心理学标论文格式：
1、题目。应能概括整个论文最重要的内容，言简意赅，引人注目，一般不宜超过20个字。
2、论文摘要和关键词。
论文摘要应阐述学位论文的主要观点。说明本论文的目的、研究方法、成果和结论。尽可能保留原论文的基本信息，突出论文的创造性成果和新见解。而不应是各章节标题的简单罗列。摘要以300字左右为宜。
关键词是能反映论文主旨最关键的词句，一般3-5个。
3、目录。既是论文的提纲，也是论文组成部分的小标题，应标注相应页码。
4、引言（或序言）。内容应包括本研究领域的国内外现状，本论文所要解决的问题及这项研究工作在经济建设、科技进步和社会发展等方面的理论意义与实用价值。
5、正文。是毕业论文的主体。
6、结论。论文结论要求明确、精炼、完整，应阐明自己的创造性成果或新见解，以及在本领域的意义。
7、参考文献和注释。按论文中所引用文献或注释编号的顺序列在论文正文之后，参考文献之前。图表或数据必须注明来源和出处。
（参考文献是期刊时，书写格式为：
[编号]、作者、文章题目、期刊名（外文可缩写）、年份、卷号、期数、页码。
参考文献是图书时，书写格式为：
[编号]、作者、书名、出版单位、年份、版次、页码。）
8、附录。包括放在正文内过份冗长的公式推导，以备他人阅读方便所需的辅助性数学工具、重复性数据图表、论文使用的符号意义、单位缩写、程序全文及有关说明等。
扩展资料：
论文写作技巧：
技巧—：依据学术方向进行选题。论文写作的价值，关键在于能够解决特定行业的特定问题，特别是在学术方面的论文更是如此。因此，论文选择和提炼标题的技巧之一，就是依据学术价值进行选择提炼。
技巧二：依据兴趣爱好进行选题。论文选择和提炼标题的技巧之二，就是从作者的爱好和兴趣出发，只有选题符合作者兴趣和爱好，作者平日所积累的资料才能得以发挥效用，语言应用等方面也才能熟能生巧。
技巧三：依据掌握的文献资料进行选题。文献资料是支撑、充实论文的基础，同时更能体现论文所研究的方向和观点，因而，作者从现有文献资料出发，进行选题和提炼标题，即成为第三大技巧。
技巧四：从小从专进行选题。所谓从小从专，即是指论文撰稿者在进行选择和提炼标题时，要从专业出发，从小处入手进行突破，切忌全而不专，大而空洞。
参考资料来源：百度百科-论文格式
(论文标题)重师毕业论文理科版样式（小2号黑体）摘 要：“摘要：”二字请用5号黑体加粗。内容部分请用5号宋体。从第二行开始文字不缩进。正文部分，请用小4号宋体排版，另外，你还是不确定的话可以参考（心理学进展）里面的论文，看下别人的排版
举例说明常微分方程模型是各类数学建模竞赛中常见的模型, 并通过列举一些参考文献来说明此类模型的建模方法和求解求解技巧不仅相同. 从而得出"常微分方程在数学建模中的应用"是值得研究的.
要写心理学哪方面比:社会心理学青少年心理学广告心理学先确定方向选择其知识点再找资料《心理学报》上有多还有得确定做实证研究还理论研究理论研究比较容易价值大
1、数学中的研究性学习2、数字危机4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用9、数学选择题的利和弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练和培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教 因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的再讨论1、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值2、一道排列组合题的解法探讨及延伸3、整除与竞赛4、足彩优化5、向量的几件法宝在几何中的应用6、递推关系的应用8、小议问题情境的创设9、数学概念探索启发式教学10、柯西不等式的推广与应用11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用12、一道高考题的反思13、数学中的研究性学习15、数字危机16、数学中的化归方法17、高斯分布的启示18、 的变形推广及应用19、网络优化20、泰勒公式及其应用22、数学选择题的利和弊23、浅谈计算机辅助数学教学24、数学研究性学习25、谈发展数学思维的学习方法26、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法27、数学教学中课堂提问的误区与对策29、浅谈数学教学中的“问题情境”30、市场经济中的蛛网模型32、数学课堂差异教学33、浅谈线性变换的对角化问题34、圆锥曲线的性质及推广应用35、经济问题中的概率统计模型及应用36、通过逻辑趣题学推理37、直觉思维的训练和培养38、用高等数学知识解初等数学题39、浅谈数学中的变形技巧40、浅谈平均值不等式的应用41、浅谈高中立体几何的入门学习42、数形结合思想43、关于连通性的两个习题44、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学45、情感在数学教学中的作用46、因材施教与因性施教47、关于抽象函数的若干问题48、创新教育背景下的数学教学49、实数基本理论的一些探讨50、论数学教学中的心理环境51、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则52、不等式证明的若干方法53、试论数学中的美54、数学教育与美育55、数学问题情境的创设56、略谈创新思维57、随机变量列的收敛性及其相互关系58、数字新闻中的数学应用59、微积分学的发展史60、利用几何知识求函数最值61、数学评价应用举例62、数学思维批判性63、让阅读走进数学课堂64、开放式数学教学65、浅谈中学数列中的探索性问题66、论数学史的教育价值67、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学68、 方程组中的若干问题69、由“唯分是举”浅谈考试改革70、随机变量与可测函数71、二阶变系数齐次微分方程的求解问题72、一种函数方程的解法73、微分中值定理的再讨论74、学生数学学习的障碍研究；76、数学中的美；77、数学的和谐和统一----谈论数学中的美；78、推测和猜想在数学中的应用；79、款买房问题的决策；80、线性回归在经济中的应用；81、数学规划在管理中的应用；82、初等数学解题策略；83、浅谈数学CAI中的不足与对策；84、数学创新教育的课堂设计；86、关于培养和提高中学生数学学习能力的探究；87、运用多媒体培养学生88、高等数学课件的开发89、 广告效益预测模型；90、最短路网络；91、计算机自动逻辑推理能力在数学教学中的应用；93、最优增长模型94、学生数学素养的培养初探96、 城市道路交通发展规划数学模型；97、函数逼近98、数的进制问题99、无穷维矩阵与序列Bannch空间的关系100、 多媒体课件教学设计----若干中小学数学教学案例101、一维，二维空间到欧氏空间102、初中数学新课程数与代数学习策略研究103、初中数学新课程统计与概率学习策略研105、数列运算的顺序交换及条件106、歇定理的推广和应用107、解析函数的各种等价条件及其应用108、特征函数在概率论中的应用109、数学史与中学教育110、让生活走进数学，数学方法的应用将数学应用于生活——谈xx111、数学竟赛中的数论问题112、新旧教材的对比与研究114、随机变量分布规律的求法115、简述概率论与数理统计的思想方法及其应用116、无穷大量存在的意义118、例谈培养数学思维的深刻性120、从坐标系到向量空间的基121 谈谈反证法122、一致连续性的判断定理及性质123、课堂提问和思维能力的培养125、函数及其在证明不等式中的应用126、极值的讨论及其应用127、正难则反,从反面来考虑问题128、实数的构造,完备性及它们的应用129、数学创新思维的训练 130、简述期望的性质及其作用131、简述概率论与数理统计的思想和方法132、穷乘积133、递推式求数列的通项及和134、划归思想在数学中的应用135、凸函数的定义性质及应用136、行列式的计算方法137、可行解的表式定理的证明140、充分挖掘例题的数学价值和智力开发功能141、数学思想方法的一支奇葩-----数学猜想初探142、关于实变函数中叶果罗夫定理的鲁津定理的证明143、于黎曼积分的定义144、微分方程的历史发展145、概率论发展史及其简单应用147、数学教学中使用多媒体的几点思考148、矩阵特征值的计算方法初探149、数形结合思想及其应用150、关于上、下确界,上、下极限的定义,性质及应用 151、复均方可积随机变量空间的讨论155、欧几里得第五公设产生背景及其对数学发展影响160、函数性质的应用163、中数学新课程空间与图形学习策略与研究167、函数的凸性及其在不等式中的应用171、数学归纳法教学探究174、关于全概率公式及其应用的研究176、变量代换法与常微分方程的求解188、不等式解法大观189、谈谈“ 隐函数 ”190、有限维矩阵的范数计算与估计191、数学奥赛中数论问题的解题方法研究193、微分方程积分因子的研究195、关于泰勒公式196、解析函数的孤立奇点的分类及其判断方法197、最大模原理的推广及其应用198、π的奥秘——从圆周率到统计199、对现代信息技术辅助数学及其发展的几点思考200、无理数e的发现及其应用202、闭区间套定理的推广和应用203、函数的上下极限及其应用205、关于多值函数的解析理论探讨208、比较函数法在常微分方程中的应用209、数学分析的直观与严密303、求随机函数的分布函数和分布密度的方法304、条件期望的性质及其应用308、凸函数的等价命题及其应用310、有界变差函数的定义及其性质311、初等函数的极值
想想，初中都学了那些？我在上中学时都没写过论文，现在上初中都要写论文啦？真是悲剧呀！但初中的数学还是很简单的，写一篇论文，可以联系到自己已经上过的知识。下面给你一些建议： 可以写，对任意的二元一次方程组的解转换为图形的交点问题。 还有，不知道三角函数有没有上，如果上了可以论证三角公式，比如说，(sinA)^2+(cosA)^2=1,(tanX)^2=(secX)^2-1
浅谈中学数学中的反证法数学选择题的利和弊浅谈计算机辅助数学教学论研究性学习浅谈发展数学思维的学习方法关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法
举例说明常微分方程模型是各类数学建模竞赛中常见的模型, 并通过列举一些参考文献来说明此类模型的建模方法和求解求解技巧不仅相同. 从而得出"常微分方程在数学建模中的应用"是值得研究的.
想想，初中都学了那些？我在上中学时都没写过论文，现在上初中都要写论文啦？真是悲剧呀！但初中的数学还是很简单的，写一篇论文，可以联系到自己已经上过的知识。下面给你一些建议： 可以写，对任意的二元一次方程组的解转换为图形的交点问题。 还有，不知道三角函数有没有上，如果上了可以论证三角公式，比如说，(sinA)^2+(cosA)^2=1,(tanX)^2=(secX)^2-1
举例说明常微分方程模型是各类数学建模竞赛中常见的模型, 并通过列举一些参考文献来说明此类模型的建模方法和求解求解技巧不仅相同. 从而得出"常微分方程在数学建模中的应用"是值得研究的.
数学教学是让学生了解自己的知识、能力水平，弥补缺陷，纠正错误，完善知识系统和思维系统，提高分析和解决问题的能力的过程。下面我给大家带来2021各阶段数学教学论文题目参考，希望能帮助到大家!
中职数学教学论文题目
1、线性方程的叠加原理及其应用
2、作为函数的含参积分的分析性质研究
3、周期函数初等复合的周期性研究
4、“高等代数”知识在几何中的应用
5、矩阵初等变换的应用
6、“高等代数”中的思想 方法
7、中职数学教学中的数学思想和方法
8、任N个自然数的N级排列的逆序数
9、“高等代数”中多项式的值，根概念及性质的推广
10、线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法
11、数域概念的等价说法及其应用
12、中职数学教学与能力培养
13、数学能力培养的重要性及途径
14、论数学中的基本定理与基本方法
15、论电脑、人脑与数学
16、论数学中的收敛与发散
17、论小概率事件的发生
18、论高等数学与初等数学教学的关系
19、论数学教学中公式的教学
20、数学教学中学生应用能力的培养
21、数学教与学的心理探究
22、论数学思想方法的教与学
23、论数学家与数学
24、对称思想在解题中的应用
25、复数在中学数学中应用
26、复变函数论思想方法在中学数学教学中的应用
27、复变函数论思想方法在中学数学竞赛中的应用
28、代数学基本定理的几种证明
29、复变函数的洛必达法则
30、复函数与实函数的级数理论综述
31、微积分学与哲学
32、实数完备性理论综述
33、微积分学中辅助函数的构造
34、闭区间上连续函数性质的推广
35、培养学生的数学创新能力
36、教师对学生互动性学习的影响
37、学生数学应用意识的培养
38、数学解题中的 逆向思维 的应用
39、数学直觉思维的培养
40、数学教学中对学生心理素质的培养
41、用心理学理论指导数学教学
42、开展数学活动课的理论和实践探索
43、《数学课程标准》解读
44、数学思想在数学教学中的应用，学生思维品质的培养
45、数形结合思想在中学数学中的应用
46、运用化归思想，探索解题途径
47、谈谈构造法解题
48、高等数学在中学数学中的应用
49、解决问题的策略思想--等价与非等价转化
50、挖掘题中的隐含条件解题
51、向量在几何证题中的运用
52、数学概念教学初探
53、数学 教育 中的问题解决及其教学途径
54、分类思想在数学教学中的作用
55、“联想”在数学中的作用研究
56、利用习题变换，培养学生的思维能力
57、中学数学学习中“学习困难生”研究
58、数学概念教学研究
59、反例在数学教学中的作用研究
60、中学生数学问题解决能力培养研究
61、数学教育评价研究
62、传统中学数学教学模式革新研究
63、数学研究性学习设计
64、数学开放题拟以及教学
65、数学课堂 文化 建设研究
66、中职数学教学设计及典型课例分析
67、数学课程标准的新增内容的尝试教学研究
68、数学课堂教学安全采集与研究
69、中职数学选修课教学的实话及效果分析
70、常微分方程与初等数学
71、由递推式求数列的通项及和向量代数在中学中的应用
72、浅谈划归思想在数学中的应用
73、初等函数的极值
74、行列式的计算方法
75、数学竟赛中的不等式问题
76、直觉思维在中学数学中的应用
77、常微分方程各种解的定义，关系及判定方法
78、高等数学在中学数学中的应用
79、常微分方程的发展及应用
80、充分挖掘例题的数学价值和 智力开发 功能
小学数学教学论文题目参考
1、小学数学教师几何知识掌握状况的调查研究
2、小学数学教师教材知识发展情况研究
3、中日小学数学“数与代数”领域比较研究
4、浙江省Y县县域内小学数学教学质量差异研究
5、小学数学教师教科书解读的影响因素及调控策略研究
6、中国、新加坡小学数学新课程的比较研究
7、小学数学探究式教学的实践研究
8、基于教育游戏的小学数学教学设计研究
9、小学数学教学中创设有效问题情境的策略研究
10、小学数学生活化教学的研究
11、数字 故事 在小学数学课堂教学中的应用研究
12、小学数学教师专业发展研究
13、中美小学数学“统计与概率”内容比较研究
14、数学文化在小学数学教学中的价值及其课程论分析
15、小学数学教师培训内容有效性的研究
16、小学数学课堂师生对话的特征分析
17、小学数学优质课堂的特征分析
18、小学数学解决问题方法多样化的研究
19、我国小学数学新教材中例题编写特点研究
20、小学数学问题解决能力培养的研究
21、渗透数学思想方法 提高学生思维素质
22、引导学生参与教学过程 发挥学生的主体作用
23、优化数学课堂练习设计的探索与实践
24、实施“开放性”教学促进学生主体参与
25、数学练习要有趣味性和开放性
26、开发生活资源，体现数学价值
27、对构建简洁数学课堂的几点认识和做法
28、刍议“怎样简便就怎样算”中的“二指技能”现象
29、立足现实起点，提高课堂效率
30、宁缺毋滥--也谈课堂教学中有效情境的创设
31、如何让“生活味”的数学课堂多一点“数学味”
32、有效教学，让数学课堂更精彩
33、提高数学课堂教学效率之我见
34、为学生营造一片探究学习的天地
35、和谐课堂，让预设与生成共精彩
36、走近学生，恰当提问--谈数学课堂提问语的优化策略
37、谈小学数学课堂教学中教师对学生的评价
38、课堂有效提问的初步探究
39、浅谈小学数学研究性学习的途径
40、能说会道，为严谨课堂添彩
41、小学数学教学中的情感教育
42、小学数学学困生的转化策略
43、新课标下提高日常数学课堂效率的探索
44、让学生参与课堂教学
45、浅谈新课程理念下如何优化数学课堂教学
46、数学与生活的和谐之美
47、运用结构观点分析教学小学应用题
48、构建自主探究课堂，促进学生有效发展
49、精心设计课堂结尾巩固提高教学效果
50、浅谈数学课堂提问艺术
51、浅谈发式教学在小学数学教学中的运用
52、浅谈数学课堂中学生问题意识的培养
53、巧用信息技术，优化数学课堂教学
54、新课改下小学复式教学有感
55、让“对话”在数学课堂中焕发生命的精彩
56、小学几何教学的几点做法
初中数学教学论文题目
1、翻转课堂教学模式在初中数学教学中的应用研究
2、数形结合思想在初中数学教学中的实践研究
3、基于翻转课堂教学模式的初中数学教学设计研究
4、初中数学新教材知识结构研究
5、初中数学中的研究性学习案例开发实施研究
6、学案导学教学模式在初中数学教学中的实践与研究
7、从两种初中数学教材的比较看初中数学课程改革
8、信息技术与初中数学教学整合问题研究
9、初中数学学习困难学生学业情绪及其影响因素研究
10、初中数学习题教学研究
11、初中数学教材分析方法的研究
12、初中数学教师课堂教学目标设计的调查研究
13、初中数学学习障碍学生一元一次方程应用题解题过程及补救教学的个案研究
14、初中数学教师数学教学知识的发展研究
15、数学史融入初中数学教科书的现状研究
16、初中数学教师课堂有效教学行为研究
17、数学史与初中数学教学整合的现状研究
18、数学史融入初中数学教育的研究
19、初中数学教材中数学文化内容编排比较研究
20、渗透数学基本思想的初中数学课堂教学实践研究
21、初中数学教师错误分析能力研究
22、初中数学优秀课教学设计研究
23、初中数学课堂教学有效性的研究
24、初中数学数形结合思想教学研究与案例分析
25、新课程下初中数学教科书的习题比较研究
26、中美初中数学教材难度的比较研究
27、数学史融入初中数学教育的实践探索
28、初中数学课堂教学小组合作学习存在的问题及对策研究
29、初中数学教师数学观现状的调查研究
30、初中数学学困生的成因及对策研究
31、“几何画板”在初中数学教学中的应用研究
32、数学素养视角下的初中数学教科书评价
33、北师大版初中数学教材中数形结合思想研究
34、初中数学微课程的设计与应用研究
35、初中数学教学生成性资源利用研究
36、基于问题学习的初中数学情境教学模式探究
37、学案式教学在初中数学教学中的实验研究
38、数学文化视野下的初中数学问题情境研究
39、中美初中数学教材中习题的对比研究
40、基于人教版初中数学教材中数学史专题的教学探索
41、初中数学教学应重视学生直觉思维能力的培养
42、七年级学生学习情况的调研
43、老师，这个答案为什么错了?--由一堂没有准备的探究课引发的思考
44、新课程背景下学生数学学习发展性评价的构建
45、初中数学学生学法辅导之探究
46、合理运用数学情境教学
47、让学生在自信、兴趣和成功的体验中学习数学
48、创设有效问题情景，培养探究合作能力
49、重视数学教学中的生成展示过程，培养学生 创新思维 能力
50、从一道中考题的剖析谈梯形中面积的求解方法
51、浅谈课堂教学中的教学机智
52、从《确定位置》的教学谈体验教学
53、谈主体性数学课堂交流活动实施策略
54、对数学例题教学的一些看法
55、新课程标准下数学教学新方式
56、举反例的两点技巧
57、数学课堂教学中分层教学的实践与探索
58、新课程中数学情境创设的思考
59、数学新课程教学中学生思维的激发与引导
60、新课程初中数学直觉思维培养的研究与实践
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根据你的要求,
1500字太夸张了，给你一下提示吧！ 1、运用微分方程或微分方程组，可以描述经济系统的动态运行规律。2、运用微分方程，可以分析经济系统的均衡与稳定性。3、在微分方程中加入控制变量，将经济学问题转化为最优控制问题，可以分析经济系统的最优控制策略。目前比较常用的微分方程在经济学中的应用有：（1）最早的哈罗德-多马经济增长模型、索罗模型等均属于微分方程（或转化为差分方程）模型。（2）后来的经济增长的世代交替模型等也是运用的微分方程。（3）技术扩散的巴斯模型，以及分析竞争洛克塔-瓦塔利亚模型也是微分方程模型。（4）亚瑟的路径依赖与锁定模型是随机微分方程。（5）布莱克-斯科尔斯期权定价模型，源于随机微分方程和变分法。（6）各种进化博弈模型中的复制动态方程是微分方程。
给排水工程师可以从事设计、施工、监理、招投标、项目管理等方面的工作。给排水专业可以考的注册师：注册公用设备工程师（给水排水），注册公用设备工程师执业资格考试实行全国统一大纲、统一命题的考试制度，基本上每年九月份举行一次。以下是我搜集的资料，希望对你有帮助。考试分为基础考试和专业考试。基础考试又分为公共基础和专业基础参加基础考试合格并按规定完成职业实践年限者，方能报名参加专业考试。基础考试合格，并具备以下条件之一者，可申请参加专业考试： （一）取得本专业博士学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满2年；或取得相近专业博士学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满3年。 （二）取得本专业硕士学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满3年；或取得相近专业硕士学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满4年。 （三）取得含本专业在内的双学士学位或本专业研究生班毕业后，累计从事公用设备专业工程设计工作满4年；或取得相近专业双学士学位或研究生班毕业后，累计从事公用设备专业工程设计工作满5年。 （四）取得通过本专业教育评估的大学本科学历或学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满4年；或取得未通过本专业教育评估的大学本科学历或学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满5年；或取得相近专业大学本科学历或学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满6年。 （五）取得本专业大学专科学历后，累计从事公用设备专业工程设计工作满6年；或取得相近专业大学专科学历后，累计从事公用设备专业工程设计工作满7年。 （六）取得其他工科专业大学本科及以上学历或学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满8年。截止到2002年12月31日前，符合下列条件之一者，可免基础考试，只需参加专业考试： （一）取得本专业博士学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满5年；或取得相近专业博士学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满6年。 （二）取得本专业硕士学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满6年；或取得相近专业硕士学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满7年。 （三）取得含本专业在内的双学士学位或本专业研究生班毕业后，累计从事公用设备专业工程设计工作满7年；或取得相近专业双学士学位或研究生班毕业后，累计从事公用设备专业工程设计工作满8年。 （四）取得本专业大学本科学历或学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满8年；或取得相近专业大学本科学历或学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满9年。 （五）取得本专业大学专科学历后，累计从事公用设备专业工程设计工作满9年；或取得相近专业大学专科学历后，累计从事公用设备专业工程设计工作满10年。 （六）取得其他工科专业大学本科及以上学历或学位后，累计从事公用设备专业工程设计工作满12年。 （七）取得其他工科专业大学专科学历后，累计从事公用设备专业工程设计工作满15年。 （八）取得本专业中专学历后，累计从事公用设备专业工程设计工作满25年；或取得相近专业中专学历后，累计从事公用设备专业工程设计工作满30年。基础考试大纲： 一、高等数学 1．1空间解析几何 向量代数 直线 平面 柱面 旋转曲面 二次曲面 空间曲线 1．2微分学 极限 连续导数 微分 偏导数 全微分导数与微分的应用 1．3积分学 不定积分 定积分 广义积分 二重积分 三重积分平面曲线积分 积分应用 1．4无穷级数 数项级数 幂级数 泰勒级数 傅里叶级数 1．5常微分方程 ’ 可分离变量方程 一阶线性方程 可降阶方程 常系数线性方程 1．6概率与数理统计 随机事件与概率 古典概型 一维随机变量的分布和数字特征 数理 统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析 一元回归分析 1．7向量分析 1．8线性代数 行列式 矩阵 n维向量 线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 二次型 二、普通物理 2．1热学 气体状态参量 平衡态 理想气体状态方程 理想气体的压力和温度 的统计解释 能量按自由度均分原理 理想气体内能 平均碰撞次数 和平均自由程 麦克斯韦速率分布律 功 热量 内能 热力学第一 定律及其对理想气体等值过程和绝热过程的应用 气体的摩尔热容循环过程 热机效率 热力学第二定律及其统计意义 可逆过程和不 可逆过程 熵 2．2波动学 机械波的产生和传播 简谐波表达式 波的能量 驻波 声速 超声波 次声波 多普勒效应 2．3光学 相干光的获得 杨氏双缝干涉 光程 薄膜干涉迈克尔干涉仪 惠 更斯一菲涅耳原理 单缝衍射 光学仪器分辨本领 x射线衍射 自 然光和偏振光 布儒斯特定律 马吕斯定律 双折射现象 偏振光的 干涉 人工双折射及应用 三、普通化学 3．1物质结构与物质状态 原子核外电子分布 原子、离子的电子结构式 原子轨道和电子云概 念 离子键特征共价键特征及类型 分子结构式 杂化轨道及分子空 间构型 极性分子与非极性分子 分子间力与氢键 分压定律及计算 液体蒸气压 沸点 汽化热 晶体类型与物质性质的关系 3．2溶液 溶液的浓度及计算非电解质稀溶液通性及计算 渗透压概念电解质 溶液的电离平衡 电离常数及计算 同离子效应和缓冲溶液 水的离 子积及PH值 盐类水解平衡及溶液的酸碱性 多相离子平衡 溶度积 常数 溶解度概念及计算 3．3周期表 周期表结构 周期 族 原子结构与周期表关系 元素性质 氧化物 及其水化物的酸碱性递变规律 3．4化学反应方程式 化学反应速率与化学平衡 化学反应方程式写法及计算 反应热概念 热化学反应方程式写法化学反应速率表示方法 浓度、温度对反应速率的影响 速率常数与 反应级数 活化能及催化剂概念 化学平衡特征及平衡常数表达式 化学平衡移动原理及计算 压力熵 与化学反应方向判断 3．5氧化还原与电化学 氧化剂与还原剂 氧化还原反应方程式写法及配平 原电池组成及符 号 电极反应与电池反应 标准电极电势 能斯特方程及电极电势的 应用 电解与金属腐蚀 3．6有机化学 有机物特点、分类及命名 官能团及分子结构式 有机物的重要化学反应：加成 取代 消去 氧化 加聚与缩聚 典型有机物的分子式、性质及用途： 甲烷 乙炔 苯 甲苯 乙醇 酚 乙醛 乙酸 乙酯 乙胺 苯胺 聚氯乙烯 聚乙烯 聚丙烯酸 酯类 工程塑料(ABS) 橡胶 尼龙66 四、理论力学 4．1静力学 平衡 刚体 力 约束 静力学公理 受力分析 力对点之矩 力对 轴之矩 力偶理论 力系的简化 土矢 主矩 力系的平衡 物体系 统(含平面静定桁架)的平衡 滑动摩擦 摩擦角 自锁 考虑滑动摩 擦时物体系统的平衡 重心 4．2运动学 点的运动方程 轨迹 速度和加速度 刚体的平动 刚体的定轴转动 转动方程 角速度和角加速度 刚体内任一点的速度和加速度 4．3动力学 动力学基本定律 质点运动微分方程 动量 冲量 动量定理 动量守恒的条件 质心 质心运动定理’质心运动守恒的条件动量矩 动量矩定理 动量矩守恒的条件 刚体的定轴转动微分方程 转动惯量 回转半径 转动惯量的平行轴定理 功 动能 势能 动 能定理 机械能守恒 惯性力 刚体惯性力系的简化 达朗伯原理 单自由度系统线性振动的微分方程振动周期 频率和振幅 约束 自由度 广义坐标 虚位移 理想约束 虚位移原•理 五、材料力学 5.1轴力和轴力图 拉、压杆横截面和斜截面上的应力 强度条件虎克定 律和位移计算应变能计算 5．2剪切和挤压的实用计算 剪切虎克定律切(剪)应力互等定理 5.3外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 圆轴扭转切(剪)应力及强度条件 扭转角计算及刚度条件 扭转应变能计算 5．4静矩和形心 惯性矩和惯性积 平行移轴公式 形心土惯性矩 5.5梁的内力方程 切(剪)力图和弯矩图 分布载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系 正应力强度条件 切(剪)应力强度条件 梁的合理截 面 弯曲中心概念 求梁变形的积分法 叠加法和卡氏第二定理 5.6平面应力状态分析的数值解法和图解法 一点应力状态的主应力和最 大切(剪)应力 广义虎克定律 四个常用的强度理论 5．7斜弯曲 偏心压缩(或拉伸) 拉—弯或压—弯组合 扭—弯组合 5.8细长压杆的临界力公式 欧拉公式的适用范围 临界应力总图和经验公式 压杆的稳定校核 六、流体力学 6．1流体的主要物理性质 6．2流体静力学 流体静压强的概念 重力作用下静水压强的分布规律 总压力的计算 6．3流体动力学基础以流场为对象描述流动的概念 流体运动的总流分析 恒定总流连续性方程、能量方程和动量方程 6．4流动阻力和水头损失 实际流体的两种流态一层流和紊流 圆管中层流运动、紊流运动的特征 沿程水头损失和局部水头损失 边界层附面层基本概念和绕流阻力 6．5孔口、管嘴出流 有压管道恒定流 6．6明渠恒定均匀流 6．7渗流定律井和集水廊道 6．8相似原理和量纲分析 6．9流体运动参数(流速、流量、压强)的测量 七、计算机应用基础 7．1计算机基础知识 硬件的组成及功能 软件的组成及功能 数制转换 7．2 Windows操作系统 基本知识、系统启动 有关目录、文件、磁盘及其它操作 网络功能 注：以Windows98为基础 7．3计算机程序设计语言 程序结构与基本规定 数据 变量 数组 指针 赋值语句 输入输出的语句 转移语句 条件语句，选择语句 循环语句 函数 子程序(或称过程) 顺序文件 随机文件 注：鉴于目前情况，暂采用FORTRAN语言 八、电工电子技术 8．1电场与磁场 库仑定律 高斯定理 环路定律 电磁感应定律 8．2直流电路 电路基本元件 欧姆定律 基尔霍夫定律 叠加原理 戴维南定理 8．3正弦交流电路正弦量三要素 有效值 复阻抗 单相和三相电路计算 功率及功率 因数 串联与并联谐振 安全用电常识 8．4 RC和RL电路暂态过程 三要素分析法 8．5变压器与电动机 变压器的电压、电流和阻抗变换 三相异步电动机的使用 常用继电一接触器控制电路 8．6二极管及整流、滤波、稳压电路 8．7三极管及单管放大电路 8．8运算放大器 理想运放组成的比例 加、减和积分运算电路 8．9门电路和触发器 基本门电路 RS、D、JK触发器 九、工程经济 9．1现金流量构成与资金等值计算 现金流量 投资 资产 固定资产折旧 成本 经营成本 销售收入 利润 工程项目投资涉及的主要税种 资金等值计算的常用公式及应 用 复利系数表的用法 9．2投资经济效果评价方法和参数 净现值 内部收益率 净年值 费用现值 费用年值 差额内部收益 率 投资回收期 基准折现率 备选方案的类型 寿命相等方案与寿 命不等方案的比选 9．3不确定性分析 盈亏平衡分析 盈亏平衡点 固定成本 变动成本 单因素敏感性分 析 敏感因素 9．4投资项目的财务评价 工业投资项目可行性研究的基本内容 投资项目财务评价的目标与工作内容 赢利能力分析 资金筹措的主 要方式 资金成本 债务偿还的主要方式 基础财务报表 全投资经济效果与自有资金经济效果 全投资现金流量表与自有资金现金流量 表 财务效果计算 偿债能力分析 改扩建和技术改造投资项目财务 评价的特点(相对新建项目) 9．5价值工程 价值工程的概念、内容与实施步骤 功能分析 十、水文学和水文地质 10．1水文学概念 河川径流 泥沙测算 流域水量平衡 10．2洪、枯径流 设计枯水流量和水位 设计洪水流量和水位 10．3降水资料收集 暴雨公式 洪峰流量 l 0．4地下水储存 地质构造 地下水形成 地下水储存 地下水循环 10．5地下水运动 地下水流向井稳定运动 地下水流向井不稳定运动 10．6地下水分布特征 河谷冲积层地下水 沙漠地区地下水 山区丘陵区地下水 10．7地下水资源评价 储量计算 开采量评价 十一、水处理微生物学 11．1细菌的形态和结构 细菌的形态 细胞结构 生理功能 生长繁殖 命名 11．2细菌生理特征 营养类型划分 影响酶活力因素 细菌的呼吸类型 细菌的生长 11．3其它微生物 铁细菌 硫细菌 球衣细菌 酵母菌 细菌形态 藻类 原生动物 后生动物 病毒 噬菌体 微生物在水处理中的作用 11．4水的卫生细菌学水中细菌分布 水中病原细菌 水中微生物控制方法 水中病毒检验 11．5废水生物处理 污染物降解 污染物转化 有机物分解 废水生物处理 水体污染 监测 十二、水力学 12．1水静力学 静水压力 阿基米德原理 潜、浮物体平衡与稳定 12．2水动力学理论 柏努利方程 总水头线 测压管水头线 12．3水流阻力和水头损失 沿程阻力系数变化 局部水头损失 绕流阻力 12．4孔口、管嘴出流和有压管路 孔口(或管嘴)的变水头出流 短管水力计算 长管水力计算 管网 水力计算基础 12．5明渠均匀流 最优断面和允许流速 水力计算 12．6明渠非均匀流 临界水深 缓流 急流 临界流 渐变流微分方程 12．7堰流 薄壁堰 实用断面堰 宽顶堰 小桥孔径水力计算 消力池 十三、水泵及水泵站 13．1叶片式水泵 离心泵工作原理 离心泵的基本方程式 性能曲线 比转数(ns) 定速运行工况 管道系统特性曲线 水箱出流工况点 并联运行 串 联运行调速运行 吸水管中压力变化 气穴和气蚀 气蚀余量 安装 高度 混流泵 13．2给水泵站 泵站分类 泵站供配电 水泵机组布置 吸水管路与压水管路 泵站 水锤 泵站噪音1 3．3排水泵站 排水泵站分类 构造特点 水泵选择 集水池容积 水泵机组布置 雨水泵站 合流泵站 螺旋泵污水泵站 十四、水分析化学 14．1水分析化学过程的质量保证 水样的保存和预处理 水分析结果误差 数据处理 14．2酸碱滴定法 酸碱平衡 酸碱滴定 水的碱度与酸度 14．3络合滴定法 络合平衡 络合滴定 硬度测定 14．4沉淀滴定 沉淀滴定原理 莫尔法测定水中氯离子沉淀滴定 14．5氧化还原滴定法 氧化还原反应原理 指示剂滴定 高锰酸钾法滴定 重铬酸钾法滴定 碘量法滴定 高锰酸钾指数 COD BOD， 总需氧量(TOD) 总有机碳 (TOC) 14．6吸收光谱法 吸收光谱原理 比色法 分光光度法 14．7电化学分析法 电位分析法 直接电位分析法 电位滴定法 十五、工程测量 1 5．1测量误差基本知识 测量误差分类与特点 评定精度 观测值精度评定 误差传播定律 15．2控制测量 平面控制网定位与定向 导线测量 交会定点 高程控制测量 15．3地形图测绘 地形图基本知识 地物平面图测绘 等高线地形图测绘 1 5.4地形图的应用 建筑设计中的地形图应用 城市规划中的地形图应用15．5建筑工程测量 建筑工程控制测量 施工放样测量 建筑安装测量 建筑工程变形观测 十六、职业法规 16．1我国有关基本建设、建筑、城市规划、环保、房地产方面的法律规范 16．2工程设计人员的职业道德与行为准则注册公用设备工程师(给水排水)执业资格基础考试基础考试分科题量、时间、分数分配说明上午段：高等数学 24题 流体力学 12题普通物理 12题 计算机应用基础 10题普通化学 12题 电工电子技术 12题理论力学 13题 工程经济 10题材料力学 15题合计120题，每题1分。考试时间为4小时。下午段：水文学和水文地质 12题水处理微生物学 10题水力学 8题水泵及水泵站 12题水分析化学 l0题工程测量 5题职业法规 3题合计60题，每题2分。考试时间为4小时。上、下午总计180题，满分为240分。考试时间总计为8小时。专业考试大纲： 1．给水工程 1．1给水系统 熟悉给水系统的组成和分类 掌握设计用水量计算 熟悉给水系统的流量关系、水压关系 1．2输水和配水工程 掌握管网和输水管的布置及水力计算 掌握水塔及清水池的容积计算、水塔高度的确定 熟悉管网方案技术经济比较 了解分区给水系统设计 熟悉给水管材、附件及管道敷设方法 了解给水管防腐蚀方法 1．3取水工程 了解水资源概况、水源选择及取水工程任务 熟悉地下水取水构筑物类型及适用条件 掌握地表水取水构筑物的类型、选址及布置要求 1．4给水处理 熟悉给水处理的主要方法及基本理论 掌握混凝、沉淀、澄清、过滤构筑物的工艺设计 熟悉氯消毒及设备， 了解其它消毒方法 了解地下水除铁除锰方法 掌握软水、纯水制备的方法和系统设计 熟悉水厂设计 1．5水的冷却和循环冷却水水质处理 了解水的冷却原理及冷却构筑物熟悉循环冷却水水质处理 掌握循环冷却水系统的构成和设计原则 2．排水工程 2．1排水系统 熟悉排水系统的体制、组成及规划设计原则 掌握污水管道系统、雨水管渠系统设计与计算 熟悉暴雨强度公式计算 了解排洪沟的设计与计算 熟悉城市污水回用系统及其组成 了解合流制管渠系统的使用条件、布置特点、设计流量计算及城市旧 合流制系统的改造方法 掌握排水管渠的断面、材料、接口和基础 熟悉排水管渠系统上的构筑物 了解排水管渠系统的管理和养护 2．2城市污水处理 了解污水的性质、污染指标和水体污染及危害 熟悉城市污水处理的基本方法与系统设计 熟悉污水物理处理设施类型及构造特点 掌握曝气沉砂池、辐流沉淀池的设计与计算 熟悉污水的活性污泥法处理原理和主要设计参数 熟悉污水的生物膜法处理原理与工艺 了解污水的厌氧生物处理原理 掌握常用城市污水生物处理工艺的原理和应用 了解污水的深度处理和回用技术 熟悉城市污水处理厂的设计及运行过程的监测 2．3工业废水处理 了解工业废水的分类及排放要求 熟悉常用王业废水的物化处理的原理和应用 2．4污泥处理了解污泥的分类、性质 熟悉污泥的浓缩方法 熟悉污泥厌氧消化的机理和影响因素 熟悉污泥厌氧消化池的构造与设计 掌握污泥的脱水方法 了解污泥的最终处置方式 3．建筑给水排水工程 3．1建筑给水 了解水质标准 掌握水质防护措施 熟悉给水系统的组成及管材、管件、设备、附件的选用 掌握用水量、设计秒流量和管网水力计算 熟悉节水措施 掌握建筑内部给水分区的原则及措施 3．2建筑消防 了解防火规范中建筑物的分类及消防的相应规定 掌握水消防系统的组成和使用 掌握消火栓及自动喷水灭火系统喷头的布置原则 掌握消防用水量及消防给水系统的水力计算 了解建筑灭火器及其他非水消防系统的应用 3．3建筑排水 了解排水系统的组成及管材、管件、设备、附件的选用 熟悉水封及透气管的作用，掌握通气管的设计方法 掌握排水量、设计秒流量和排水管网的水力计算 熟悉屋面雨水排水方式及雨水管的设计要求 熟悉污水、废水局部处理设施的设计 3．4建筑热水 熟悉热水和饮用水系统的组成及管材、管件、设备、附件的选用 了解热水供应系统对水质、水温的要求及热水供应系统的安全措施掌握热水量、耗热量的计算及一般水加热、贮热设备的选用 掌握热水供应系统与冷水系统供水压力平衡及热水循环管网的计算 熟悉饮水供应系统中开水与饮用净水的制备方法及保证饮用水水质的 技术措施 3．5建筑中水 熟悉建筑中水处理工艺及中水水量平衡计算 3．6室内游泳池了解室内游泳池的一般规定和水处理工艺专业考试科目、题量、分值、时间分配及题型特点专业考试时间分配及试题分值 全国勘察设计注册公用设备工程师(给水排水)执业资格考试专业考试分为两天，第一天为专业知识考试，第二天为专业案例考试，考试时间每天上、下午各3小时。第一天为专业知识概念性考题100道题，上、下午各50道题，每道题分值1分，合计分值100分。第二天为案例分析题50道题，上、下午各25道题，每道题分值2分，合计分值100分。题型特点 考题由概念题(含综合概念题)和案例分析题(含计算题、连锁计算题)组成。连锁计算题中各小题的计算结果一般不株连。
注册公用设备工程师(给排水专业) 基础考试：本科毕业就能考，公共基础+专业基础。每年1次，7月报名，9月考试。 公共基础：数学、物理、化学、理力、材力、水力、电工、工程经济、计算机 专业基础：水文地质、水生物、水分析、水力、泵站、测量、职业法规。 专业考试：本科毕业5年(学校通过评估4年)，专业知识+案例分析。每年1次，7月报名，9月考试。 专业考试：给水工程、排水工程、建筑给水排水工程。 给排水职称考试(水务系统)： 初级职称：本科毕业1年，专业考试 中级职称：本科毕业5年，职称英语B级+职称计算机3科+专业考试+论文答辩 高级职称：本科毕业8年，职称英语A级+职称计算机4科+论文答辩 给排水专业考试主要是《给水工程》和《排水工程》两本书。 职称英语：每年1次，12月报名，次年3月考试。 职称计算机：每年3次，3、6、9月报名，次月考试。 初级专业考试：每年1次，9月报名，11月考试。 中级专业考试：每年1次，2月考试报名，4月考试。7月答辩报名，8月答辩评审。
延拓在数学上的意思就是扩大函数的定义域。常微分方程的解就是函数，所以称为解的延拓。为什么要做解的延拓呢？常微分方程的解，不止有解函数，也包含解函数的定义域，即“解的存在区间”。解的延拓，就是求解“解的最大存在区间”的基础。当然了，能求出解的解析式的话，直接由解析式求出存在区间就好了，但对于那些难以求出甚至根本就无法求出解的解析式的常微分方程，解的存在性+解的延拓就是一种很好的求解手段了。
《常微分方程》课程教学纲要一、课程概述（一）课程学时与学分课程代码：1302，开课专业：数学与应用数学（师范）专业，第6学期开课，课程总学时72学时，4学分。课程总学时包括课堂讲授54学时，习题课18学时。（二）课程性质《常微分方程》这门课程是利用数学分析，高等代数，复变函数等课程中的基础知识，介绍常微分方程中方程的一般常用解法和基本理论。它将为数学，力学，物理系的学生在后期的学习中服务，对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。属于院专业必修课（三）教学目的«常微分方程»是高等师范院校本科教育专业继数学分析，高等代数等基础课之后开设的一门主干课，必修课。着重向学生介绍常微分方程的一般常用解法和基本理论，其中包括用初等积分法求解常见的几种类型一阶微分方程和如何求解高阶线形微分方程与方程组，以及微分方程理论中最重要的理论基础：解的存在唯一性定理，解的延展定理。在提高学生解决实际问题的能力的同时，简要的介绍该门课程的基本思想和方法，培养学生对一般微分方程进行分析的能力。 （四）本课程与其他课程的联系与分工 《常微分方程》这门课程是以数学分析，高等代数，复变函数等课程中的知识为基础的，它将为数学系的学生在后期的学习中提供帮助。如：微分几何，偏微分方程等课程。常微分方程这门课程是与实际联系比较紧密的一门课程，对于数学联系实际和各种数学方法的灵活运用是不可缺少的基本训练。二、课程教学的基本内容与要求（一）教学要求1、要结合学生实际水平和能力学习常微分方程。2、掌握微分方程中解方程的基本方法（分离变量法；恰当方程；一阶线性方程；初等变换法中的齐次方程，伯努里方程，黎卡提方程以及积分因子法）3、掌握最基本的理论基础：解的存在唯一性定理和解的延展定理。4、掌握高阶线形微分方程和线形微分方程组的某些定理和基本解法。5、了解奇解与包络的概念及二者的求法。（二）课程总学时数与课程学时分配 1、总学时: 18 4=72(学时)2、课程学时分配表 章 次 内 容 学时 第一章 基本概念 4 第二章 初等积分法 20 第三章 毕卡定理 12 第四章 奇解 8 第五章 高阶微分方程 8 第六章 高阶微分方程组 20 合计 72 （三）教学内容第一章 绪 论（一）教学目的和要求掌握微分方程及解的定义，掌握微分方程及解的几何解释以及线素场的基本做法。（二）教学重点与难点1、微分方程及解的定义2、线素场的基本做法（三）教学方式讲授为主，多举例题，多作练习。（四）教学内容第一节 微分方程及解的定义1、常微分方程的概念。2、常微分方程解的概念。（1）通解（通积分） （2）特解 3、初值问题（柯西问题）。4、如何求一个曲线族满足的微分方程。第二节 微分方程及解的几何解释1、积分曲线，线素，线素场，方向场的概念。2、微分方程及解的几何解释。3、如何作出某些简单类型微分方程的线素场。第二章 初等积分法（一）教学目的与要求熟练掌握初等积分法的几种类型，能作到快速判定方程类型，进而求解。掌握这些方法和技巧是学好本门课程及其他分支课程的基本训练。（二）教学重点与难点1、恰当方程的判定条件及如何用公式求解恰当方程。2、变量可分离方程的求解。3、一阶线形微分方程的形式特点与求解公式以及五点性质。4、初等变换法。5、积分因子法。6、如何求已知曲线族的等角轨线族，正交轨线族。（三）教学方式以课堂讲授为主，多举例题。课后布置一定量的习题作为作业，通过批改作业及课堂上小测验督促学生学习，提高对本章内容的重视程度。（四）教学内容第一节 恰当方程1、恰当方程的定义（全微分方程）。2、定理：如何判定一个对称形式的 方程是恰当方程及利用公式求解。第二节 变量可分离的方程1、变量可分离方程的定义。2、补充：某些丢失的解要找回来。3、直接积分求解。4、课后习题四给予讲解（涉及物理知识）。第三节 一阶线形方程1、一阶线形方程的定义。2、求解一阶齐次线形方程的公式。3、求解一阶非齐次线形方程的公式。4、初步了解常数变异法。5、一阶线形方程解的五条性质，部分做练习。第四节 初等变换法1、举两个例题说明某些不能求解的方程通过初等变换可以求解。2、齐次方程： ，做变换 求解 。3、形如 的方程如何作变换求解。4、伯努力方程 做变换 。5、黎卡提方程 形式上最简单的非线形方程求解只做一般了解。第五节 积分因子法1、积分因子的定义。2、定理3，4分别给出两个特殊类型微分方程的积分因子3、进一步介绍分组求积分因子。4、定理6是课后部分习题的基础，做详细讲解。第六节 应用举例1、等角轨线族，正交轨线族的定义。2、如何求已知曲线族的等角轨线族，正交轨线族。第三章 毕卡定理（一）教学目的与要求存在和唯一性定理又称毕卡定理，是微分方程理论中的基本定理。要熟练记忆并深刻理解毕卡定理的内容。对于证明思想和方法，逐次迭代法构造毕卡序列，证明毕卡序列一致收敛到方程的唯一解 ，要熟练和掌握。解的延展定理是讨论方程某些解的存在区间问题，选讲中山大学，东北师范大学教材的部分内容，适当补充一些例题和课后习题，对于延展定理主要是使用推论。（二）教学重点和难点1、毕卡定理：李普西兹条件，替换条件。2、证明过程。3、补充说明。4、解的延展定理和推论。5、几道重要典型例题。（三）教学方式以课堂讲授为主，作到细致入微。要求学生课后认真复习，完成补充的课后作业。（四）教学内容第一节 毕卡定理1、介绍李氏条件的概念及替换条件： 对 有连续偏导。2、毕卡定理的内容及证明过程。第二节 解的延拓1、介绍局李普西兹条件。2、举例讲解解的延拓情况。3、引入解的延拓定理及推论。4、使用定理及推论做补充习题，并布置补充的作业题。第四章 奇解（一）教学目的与要求掌握求解一阶隐式微分方程的两种方法：微分法，参数法。掌握奇解概念及求奇解的方法。掌握包络的概念及包络的求法。掌握克莱洛方程的类型及解法。（二）教学重点与难点1、一阶隐式微分方程的求解，重在掌握微分法，参数法。2、奇解概念及求奇解的方法，两个定理要运用自如。3、包络的概念及求包络的求法，两个定理要运用自如。4、奇解和包络的关系。5、克莱洛方程的类型及解法。（三）教学方式以课堂讲授为主，补充例题和习题，扩充视野，多做练习题。（四）教学内容 第一节 一阶隐式微分方程1、形如 的方程利用微分法求解。2、形如 的方程利用参数法求解。3、包络的概念及如何使用两个定理求出曲线族的包络。4、奇解概念及如何使用两个定理求出方程的奇解。5、克莱洛方程的类型及解法。第五章 高阶微分方程（一）教学目的与要求对于几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程要掌握其解法；能作到 阶微分方程与 阶微分方程组之间的互化及找出二者解之间关系；熟知 阶标准微分方程组的两种向量形式及初值问题解的唯一性。（二）教学重点与难点1、几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程的解法。（1） （2） （3）恰当导数方程。2、引入变量，使 阶微分方程与 阶标准微分方程组之间互化。3、 阶标准微分方程组的向量形式。（三）教学方式以课堂讲授为主，辅以学生做课后习题。（四）教学内容第一节 几种特殊类型的可降阶的高阶微分方程1、形如 的方程的解法，令 。2、形如 的方程的解法，令 。3、恰当导数方程。4、补充习题。第二节 维线形空间中的微分方程1、 阶微分方程与 阶标准微分方程组之间的互化，引入变量 2、 阶标准微分方程组的两种向量形式， 是常用的一种。3、 阶标准微分方程组的初值问题的解的存在唯一性。第六章 线形微分方程组（一）教学目的与要求掌握线形微分方程组的一般理论主要是了解它的所有解的代数结构问题，中心问题是齐次线形微分方程组的基解矩阵。非齐次方程组的任一解可由基解矩阵通过积分求得。对于常系数线形微分方程组要能通过求特征根求得基解矩阵。对于高阶线形微分方程要求能求得齐次方程的基本解组，进而求通解。对于非齐次方程右端的两种特殊形式，能求出相应的特解，进而求通解。（二）教学重点与难点1、齐次线形微分方程组的通解构造。2、刘维尔公式 。3、基解矩阵的两性质。4、非齐次方程组的通解构造及求解公式。5、常系数线形微分方程组的基解矩阵。（1）利用若当标准型求得（2）利用待定指数函数法求得6、常系数非齐次线形微分方程组的通解公式。7、将方程组的某些理论推广到高阶线形微分方程上去。8、高阶齐次线形微分方程的通解构造。9、两种类型的高阶非齐次线形微分方程的通解构造。（三）教学方式以课堂讲授为主，通过多做例题，多做习题加深学生对授课内容的理解。（四）教学内容 第一节 一般理论1、齐次线形微分方程组（1）通解构造（基解矩阵）（2）利用朗斯基行列式判定线形相关（无关）（3）基解矩阵的两个性质。2、非齐次方程组（1）通解构造（2）利用常数变异法求出通解公式。第二节 常系数线形微分方程组1、矩阵指数函数的引入及性质。2、常系数齐次线形微分方程组的基解矩阵为 。3、利用若当标准型求得基解矩阵为 。4、利用待定指数函数法求得基解矩阵。（1）A有单根（2）A有重根5、举出可以不用定理5，6求解的方程组的特例。第三节 高阶线形微分方程1、高阶线形微分方程的一般理论（1）齐次线形微分方程的通解构造。（2）基本解组的引入及如何判定其为基本解组。（3）非齐次线形微分方程的通解构造。（4）重要例题。2、常系数高阶线形微分方程（1）利用特征方程的特征根求得齐次方程通解。（2）就两种特殊类型的非齐次方程，如何利用其特殊性求得特 解，进而求通解。（3）举例说明某些方程组可以转化为方程计算求解。（4）本节课后大部分习题给予讲解。三、教学方式与方法理论及例题部分以课堂讲授为主。课后习题大部分由学生独立完成，较难的在辅导课时间给予讲解。通过批改作业及课堂进行小测验督促学生学习及检验学生对所学内容的掌握情况。四、课程考核与要求考核方法：闭卷笔试与平时成绩相结合，由教师掌握。采取百分制。五、课程纲要制定程序本课程纲要的制定是由师范学院院长梁晓俐教授、副院长牛平、数学系主任周毅、聂锡军、李艳红、于强共同研究初步定稿，由聂锡军老师具体执笔编写。六、课程使用的教材与教学参考资料（一）教材名称：常微分方程（二）参考资料：1、常微分方程 东北师范大学 2、常微分方程 中山大学 3. 常微分方程 丁崇文（三）其他参考资料:1.常微分方程典型题解法和技巧 丁崇文2.常微分方程习题与解答 丁崇文3.常微分方程习题解 庄万