悖论研究的误区与爱因斯坦的启示

　　摘要：导致典型语义悖论的语句均为一个无穷嵌套的自相似结构的简略表达式，并且具有多种含义而不是单一的确定含义，只要证伪其单义句预设，此类悖论便可以被消解。类似地，导致典型集合论悖论的语句均涉及一个并不存在的对象，只要证伪其存在预设，此类悖论同样可被消解。

　　关键词：典型悖论 ；预设； 自相似

　　abstract：every paradoxical sentence causing a typical semantic paradox is the short expression of an infinitely nested self-similar structure and has ambiguous meanings instead of a specific meaning. if only disconfirming the presupposition of single meaning sentence, these paradoxes will be resolved. similarly, every paradoxical sentence causing a typical set theory paradox involve inexistent object. if only disconfirming the presupposition of existence, those paradoxes will be also resolved.

　　key words：typical paradox presupposition self-similar

　　悖论研究的困境

　　斯蒂芬·里德曾这样谈及哲学家与悖论的关系：“悖论既是哲学家的惑人之物，又是他们的迷恋之物。悖论吸引哲学家就像光吸引蛾子一样。但同时，悖论又是不能忍受的。我们做出的各种努力必然是为了消除悖论。哲学家是巫师，其任务就是拯救我们，使我们摆脱这个恶魔。”[1]

　　然而，令人惊异的是，自古希腊哲人发现“说谎者悖论”以来，两千多年过去了，“巫师”们虽使尽了浑身解数，却始终未能为我们除去这个“恶魔”。用大逻辑学家克林的话说便是：

　　“问题至今悬而未决，没有任何一种答案能得到普遍的认可。”

　　“至今没有一个人能令人信服地明确指出悖论的推理中有任何谬误，从而解除悖论。”[2]

　　“悖论”简单得连小孩子都能看懂、又有一代又一代一流思想家为之耗尽心力，竟然无人能解，这实在是人类思想史上极为罕见的现象。人们不仅要问：出路究竟何在？

　　爱因斯坦的启示

　　爱因斯坦曾经断言[3]：

　　“我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思考层次上解决。”

　　那么，“悖论”之所以一直无法解决，是不是由于众“巫师”花样翻新的“法术”始终停留在我们制造出“悖论”的思考层次上呢？回答是肯定的。

　　下面，我们将以“强化的说谎者悖论”为例展开讨论。事实上，我们业已表明，爱因斯坦的启示同样适用于解决所有“典型语义悖论”——包括“说谎者悖论”、“格雷林悖论”、“理查德悖论”、号称“语义学黑洞”的诸多“三值悖论”等，甚至还适用于解决所有的“典型悖论”。

　　“强化的说谎者悖论”与无穷嵌套的自相似结构

　　该“悖论”由一个极其简单的句子——“本句子非真”（其中，“本句子”是指它所在的那个句子本身，为简便计，以下将该句子简记作l）引出：

　　如果l是真的，则l就不是真的；

　　如果l不是真的，则又有l是真的。

　　这个“悖论”的构成可谓简单至极，难怪霍夫斯塔德要称其为“一步即成的奇异的循环”了。

　　爱因斯坦的警语可以给我们带来这样的启示，那就是，我们必须回过头来重新审视人们是在什么思考层次上“制造”出这个怪圈的，从而跳出这一思考层次。

　　请注意，在“制造”怪圈时，人们苦苦追问的是，如果l是真的（以及如果l不是真的）究竟可以从中推出什么结论。这实际上便已然预设了（或者说默认了）l是一个单义句（亦即l有且仅有一个明确的含义），否则，人们便不会去直接谈论l为真与否，而是会就l的某一种含义谈论其真值了。换言之，“制造”怪圈的“思考层次”可以用“l是单义句”来刻画。

　　 依照爱因斯坦的说法，我们应该跳出这个思考层次，亦即对“l是单义句”这一成见提出质疑。

　　果不其然，这个预设是荒谬的。

　　事实上，我们完全可以用反证法严格地证明，l不是单义句而是多义句。该证明十分简洁，人们以前之所以没有想到，并不是由于它有多么复杂，而是由于始终没有意识到“说谎者”竟然有这样一个预设，当然就更谈不上怀疑其真实性了。

　　证明：

　　不妨假设l为单义句。

　　此时便有，l要么为真要么非真。

　　如果l为真，则有l非真，矛盾。

　　由反证法即有，l非真。

　　如果l非真，则有l为真，矛盾。

　　由反证法即有，l并非非真。

　　综合以上两个子证明的结果便有，l既不是真的也不是非真的，矛盾，证毕。

　　请注意，在上述假设（亦即l的预设）下，谈论l为真与否的句子便是命题，并因而成为合法的推理对象。这意味着，在该假设下将怪圈嵌入证明之中乃是合乎逻辑的。

　　不难看出，l无非是“l非真”的简略写法，两者虽形式有别而含义并无不同。同理，后者无非是（（l非真）非真）的简略写法， 两者也是形异而义同。此种分析可一直进行下去。其结果是，我们愕然发现，l原来乃是下述无穷嵌套的自相似结构的简略写法，两者虽形式有别，含义却并无不同：

　　（（（…）非真）非真）非真 (l1)

　　显然，这个无穷嵌套的自相似结构正像一切无穷嵌套的自相似结构一样，还有一个奇妙的性质，那就是，无论在其外层依其构造规律再添加几层（有限层），所得到的仍为同一个结构。

　　例如：

　　（（（…）非真）非真）非真）非真 (l2)

　　（（（…）非真）非真）非真）非真）非真 (l3)

　　………………………………………………

　　与l1实际上完全相同。

　　容易看出，我们可以把l1理解成一个永远也说不完的、语义不完整的语句。显然，l1在这种含义下的真值只能是非真非假的（亦即克里普克所谓的“无根基的”）。与此同时，我们可把l2理解为是在断言上述含义下的l1非真。由于上述含义下的l1是非真非假的，故而l2的此种含义只能是真的。类似地，我们可把l3理解为是在断言上述含义下的l2为假。显然，此种含义下的l3就只能是假的。此种分析可一直进行下去，以至无穷：

　　（（（…）非真）非真）非真 (l1) 非真非假

　　（（（…）非真）非真）非真）非真 (l2) 真

　　（（（…）非真）非真）非真）非真）非真 (l3)假

　　……………………………………………… 真

　　……………………………………………… 假

　　………………………………………………

　　请注意，l1，l2，l3，…的所有这些不同的含义实际上都是由同一个结构——

　　（（（…）非真）非真）非真

　　来表达的！这足以表明，该无穷嵌套的自相似结构实际上具有无穷多种含义，并且它在这一系列含义下的真值依次为非真非假以及真与假的交替出现。

　　由于l与这个无穷嵌套的自相似结构形异而义同，说它是多义句便是极易理解的了。

　　附带说一下，利用无穷嵌套的自相似结构可以巧妙地解决许多看上去似乎根本无法下手的难题。让我们以一道有趣的数学题为例试说明之:

　　试证如下等式：

　　 =

　　乍看上去，该等式两侧的表达式都十分复杂，欲证它们相等谈何容易，简直是无从下手。然而，只要我们能够看出，左式与右式均为无穷嵌套的结构，且其每一层子结构（表达式本身可视为第０层子结构）实际上均为同一个结构（具有以上两个特点的结构即我们所谓的无穷嵌套的自相似结构），灵感便会突如其来。

　　令

　　，

　　利用上述无穷嵌套自相似结构的特点立即便有：

　　，

　　将二式分别变形即有：

　　a2－a－1 = 0，b2－b－1 = 0

　　鉴于a, b均大于0，于是，我们便有a = b，证毕。

　　回到我们的问题。我们已经证明了l是多义句。

　　至此，人们寻觅已久的答案终于出现了：既然l是多义句，“l是真的”、“l不是真的”便也成了多义句。因而，它们非但不是什么相互矛盾的命题，甚至根本就不成其为正确的推理对象（正确的推理对象只能是命题）。这意味着，“说谎者悖论”的推理纯属出于语言误解的逻辑误用，根本不合逻辑。这样我们就回答了克林的问题，彻底消解了“强化的说谎者”。

　　现在，我们可以把“强化的说谎者悖论”修正如下：

　　如果“本语句非真”在一种意义上为真，则它在另一种意义上就非真；

　　如果“本语句非真”在一种意义上非真，则它在另一种意义上就为真。

　　正如我们已经看到的，这非但不复成其为什么悖论，还不失为一种“新奇”的真理。

　　反观此前的诸多解法，才知道“巫师”们全都中了“恶魔”的圈套。他们均下意识地仿照怪圈本身的做法——直接就l本身而不是就其某一含义谈真论假，始终没有意识到l具有无穷多种含义。

　　借用爱因斯坦的话，众“巫师”原来全都是在“制造”怪圈的思考层次上试图“解决”怪圈。这就难怪他们始终摆脱不了“恶魔”的纠缠：要么自相矛盾、要么回到了原先的怪圈，要么跳出了“油锅”又进“火坑”。

　　关于“跳出了‘油锅’又进‘火坑’”我们要多说两句。如所周知，许多著名的解悖方案——如（关于“悖论性语句”的）“无意义说”、“非真非假说”以及克里普克的“无根基说”等等虽然看上去似乎解决了老“悖论”，却会陷于针对它们而构造出的新“悖论”，从而归于失败。由于此类“三值悖论”似乎可以“吸收”和“消化”任何解悖方案，所以被称作“语义学黑洞”。针对上述解悖方案而被造出的“悖论性语句”分别是：

　　本语句或者是假的或者是无意义的。

　　本语句或者是假的或者是非真非假的。

　　本语句或者是假的或者是无根基的。

　　而相应的“怪圈”则分别为：

　　如果“本语句或者是假的或者是无意义的”是真的，则它就是假的或者是无意义的；

　　如果“本语句或者是假的或者是无意义的”是假的，则它就是真的；

　　如果“本语句或者是假的或者是无意义的”是无意义的，则它也是真的。

　　如果“本语句或者是假的或者是非真非假的”是真的，则它就是假的或者是非真非假的；

　　如果“本语句或者是假的或者是非真非假的”是假的，则它就是真的；

　　如果“本语句或者是假的或者是非真非假的”是非真非假的，则它也是真的。

　　如果“本语句或者是假的或者是无根基的”是真的，则它就是假的或者是无根基的；

　　如果“本语句或者是假的或者是无根基的”是假的，则它就是真的；

　　如果“本语句或者是假的或者是无根基的”是无根基的，则它也是真的。

　　显然，上述方案非但无法解决相应的新“悖论”，还将陷于这些新“悖论”而不能自拔。

　　尤为令人哭笑不得的是，即便承认“本语句为假”是悖论性的，居然依旧逃不出新“悖论”的魔爪。此时的“悖论性语句” 变成了：

　　本语句或者是假的或者是悖论性的。

　　而相应的怪圈则为：

　　如果“本语句或者是假的或者是悖论性的”是真的，则它就是假的或者是悖论性的；

　　如果“本语句或者是假的或者是悖论性的”是假的，则它就是真的；

　　如果“本语句或者是假的或者是悖论性的”是悖论性的，则它也是真的。

　　令人欣慰的是，本方案似乎可以经受住此种严酷的考验，不会因重新陷入“怪圈”而归于失败。

　　请注意，此时的“悖论性语句”应为：

　　本语句或者是假的或者是多义句。（m）

　　而相应的“语义学黑洞”应为：

　　如果m是真的，则m或者是假的或者是多义句；

　　如果m是假的，则m就是真的；

　　如果m是多义句，则m也是真的。

　　不难看出，第三个推理显然不能成立。这是因为，既然m为多义句，我们便再也不能笼统地谈论m的真值，充其量也只能由“m是多义句”推出“m在其任何一种意义上都是真的”，而绝不能由此推出“m是真的”来。

　　典型语义悖论之统一消解原理

　　进一步的研究表明，包括“说谎者悖论”、“格雷林悖论”、“理查德悖论”、“语义学黑洞”在内的所有“典型语义悖论”实际上都是在一个假预设下产生的，这个预设便是，相关的“悖论性语句”（如“本句子为假”、“‘非自状的’是非自状的”、“i是理查德数”等）为单义句。如若不然，人们就不会简单地谈论这些句子的真值为何，而是去谈论它们究竟有几种含义以及其每一种含义的真值为何了。换言之，“典型语义悖论”的毛病并不像以前所认为的那样，是出在前提或者推理规则上，而是出在预设上。

　　典型悖论之统一消解原理

　　不难看出，典型的“集合论悖论”原来与“典型语义悖论”一样，也是基于一个虚假的预设，只要证明了这个预设是假的，问题也就应刃而解了。例如，就著名的“罗素悖论”而言，便是预设了“罗素集”的存在，而事实上这样的“集合”根本就不存在，一如弗雷格晚年所意识到的那样。类似地，“理发师悖论”和“目录悖论”则预设了特定的理发师和目录的存在，而诸如此类的理发师和目录也根本不存在。

　　于是，我们便进而为所有“典型悖论”找到了一个非特设性的统一解，那就是证伪其一个预设并利用由此得到的“新知”使之归于消解。

　　“强化的说谎者悖论”之卢卡西维茨－塔斯基推导指误

　　“典型语义悖论”以及“典型悖论”的统一消解原理不仅可以用来消解“悖论”，从而捍卫逻辑乃至人类理性的可靠性，还为我们重新审视各种相关理论提供崭新的视角。对于那些影响深远的经典之论，这样做无疑显得尤为必要。

　　关于“强化的说谎者悖论”，卢卡西维茨给出过一个著名的推导。此一推导为塔斯基所沿用，并用来作为建立其形式语言真理论的依据。时至今日，该推导仍被视为无懈可击，以至于被称作是该“悖论”的“精确塑述”。然而，在我们看来，该推导实际上并不可靠。

　　首先，让我们审视一下卢卡西维茨－塔斯基推导。考虑如下句子：

　　本页本行的句子不是真的。

　　为简明计，我们将用s指称这个句子。将“s”和这个句子本身分别代入公式（t）——

　　x是真的，当且仅当p。

　　中的x和p，即得如下（t）型等值式：

　　s是真的，当且仅当本页本行的句子不是真的。

　　由于“s”与“本页本行的句子”所指称的乃是同一个句子，依照莱布尼兹定理便有：

　　s是真的，当且仅当s不是真的。

　　这正是“强化的说谎者悖论”。

　　上述推导看似天衣无缝，实则不然。它实际上从一开始就有毛病：公式（t）并不适用于所有语句，它仅对单义句成立，而对多义句并不成立。

　　显然，对任一单义句p而言，若x是其名称，公式（t）——“x是真的，当且仅当p”显然成立。例如：“雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。这正是塔斯基举过的那个著名的例子。

　　然而，对任一多义句p而言，若x是其名称，“x是真的”便也成了多义句，因而也就根本就谈不上什么两者之间的相互推出。这意味着，公式（t）——“x是真的，当且仅当p”肯定不成立。如若不然，两者就可以相互推出了。

　　请注意，塔斯基推导的第一步便是将语句——“本页本行的句子不是真的”及其名称“s”分别代入公式（t）。不难看出，“本页本行的句子不是真的”完全同义于“本句子非真”，属于多义句，因而，公式（t）对该语句实际上并不成立。这意味着，将该句子及其名称分别代入公式（t）所得到结果肯定不成立。由此可见，塔斯基推导的第一步就是错误的。

　　我们在一篇专门讨论塔斯基真理论的文章中所涉及的内容比这里更多一些，共提出以下几点不同看法[4]:

　　1．公式(t)仅对单义句成立,对多义句不成立;

　　2．由公式(t)到“说谎者悖论”之推导不可靠;

　　3．“说谎者悖论”并非真正意义上的悖论;

　　4．适当的真理定义只应蕴涵任何单义句的(t)型等值式而不是必须蕴涵任何语句的(t)型等值式;

　　5．在语义上封闭的语言中真理未必不可定义。

　　结束语

　　在即将结束之前，我们必须对悖论研究的诸多前辈表示敬意，因为我们从他们那里获益良多。即便是在“制造”怪圈的思考层次上“解决”怪圈，他们也毕竟洞察到了真理的某个侧面。例如，塔斯基的语言层次说似乎预示了“悖论性多义句”的语义层次。再如，克里普克的“无根基说”就“悖论性多义句”的特定语义而言也的确成立。正如我们所看到的，就连认为“悖论性语句”为真、为假、非真非假甚或既真且假的见解在某种意义上也都不无道理。能将所有这些对立的观点统一起来，也许正是悖论研究的希望所在。

　　参 考 文 献

　　[1] [英] 斯蒂芬·里德著，李小五译，张家龙校，《对逻辑的思考——逻辑哲学导论》，辽宁教育出版社、牛津大学出版社，1998。

　　[2] 杨熙龄著《悖论文献访求漫记》，载《国外社会科学》1984年第12期。

　　[3] [美]斯科特·索普著，蔡梵谷译，《谁坏了你的大脑：爱因斯坦的天才思考法》，南海出版公司，2002。

　　[4] 张铁声，塔斯基真理论中的几个疑点，《晋阳学刊》1999年第4期。