三门问题研究论文

三门问题研究论文

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

概率存在于被给予的条件下，概率不能寄托在实际的物体上。

人为干涉并未导致系统变化，汽车从一开始被放置，并不会因为主持人开启包含山羊的门导致位置改变，因此选择其实可以看作两种情况：1，选择一开始的门；2，选择除开始的门的另外两门。 1获胜的概率为1/3，2获胜的概率为2/3，当主持人在2的两扇门里去掉一扇时，可将剩下的一扇门视作原来两扇门的叠加。对于参赛选手来说概率并未重新分配。 但如果参赛选手是一个八秒钟记忆的金鱼——在犹豫了一会后突然忘记他之前选择的是哪扇门，主持人也觉得麻烦懒得告诉他，只是说：“这里有两扇门，其中一扇门有汽车，另一扇门里只有山羊。”那么显然，他无论怎么选择，获胜的概率均为1/2 。其中获胜概率组成为：1/2X(1/3)[之前选择的门]+1/2X(2/3)[排除剩下的门]=1/2 。由于他并不知道哪扇门是之前选择的，因此两扇门被他选择的概率都是均等的1/2，如同随机选择一般。 由此可见，同一件事物对于不同人甚至掌握不同信息的同一个人概率可能不同。因此，概率并不能寄托在实际的物体上，而是存在于条件之下。

举一个简单的例子。 这里有两张牌，其中一张下面画着笑脸，另一张下面则是空白。请选择一张，如果是笑脸我可以答应你一个要求。那么你抽到笑脸的概率是多少？ 显然是1/2 . 但是如果，我告诉你左边这张牌下面是笑脸，右边这张牌下面什么都没有，请问抽左边这张牌你抽到笑脸的概率是多少？ 你总不可能厚着脸皮说是1/2吧？（请相信我的人品）显然是100%吧？ 所以，概率和物体本身并没有什么直接的联系。你掌握信息的多少会影响完成一件事的概率。

关于“三门问题”的诡辩证明

你正参加一个节目，一共有三扇门，只有一扇门后面有汽车，其余两扇门是空，选到汽车算赢。你选了一扇，然后主持人会在剩下的两扇中打开一扇空的，然后问你要不要换另一扇仍然关着的门。你可以理解成这样：有两扇门，一扇有汽车，一扇是空的。因此选中汽车的概率是1/2。但有一个数学家是这样理解的，如果你永远选择换，那么你赢得汽车的可能就是选择一扇空门，因为主持人一定会打开另一扇空门。因此情况就变成了你的第一次选择要选一扇空门才能赢得汽车。而初次选择空门的概率是2/3，所以，换，赢的汽车的概率是2/3，不换的概率是1/3。

这就是著名的“三门问题”，“三门问题”（Monty  Hall  problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's  Make  a  Deal。一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three  prisoners  problem）的形式出现在马丁·加德纳（Martin  Gardner）的《数学游戏》专栏中。而这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的  Calcul  des  probabilités  一书中。  在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's  Box  Paradox）。数学家的答案是可以换，换的概率会更大。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

一  问题解答

解法之一

        当参赛者转向另一扇门而不是维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

        有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰

参赛者挑空门一号，主持人挑空门二号。转换将赢得汽车。

参赛者挑空门二号，主持人挑空门一号。转换将赢得汽车。

“参赛者挑汽车，主持人挑空门一号。转换将失败”，和“参赛者挑汽车，主持人挑空门二号。转换将失败。”此情况的可能性为：1/3*1/2+1/3*1/2=1/3

因此，参赛者在第一次选中空门的概率为2/3*1=2/3。即换，赢的汽车概率为2/3。

数学家得出一个结论：概率存在于被给予的条件下，概率不能寄托在实际的物体上。

补充，流言终结者是美国的科普电视节目，它在2011年11  月做了一次关于“三门问题”的实验。据游戏节目的数据统计换的人赢得概率是那些没换的人的两倍。至此，仿佛这个问题没有了争议，大家普遍认为1/2  是我们的错觉，换的概率更大，是2/3。

        二  问题思考

我们首先不去论证“三门问题”的推理是对还是错，假设它是对的，即换的概率是2/3。那么我们可以提出以下问题。（不改变原来的程序和条件，只改选择主体的情况）

问题一：参赛者如果选一名现场观众替自己决定，换，赢的概率依然是2/3吗？

问题二：假设这位观众刚从室外进来，对之前所发生的事情一无所知。参赛者让他替自己决定。呈现在他面前的情形是两扇门，一扇门面前各站着一个人，旁边还有一扇被打开的空门。这时观众的选中汽车的概率是多少？

问题三：观众替参赛者决定，那么观众的选择是全新的选择吗？

        问题四：参赛者能否把第二次“换不换”理解成一次新的选择？或把自己当成观众？

请记住，虽然参赛者和观众在主观上有许多不同，但是他们有一个非常重要的共同点，即他们都不知道汽车在剩下的两扇门中的哪一扇，他们都知道有一扇空门被打开了。这是必须要保证的一点！因此他们俩的角色可以互换。至此，我没改变“三门问题”的所有前提条件，只换了一个思考问题的角度，从参赛者的角度换成了观众的角度。所以，问题一，参赛者可以选一名现场观众替自己决定。关键是问题二，如果这名观众对之前发生的事一无所知，他选中汽车的概率应该为1/2，因为他绝对不会考虑那扇被打开的空门。问题的关键就在于这名一无所知的观众和现场观众和参赛者一样，他也不知道汽车在两扇门中的哪一扇，他也只知道有一扇空门被打开。问题三，对于一无所知的观众来说他是第一次选择，对于现场观众来说他也是第一次选择。问题四，如果参赛者把自己当成观众就可以把第二次的“换不换”理解为一次新的选择。

接下来就是问题五：为什么一无所知的观众，换，选中的概率是1/2？而现场观众和参赛者，换，选中的概率却是2/3？

如数学家所说“概率存在于被给予的条件下，概率不能寄托在实际的物体上”。我没有改变任何“三门问题”给予的条件，我仅仅是让选择的主体换一下思考问题的角度。那为什么会出现两种不同的概率？我们可以理解为“换”即选择此时主持人的门，“不换”就是参赛者的门。如果坚持认为2/3是正确的，会出现非常荒谬的情况：

        你在街上正走着。突然看见两个人，A与B。A手里有一个箱子，B手里也有一个箱子。他们告诉你，两个箱子里有一个里面有宝石，选中就是你的。你的判断是，两个箱子的概率是一样的。你正准备随机选一个，这时A告诉你一件事，他知道哪个箱子里有宝石，但是他不会告诉你在哪个箱子。并且他还告诉你一件事情，十年前，他准备了三个箱子，三个箱子里只有一个里面有宝石。B不知道哪个箱子有宝石，他选了一个也正是他现在手里的那个。然后A在剩下的两个中把一个空的打开了，把另一个留到了现在。也正他现在手里的。问题是，按照“三门问题”的理论A手里的箱子概率更大，为2/3。现在放在你面前的条件没有发生任何改变，难道因为A告诉你一件十年前发生的事，概率就变了。“告诉”是语言的行为，语言是人的意识的，思维的，人的意识和思维可以改变事物发生的概率吗？万一这个A说谎呢？那么情况就变成：一、A说谎，A的箱子有宝石的概率依然是1/2；二、A没说谎，A的箱子有宝石的概率变成了2/3。如果概率不是寄托在客观的事物上，那么概率就无法计算！因为人的思维是无法计算的，如同上述例子，你无法判断A是否说谎，那么A的箱子到底是1/2还是2/3？

假如我们就假设每次换不换都由一名一无所知的观众来决定，即不管之前参赛者选什么，我们知道主持人都会打开一扇空门，汽车一定还在剩下的两扇门中。所以最后呈现在观众面前的一定是这样的条件，有两扇门，只有一扇里面有车，一扇参赛者门，一扇主持人门。主持人门有汽车的概率其实就是1/2。那么2/3的推理错在哪里呢？

三  诡辩证明

        问题关键就在于概率的性质上。我们知道，概率只是一个预测，只在事件确定之前发挥作用，如果事件已经被确定了，概率就没意义了。因此，概率具有不确定性！概率与事件的状态密切相关！在“三门问题”里，当主持人打开一扇空门后，这扇空门在“初次选择”的事件中所占有的1/3的概率就失去意义了。此时，“初次选择事件”的状态就发生了改变，概率会重新启动。没打开的门概率分别为1/2，被打开的空门在“这扇门中有车”的事件中不存在概率，不存在概率不是概率等于0。而在“2/3”的推理中认为被打开的那扇依然有1/3的概率，并且依然发挥着作用。如果依然使用打开那扇空门在“初次选择事件”中的概率，那么推理的结果就是2/3。所以，在计算“换”的概率时应该把主持人打开的那扇空门排除出参考条件。虽然从表面上看，这条推理没有问题，而实际上，它与现实是不相符的。

这个问题隐藏在思维的死角里，类似的问题，比如芝诺的“阿基里斯永远追不上乌龟”的推理：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！从推理过程的表面上看是没有问题的，可是现实情况是，阿基里斯一下子就追上了乌龟。问题在于，芝诺在分析运动时，仅参考了一个因素，空间。而他忽略了运动密切相关另一个因素，时间！芝诺所谓的“永远”其实是阿基里斯追上乌龟的时间永远不会到来！而现实中时间并不会减慢，更不可能停止，它不受任何阻力，匀速前进！所以，现实中阿基里斯一下子就追上了乌龟，而在芝诺的推理中“永远追不上”。芝诺分析“运动”没有考虑时间，同样在“三门问题”里，事件的“状态”也是概率变化的关键。比如：前天天气预报预测昨天下雨的概率是99%，但昨天没下雨。那么我能不能说昨天下雨的概率是零呢？不能！能说是99%吗？也不能。概率是针对不确定的事件而存在的，已经被确定的事件没有概率可谈，不存在概率不概率的问题，对于已经确定的事件，概率没有意义！因此那扇被主持人打开的空门必须被排除，只有当那扇门关着的时候，具有不确定性的情况下才有概率之说。“2/3”的推理忽视了事件状态对于概率的影响。

接下来就要弄清楚几个概念的问题，即“不换”，“没有换的机会”，“永远不换”，“换”，“有换的机会”，“永远换”。首先“不换”不等于“没有换的机会”，虽然从表面上看这是选择了同一个结果，即都是参赛者手上的门。但是在概率上，这不属于同一事件。这就是最迷惑人的地方，错觉就在这里。“没有换的机会”即依然保持参赛者第一次选择时的概率是1/3，因此会被误以为如果有“换的机会”那么“换”就是2/3。“不换”也不等于“永远不换”，如果严格按照“三门问题”程序一直不断的进行，让“永远不换”成为“永远‘不换’”，那么它就必须要满足一个条件，即第一次被主持人打开的那扇空门，从第二次开始永远不可能被参赛者选中。因为第一次时，不管参赛者选择“换”还是“不换”都不可能选中那扇被主持人打开的空门，这是可以确定的事件。因此，那扇空门是可以排除的。只有满足这个条件，“永远不换”才等于“永远‘不换’”。“不换”不能等于“没有换的机会”的关键就在于如果有两次以上的实验，第一次实验被主持人打开的空门在第二次实验时就有可能被参赛者选中。美国的流言终结者的实验失败的原因和游戏节目统计的数据错误的问题就在于，第一次被打开的空门在第n次被参赛者选中了。这样的实验具有非常强的迷惑性，并且它刚好证实了那个诡辩。同理，“换”，“有换的机会”，“永远换”的区别也在这里。

我们反过来再看看之前“2/3”的推理过程。

        当参赛者转向另一扇门而不是维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

        有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰

假设1：参赛者挑空门一号，主持人挑空门二号。转换将赢得汽车。

假设2：参赛者挑空门二号，主持人挑空门一号。转换将赢得汽车。

假设3：参赛者挑汽车，主持人挑空门一号。转换将失败。

假设4：参赛者挑汽车，主持人挑空门二号。转换将失败。

如果使用上面给出的假设进行推理得出的答案就是换的概率是“2/3”。那么问题就出在给出的假设中，如果我们把假设1234看成四次实验，第一次实验“参赛者挑空门一号，主持人挑空门二号。转换将赢得汽车。”第二次实验“参赛者挑空门二号，主持人挑空门一号。转换将赢得汽车。”第三次实验“参赛者挑汽车，主持人挑空门一号。转换将失败。”第四次实验“参赛者挑汽车，主持人挑空门二号。转换将失败。”那么问题就出现了，如果第一次实验“主持人挑空门二号”，那么第二次实验“参赛者挑空门二号”就是与“第一次被主持人打开的那扇空门，从第二次开始永远不可能被参赛者选中”的条件相矛盾。看似没有矛盾的假设1234，实际上是相互矛盾的，如果出现了假设1就不允许出现假设2；如果出现了假设2就不允许出现假设1。因此，利用上面的假设条件进行计算是错误的。

结论：“三门问题”在数学界一直被认为是真理，其实它是一个诡辩。“换”赢得汽车的概率是1/2，2/3是思维给我们的错觉。“三门问题”从数学思维的角度思考是不会发现问题的，甚至实验也不可信。只有哲学的思维方式才能找出问题之所在，概率不受人的主观影响，它依托在客观事物上，只有不确定的事件才有“概率”的说法。

三门问题与行为心理（2）

接着来讨论三门问题。三门问题表面上看是概率问题，仔细看是心理问题，再深层看，是一个博弈问题。

博弈问题是心理和概率的综合问题。单纯从心理或单纯从概率上来看，都是片面的。会造成最终的判断错误。

那么我们现在将这个场景换做股票市场。这是一个更复杂场景下的推广的三门博弈问题。

那么请思考一下，作为二级市场的投资者，你是什么身份？你就是那个被测试的游戏参与者。你的博弈对手不仅仅包括其他的游戏参与者，还包括你所买的股票的企业本身。而其他游戏参与者还可以继续分类为战略长期投资者，短期投机者，被动套牢者，主动获利者。这些博弈对手所采取的策略各不相同，请问你在这个游戏里如何决策？

我们希望博弈的参与者的身份越少越好，因为这样会让市场整体决策更明朗，更容易达成一致的倾向。否则股票价格的走向是非常不明朗的。这就是一个典型的选股决策问题。

作为投资者，你首先应当清楚的认识到，公平的游戏才有可玩性。

在博弈论里有个非常出名的硬币游戏问题，表面上看起来很公平，但实际上是不公平的。这个游戏如下：

看起来好像挺有诱惑力，但实际上这是个陷阱，美女知道这个游戏无论怎么玩，只要她采用纳什均衡的策略，即（3/8 + ， 5/8 -），她就可以打败你。这是一个不公平的游戏。背后的数学过程我不再重复，有兴趣的可以自己在网上搜索。

其实这个博弈的不公平的核心之处就是：

在股票市场，企业本身是主持人，它知道每扇门后面是山羊还是汽车。如果企业的控制人是个诚实的局外人，他不参与本企业股票在二级市场的博弈。那么对于投资者而言，投资在这样的股票上就是一个明智的选择，因为至少它比那些既当裁判又当运动员的公司的股票要公平。

那么，下面的问题就来了？选择了正确的游戏主持人，那么我们在什么时候来开始我们的游戏呢？

这个问题，留给亲爱的你们。请一定要仔细思考。

实际上，这才只是三门问题博弈在股市中应用的冰山一角。其它比如资金管理，风险控制，资产分配等问题，都可以用推广的三门问题来解决。

注：本文点到即止，不宜过度深入展开。