数学哲学的教育价值与思考论文（共3篇）

  　　如今的数学比以前更快的速度要更快。这样的结果是许多以前对数学哲学感兴趣的数学以及一些新成长起来的数学家都很少涉足数学哲学。曾经有数学家就认为数学哲学家讨论的是“前天的数学”而不是“今天的数学”。下面是学术参考网的小编收集的关于数学哲学论文范例，欢迎大家阅读欣赏。

　　第1篇：数学哲学对于数学教育的价值

　　数学哲学对于数学、数学教育和数学教学的意义何在？其实这一直是一个没有定论的问题。具体说来，人们大概不会否认数学哲学对于数学和数学教育的作用，无论这种作用是大还是小，是积极的还是消极的，是长期的还是短期的，是直接的还是间接的。然而人们难以有共识的是，数学哲学在何种程度上，以何种方式对数学和数学教育起着作用。本文将从数学哲学的一个核心与重要的领域——数学观出发，对相关话题予以初步论述，以期引起中小学数学教师对此话题的关注。

　　一、数学观演变的历史掠影

　　自从数学产生以来，人们就形成了关于数学的许多认识。人们关于数学的理解和看法在相当程度上取决于当时数学知识发展的水平。例如，无论是在中国古代还是古希腊，万物固有的量性特征都促使人们思考了物质世界与数量之间的关系。在《道德经》中，老子提出了“道生一，一生二，二生三，三生万物”的思想，而古希腊的毕达哥拉斯学派的信念则是“万物皆数”。再比如，物质存在的空间形态促使人们对几何形体进行了研究，几何学因而成为所有数学文化的共同对象，尽管所采取的研究方法各不相同。

　　在数学发展早期，由于数学知识的特点，这种对于数量与空间形式的认识可能是初步的、幼稚的，甚至是错误的。例如，无论是在中国古代、古巴比伦、古埃及还是古代印度，数字与神秘主义一直有着千丝万缕的联系。在古希腊，由于受所有的数都是整数之比这一观念的影响，无理数的发现竟然被认为是一场灾难。

　　与古埃及、巴比伦和其他的经验主义数学范式不同的是，古希腊数学在许多基本和重大的观念上都是开创性的。在本体论方面，古希腊人把数学研究对象加以抽象化和理想化，使之成为与现实对象不同的具有永恒性、绝对性、不变性的理念对象。在认识论方面，对于数学真理的判定，古希腊人坚持运用演绎证明而不是经验感知，并赋予数学真理以与其本体论性质相当的价值观念。古希腊人把数学加以观念化，使之成为一种形而上学的学问，而不仅仅停留在实用的、技术的、巫术的、技艺的等形而上学的层面。在方法论方面，古希腊人赋予数学以严密的逻辑结构，使数学知识以一种体系化的形式呈现，并坚持通过论证的方法获得数学命题的可靠性。

　　演绎数学作为古希腊所开创的数学范式，其基本观念在毕达哥拉斯学派和柏拉图的数学世界中达到了顶点。毕达哥拉斯学派首先开始把数学作为抽象的对象加以研究，柏拉图则进一步把这种思想提升到了哲学和形而上学的层面，最终形成了著名的毕达哥拉斯一柏拉图的数学观念，作为这一数学观念知识典范的就是欧几里得的《几何原本》。古希腊人创造的演绎数学范式，完全改变了经验数学范式之下人们对数学的看法，对西方数学的发展有极为深刻的影响，进而对西方数学教育的进程产生了难以估量的影响。

　　概括起来看，在数学发展的历史上，数学观主要经历了三个重要阶段。

　　第一个阶段是酝酿、准备和发动阶段。文艺复兴以来，古希腊数学范式开始逐步演变，并直接促使了现代数学的诞生。伴随着文艺复兴之后几个世纪的数学创造与进展，一批伟大的数学巨匠相继出现。如伽利略、笛卡尔、帕斯卡、牛顿、莱布尼茨等，这些数学家在古希腊演绎数学的基础上开创了现代数学的广阔领域。这一时期，整个数学思想开始从古典数学、静态数学(以古希腊数学为标志)向现代数学、动态数学(主要标志是极限思想)转变。

　　现代数学是以微积分的诞生为标志的。现代数学的发展在牛顿、莱布尼茨时代只是一个初步的雏形。它的逐步成熟是在第二个阶段，也就是法国数学学派兴盛的时期。以富里叶、拉普拉斯等为代表的数学家把现代数学推向了一个新的阶段。其基本特点是在数学本体论中驱逐了神的地位，建立了相对独立的数学作为自然法典解读者的地位。

　　现代数学发展的最高标志(也就是第三个阶段)是数学逐渐地变成自为、自足与自律的学科，这是18世纪末、19世纪以来数学发展的一个最显著特征。19世纪中叶以来，随着非欧几何和非交换代数的诞生，以及一系列具有革命性意义的数学知识的发展，关于数学对象存在性和真理性的、神学的、柏拉图主义的和形而上学的观念开始逐步被颠覆。随着数学变成一门独立的学科，其自身的理论体系建设就成为一个十分重要的问题，所以，完善微积分的基础，更广泛地讲，完善整个数学的基础就成为当务之急。然而，关于数学的基础和数学性质，大多数数学家仍然停留在现代数学哲学的范式之中，这一点在三大流派那里体现得最为明显。三大流派的共同点是以现代性数学思想为基调的基本诉求，即相信可以通过建立坚固不变的基础，使数学获得一个免于被质疑的知识地位，并在这一体系中消除各种矛盾和悖论，达到体系的一致性。然而，这种基础主义的诉求却被证明是无法实现的。而哥德尔不完全性定理的诞生作为基础主义运动的一个意外结果，为绝对主义数学观的终结画上了句号。

　　虽然现代数学观念有着巨大的价值，但为了数学的长足进步，现代数学观念中有两个基本观念是需要扬弃的：一个是神学的、形而上学的柏拉图主义数学观，一个是对逻辑化、形式化、模式化的数学观念和认识范式的绝对、盲目地信仰。

　　二、数学观的当代发展

　　在19世纪末20世纪初，为了解决由于集合论悖论等悖论造成的数学基础的危机，许多数学家和数学团体致力于建立避免产生悖论和矛盾的数学基础重建工作。其中最引人注目的是形式主义、逻辑主义和直觉主义，它们构成了围绕数学危机展开的数学基础的三个主要流派。

　　形式主义者主张用形式公理化系统去整合整个古典数学。一个数学系统的形式化就是把这个数学系统用形式语言进行描述，而这一形式语言需要满足符号系统、形成规则和变形规则等几个条件。数学系统的公理化是指，通过选取少数不加定义的原始概念(基本概念)和无条件承认的相互制约规定(公理)作为出发点，经过严密的逻辑推理，使某一数学系统成为演绎系统。希尔伯特等数学家为了奠定数学的牢固基础，提出了元数学理论，目的是要为数学的证明、推理、方法、规则等提供一个合理的基础。

　　以弗雷格、罗素和怀特海为代表的逻辑主义企图沿循数理逻辑的路线去奠定数学的基础。在逻辑主义者看来，与数学相比较，逻辑具有更为基本的和起始性的知识本质。因此，把数学归结为逻辑就成为逻辑主义的基本指导思想。为了实现数学的逻辑化，首先必须假设全部数学可以还原为某种数学基础，例如实数理论，而实数理论又可以还原为有理数，最终归结为自然数理论。假如上述还原都是畅通的，那么只需要把自然数理论逻辑化，一切就都大功告成了。如果数学逻辑化的工作得以完成，数学就成为逻辑的一部分。皮亚诺的算术理论、数理逻辑的发展和弗雷格在逻辑公理化方面所作的工作，为逻辑主义的事业奠定了基础。

　　与逻辑主义的信念正好相反，直觉主义的代表人物布劳威尔认为：“逻辑是从数学派生出来的，它显然依赖于一种本质上的数学直观，这种直观建立在康德的‘内感形式’的时间概念的基础上。”在直觉主义的基本思想指导下，直觉主义者提出了一套不同于当时已有的数学与逻辑观点的“直觉主义数学”和“直觉主义逻辑”。其基本思想是，把数学与逻辑的可靠性建立在直觉上得到构造的对象和推理过程之上，而放弃那些不符合“可信性”标准的数学概念和方法。这种“可信性”用直觉主义的一个著名口号来表达就是“存在就等于被构造”。

　　20世纪30年代初，哥德尔发表了著名的哥德尔不完全性定理，从而从根本上宣布了基础主义三大流派的整体数学目标的失败。之后，关于数学观的认识进入了一个新的时期。这一时期的数学观的一个整体特点就是对绝对主义数学观的批判。这些批判尽管角度和观点不尽相同，但总体可以用“可误主义”的数学观来表达。其观点具体体现在普特南、波普尔、拉卡托斯等哲学家的数学思想中。

　　关于数学基础，美国著名哲学家普特南在其著名的《没有基础的数学》一文中提出的观点是：“在过去的半个世纪里，哲学家和逻辑学家曾经如此忙于试图为数学提供一个‘基础’，而只有很少的很胆怯的声音敢于建议数学并不需要一个‘基础’。我在这里希望促进某些这样微弱的声音所表达的观点。我不认为数学是不清楚的，不认为数学的基础出现了危机，甚至不相信数学具有或需要一个‘基础’”英国著名科学哲学家波普尔认为在数学中没有完全确定的东西，即使是作为数学理论演绎结构逻辑起点的公理也是如此。公理不能再被当做是直觉上自明和可以免于被怀疑的，它们可以被看做是一种约定或是一种经验和科学的假设。

　　三、当代数学观及其对于数学教育的启迪

　　著名数学哲学家拉卡托斯在论述了关于数学不再具有完全可靠基础的观点之后，提出了数学的拟经验主义立场，包括以下五个基本观点：数学知识是可误的，数学是假设——演绎的，历史是核心，断定非形式数学的重要性以及知识创造的理论。

　　由于数学基础主义在20世纪初的巨大影响及其对于数学观认识的某些共性，以及后来对于基础主义反思所表现出来的共同特点，英国学者欧内斯特把数学观分为绝对主义数学观和可误主义数学观。

　　绝对主义数学观和可误主义数学观的相似之处在于，两者的数学观基本上是一种内部视角。两者的不同之处在于，绝对主义数学观所关注的是数学结构内在的确定性和不变性。其对于数学真理的看法是固定不变的和一劳永逸的。而可误主义数学观则认为数学是动态的、猜测的、拟经验的、可错的、历史的，数学真理是可以修正的。

　　继可误主义数学观之后，20世纪末，关于数学观的认识进入了社会建构主义的认识时期。对于社会建构主义的数学哲学，欧内斯特这样表达了其思想来源和知识基础：“社会建构主义将数学看做社会的建构，它吸取约定主义的思想，承认人类知识、规则和约定对数学真理的确定及判定起着关键作用。它吸取拟经验主义的可误主义认识论，其中包括数学知识和概念是发展和变化的思想。它还采纳拉卡托斯的哲学论点，即按照一种数学发现的逻辑，数学知识在猜想和反驳中得到发展。相对于规定性哲学来说，社会建构主义的数学哲学是一种描述性数学哲学，旨在合适的标准下解释普遍所理解的数学的本质。”

　　对于主观知识与客观知识的区分、对个体主观知识的强调，以及对主观知识与客观知识之间辩证关系的探讨构成了欧内斯特社会建构主义理论的一个突出特色。关于数学客观性和数学知识的客观性，欧内斯特把客观知识理解为主体间性和为数学共同体所共享的，即比波普尔所理解的客观知识要宽泛一些。欧内斯特也坚持客观知识必须是明确的、公共的与布鲁尔一样，欧内斯特也赋予了客观知识一种社会的意义。欧内斯特认为，传统的(包括波普尔在内)客观知识观从来没有解释过客观性本身，而客观性的社会视角却能提供一种关于客观性和客观知识的基础与本质。传统上被称之为数学知识的，在社会建构主义那里被叫做数学的客观知识，原因就是社会建构主义认为还有一个数学的主观知识概念。

　　在许多数学家那里，与社会建构主义相类似的论点也不少见。例如数学家韦勒就认为：“数学完全具有可误性和不确定性。数学唯存在于人的思想中，数学从造就人的思想那里得到其性质。由于数学为人造就并唯存在于人的大脑，因此学习数学的人之大脑造就或再造就数学是必然的。”

　　与可误主义数学观相比，社会建构主义的数学观采取了更为广阔的外部视角，即强调用社会的、建构的观点审视数学，凸现了信念对数学的作用。我们可以把社会建构主义的数学观看做是可误主义数学观的一种发展同时，由于社会建构主义的数学观采纳了更为广阔的视角，探讨了更为广泛的问题，因此其对于数学的基本见解比可误主义数学观就更进了一步。

　　那么，数学观的演变及其现代发展对于数学教育有怎样的影响和启迪呢？这里结合一些重要的数学教育问题进行探讨。

　　1、数学不应该被看做是绝对真理，数学知识也不能被看做是确定无疑的知识，数学不能被看做是绝对知识的典范。

　　由于数学被认为是科学中最具坚实基础和可靠性的学科，所以，在传统的数学观念中，数学被看做是绝对知识的典范。而事实上，科学具有探索性和动态性特征，在科学意义上，并不存在什么绝对知识和绝对真理。具体到数学知识而言，数学也不能被看做是完全确定无疑的知识。这一点对于数学教师来说是尤为重要的。

　　但是，教师在数学教学活动中应该如何落实上述数学观，却不是一个可以简单和轻易处理的问题。因为传统数学观、数学教育观与现代数学观、数学教育观的差异，带来了对数学知识的不同见解。在数学的科学层面上，数学知识发展到什么程度，数学观就应该有相应的调整。反之也一样，数学观的转变可以促进数学知识的进步。而在数学教育活动中，学生所经历的是数学知识的漫长的历史演变过程。因此，单一的数学观似乎无法囊括这些数学知识所经历的变迁和发展。况且，作为教育的数学是经过过滤和选择的数学，其科学性与教育性被结合在一起，所以，其中关于数学观的问题就要复杂得多。

　　2、数学是猜想与反驳的说法与数学教育中数学的一贯形象不一致所导致的认识困惑，以及可误主义数学观在怎样的程度上适合于中小学数学知识，值得思考。

　　我们应该看到的是，数学理论和结论是可以修改的，与数学是可误的观点是有区别的。一般而言，把数学笼统地称为“可误的和不确定的”，并不符合数学知识的一般特点。如果把数学是“可误的和不确定的”结论改成数学具有“在一定范围内的可修正性和相对确定性”可能更符合数学知识的整体特点。

　　如此看来，教师和学生既不要把数学课本上的话当做圣旨，也不要由于数学具有“在一定范围内的可修正性和相对确定性”，而把数学看做仅仅是由其游戏规则确定的随意可变的魔术，更不要把数学看做是“不可靠”的和不值得信赖的知识。

　　由于中小学数学知识基本不涉及当代数学中棘手的悖论问题、元数学以及数理逻辑问题，因此，泛泛地宣称数学是“可误的和不确定的”，会引起许多误解，并导致某种认识上的混乱。

　　然而，一味地把数学奉为绝对知识和可靠知识的典范，也不是好的办法，因为学生会在之后的高等教育中逐步接触到数学知识的“非确定性”一面，就会产生较大的认识冲突。因此，较好的做法是，在教学中不要把关于数学形象的话说绝了，要给学生以后的数学观发展留下充分的余地。

　　3、不能简单地说数学是主观知识或者是客观知识。

　　我们要看到数学知识的双重性，即它是由具有主观意识的人依据数学对象的不同数学特征所建构和创造的，这些最初具有个体化和主观色彩的知识形式被数学的范式、数学共同体和数学的传统所过滤、检验并重新塑造，逐步成为具有某种客观性和社会性的知识。这样一个过程是动态的、辩证的、相互循环和相互转换的。这样一种关于数学知识产生的描述对认识数学教育的本质有很好的启迪。具体说来，一方面，我们可以赋予数学教学活动更多的自主性，调动师生的主体性和创造性；另一方面，我们又需要尊重数学的客观性，逐步形成实事求是的科学精神。

　　4、数学科学基础建立的困难与中小学数学知识基础的建立不是同一层面上的问题。

　　由于数学基础主义者建立牢不可破的数学基础的努力的落空，消极和极端的数学观点认为数学就没有基础，也不需要基础。然而，对于中小学数学知识的课程建设和传授而言，必要的知识基础是必需的。特别是，数学知识的逻辑结构应该按一定的顺序和关系予以建构。因此，后续知识应该以一定的知识基础为前提，无论这些基础知识是介绍性的还是详细讲解的，都要在课程中以一定的方式体现出来。换句话说，新授数学知识不能是空中楼阁，而应该与先前的知识有某种有机的关联。无论是在科学或者教育层面，数学都不能是毫无关系的知识片段的大汇聚。

　　综上，由于数学观的历史演变，特别是数学知识的双重性和曲折发展所带来的数学观的转变，给数学观蒙上了一层历史——社会——文化的色彩。数学观就不能被看做是单一的、固定不变的和绝对正确(或错误)的，而是要与数学知识的背景相联系，要与数学知识的特点相联系，还要与数学教育的对象相结合。只有这样，才能给教师和学生一个适宜的数学观。

　　作者：黄秦安

　　第2篇：拉卡托斯数学哲学观述评

　　一、拟经验主义数学哲学观

　　拉卡托斯的数学哲学思想通常被称为“拟经验的数学观”，它包括相互联系的两个方面的内容：数学的拟经验论和证明分析法的数学方法论。拉卡托斯这一理论的建立，一方面体现了对当时科学哲学尤其是波普尔证伪主义科学哲学理论的批判性继承，另一方面也为其后来建立自己的科学哲学理论……“精致证伪主义……科学研究纲领方法论”构筑了理论框架。

　　1.拟经验的数学观

　　长期以来，数学一直被认为永恒真理的积累。在这一领域，数学知识先验论一直占据者主导地位。然而，随着数学的发展和新问题的不断出现，这种认识逐渐发生了动摇，在这场革命中，曾经先后出现三次危机。虽然逻辑主义、直觉主义、和形式主义的数学家们就数学基础问题进行了大量研究，妄图为数学建立一个一劳永逸的可靠的基础，但是这三的纲领都相继失败了。在这样的背景下，拉卡托斯提出了关于数学性质的新见解……数学是拟经验的。

　　拉卡托斯认为欧几里德纲领和归纳主义纲领都不能避免无穷回归，而他独创的拟经验主义则可以避免这一问题。拟经验主义纲领的突出特点在于其注入的真假值是假值，且由下到上的真值传递是说明性质的而非证明性质的。这样，一个理论要么是猜测性的，要么是假的。从而，拟经验主义纲领就克服了欧几里德纲领和归纳主义纲领的弊端。它不是追求停止无穷回归，寻求确定的基础，而是提倡一种批判精华素呢，建立理论的证伪。可见，拉卡托斯的这一思想实质上是继承了波普尔的具有批判性的可错论的思想，对于制止证明和定义的无穷回归不抱任何幻想，并且接受怀疑论者对任何确实可靠的真值注入的批判。拉卡托斯认为，不管是在这些理论的顶部还是底部都不可能存在知识的基础，而无论在什么地方，都只能存在实验性的真值注入和意义注入。他进而指出，“经验理论要么是假的，要么就是猜测性的。”

　　我们从来就不知道，而只是推测。但是，我们能把推测变成可批判的推测，并且批判和改进这种推测。“而且改进的方法也是“我推测”。在拉卡托斯看来，“推测的无穷回归是不会有什么错误的。”他得出以下结论：（1）数学定义和证明中的无穷回归是不可能依靠逻辑理论来解决的。它是属于经验论者的理论，因此，只要没有表明他是假的，他就是具有推测性的。（2）由于“元数学”并没有解决数学无穷回归的问题，因此，“元数学”理论也不过是一种猜测而已。（3）数学基础研究的这些“不成功的例子”足以证明数学真理性的基础是不可靠的，其根本原因在于人们不了解数学的可真伪性，不了解数学是一种拟经验的理论，而拟经验的理论在于他的可猜测性和可证伪性。

　　2.证明分析方法的数学方法论

　　拉卡托斯在数学方法论上的研究成果……启发性证明分析法（即助探法）表明科学发现不仅是一个心理学的范畴，同时也需要理性分析，也就是说存在着传统意义上的“发现的逻辑”。这不仅标志着拉卡托斯拟经验数学观的进一步发展和深化，而且从后面的分析中我们还可以看到，也正是这种理性的启发性思想导致了拉卡托斯的“科学研究纲领方法论”的科学哲学理论的产生。

　　尽管波普尔将其理论称为“科学发现的逻辑”，但他并不承认科学存在发现的逻辑。在他看来，科学哲学只不过是讨论“检验的逻辑”罢了。与此相反，拉卡托斯确信在数学中存在有一个真正的、在为逻辑实证主义及波普尔所否定的传统意义上的方法论，也就是说存在有这样一种实现数学进步的方法。应该说，拉卡托斯与波普尔的差异根源在于他们对各自证伪逻辑的不同认知。波普尔的证伪逻辑是单个理论可以证伪单个理论。只要存在一个反例就可以证伪原先的猜想。拉卡托斯则认为反例证伪的应该是相对于假说以外的辅助假说、理论前提以及观察命题而言的。拉卡托斯认为不要因为出现一个反例而否定原先的猜想，而是要在此基础上不断调整改进原来的猜想。这就是拉卡托斯“证明分析法”的基础。

　　拉卡托斯证明分析法的核心是借助“反例”对已给出的“证明”进行分析，并使隐蔽的前提明朗化，从而对原先的猜想进行改进，以期最终获得“可靠”的真理。证明分析法的实质就是猜想的证明与反驳。这一方法除了对数学发现本身的意义之外，它的主要目的就是要试图证明：“非形式，准经验数学的生长，靠的不是单调增加千真万确的定理的数目，靠的是运用玄想和批判、用证明和反驳的逻辑不停地改进猜想。即数学理论在微观上的增长模式是：原始的猜想（定理和引理）-----证明与反驳----改进了的猜想（定理和引理）------”从而，“数学理论并非永恒真理的积累，它也像经验科学理论一样是一种猜测”这一拟经验的数学观也就称为这一方法论研究的自然结论。因此，拉卡托斯关于数学方法论的研究与关于数学性质的研究也是统一的。

　　二、对拉卡托斯数学哲学思想评价

　　汲取了波普尔证伪主义和可误主义中的思想养料，拉卡托斯的数学哲学通过强调数学的可错性和拟经验性，力图摧毁关于数学的绝对理念和基本立场，尤其是对逻辑主义、直觉主义和形式主义数学观的批判是极为深刻的。从这一点看，拉卡托斯的数学哲学是具有革命性和进步性意义的。拉卡托斯对数学发现的逻辑的理解和刻画也是具有独创性的，这也是拉卡托斯不同于他老师波普尔的一点。

　　拉卡托斯认为可错论回答了怀疑论的无穷回归的责难，将波普尔的可错论引进了数学领域，改变了关于数学的传统观念。拉卡托斯对传统基础主义认识论的批判基本上是正确的，他的数学可错论认为数学不是经验的，而可以归为准经验学科，数学是可错的，这一思想是有合理之处的。不过，我们必须看到，拉卡托斯在否认数学先验性的同时，不提数学来源于现实世界这一根本事实；而是认为数学的方法是准经验的，即大胆的思辨猜测，严厉地批判反驳等等。虽然他所提出的数学进步观与古典的数学进步观相比，的确揭示了一种新型的数学发展模式，但他实质上没有涉及到数学的最终来源这一根本问题。拉卡托斯的数学可错论，完全建立在怀疑论的无穷回归的论证基础上，在我们看来，其实大可不必。如果真正承认了数学的经验性质，承认数学来源与现实世界，由于人们对现实世界的认识总不是不完全的、近似的，这本身就可以解释数学的可错性了，没有必要借助于怀疑论的批判武器。从后现代的角度来看，与波普尔一样，拉卡托斯的数学哲学思想仍然停留在传统理性主义的领域之内。拉卡托斯因循波普尔的证伪主义所建立的“拟经验主义”数学观，过于强调数学的猜测性、可错性和可反驳性等局部特征，而忽略了数学固有的证实性质和数学知识相对于其体系固有的必然性、可靠性和连续性等特点，有失与数学知识发展以及何以可能的真实和逻辑历程。此外，拉卡托斯过分强调数学和科学的共性一面而忽略了两者之间明显的差异性，这种混淆可以从其对于拟经验数学观的定位中清楚地看出来。

　　作者：邓杨杨

　　第3篇：高等数学教学中的数学哲学思考

　　一、早期的数学家为什么都是哲学家？

　　在古希腊，哲学家都格外重视数学。最早的唯物主义哲学家泰勒斯，提出了原子唯物论的德谟克利特，最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都曾到埃及学习几何。毕达哥拉斯学派认为世界的本源是数：“万物皆数”，虽然这个看法现在看来可笑，但毕达哥拉斯学派是第一次抽象的处理数学概念的人，使得数学理论从大地测量、计算等活动中抽象出来，他们在研究中发现了毕达哥拉斯（九章算术称勾股定理）定理。比毕达哥拉斯学派更广为人知的是柏拉图学院，该院学生以亚里士多德最为出名。这些学生大多是那个时代最出名的数学家、哲学家和天文学家。后来这许多学派和个人的工作，被欧几里得总结在《几何原本》中，在《几何原本》中，欧几里得从几条公理出发，演绎了500多条希腊大师的定理、结论。

　　唯理论的两位大家——笛卡尔和莱布尼茨正是两位数学大家。勒奈·笛卡尔（1596～1650），伟大的哲学家、物理学家、数学家。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“为人类争取并保证理性权利的第一人——笛卡尔。”1628年，他从巴黎移居荷兰，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著：《论世界》（1634）、《行而上学的沉思》（1641）、《哲学原理》（1644）等。1637年，笛卡尔的《几何学》，创立了直角坐标系，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡尔的变数是数学中的转折点。变数使得运动走入数学，变数使得辨证法走数学，变数使得微分和积分也就立刻成为必要。笛卡尔的成就，为后来一大批数学家的新发现开辟了道路。

　　作为微积分的创始人之一的德国著名数学家、科学家、哲学家——莱布尼茨发明了微积分符号，一直沿用到今。著名的哲学家罗素、布劳威尔等也都研究数学，而著名的数学家希尔伯特也研究哲学，这样的例子无法一一列举。这些著名的学者都同时精通数学和哲学，一方面原因是因为早期的学科分类没有像今天这样分得如此详细；另一方面也说明，数学和哲学有着不可分割的内在联系。“没有数学我们无法看穿哲学的深度，没有哲学，人们也无法看穿数学的深度，而没有这两者，人们就什么也看不透。”德莫林思（ns）这句格言深刻地表明了数学与哲学的深厚关系。自从有哲学以来，数学就成为哲学问题的一个重要来源，为哲学的思考与发展提供了丰富的实践环境。

　　二、数学对哲学的影响

　　数学始终影响着哲学。

　　在数学的发展史上，有过三次“危机”。哲学家芝诺在公元前五世纪提出了几个著名的悖论，加之无理数出现造成的危机，是第一次数学危机；初期微积分逻辑上有缺陷，围绕微积分基础展开了的论战是第二次数学危机；哲学家罗素在集合论中发现的“罗素悖论”，动摇了把集合论作为整个数学的基础的思想，这就是所谓的第三次数学危机。

　　第一次危机的结果建立了严格的实数理论。数学家回答了“什么是连续性”。第二次危机的结果建立了微积分的严密基础极限理论。数学家回答了“运动是怎么回事”。第三次数学危机的结果产生了“数学基础”这个至今尚在蓬勃发展的数学领域。

　　三、哲学对数学的影响

　　数学也受哲学的影响，但是不如数学对哲学的影响明显。即使数学家本身是哲学家，他的数学活动并不一定打上哲学观点的烙印，他的哲学观点往往被后人否定，而数学成果却与世长存。如康托尔，他认为无穷集是客观存在的，表现出唯心主义倾向，不过这可能更加激发了他的研究热情。他对实无穷的研究，最终得到线段上的点要多于自然数，解决了两千多年哲学家们都没有解决的问题。一些卓越的哲学家如亚里士多德、康德、莱布尼茨都坚持没有实在的无穷，实际上认为人不可能认识实无穷，像自然数一样。而康托尔的集合论，使数学思维进人了无穷的王国。

　　所以，我们可以这样说：许多数学家是自觉的唯心主义与不自觉的唯物主义的结合。

　　四、当代数学哲学的思考

　　我们现在有一种思考是数学哲学需要向数学文化哲学的过渡。罗素的集合悖论造就了人们对数学的信任危机，但是仍然有大批的数学家，诸如怀特海、希尔伯特等人一直在寻求一种新的基础，来挽救这种信任危机。也正是由于这种危机促使了数学哲学推向了一个新的阶段。在不断的研究过程中，相继出现了逻辑主义、直觉主义、形式主义。但是，随着更多的数学家加入这场讨论大战，比如哥德尔证明的不完全定理，使得我们对形式主义和直觉主义产生了怀疑并逐步放弃了形式主义和直觉主义。产生的后果是数学界只研究纯粹的数学，哲学问题逐步淡出了数学家的视线，而且他们发现这种缺失的哲学并没有对数学研究产生不好的影响。后来的数学家发现数学比以前更快的速度飞速发展。这样的结果就是不光许多以前对数学哲学感兴趣的数学大师如冯·诺伊曼、外尔等以及一些新成长起来的数学家都很少涉足数学哲学。曾经有数学家就认为数学哲学家讨论的是“前天的数学”而不是“今天的数学”。

　　五、数学哲学的新启示

　　数学和哲学的关系究竟怎样处理？如何是数学和哲学更加和谐的相处呢？

　　传统数学哲学由于缺乏必要的学科定位，而且数学知识的框架也存在缺陷，使得数学和哲学的联系道路越走越远，使得我们无法面对数学文化和哲学文化具有的更深层次的不协调问题。

　　随后的数学家从数学文化哲学的角度进行研究，为我们提供了一个新的角度，他们注重研究数学活动本身的内在联系的外部机制的关系。美国数学家威尔德的两部著作《数学概念演化的初步研究》和《数学，一种文化体系》就是从这一角度研究数学文化的。他在书中所提到的观点受到大部分数学界人士的赞同，认为威尔德提及的数学需要作为一种文化体系进行研究的观点，是第一个比较成熟的数学哲学观。

　　作为普通民众，由于缺乏必要的数学素养，他们对数学存在质疑；这种情况的出现使得数学文化哲学进一步引起了数学家的关注。从纯粹的数学知识体系来看，数学有着脱离社会并远离哲学文化的危险，这样的结果就是会导致孤立主义的倾向。而且这种孤立主义使普通民众产生一种错误地感觉，那就是他们认为数学只是少数数学天才的事情，是他们自己脑子里想象出来的创造物，社会的发展和进步和数学的发展是没有关系的，而且数学的真理性无须社会的实践来检验。随着纯粹的数学知识体系内的各个领域的划分越来越细致，导致的结果就是不同数学分支的数学家们没有办法进行必要的交流，统揽数学全局的大家已经很久没有出现了。数学就象失去方向盘的汽车，不知将奔向何处。

　　从数学知识体系所处的外部环境，也就是数学与社会文化的关系来看，也出现了不协调的情况。从古典数学分析演变到近代数学分析，数学越来越严密化，使得数学出现了严密的推导过程，而且这样具有严格逻辑的推导备受数学界崇尚，直接后果就是他们不管数学的结果是否有用，对现实世界及其他学科是否有意义。英国数学家哈代在代表作《一个数学家的辩白》中就宣称：“我从未做过有用的事，在我的发现中，从未有过或可能有过，直接或间接地、好的或不好的，对现实世界稍微有益的东西。”

　　数学内部和外部共同作用的结果就是使得数学界出现了孤立主义倾向，大部分数学家其孤芳自赏，并且拒人于千里之外，普通民众更加的不理解数学，对数学望而生畏，更不用说理解数学了。

　　但是不可否认的是数学是社会发展，尤其是科学技术发展的基础和工具，孤立于人类文化使得我们失去了原动力。这种原动力是推动社会进步和人类思想解放的基本，失去它将使得社会的发展变为无源之水。以哲学的眼光来考察和监督数学的发展，把把数学放在数学文化哲学的大背景下，力图将人类文化融入数学，让我们意识到到数学是为社会服务的。数学文化哲学的研究或许是人类真正理解数学的一把钥匙。从数学哲学走向数学文化哲学，让我们认识数学的本来面目，推动数学哲学进一步向前发展。

　　作者：苏华等