(1)逐个输入矩阵，如：A=[1 3 2; 1/3 1 2; 1/2 1/2 1]（2）用函数eig，如:[VA,DA]=eig(A)VA为特征向量矩阵，每列一个特征向量，DA为对角矩阵，每个对角线元素为一个特征值。（3）最大特征根是最大特征值吧？运算结果DA= + + + + + + + + - 所以A矩阵的最大特征根为.（4）其他矩阵类推。
证明: 设a1,a2,...,an是A的n个不同的特征值.则存在可逆矩阵P, 使 P^-1AP=diag(a1,...,an)=B(记为B)即有 A=PBP^-1.又 f（λ）=|λE-A|=(λ-a1)(λ-a2)...(λ-an).所以 f(A)=(A-a1E)(A-a2E)...(A-anE) =(PBP^-1-a1E)(PBP^-1-a2E)...(PBP^-1-anE) =P(B-a1E)(B-a2E)...(B-anE)P^-1 =P0P^-1 =0[注意此处 B-aiE 是对角矩阵, 第i行第i列位置是0, i=1,2,...,n 对角矩阵的乘积是主对角线上对应元素相乘 而B-a1E,B-a2E,...,B-anE分别在a11,a22,...,ann位置为0 故其乘积等于0矩阵]呵呵 你也没分可加了!
[证明] 因为n阶矩阵A具有n个两两不同的特征值, 令这些特征值为λ1, λ2, …, λn, 则f(λi) = |λiE - A| = 0, i = 1, 2, …, n. 又因为对应于不同的特征值的特征向量是线性无关的, 所以A具有n个线性无关的特征向量, 令这些特征向量为p1, p2, …, pn. 于是有可逆矩阵P = (p1, p2, …, pn)使得 P^{-1}AP = [λ1 0 … 00 λ2 … 0... ... ... ...0 0 ... λn] = D, 而且P^{-1}f(A)P = f(P^{-1}AP) = f(D) = [f(λ1) 0 … 0 0 f(λ2) … 0 ... ... ... ... 0 0 ... f(λn)] = O. 由此可得 f(A) = POP^{-1} = O. [参考文献] 张小向, 陈建龙, 线性代数学习指导, 科学出版社, 2008. 周建华, 陈建龙, 张小向, 几何与代数, 科学出版社, 2009.
设矩阵A的特征值为λ则|A-λE|=1-λ2221-λ2221-λ第1行减去第2行=-1-λ1+λ021-λ2221-λ第2列加上第1列=-1-λ0023-λ2241-λ按第1行展开=(-1-λ)(λ²-4λ-5)=0解得λ=5，-1，-1当λ=5时，A-5E=-4222-4222-4第1行加上第2行×2，第3行减去第2行～0-662-4206-6第1行加上第3行，第2行加上第3行×3/2，第3行除以6～00020-201-1第2行除以2，交换次序～10-101-1000得到特征向量(1,1,1)^T当λ=-1时，A+E=222222222第2行减去第1行，第3行减去第1行，第1行除以2～111000000得到特征向量(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T所以矩阵的特征值为5，-1，-1对应的特征向量(1,1,1)^T，(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T
我也给你提供一些提示.如果A是非奇异的,则A的伴随矩阵与其逆矩阵仅差一个常数倍(即行列式的值),故A的伴随矩阵的特征值应是矩阵A的逆矩阵的特征值,即A的矩阵的特征值的倒数.如果A是奇异的,且A的秩 求矩阵特征值的方法如下： 任意一个矩阵A可以分解成如下两个矩阵表达的形式： 其中矩阵Q为正交矩阵，矩阵R为上三角矩阵，至于QR分解到底是怎么回事，矩阵Q和矩阵R是怎么得到的，你们还是看矩阵论吧，如果我把这些都介绍了，感觉这篇文章要写崩，或者你可以先认可我是正确的，然后往下看。 首先我们有A1=A=QR，则令A2=RQ,则有： 由式（22）可知，A1和A2相似，相似矩阵具有相同的特征值，说明A1和A2的特征值相同，我们就可以通过求取A2的特征值来间接求取A1的特征值。 扩展资料： 矩阵特征值性质 若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。 参考资料来源：百度百科-矩阵特征值 把特征值代入特征方程，运用初等行变换法，将矩阵化到最简，然后可得到基础解系。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。 求特征向量： 设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。 判断矩阵可对角化的充要条件： 矩阵可对角化有两个充要条件： 1、矩阵有n个不同的特征向量； 2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。 若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P使P⁻¹AP=Λ）。 参考资料来源：百度百科-矩阵特征值 根据|xE-A|=0 求出特征值 x1，x2，x3 把xi分别带入 (xiE-A)x=0 就出基础解系就是特征向量 数学领域中的一些著名悖论及其产生背景 好写哦！科技论文，专业性这么强，写出来，也是只有专业人员才能明白。首先，序言：把矩阵的乘法原理，加以介绍、解释和说明，这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些，具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文，集中写清楚，你要介绍的应用及事例。字数要多，就多写，写详细一些；字数一般，就写得一般，就可以啦。。。祝成功！ （1）n阶埃尔米特矩阵A为正定（半正定）矩阵的充要条件是A的所有特征值大于等于0。（2）若A是n阶埃尔米特矩阵，其特征值对角阵为V，则存在一个酉矩阵U，使AU=UV。（3）若A是n阶埃尔米特矩阵，其弗罗伯尼范数的平方等于其所有特征值的平方和。(4)斜埃尔米特矩阵为A的共轭转置为-A斜埃尔米特矩阵的特征值全是实数。更进一步，斜埃尔米特矩阵都是正规矩阵。因此它们是可对角化的，它们不同的特征向量一定是正交的。 埃尔米特矩阵就是Hermite阵。Hermite矩阵又称共轭矩阵。Hermite阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。 hermitian矩阵：厄米特矩阵（Hermitian Matrix，又译作“埃尔米特矩阵”或“厄米矩阵”），指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。 n阶复方阵A的对称单元互为共轭，即A的共轭转置矩阵等于它本身，则A是厄米特矩阵(Hermitian Matrix)。 Hermite(矩阵的性质)： 1、对角线元素是实数 2、Hermite矩阵是实对称矩阵的推广 推论： （1）n阶厄米特矩阵A为正定（半正定）矩阵的充要条件是A的所有特征值大于（大于等于）0。 （2）若A是n阶厄米特矩阵，其特征值对角阵为V，则存在一个酉矩阵U，使AU=UV。 （3）若A是n阶厄米特矩阵，其弗罗伯尼范数的平方等于其所有特征值的平方和。 （4）主对角线元素皆为实数的埃尔米特矩阵的特征值均为实数, 斜埃尔米特矩阵的特征值为零或纯虚数。 扩展资料 矩阵 A=[aij]∈MnA=[aij]∈Mn 称为 Hermite 的，如果 A=A∗A=A∗；它是斜 Hermite 的，如果 A=−A∗A=−A∗. 对于 A,B∈MnA,B∈Mn，可得出很多简单明了的结论： (1) A+A∗A+A∗, AA∗AA∗ 以及 A∗AA∗A 都是 Hermite 的 (2) 如果 AA 是 Hermite 的，那么对所有 k=1,2,3,⋯k=1,2,3,⋯, AkAk 都是 Hermite 的. 如果 AA 还是非奇异的，那么 A−1A−1是 Hermite 的 (3) A−A∗A−A∗ 是斜 Hermite 的 (4) 如果 AA 是 Hermite 的，那么 iAiA 是斜 Hermite 的；如果 AA 是斜 Hermite 的，那么 iAiA 是 Hermite 的 (5) 如果 A=C+iDA=C+iD, 其中 C,D∈Mn(R)C,D∈Mn(R)（AA 的实部与虚部），那么 AA 是 Hermite 的，当且仅当 CC 是对称的，且 DD 是斜对称的 (6) 实对称矩阵是复的 Hermite 矩阵 参考资料来源：百度百科—厄米特矩阵 行列式是特殊的矩阵，N*N矩阵，N*M可以不同，矩阵可以进行乘法，行列式不可以 行变换和列变换不能同时做。只能选用其一。解矩阵行变换和列变换都可以用，但只能用一种。求两者的秩没有区别，因为矩阵的行秩和列秩相等。最简秩就是矩阵的极大无关组中向量的个数，判断其是不是矩阵的极大无关组即可 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。 行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数 求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。 也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。 你好，叫你写小结，就是归纳整理学习到的知识点行列式小结一、行列式定义 行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。 举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。 那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？ 行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！） 对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。 二、行列式性质 行列式的那几条性质其实也很容易记忆。 1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。 2、互换两行（列），行列式变号。 3、两行（列）相等，则行列式为0。 4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！ 5、两行（列）成比例，则行列式为0。 6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。 7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。 这7条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。 三、行列式行（列）展开法则 行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。 行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。（即我一直强调的：要配套。） 如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。（即：不配套。）矩阵小结初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类： 1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换； 2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素； 3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。 1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得； 2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）； 3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。 首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。具体来说： 左乘的情况： 1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B； 2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B； 3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。 右乘的情况： 4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B； 5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B； 6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字。 初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换。 若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。矩阵特征值的求法研究论文
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