成一种被称为“12”的特殊的包
　　(parcel)或聚合,然后把以这种方式得到的多个被
　　称为“12”的特殊的包或聚合以相同的方式放在一起
　　形成新的聚合,最后再由12个这样的聚合构成一个
　　更大的聚合,最后的这个聚合就是一个人们称之为
　　“1728”的聚合。而相反的命题“1728的立方根是
　　12”则可以通过相反的方向分解出构成“1728”这一
　　聚合的被称为“12”的包或聚合。显然,对于包含特
　　殊的数的命题都可以进行类似的说明。不过,由于
　　代数学命题对所有的数都成立或者说对一切可以以
　　任意方式划分的东西都成立,那么对这类命题该如
　　何进行说明呢?对于这一问题,穆勒认为,考虑到不
　　同的数可以由相同的方式来形成,如9可以通过3
　　的“自身相乘”来形成,16可以通过4的“自身相乘”
　　来形成等等,所以可以通过对形成方式或者说函数
　　进行分类的方法来说明代数学命题〔2〕403。在穆勒看
　　来,任何一个由别的某个数形成的数都可以被称为
　　前者的一个函数,而有多少种形成方式就有多少种
　　函数,如通常的简单函数有加、减、乘、除、指数函数、
　　开方函数、对数函数、正弦函数、反正弦函数等,而其
　　他函数则由这些简单函数组合而成。在对函数问题
　　进行一般运算时,只要有一种能够用名称表达任意
　　数的命名法( nomenclat ure) ,就可以在不必指出那
　　些数具体是什么数的情况下而表明它们是其他数的
　　72
　　①
　　1磅
　　=014536千克。
　　②
　　1英里
　　=11 6093公里
　　
　　自然辩证法研究 第
　　25卷 第
　　2期

　　何种函数,或者说表明它们由其他数的形成方式,如
　　表达式a和2 a + 3 a分别指谓了任意一个数和由这
　　个数以一种特定方式所形成的另一个数;表达式a、
　　b、n和( a + b) n分别指谓了任意3个数和由这3个
　　数以一种特定方式所形成的第4个数。在数的科学
　　中,不同的形成方式可以得到相同的结果,如( a +
　　b) n既可以由( a + b)自身相乘n次来形成也可以通
　　过二项式定理由a、b、n直接形成,而“已知一个函
　　数,它是某个别的函数的何种函数?”则成了代数运
　　算的一般问题和目标。
　　5 弗雷格和胡塞尔的异议
　　对于穆勒的数的观念,弗雷格一方面认为穆勒
　　有一种合理的想法,即不是从分析的或综合的、后天
　　的或先天的角度来看待数的定律和数的公式,而是
　　象莱布尼兹( Gottf ried W. Leibniz)一样对单个的
　　数进行定义并进而希望将数的科学建立在定义的基
　　础上;但另一方面,弗雷格认为由于穆勒坚持一种先
　　入之见即所有知识都是经验的而使得上述那种合理
　　的想法遭到了破坏〔3〕9。通过对“数的公式是可证的
　　吗?”、“算术定律是归纳真理吗?”、“算术定律是先天
　　综合的还是分析的?”以及“数是外在事物的性质
　　吗?”这些问题的讨论,弗雷格在其《算术基础》一书
　　中对穆勒算术观中的一切经验因素进行了全面、深
　　入的批判并讥笑这种算术观为“小姜饼或小石子的
　　算术”〔3〕xix。在从集合的角度通过对“概念”(con2
　　cept)、“等同”(identity)、“一一对应”的讨论定义出
　　从0到∞的全部自然数并满怀信心地认为有理数、
　　复数也都可以还原为纯粹逻辑之后,弗雷格得出结
　　论说:“..数既不是一堆东西也不是这堆东西的一
　　种性质,同时也不是心理过程的一种主观产物,我们
　　的结论是:数的命题断定了概念所具有的某种客观
　　的东西。..很清楚,算术所研究的数绝不能被认
　　为是一种依附的性质,而是实体性的。这样,数作为
　　对象才能被反复认识到,尽管这不是作为物理的甚
　　或仅仅空间的对象,也不是作为我们通过想象而形
　　成的图像的对象”〔3〕115 -116。显然,弗雷格表明了一
　　种与穆勒完全相反的数的观念:穆勒认为数必须是
　　某种东西的数,是对象或事物的一种物理性质,没有
　　独立、客观的存在;而弗雷格则认为数是“概念”的数
　　(如属于“等于0又不等于0”这一概念的数是0) ,有
　　独立的存在。正是由于弗雷格和穆勒数的观念的这
　　种基本差异,导致两人对数的定律的认识也全然不
　　同。穆勒坚持认为数的定律是自然定律,象其他科
　　学定律一样是归纳的结果,因而可应用于外界事物;
　　而弗雷格则认为:“数的定律并不应用于外界事物,
　　它们不是自然定律。它们只应用于对外界事物有效
　　的判断:它们是自然定律的定律。它们并不断定现
　　象之间的联系,而是断定判断之间的联系,自然定律
　　就包含在判断之中”〔3〕99。
　　总的来看,弗雷格的算术观是与其所坚持的“把
　　心理的和逻辑的东西、主观的和客观的东西区别开
　　来”、“把概念和对象区别开来”以及“只在命题的语
　　境中而不是孤立地探讨语词的意指”这三条基本原
　　则相一致的,也完全表明了弗雷格希望在算术中彻
　　底摆脱一切心理的和经验的因素而仅仅由合乎逻辑
　　的纯粹理性来建立起整个数的科学的一种努力。只
　　是遗憾的是,在罗素悖论被发现之后,弗雷格不得不
　　承认他的这种努力彻底失败了。在其后期的一篇文
　　章《算术基础的新尝试》中,尽管弗雷格仍然坚持算
　　术证明中不需要求助于感观知觉并且坚持数的命题
　　包含对概念的断定,但却放弃了认为算术证明中不
　　需要求助于直观(int uition)的观点,同时希望能为
　　算术重新找到一种先天的几何学基础〔4〕278。只是这
　　样一来,弗雷格就不得不重新面对穆勒对先天论几
　　何观的批判了。
　　胡塞尔( Edmund Husserl)在其《算术哲学》一
　　书中对穆勒的数的观念也提出了异议。针对穆勒认
　　为数的定义中所断定的事实都是物理事实而象2、
　　3、4等等这样的数都各自指谓不同的可感知的物理
　　现象并涵谓那些现象的一种物理性质这种观点,胡
　　塞尔认为:“这种观点显然是错误的,人们肯定疑惑
　　一个穆勒级水平的思想家怎么会对此感到满意。无
　　疑,两个苹果与三个苹果可以在物理上区分开来,但
　　两个判断与三个判断或两种不可能性与三种不可能
　　性等等肯定不能进行这样的区分。因而,这些情况
　　下数的差别不可能是一种看得见摸得着的物理差
　　别。只要一提到完全可以象物理的东西一样被进行
　　计数的心理的行为或状态,穆勒的理论就被驳倒
　　了”〔5〕18。显然,胡塞尔在指责穆勒的数的观念只局
　　限于物理现象而忽视了同样可被计数的人的心理行
　　为或状态,因为一个明显的事实是,当人们谈论“两
　　个判断与三个判断”或“两种不可能性与三种不可能
　　性”时,其中的“判断”和“不可能性”并不是什么物理
　　现象而“两个”和“三个”也并不涵谓什么物理现象的
　　物理性质。确实,尽管穆勒认为“数可以是一切东西
　　的数”、“一切东西都有量”,但这似乎主要是针对物
　　理现象来说的,而对于心理行为或状态的可计数性
　　穆勒似乎并没有作出更多的说明。不过,通过上述
　　对穆勒数的观念的讨论,我们可以看出,穆勒虽然不
　　承认数有抽象的存在,但他似乎并不反对数有抽象
　　82
　　
　　穆勒的算术哲学

　　的即
　　“语言的极端概括性”意义上的应用
　　,只是要求
　　人们知道归根结底数有归纳的来源就行了。

　　针对穆勒认为数的命题中隐藏着一种假设即所
　　有的数都是相同或相等单位的数或者说
　　1=1这一
　　观点
　　,胡塞尔认为
　　:

　　“轻而易举就能反驳这种错误的
　　观点
　　,要求算术预设
　　1=1这一命题完全是弄错了算
　　术的意思。算术作为数的理论与具体的对象无关
　　,
　　而是与一般的数有关”〔5〕156。胡塞尔进一步解释说
　　:

　　“由我们的心理分析而来的单元的相同显然是一种
　　绝对的相同。事实上
　　,只要想到近似就会是荒谬的。
　　因为这是关于它们有具体内容这一事实的具体内容
　　的同一问题
　　,否认这种相同就是否认内在感知的明
　　证性
　　(evidence) ”〔5〕158。显然
　　,胡塞尔反对穆勒认为

　　们构造这样那样一些并不直接明了的数的特征时的
　　实际行为说什么。
　　..相反
　　,它们只关心具有抽象
　　纯粹性和理想性的绝对的数和数的组合。
　　..所有
　　这些命题没有一个可以还原为具有经验普遍性并且
　　能够毫无例外地应用于整个实际世界的命题
　　,即使
　　是在普遍性最宽泛的意义上也不行”〔6〕110。与弗雷
　　格相比
　　,胡塞尔也承认算术是一门先天的科学
　　,只是
　　在追求对数进行基于纯粹逻辑的理解上胡塞尔远远
　　没有弗雷格走得那么远。

　　较小的数的理解应当基于对
　　“同一”(identity)、
　　“某个东西”
　　( some2
　　t hing)、“多元”
　　(multiplicity)等这些更为直观的初始概念的理解
　　,
　　但是这些概念不可定义而只能进行心理分析。正是
　　基于这种认识
　　,胡塞尔在其《算术哲学》一书中不仅
　　对穆勒的数的观念进行了批评而且也对弗雷格按照
　　“一一对应”来定义数的做法进行了批评。不过
　　,在
　　接受了弗雷格批评他将概念和表象
　　(presentation)
　　混为一谈以及在对数的解释中求助于抽象
　　(abstrac2
　　tion)的做法之后
　　,胡塞尔就彻底转向了致力于消除
　　其算术观中的心理主义因素的方向
　　,这一点在其对
　　心理主义进行大力批判的《逻辑研究》一书中有充分
　　的体现
　　:算术命题与那些理想的单元有关
　　,..它

　　1=1是一种假设的观点
　　,而是认为
　　1=1是可以通”么
　　?这一问题的争论提供一些更为丰富的历史背
　　过心理分析而得到的一种无可置疑的结果。在胡塞景
　　,同时为理解现代各种具有经验主义特征但却不
　　尔看来
　　,人们对各种抽象的数的理解尤其是对一些
　　“单元”( unity)、
　　同于极端经验主义特征的数学观提供一种可供对比

　　通过以上对穆勒算术哲学的论述
　　,我们希望能
　　够详尽地展现一种极为朴素的数的观念或一种归纳
　　的数的解释理论或者说一种极端经验主义的算术观
　　以及这种观念或理论所面临的挑战,从而为
　　“数是什

　　“
　　们并不告诉我们任何实际的东西
　　,既不对被计数的
　　实际东西说什么
　　,也不对计数那些东西时或者为我

　　的参照。

　　参考文献

　　〔1〕Gêdel K. IsMathematicsSyntaxofLanguage?[M]//Col2
　　lected Works : Vol. 3. New York :Oxford University Press ,
　　1995.
　　〔2〕Mill J S. A System of Logic [M]. London: Longmans,
　　Green , And Co. , 1886.
　　〔3〕Frege G. The Foundationsof Arithmetic[M]. New York:
　　Happer & Brothers , 1960.
　　〔4〕Frege G. A New Attempt at A Foundation for Arithmetic
　　[M]// Posthumous Writings. Chicago: The University of
　　Chicago Press , 1979 :278.
　　〔5〕Husserl E. Philosophyof Arithmetic[M]. Dordrecht: Klu2
　　wer Academic Publishers , 2003.
　　〔6〕Husserl E. Logical Investigation:Vol.1[M]. New York:
　　Routledge , 2001.
　　Mill’s Philosophy of Arithmetic

　　SON G Wei

　　(Faculty of Philosophy , Hubei University , Wuhan 430062 , China )

　　Abstract :Mill’s philosophy of arithmetic consists of two parts: one is his critique of a priori views of geometry and that of nominalist views of
　　arithmetic,andtheotherishiselucidationonthenatureofnumberandthewaysofconstructionofnumbers. Itisordinarilybelievedtobepro2
　　videdwitha’narrow’or’extreme’empiricistcharacteristic. ButalthoughmanywritersincludingFregeandHusserlhavecriticizeditheavily,Mill

　　’s philosophy of arithmetic cannot yet been thoroughly put away , since the criticisms themselves have respectively encountered some difficulties.
　　Key words : Mill; philosophyof arithmetic; number
　　(本文责任编辑 费多益
　　)

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数学领域中的一些著名悖论及其产生背景

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