数形结合论文答辩

数形结合论文答辩

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.
●难点磁场
已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程 =|a－1|+2的根的取值范围.
●案例探究
〔例1〕已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.
错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.
技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.
(1)证明：由 消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4〔(a+ c2〕
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴ c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ ,x1x2= .
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得 ∈(－2,－ )
∵ 的对称轴方程是 .
∈(－2,－ )时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( ).
〔例2〕已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.

技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

∴ .
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组

(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)
●锦囊妙计
1.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法：
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n.
(2)当a>0,f(x)在区间〔p,q〕上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).
若－ <p,则f(p)=m,f(q)=M;
若p≤－ <x0,则f(－ )=m,f(q)=M;
若x0≤－ <q,则f(p)=M,f(－ )=m;
若－ ≥q,则f(p)=M,f(q)=m.
2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小 a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根 f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q) .
3.二次不等式转化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α )∪〔β,+∞ a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时，f(α)<f(β) |α+ |<|β+ |,当a<0时，f(α)<f(β) |α+ |>
|β+ |;
(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在〔p,q〕恒成立 或
(4)f(x)>0恒成立
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )
A.(－∞,2 B. －2,2 C.(－2,2 D.(－∞,－2)
2.(★★★★)设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
二、填空题
3.(★★★★★)已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间〔－1，1〕内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________.
4.(★★★★★)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)<f(1+2x－x2),则x的取值范围是_________.
三、解答题
5.(★★★★★)已知实数t满足关系式 (a>0且a≠1)
(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；
(2)若x∈(0,2 时，y有最小值8，求a和x的值.
6.(★★★★)如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.
7.(★★★★★)二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足 =0,其中m>0,求证：
(1)pf( )<0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.
8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

参考答案
难点磁场
解：由条件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－ ≤a≤2
(1)当－ ≤a＜1时，原方程化为：x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－ )2+ .
∴a=－ 时，xmin= ,a= 时，xmax= .
∴ ≤x≤ .
(2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+ )2－
∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12.
综上所述, ≤x≤12.
歼灭难点训练
一、1.解析：当a－2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a=2,当a－2≠0时，则a满足 ,解得－2＜a＜2,所以a的范围是－2＜a≤2.
答案：C
2.解析：∵f(x)=x2－x+a的对称轴为x= ,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),
∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.
答案：A
二、3.解析：只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p＜ 或－ ＜p＜1.∴p∈(－3, ).
答案：(－3， ）
4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0.
答案：－2＜x＜0
三、5.解：(1）由loga 得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3= ,�
∴logay=x2－3x+3，即y=a (x≠0).
(2)令u=x2－3x+3=(x－ )2+ (x≠0),则y=au
①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，
则u=(x－ )2+ 在(0，2 上应有最大值，但u在(0，2 上不存在最大值.
②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－ )2+ ,x∈(0,2 应有最小值
∴当x= 时，umin= ,ymin=
由 =8得a=16.∴所求a=16,x= .
6.解：∵f(0)=1>0
(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.
(2）当m>0时，则 解得0＜m≤1
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.
7.证明：(1)

,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf( )＜0.
(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当p＜0时，由(1）知f( )＜0
若r>0,则f(0)>0,又f( )＜0,所以f(x)=0在(0， )内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－ )+r= >0,
又f( )＜0,所以f(x)=0在( ,1)内有解.
②当p＜0时同理可证.
8.解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得�
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45
∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－ )2+1612.5
∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，
∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.

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58、高三学生微积分认知状况的思维层次研究

59、分数微积分理论在车辆底盘控制中的应用研究

60、新课程理念下高中微积分课程的教育价值及其教学研究

什么叫论文?

论文是教育科学研究成果的主要表述形式之一

就是专门针对一个问题进行深入探讨和讨论的文章。

一般讲，这个问题都是很复杂的，很大的，比较重要，或者有新发现的问题。

再大一些，可以叫做“课题”。

论文可以很多人一起完成，也可以由一个人来完成。

一般大学学士、硕士和博士学位的获得都要通过论文答辩，就是导师会针对你的论文来问你一些问题，请你回答，根据你的回答和论文情况来看你是否有资格获得学位。

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【初中】数形结合思想的初探
数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。
下面我们就一些数学中的问题谈一下数形结合思想应用。
1、以“数”化“形”
由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。

例1：已知：三角形的三边长分别为5、12、13，求此三角形的面积。
分析：该题是仅给出了三角形三边长5、12、13，而没有给出其中一边的高，似乎无法求其面积，虽然已知三边求三角形的面积也有一个海伦公式，但太麻烦了。这里如果我们能够分析这组数据，找出5、12、13它们之间的关系,很容易联想起来勾股定理的逆定理---若以a、b、c为三边的三角形满足a2+b2=c2;则此三角形为直角三角形。因为52+122=132,那么我们就能够判断出以5、12、13为三边所构成的三角形是以5、12为直角边、13为斜边的一个直角三角形。这样我们就把这组数据5、12、13通过勾股定理的逆定理变成了以5、12为直角边、13为斜边的一个直角三角形。实现了以“数”变“形”，把以5、12、13为三边所构成的三角形变成了直角三角形。那么这个三角形的面积就很容易求得了。这是一道典型的运用勾股定理的逆定理的数形结合题。
2、以“形”变“数”

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。
解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等，
例3：用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定。你认为如何？（选自华东师大版数学八年级上册P30练习第3题）
分析：此题的关键是“周长一定，如何比较正方形面积和矩形面积的大小”即周长相等，怎样用数来表示正方形面积和矩形面积并能比较正方形面积和矩形面积的大小。我们设篱笆长为L=4a，则正方形的边长为a，根据矩形的对边相等则一组对边为a－x，另一组对边为a＋x。（x＞0）如下图。
a a＋x

a a－x

正方形 矩形
由题意得S正方形＝a2，S矩形＝（a＋x）（a－x）＝a2－x2。因为x＞0，所以x2＞0。故a2＞a2－x2即S正方形＞S矩形。这是一个典型的由形构造数的实际应用题。
3、“形”“数”互变
“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。
例5：有一四边形地ABCD(如图)，∠ABC=90，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，DA＝13m，
求该四边形地ABCD的面积。（选自华东师大版数学八年级上册P63B组第7题）

分析：此题结果是求四边形地ABCD的面积，若该四边 C B
形ABCD是特殊四边形――直角梯形，那么我们
可以用公式S＝（上底＋下底）／2．若
∠BAD＝90°则可用此公式，根据勾
股定理的逆定理需BD2＝DA2＋AB2 A
但BD的长度我们求不出来，
所以无法求出∠BAD的度数。
从已知出发∠ABC=90°， D
AB＝4m，BC＝3m，根据勾股定理可得AC＝√AB2+BC2=√42+32=5m．在三角形ACD中，由AC＝5m、CD＝12m、DA＝13m，得52＋122＝132即AC2＋CD2＝DA2根据勾股定理的逆定理可得∠∫ACD=90°。这样，我们就可以把求四边形ABCD的面积问题转化为求两个直角三角形ABC和直角三角形ACD的面积的和的问题。由题意我们很容易就解决了。
本题经过对结果和已知的分析得出，我们先通过直角三角形ABC运用勾股定理求得斜边AC的长度，这是看“形”思“数”；然后，根据AC＝5m，结合已知CD＝12m、DA＝13m，想到52＋122＝132即AC2＋CD2＝DA2由勾股定理的逆定理可得三角形ACD为直角三角形，这属于见“数”想“形”。最终，把四边形ABCD的面积转化为求两个直角三角形ABC和直角三角形ACD的面积的和使问题得以解决。
数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。