一、介绍： 《课程与教学的基本原理》一书，被誉为现代课程领域最有影响的理论构架，而作者泰勒更是被誉为“现代课程理论之父。” 《课程与教学基本原理》凝聚了泰勒的心血。在20世纪二十年代，当经济危机的阴云笼罩着美国，经济大萧条对学校课程提出了新的挑战。经济大萧条所引起的失业问题让劳动市场上的中学毕业生难有立足之地，加剧了教育与社会现实的矛盾。在这样的背景下，一场对美国教育的实践产生重大影响的运动——“八年研究”轰轰烈烈地开展了，“八年研究”对泰勒影响很大，也正是在这场实践中泰勒的课程原理逐渐形成，并运用于指导实践中去。 据泰勒的回忆，这本书最初是诞生于“八年研究”一次午餐的餐巾纸上。当然，这并不会消减这本书的价值，实践证明，这本书不仅推进了美国教育发展，也深刻影响了世界其他国家课程编制。如今课程改革的春风正席卷着中国教育，这本书一定能为我们提供许多有益的参考。 二：解读《课程与教学的基本原理》： 制定教育目标的必要性（达到一定目标所需的条件）：目标是人们有意识地追求的对象，即学校教职人员所要实现的宗旨。如果我们要制定一个教育计划并力图改进它，就有必要对想要达到的教育目标有一个明确的概念 泰勒的《课程与教学基本原理》是围绕着四个问题展开研究（基本结构）的： （一）：学校应达到何种教育目标（确定目标） 针对第一个问题，学校应该达到哪些教育目标? 这也就是我们说的确定目标问题： 首先，学校教育目标的制定绝不能仅仅依靠任何一个单一的信息来源，而是应当综合考虑各种因素。泰勒认为主要应当分析的三种来源包括（一般性目标）学习者本身、当代社会生活实际和学科专家的建议。其中，尤以对学习者本身的研究最为重要，包括需要和兴趣两个方面。这里的“需要”指的是对照学生现状与公认的常模后发现的差异，是教育者期待通过教育活动的实施给学生行为带来的改变。 对当代校外生活的研究：针对以对当代生活的研究为基础获得教育目标中要素主义、进步主义等的争议，文中给出的回应就是 1.对选取的目标进行检验并遵循公认的教育哲学。 2、选择持久重要的关键领域，且有利于实践学生校内所学的知识。 3、兼顾校外生活和学生的兴趣。 如何对校外生活进行研究？ 1、将生活内容进行分解 例：健康、家庭、娱乐、职业、宗教、消费、公民生活 2、对不同的社会团体的考察 3、查看过去两三年的民意测验、社区里的健康资料 学科专家对教育目标的建议： 由于该领域的教育目标技术性、专业性太强，不适合在校学生；对于不想从事此业的人没有作用。因此，建议为，①使特定学科能发挥广泛功能 例如：科学课 a.促进个人及公众的健康 b.帮助人们对自然资源加以利用和保护 c.使人们像科学家一样认识世界、人与世界的关系 ②该学科能为其他的大量功能作出贡献，而这些功能基本上是该学科所要关注的 例如：科学课 a.在个人领域：有助于个人健康，满足自我肯定的需要；培养使人满意的世界观；形成广泛的兴趣；获得审美满足感 b.在个人与社会关系领域：建立日益成熟的人际关系 c.在社会与公民的关系领域：满足学生负责任的参加社会重大活动的需要；帮助人们获得社会的认可。 其次，通过分析上述三个来源所得出的教育目标必定数量繁多，甚至还有可能在内部存在一些冲突和矛盾，因此需要哲学和学习心理学这两道筛子来筛选。学校教育哲学和社会哲学的过滤将确保目标的一致性和合理性；对学习心理学的关注则考量目标是否符合学生身心发展的规律。只有这样，才能选择有高度准确性、适切性的目标。 教育和社会哲学：概括出令人满意的价值观，选择出一组数目较少、及其重要又协调一致的目标，当学校接受某些价值并作为基础时，就意味学校在教育计划中要体现该价值观（概括出人们认为对令人满意并有效的生活来说不可缺少的价值观，采纳与价值相一致的目标——承认人类每个个体作为人的重要性，无论种族、国籍、社会、经济状况/为人们广泛参加各种社会团体所有方面的活动提供机会/鼓励多样化的个性而要非求单一类型的个性/有信心以理智的方式来处理重大问题，而非依赖专制或贵族团体权威。） 思考：受过教育的人应该去适应社会还是改变社会？ 如果学校相信教育的基本功能是教人们适应社会，则会着力强调对现实社会的服从，对现存社会形态的忠诚，及坚持运用当代生活方法的能力；反之，则会更注重学校的改革功能，更加注重批判性分析、应对新问题的能力、独立性和自我指导等。 学习心理学（教育目标选择的标准） a.在最低层面上，使我们分辨出人类的哪些变化是可以期望通过学习获得的，哪些是不可以的。（区分成熟的作用与教育的作用） b.在较高层面上，使我们分辨出哪些目标是可行的，哪些需要花很长时间才能实现，哪些是在该年龄阶段无法实现的。（学生学习的阶段性和关键期）例如，精读课文，需要有经验内的词汇量和关联体验。 c.将可实现的教育目标安排到各年级。（提高课程设置的有效性） 最后，还要用有利于选选择学习经验和指导教学的形式来陈述一系列的目标。泰勒在书中分析了已有的几种目标陈述的形式和分别存在的弊端，由于一个阐述清晰的目标具有行为和内容两个方面的维度，泰勒着重介绍、推荐了利用二维表格进行目标表述的方法。泰勒认为，二维表格能直观清晰地呈现目标的行为和内容，有助于开展课程编制和教学实施的后续工作。 （二）：提供哪些教育经验才能实现这些目标（选择经验） 第二个问题就是如何选择可能有助于达到教育目标的学习经验： 首先，“学习经验”的含义是指学习者与他对作出反应的环境中的外部条件之间的相互作用，学生的学习取决于他自己做了些什么，而不是教师做了些什么。 泰勒提出选择学习经验的有五条一般原则： 1、为了达到某一目标，学生必须实践这个目标所隐含的那种行为。 2、必须使学生由于实践教育目标所隐含的那种行为而获得满足感。 3、学习经验所期望的反应，是在学生力所能及的范围之内的。 4、 有许多特定的经验可用来达到同样的教育目标。 5、同样的学习经验往往会产生几种不同的结果。 能有效地达到教育目标的学习经验数量众多，特征不一，但可以把注意力放在一些主要特征上，即学习经验是否有助于培养思维技能，有助于获得信息，有助于形成社会态度，有助于培养兴趣等。我们可用多种学习经验达到某一目标，同一学习经验也可以用来达到多个目标。因此，设计学习经验的过程，并不是用一种机械的方法为每一个特定目标制定明确规定的学习经验。相反，这是一种比较富有创造性的过程。 举例说明学习经验应该具有的特征： 1、培养思维技能的经验 它所隐含的行为是将两个或者是两个以上的观念联系起来，而不是单纯地记忆和重复这些观念。当学生遇到他们无法立即得到答案的问题时他们更有可能被引导进行各种类型的思维，这些问题不应该是在教科书或者是其他参考资料中立即找到答案的，解决问题的某些步骤在学生不同的成熟阶段是需要区别对待的（把握学生的关键期）。 2.有助于获取信息的经验：只有将经验视为功能性的，即有助于学生解决问题，或者有助于引导学生实践等，这样的目标才最重要。在很多情况下，提供的学习经验容易产生一些比如学生死记硬背、没有理解的记忆而导致的快遗忘率、碎片式记忆这样有缺陷的经验，因此，提供的建议有：学生在解决问题同时获取信息、只选择值得记忆的重要信息、设置让学生印象深刻的情境、频繁使用重要的信息项目。 3.有助于培养社会态度的经验：学（四）：如何评估学习经验的有效性/我们怎样才能确定这些目标正在得到实现（评价结果） 评估能够较全面的考察这些学习经验的方案是否真的能够指导教师去实现期望的结果。（为什么制定好方案后要进行评估） 泰勒认为，评价是一个确定实际发生的行为变化的程度的过程，评价这个概念有两个重要的方面：第一，它寓意评价必须评估学生的行为，因为教育所追求的正是这些行为的变化。第二，它寓意评价在任何时候都必须包括一种以上的评估，因为要了解变化是否已经发生，必须先在早起作出一次评估，再在后期做出几次评估才有可能确定所发生的变化。 泰勒提出教育评估应该进行至少两次评估:一次是在教育计划早期进行, 另一次是在后期进行, 从而测量在这个期间学生行为发生的变化。评估过程可以分为三个步骤:第一步就是要明确教育目标的概念, 以便了解这些目标实际上达到的程度;第二步是要确定使学生有机会表现教育目标所隐含的那种行为的情境;第三步是设计各种评估工具和方法。 评估的方法有纸笔测验、交谈、问卷、观察、抽样、记录等。对于评估结果, 泰勒认为, 不应该只是一个单一的分数或单一的描述性术语, 而应该能够反映学生目前状况, 评价本身就是让教师、学生和有关人士了解教学的成效。 针对以上四个问题，泰勒展开了一系列研究得出了结论，但是泰勒并不是给大家现成的答案，毕竟这没有一个永恒正确而且唯一的答案，更多时候这需要考虑到课程编制过程中所遇到的各种情境。泰勒如同一个手提明灯的智者为我们指引着通向课程编制道路的方向。 三：泰勒的反思和发展： （一）更加关注学生的能动性 强调把学生看成是一个积极能动、有目的性的人，在当时的美国，大量课程研究项目，通常是由学科专家来确定目标的，因而很少关注到学生的兴趣和需要，泰勒在修正和补充的基础上，完成了选择学习经验的10条原则， （二）泰勒强调学生的课外学习 泰勒指出，以往的教育和课程理论，往往只重视学生在学校里的学习，忽视了学生课外学习的研究和利用。他提出“学习发生在哪里”的问题，并且认为学习不仅仅发生在学校中，也发生在家庭、社会中。学生不是只能在学校中学到东西，在其他媒体中也同样能够学到。 他认为学生在校外建设性地参与学习的机会太少了，而培养学生的目的恰恰就是为了使他们将来能够建设性地参与社会，使他们学的的知识和技能更好的服务社会和个人。学校提供一些重要的教育经验，给予学生以指导。 根
首先来看下八年研究的起因：20世纪20年代，美国的进步主义教育广泛地影响了小学和初中，但在改革中也遇到了这样的问题：过去的进步教育改革实验没有升学的压力，但是20年代以后，尽管美国中学招收学生的人数不断增加，但由于各种原因，往往只有六分之一的中学毕业生有升学的机会，特别是在1929年，资本主义世界又发生了经济危机，学生中学毕业后就业十分的困难。另外，当时的中学课程受学院和大学入学考试的支配，只重视学生的学业成绩，但对学生其他方面的能力很少考虑，这使得大量的中学生毕业后很难找到合适的工作。而当时的进步教育改革实验没有考虑与大学升学挂钩的问题。这样学生参加升学考试遇到的困难就很大，这一切都引起了人们广泛的不满。 对此，进步教育改革者并不肯认帐，他们认为大学升学制度有问题，大学升学考核的重点在于知识的记忆，而忽视了大部分教育的价值，因而引起了人们对中小学课程以及中学与大学关系进行重新评价的思考。为了进一步推动中等教育的改革，使进步教育的原则在中小学得到推广，从而引发了“八年研究”的实验。当1941年“八年研究”结束时，以泰勒（Ralph W Tyler）为首的学院追踪研究组，对“八年研究”的结果进行了评价。评价所采用的方法是挑选1475组大学生，每一组两个学生，一是实验学校的学生，一是其他学生的毕业生。在挑选时尽可能地考虑到这两个学生在性格、年龄、学习能力、家庭状况及社会背景等方面情况的相同性。经过对照研究，得出了如下的结论，参加实验的30所中学的毕业生具有以下的特点：1）学年平均总分稍高；2）在大学学习的4年中，更容易获得学术上的荣誉；3）在学术上似乎具有更强的好奇心；4）似乎具有更正确、系统和客观的思维能力；5）似乎对教育的涵义有更清楚地认识；6）在遇到新的环境时，往往表现出更高的智谋；7）与对照组一样，具有相同的分折问题的能力，但是他们解决问题的方法更为有效；8）越来越多地参与组织学生的团体；9）在获得非学术方面更有高的比率；10）在职业选择上有更好的倾向性；11）积极关心国内和国际事务。 从学院追踪研究组的研究来看，“八年研究”是成功的。尽管并不是所有的实验设想都得到了体现，但实验本身所要证明的却得到了验证：按照进步主义的教育原则实施的中学教育，既能很好地完成中学的传统的职责，为大学输送合格的人才，又能促进学生多方面的发展，而这一切是原有中学教育所难以达到的目的。“八年研究”不仅对美国大学入学要求和中学课程产生了深远的影响，而且还孕育了泰勒的课程原理。”1949年，泰勒正式出版了《课程与教学的基本原理》一书，总结了他在“八年研究”中的成果。该书1981年曾按美国的《卡潘》（Kappan）杂志评为自1906年以来对学校课程领域影响最大的两本著作之一，现已经成为“现代课程理论的经典著作，是试图理解这个领域的后继著作的人必读书。”在该书中，泰勒把课程编制的主要步骤列为四个问题：1）学校应该达到哪些教育目标?2）提供哪些教育经验才能实现这些目标?3）怎样才能有效地组织这些教育经验?4）我们怎样才能确当这些目标正在得到实现?概括地说，课程应分为教学目标、学习活动、课程内容的组织以及教学评价四个基本的要家。这就是现代美国课程领域中产生广泛影响的“泰勒原理”。 “‘泰勒原理’被公认为课程开发原理最完美，最简洁、最清楚的阐述，达到了科学化课程开发理论发展的新的历史阶段，《课程与教学的基本原理》也因而被誉为现代课程理论的圣经。”瑞典学者胡森（H．Husen）也曾评价说：“泰勒的课程基本原理已经对整个世界的课程专家产生了影响。……不管人们是否赞同‘泰勒原理’，不管人们持什么样的哲学观点，如果不探讨泰勒提出的四个基本问题，就不可能全面地探讨课程问题。”事实上，泰勒原理研究的范式现在仍然在课程领域中占支配的地位。由此可见，“八年研究”对课程理论的发展同样也作出了巨大的贡献。
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f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数） f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式，最后一项中n表示n阶导数） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 泰勒 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。 泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。 泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。 1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
公式定义 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x) 其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）编辑本段证明 我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。麦克劳林展开式 ：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1) 由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。麦克劳林展开式的应用 ： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。） 类似地，可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈。 3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位） 证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。编辑本段泰勒展开式原理 e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算 之值,其结果无限接近一定值 ...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数. 计算对数函数 的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数. 若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得 以 x=1 代入上式得 此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是 将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由 透过这个级数的计算,可得 由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 另方面, 所以, 我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的. 甲)差分. 考虑一个离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们就把这个函数书成 或 (un).数列 u 的差分 还是一个数列,它在 n 所取的值以定义为 以后我们干脆就把 简记为 (例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 ... 注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推. 差分算子的性质 (i) [合称线性] (ii) (常数) [差分方程根本定理] (iii) 其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列. (iv) 叫做自然等比数列. (iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1) (乙).和分 给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢 我们有下面重要的结果: 定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 ,则 和分也具有线性的性质: 甲)微分 给一个函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限 存在,则我们就称此极限值为 f 为点 x0 的导数,记为 f'(x0) 或 Df(x),亦即 若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称 为 f 的导函数,而 叫做微分算子. 微分算子的性质: (i) [合称线性] (ii) (常数) [差分方程根本定理] (iii) Dxn=nxn-1 (iv) Dex=ex (iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为 (乙)积分. 设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对 [a,b] 作分割: ;其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 ;最后再取极限 (让每一小段的长度都趋近于 0). 若这个极限值存在,我们就记为 的几何意义就是阴影的面积. (事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.) 积分算子也具有线性的性质: 定理2 若 f 为一连续函数,则 存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.) 定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,我们欲求积分 如果我们可以找到另一个函数 g,使得 g'=f,则 注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心! 上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样. 我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此. 甲)Taylor展开公式 这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g,使其跟 f 很「靠近」,那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清 两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度. (一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一个 n 次多项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有 n 阶的「切近」,即 ,答案就是 此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式. g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则 f可展成 Taylor 级数,而且这个 Taylor 级数就等于 f 自身. 值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情形,此时 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在. 利用 Taylor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」. 复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单. 当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到 Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.) 注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式. (二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是: 给一个数列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指: 答案是 此式就是离散情形的 Maclaurin 公式. 乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推 (一) 分部积分公式: 设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则 (二) Abel分部和分公式: 设(un),(v)为两个数列,令 sn=u1+......+un,则 上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式 的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然. (丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推) (一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r) 根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式. (二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和应为 令 ,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert 换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答. 由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推. (戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推) (一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到 m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可以这样求得:光对 r 作和再对 s 作和(反过来亦然).亦即我们有 (二)Fubini 重积分定理:设 f(x,y) 为定义在 上之可积分函数,则 当然,变数再多几个也都一样. (己)Lebesgue 积分的概念 (一) 离散的情形:给一个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和. (二)连续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到 b 所围出来的面积. Lebesgue 的想法是对 f 的影域 作分割: 函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和 让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分.余项 泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数] 泰勒余项可以写成以下几种不同的形式： 1.佩亚诺(Peano)余项： Rn(x) = o((x-a)^n) 2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p) [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 3.拉格朗日(Lagrange)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 4.柯西(Cauchy)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 5.积分余项： Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数]
泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数] 泰勒余项可以写成以下几种不同的形式： 1.佩亚诺(Peano)余项： Rn(x) = o((x-a)^n) 2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p) [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 3.拉格朗日(Lagrange)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 4.柯西(Cauchy)余项： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)] 5.积分余项： Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n! [f(n+1)是f的n+1阶导数]
【Summary 】This text draw Luol, hit the intersection of value and theorem through the intersection of fee and the intersection of horse and theorem, construct, assist function to hit the intersection of value and theorem while being Lagrangian and then and Cauchy hit the intersection of value and theorem go on, prove. Utilize the value theorem (Luol's theorem, Lagrangian theorem, Cauchy's theorem) in the differential to solve some derivatives and terminal problems. Approach the function by multinomial, thus get formula of Taylor who wears inferior promise type residue and Lagrangian residue, utilize the launching type of McLaurin of the elementary function to solve the terminal and problem similar to evaluation. Through the study herein, demand to know the identification of value theorem and Taylor's formula in the differential skillfully, use the intersection of theorem and conclusion solve some correlated to it problem, make, can understand thinking of solving a problem of question this kind of clearly. 【Keyword 】Value theorem in the differential Taylor's formula Derivative Yu Xiang
答辩申请报告
答辩的目的是进一步考察论文作者对专业知识掌握的深度和广度;审查论文是否由学员自己独立完成等情况。下文是申请书网整理收集的答辩申请报告，供大家参考。
尊敬的毕业设计(论文)审核小组的领导和老师你们好：
在微积分学中,泰勒公式占有重要的地位,并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好泰勒公式是学习微积分的关键一环.本文主要研究泰勒公式及其在求极限方面的应用.它是通过几个典型的例题,说明几个类型的问题,也即是从特殊到一般的推理过程.我们又称之为研究式学习(归纳).这种研究对培养学生分析问题、解决问题的能力是一种有效的途径.推理过程的研究式学习也是训练严密逻辑思维的有效方式.
本文通过对利用泰勒公式求极限的探讨,尤其是给出了泰勒公式在其它方面的应用,显现出泰勒公式的应用之广泛.其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导.
本人论文自2009年2月开始至本年5月完成，主要进度情况如下：20XX年2月:构思论文的大致结构;20XX年3月:查阅相关国内外文献;
20XX年4月:根据前量步的准备工作,完成初稿;
20XX年5月:在老师的指导下,对初稿进行修改,使其完善和严密,定稿打印装订，并进行答辩.
经过反复仔细修改和严格审查，并经过导师的指导认定，本论文按时完成，特申请本论文按时答辩，请批准.
申请人(签字)：
年月日
尊敬的毕业设计(论文)审核小组的领导和老师你们好：
经过近14周的努力，通过对螺旋棒零件的调研、翻阅相关的参考文献和资料，进行需求分析、系统研究、系统设计，最终完成了螺旋棒零件工艺规程设计及钻夹具的研究和设计。在翻阅相关参考文献的阶段，通过查阅相关的机床夹具设计、切削用量手册等书籍，掌握了本系统研究设计的基本方法，基本掌握了如何操作该夹具对零件进行正常加工。同时查阅外文资料并完成了对外文资料的翻译工作。在需求分析和系统设计阶段，通过对可行性和系统进行分析，在确定设计确实可行的基础上进行进一步的研究。
在这次毕业设计中我认真学习螺旋棒零件工艺规程设计以及钻夹具设计的相关知识，严格遵循,老师的指导，按时完成任务，虚心的向同学请教和学习。目前，毕业设计(论文)、中英文翻译、调研报告、3张A0图及相关资料文档均已完成，在此向老师提出答辩申请进入下一阶段的论文答辩，希望老师同意。
注意：论文答辩申请书范文的写作主要是写自己完成论文进程和完成论文的工作情况，并写自己是否可以按时答辩或者延期答辩。
此致
敬礼!
申请人：
20**年**月**日
尊敬的学校及院系领导：
我在2007年3月至2008年8月期间，进修中国人民大学公共管理学院公共管理硕士(MPA)，专业方向为公共卫生与医疗政策研究。在学习期间，我不仅学到了本专业的各项专业知识和方法工具，而且也获得了导师及授课老师们孜孜不倦的教诲，使我得以顺利完成学业。并根据所学知识，结合自己的工作实践，写成了毕业学位论文——《浅析我国采供血管理体系中存在的问题及改善建议》。该论文虽因个人学识的不足，难免挂一漏万，存在不少缺憾;但毕竟是对前段学习和工作的总结，并以此作为日后进一步学习和研究的起点。
在论文成稿之时，我除了要感谢学校和领导给予我深造的机会，以及导师和其他老师们的倾囊相授外，也向学校及院系领导申请答辩，望学校及院系领导批准。
学位论文选题的理论意义和实践意义在于：
一方面，新中国解放后，我国血液管理工作获得了较大发展。从血液来源上看，由以往主要为有偿献血变为现阶段主要为无偿献血，献血的人道主义精神得到较好的体现。据卫生部2005年公示的我国各省无偿献血占临床用血比例及排序的数据显示，自1998年我国出台无偿献血法以来，自愿无偿献血占采集临床用血比例由1998年的5%增长到2005年的，计划无偿献血占采集临床用血比例由1999年的减少到2005年的，无偿献血占采集临床用血比例由1998年的22%上升到2005年的;从法制建设上看，国家对血液的管理也逐步进入法治轨道，卫生部于1993年2、3月相继颁布了(93)第29号部长令《采供血机构和血液管理办法》和卫医发(93)第2号文《血站基本标准》，并于1993年7月1日起在全国实施，2006年又颁布了《血站管理办法》。一系列法律、法规的出台使得用血安全得到较好保障，能够较好维持血液的安全、有效供给。
另一方面，我国的血液管理在取得巨大发展的同时也存在着很大问题。从献血方面来看，部分地区存在的有偿供血仍在严重威胁血液安全。根据2004年10月卫生部公布的数据，我国内地仍有百分之十五的临床用血来自于有偿供血，尤其在部分偏远农村地区，无偿献血工作严重滞后;有些地区依然存在有偿供血、频繁采血现象，“血头”、“血霸”组织非法卖血时有发生，血源性传播艾滋病、肝炎等重大传染病直接威胁着供血者和用血者的身体健康。同时，各地在献血工作的实际开展过程中也出现了许多问题，事业单位、企业、高校等部门往往为了完成献血的行政任务而被迫采取一些非正规的操作手段，结果导致更多问题的出现，这许多的问题彰显了我国的献血制度存在着很大的.弊端。从供血方面来看，血液管理机构(主要为血站)的管理存在混乱、低效的情况，不能形成与血液使用部门(医院)的有效对接，血液供给的正常性、有效性得不到充分的保障，导致部分地区经常出现“血荒”现象。因此，对我国采供血管理体系中存在的问题进行剖析，并在此基础上提出相应的改善建议，无疑具有重要的现实意义。
论文的基本内容：
首先，回顾和总结了采供血管理的基础理论。在该章中，明晰了采供血行业的相关概念，并运用公共产品理论和政府管制理论对血液物品的性质和我国采供血管理体系进行了的必要的理论分析。
接着，分析了我国采供血管理体系的现状，即：回顾了我国血液管理体制的历史沿革;分析了我国采供血管理体系中存在的主要问题和成因。
最后，在吸取发达国家供血管理体制的经验及启示的基础上，提出了我国采供血管理体系改善方案。这些主要措施有：加强采供血的法制建设;进一步强化政府管制的主导作用;构建政府与市场和非营利组织的多方合作机制;进一步完善公众参与的无偿献血机制。
创新见解
(1)本论文在前人研究成果的基础上，遵循“提出问题→分析问题→解决问题”的研究范式，对我国采供血管理体系中存在的问题及改善建议进行研究，具有一定的理论和现实意义。
(2)采用了系统分析方法。我国采供血管理体系中存在的问题及改善建议研究是一个系统性工程，不仅关系到供血系统内部的诸多要素，更涉及到政治、经济和文化等各个社会层面，因此，只有运用系统分析的观点，才可能得出相对科学而体系化的结论。
(3)采用了理论与实践相结合的研究方法。本论文力求在对我国采供血管理体系中存在的问题及改善建议展开研究时，将其实践操作与理论指导相结合，做到理论联系实际，以使我国采供血管理体系的改善方案能在理论的指导下，开拓创新，实现实践中的突破。
(4)采用了宏观分析与微观分析研究相结合的方法。所谓宏观分析，即是回顾和总结采供血管理的相关理论，以在宏观上确立一个大的指导范式;而微观分析，则是在前述指导范式下，分析我国采供血管理体系中存在的问题，进而提出我国采供血管理体系的改善建议。通过将上述二者的有机结合，达到点面兼顾，从而全面把握新形势下我国采供血管理体系构建的走向。
此致
敬礼!
申请人：
20**年**月**日
数学领域中的一些著名悖论及其产生背景
【摘要】In this paper, leads to Fermat's theorem Rolle Mean Value Theorem, and then constructing auxiliary function of the Lagrange mean value theorem and Cauchy's Mean Value Theorem to prove that. The use of Differential Mean Value Theorem (Rolle theorem, Lagrange's theorem, Cauchy's theorem) to solve a number of derivative and limit the problem. Through the polynomial approximation to function, resulting in more than a Peano-type and Lagrange remainder of the Taylor formula, using elementary functions Maclaurin expansions to address the limits and the approximate evaluation of the problem. Through the study of this article requires proficiency in differential intermediate value theorem and Taylor's formula to prove, using theorem to solve a number of conclusions related questions, so can a clear understanding of this kind of problem solving ideas. 【关键词】 Differential intermediate value theorem Taylor formula Derivative More than
在一篇数学 教育 论文中，题目是论文的要件之首，它不同于一般 文章 的题目，我们要重视题目的重要性。以下是我为大家精心准备的数学教育论文题目，欢迎阅读!数学教育论文题目(一) 1、浅谈中学数学中的反证法 2、数学选择题的利和弊 3、浅谈计算机辅助数学教学 4、数学研究性学习 5、谈发展数学思维的 学习 方法 6、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法 7、数学教学中课堂提问的误区与对策 8、中学数学教学中的创造性思维的培养 9、浅谈数学教学中的“问题情境” 0、市场经济中的蛛网模型 11、中学数学教学设计前期分析的研究 12、数学课堂差异教学 13、浅谈线性变换的对角化问题 14、圆锥曲线的性质及推广应用 15、经济问题中的概率统计模型及应用 数学教育论文题目(二) 1、二阶变系数齐次微分方程的求解问题 2、一种函数方程的解法 3、微分中值定理的再讨论 4、学生数学学习的障碍研究; 5、中学数学教育中的素质教育的内涵; 6、数学中的美; 7、数学的和谐和统一----谈论数学中的美; 8、推测和猜想在数学中的应用; 9、款买房问题的决策; 10、线性回归在经济中的应用; 11、数学规划在管理中的应用; 12、初等数学解题策略; 13、浅谈数学CAI中的不足与对策; 14、数学创新教育的课堂设计; 15、中学数学教学与学生应用意识培养; 16、关于培养和提高中学生数学学习能力的探究; 17、运用多媒体培养学生 18、高等数学课件的开发 19、 广告 效益预测模型; 数学教育论文题目(三) 1、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 2、一道排列组合题的解法探讨及延伸 3、整除与竞赛 4、足彩优化 5、向量的几件法宝在几何中的应用 6、递推关系的应用 7、坐标方法在中学数学中的应用 8、小议问题情境的创设 9、数学概念探索启发式教学 10、柯西不等式的推广与应用 11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用 12、一道高考题的 反思 13、数学中的研究性学习 15、数字危机 16、数学中的化归方法 17、高斯分布的启示 18、 的变形推广及应用 19、网络优化 20、泰勒公式及其应用 猜你喜欢： 1. 数学教育教学论文参考范文 2. 关于数学专业毕业论文题目参考 3. 数学教育专业毕业论文 4. 有关数学教育的论文范文 5. 数学教育专业毕业论文参考
数学领域中的一些著名悖论及其产生背景
泰勒 (2004-02-06) 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。 泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。 泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。 1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。参考资料：
美国近代教育 一、教育概况 1、殖民地时期的教育 17~18世纪的美国总体上处于欧洲的殖民统治时期，缺乏独立统一的中央政府，这一时期美国的教育尚未建立起相应的教育制度，更缺乏统一的教育安排。 ①1636年，哈弗学院的建立，标志着美国第一所高等学府的开办，也标志着美国学校教育的开始。 ②1642年和1647年，马萨诸塞州颁布了强迫教育法令，要求家长和师傅对自己的孩子或学徒进行教育，要求各乡镇居民共同出资兴办初等学校和中等学校，否则就会处以罚款。 ③1693年建立了一所初期为中等水平的“威廉—玛丽学院”。 ④1751年，富兰克林在费城首先创办了一所文实中学、文实中学大多私立收费，这是美国中等教育进入新阶段的标志。 2、独立战争以后至20世纪初叶的美国教育 （1）教育领导体制的形成 ①学区制的兴衰：19世纪中期，学区制在美国被普遍使用。学区制改革的主要措施：一是削弱学区的职权；二是合并学区。 ②州教育领导体制的建立：美国教育管理体制实行地方分权制。1837年，马萨诸塞州首先建立了州领导体制，推动了美国教育制度的发展。 ③联邦教育机构：1867年，美国设立教育署，交流全国教育组织领导、学制和教学方面的情报。 （2）公立学校运动和中等教育的发展 ①公立学校运动：贺拉斯·曼是主要推动者。公立学校运动主要是指依靠公共税收维持，由公共教育机构管理，面向所有公众的免费的义务教育运动。 主要特点： 第一，建立地方税收制度，兴办公立学校。 第二，颁布义务教育法，实行强迫入学。 第三，采取免费教育手段，促进普及义务教育。 ②中等教育的发展。 1749年，富兰克林提倡建立新型的中等学校——文实中学。这是美国历史上第一所将古典课程与现代课程学科相结合，并兼顾升学和就业双重培养目标的中等学校。 公立学校的建立，不仅奠定了美国教育的基础（统一和免费的公立学校体系），也成为美国普及教育运动的开端。 （3）高等教育的发展 ①特点 第一，办学形式丰富多样，以私立为主，公、私并重。 第二，高等学校数量大增，但规模普遍偏小。 第三，新兴农工学院的兴起，开创了大学为社会服务的先和。 第四，研究型大学的创办，提高了美国大学的研究实力。1876年创办的约翰·霍普金斯大学被认为是美国第一所现代化大学。 第五，美国高等教育在19世纪开始面向女子开放，20年代开始，创办了一批女子学院。到19世纪末，个大学纷纷向女性开放，实行男女同校教育。 ②《莫雷尔法》 代表人物：1862年，林肯总统批准《莫雷尔法》（也称《赠地法案》）。 具体内容：该法规定，联邦政府按各州在国会的议员人数，拨给每位议员三万英亩土地，各州应将赠地收入开办或资助农业和机械工艺学院，这类学院也叫做赠地学院。大多数州都将赠地收入用来创办工农学校或在原有的大学内附设工农学院。 影响：农工学院的发展开创了高等教育为工农业生产服务的方向，改变了高等教育重理论轻实践的传统；促进了美国高等教育的发展，形成了美国高等教育的社会服务特性。 （二）教育思想——贺拉斯·曼的教育思想 19世纪“美国公立学校教育之父”。 1、论教育作用与目的：首先，教育是培养理想的国家公民的途径；其次，教育是维持现存社会安定的重要工具；再次，教育是使人民摆脱贫困的重要手段。 教育的目的：教育应当培养社会需要的各种工作者。 2、论教育内容：重视体育、智育、政治教育、道德教育、宗教教育。 3、论师范教育：重视对教师的培养，认为教师是提高公立学校教育质量的重要手段。在他的倡导下，马萨诸塞州建立了第一批公立师范学校。 4、评价。贺拉斯·曼为推动美国公立教育事业发展做出了杰出贡献。他的普及教育、师范教育思想不仅影响了美国的教育理论和实践，在国际教育界也产生了巨大反响。 二、美国教育的发展 （一）中等教育的改革与发展：《中等教育的基本原则》 内容： （1）美国教育的指导原则是民主原则。 （2）中等教育的内容包括健康、掌握基本的方法、高尚的家庭成员、职业、公民资格、适当地使用闲暇时间和道德品质七项。 （3）改组学制，建立中等教育与初等教育相互衔接的学制，中等教育在包括所有课程的综合中学进行。 意义：《中等教育的基本原则》是在美国教育史上一份有影响的报告。他不仅肯定了六三三学制和综合中学的地位，而且提出了中学是面向所有学生并为社会服务的构思的思想。 （二）中等教育改革与发展：“八年研究” 20世纪30年代，美国高中的发展带来了升学与就业的矛盾，美国进步教育委员会成立了“大学与中学关系委员会”，研究大学与中学的关系问题。 （1）实验内容：委员会制定了为期八年的大规模的高中教育改革实验研究计划，即“八年研究”计划。当时在200所中学中选出了30所中学，故该实验也称“三十校实验”。也有与300所大学的合作——实验中学的毕业生不用才加入学考试，只要完成了规定的学分，就可申请进入学院，但必须有校长的推荐信。有的学校没有变化，有的学校坚持入学考试。 意义：“八年研究”对美国教育改革的发展提供了有益的借鉴，鼓励中学摆脱传统教育和课程的模式。 （三）初级学院运动 （1）内容：初级学院是中等教育向高等教育过渡的教育，既可以直接就业，也可以升入大学三年级完成正规的高等教育。芝加哥大学校长哈伯率先把大学四年划分为两个阶段，第一阶段两年未“初级学院”，第二阶段为“高级学院”，同时课程也分为两部分。 （2）意义：初级学院思想的提出，对美国高等教育自身结构的改革产生了影响，也对中等教育的改革产生了较大影响。 （四）职业技术教育的发展 （1）“全国职业教育促进委员会”目的在于制定一个能对全国的职业教育提供财政补助的法律。 （2）《史密斯—休斯法》 该法案的颁布，对美国普通教育和职业教育产生了重要影响。使普通教育转向升学和就业的双重目标，加强了教育与现实的联系；同时又为美国职业教育发展提供了有利条件。从此，美国职业教育不再是一种行业内的自发行为，而是一种联邦与州合作的政府行为。 （五）《国防教育法》 （1）背景：国内，民众不满公立学校教育质量的下降；国外，苏联卫星的上天，教育改革的呼声更为强烈。 （2）内容： ①普通教育加强对自然科学、数学、现代外语（“新三艺”）的教学。 ②加强职业技术教育。 ③强调“天才教育”。 ④增拨大量教育经费，作为各级学校的财政援助。 （3）意义：《国防教育法》旨在改变美国教育水平落后的状况，使美国教育能够适应现代科学技术的发展和满足国际竞争的需要。它的颁布有利于美国教育的发展，有利于教育质量的提高，有利于培养科技人才。 （六）20世纪60年代的教育改革 （1）中学小学结构主义课程改革——布鲁纳的《教学过程》报告。 （2）继续解决教育机会不平等问题——黑人、白人合校。 （2）发展高等教育，提高高等教育质量——《高等教育设施法》。 （七）20世纪70年代的教育改革：生计教育和“返回基础”教育运动 （1）生计教育：生计教育是美国教育署署长于1971年开始倡导的一种教育。生计教育是以职业教育和劳动教育为核心的适应瞬息万变的社会的教育。 （2）“返回基础”教育运动：20世纪70年底，美国公众对公立学校的教育质量普遍不满，美国掀起了“返回基础”教育运动。其主要是针对中小学校出现知识教育和基本技能训练薄弱的问题而言。这场运动从实质上讲是恢复传统教育的。 （八）20世纪80~90年代的教育改革：《国家处于危难之中：教育改革势在必行》 （1）背景：20世纪80年代初，美国中小学教育质量问题成为社会关注的中心，1983年提出了《国家处于危难之中：教育改革势在必行》的报告。这个报告也是美国战后第三次教育改革的开端。 （2）内容： ①建议加强中学五门“新基础课”的教学，中学必须开设数学、自然科学、英语、社会科学、计算机课程。 ②提高教育标准和要求。 ③通过加强课程管理等措施，有效利用在校学习时间。 ④改进教师的培养，提高教师的专业训练标准、地位和待遇。 ⑤各级政府加强对教育改革的领导和实施。 这些内容旨在提高教育质量。 （3）影响 ①恢复和确立了学术性学科在中学课程结构中的主体地位。 ②加强了课程结构的统一性，对所有学生提出了严格的共同要求。 ③增强了公众对教育的信心，重新激发了公众对教育的关注和资助。 （4）弊端 ①因过分强调标准化的测试成绩，导致忽视了学生个性的培养。 ②因教学要求过于统一，导致了不灵活。 ③因强调提高教育的标准和要求，使潜在的辍学人数迅速增加。 （九）20世纪90年代的教育改革 （1）《美国2000年教育战略》 1991年，美国总统老布什发表了《美国2000年教育战略》，提出了美国六大教育目标，旨在缩短美国在技术与知识方面的差距。其中六大目标是： ①所有学龄儿童具有入学读书的准备； ②中学生的毕业率至少应提高到90%； ③美国学生在满4、8和12年时，应当在有相当难度的课程——其中包括英语、数学、科学、历史及地理等科目中，学习成绩优秀，考试合格； ④美国学生在数学与科学成就方面将是全球第一，名列前茅； ⑤每个青年人都具有文化知识和在国际活动中的竞争力； ⑥每所学校将成为无毒品、无暴力的场所，还将成为秩序井然而又富有浓厚学习空气的园地。 影响：这份文件规划了美国教育发展的蓝图，它犹如一项教育改革宣言，对美国教育的改革起到了重要的指导作用。作为90年代教育战略的重要组成部分，正式揭开了美国20世纪末教育改革的帷幕。 （2）《2000年目标：美国教育法》 1994年，美国总统克林顿签署《2000年目标：美国教育法》。它提出了一个全国性的教育改革计划，包括四大部分：国家教育目标；全国教育领导、标准和评价；州和地方教育体系的改革；国家技能标准委员及其成员、经费和职责。 该法表明了美国在教育改革上决心强化联邦政府的主导作用，并继续确认了6项“国家教育目标”，加强基础教育的核心学科。
“八年研究”不仅对美国大学入学要求和中学课程产生了深远的影响，而且还孕育了泰勒的课程原理。”1949年，泰勒正式出版了《课程与教学的基本原理》一书，总结了他在“八年研究”中的成果。该书1981年曾按美国的《卡潘》（Kappan）杂志评为自1906年以来对学校课程领域影响最大的两本著作之一，现已经成为“现代课程理论的经典著作，是试图理解这个领域的后继著作的人必读书。”在该书中，泰勒把课程编制的主要步骤列为四个问题：1）学校应该达到哪些教育目标?2）提供哪些教育经验才能实现这些目标?3）怎样才能有效地组织这些教育经验?4）我们怎样才能确当这些目标正在得到实现?概括地说，课程应分为教学目标、学习活动、课程内容的组织以及教学评价四个基本的要家。这就是现代美国课程领域中产生广泛影响的“泰勒原理”。“‘泰勒原理’被公认为课程开发原理最完美，最简洁、最清楚的阐述，达到了科学化课程开发理论发展的新的历史阶段，《课程与教学的基本原理》也因而被誉为现代课程理论的圣经。”瑞典学者胡森（H．Husen）也曾评价说：“泰勒的课程基本原理已经对整个世界的课程专家产生了影响。……不管人们是否赞同‘泰勒原理’，不管人们持什么样的哲学观点，如果不探讨泰勒提出的四个基本问题，就不可能全面地探讨课程问题。”事实上，泰勒原理研究的范式现在仍然在课程领域中占支配的地位。由此可见，“八年研究”对课程理论的发展同样也作出了巨大的贡献。
1933—1940年意义：对进步主义学校毕业生和传统学校毕业生在大学的学习情况作对比研究，以了解两种不同类型的课程、教法的优劣，当时的大学入学考试科目对于大学学习是否必不可少，进步主义学校的课程、教法是否同样能为学生升入大学作准备等问题。