初三 就写 论文 厉害 佩服啊你可以 按这个 模式 写一下一、目的要求从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。二、内容分析1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法。2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。三、教学过程复习提问：1．当x取什么值的时候，3x－15的值（1）等于0；（2）大于0；（3）小于0。（这是初中作过的题目）2．你可以用几种方法求解上题？新课讲解：像3x－15＞0(或＜0）这样的不等式，常用的有两种解法。(1)图象解法：利用一次函数y＝3x－15的图象求解。注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根。②图象在x轴上面的部分表示3x－15＞0。(2)代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解。注这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的。复习提问：画出函数的图象，利用图象回答：（1）方程的解是什么；（2）x取什么值时，函数值大于0；（3）x取什么值时，函数值小于0。（这也是初中作过的题目）新课讲解：1.结合二次函数的对应值表与图象（表、图略），可以得出，方程的解是x＝－2，或x＝3；当x<－2，或x>3时，y>0，即；当－2
一、教学目标1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。教学重点和难点：二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：根与系数的关系及其推导。2．教学难点：正确理解根与系数的关系。3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。三、教学步骤（一）教学过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。（2）解方程①，②。观察、思考两根和、两根积与系数的关系。在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。设是方程的两个根。∴ ∴以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果的两个根是，那么。如果把方程变形为。我们就可把它写成。的形式，其中。从而得出：结论2．如果方程的两个根是，那么。结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。
本文从以下几方面探讨如何学好二次函数 . 一、理解二次函数的内涵及本质 . 二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 . 二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 . 1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 . 2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” . y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 . 总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移 . 3 、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征； 4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 . 三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 . 1 、要能准确灵活地求出“顶点” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h,k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 . 2 、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 . 3 、利用顶点画草图 . 在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 . 四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 . 一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 . 如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 . 从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 . 五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 . 用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益 .〖教学目标〗 ◆1,经历一元二次方程概念的发生过程. ◆2,理解一元二次方程的概念. ◆3,了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项. 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点:一元二次方程的概念,包括一般形式. ◆教学难点:例1第4题计算容易产生差错,是本节教学的难点. 〖教学过程〗 合作学习 列出下列问题中关于未知数x的方程 ①正方形的面积为80,边长为x,则可列出方程 . ②某村的粮食年产量,在两年内从60万千克增长到72万千克,问平均每年增长的百分率是多少 设年平均增长率为x,则可列出方程 . 引入新课 观察方程x2=80 和 两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程,能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根) 练一练:1,判断下列方程是否为一元二次方程:① 2(3x+2)=x2 ② +x+3=0 ③ ④ ⑤ 2,判断未知数的值,,是否是方程的根. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式,我们把形如(,,为常数,)称为一元二次方程的一般形式,其中,,分别称为二次项,一次项和常数项.,分别称为二次项系数和一次项系数. 思考:为什么,,可以为零吗 三,范例讲解: 例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. ① ② ③ ④ 解:① 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ② 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ③ 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ④ 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. 我们在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的系数从高到低排列,先写二次项,再写一次项,最后是常数项. 四,练习巩固: 1,方程 ① ② ③ ④ 中是一元二次方程的为 (填序号). 2,关于的一元二次方程的一个解是,则 3,判断下列各方程后面的两个数是不是它的解. ① ( ) ② ( ) ③ (3 , 1) ( ) ④ () ( ) 五,小结: 记住一元二次方程的一般形式,并会判断方程是否为一元二次方程; 化成一元二次方程的一般形式后,能说出二次项系数,一次项系数和常数项; 能判断的值是不是方程的解. 作业:见作业本 2.1一元二次方程(2) 【教学目标】 ◆1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤. ◆2.会用因式分解法解一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:用因式分解法解一元二次方程. ◆教学难点:例3方程中含有无理系数,需将常数项2看成,才能分解因式,是本节教学的难点. 【教学过程】 复习引入 1,将下列各式分解因式: 教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解. 2,你能利用因式分解解下列方程吗 请中等程度的学生上来板演,其余学生写在练习本上,教师巡视. 之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(板书课题) 新课学习 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤: 教师首先指出:当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时,用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤:(板书) 若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零; 将方程的左边分解因式; 根据若M·N=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 2,讲解例2. (1)解下列一元二次方程: 教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体,还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演,示范表述格式,强调两个一元一次方程之间的连结词要用"或",而不能用且. (2)想一想:将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左,右两边,等式成立吗 (3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型: ①先变形成一般形式,再因式分解: ②移项后直接因式分解. 在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式,然后再考虑化简后能否分解因式. 讲解例3. 解方程 在本例中出现无理系数,要注意引导学生将将常数项2看成,另外对于方程中出现两个相等的根,教师要做好板书示范. 3,补充例4 若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗 首先让学生设出未知数,列出方程(),再让学生求解.根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x,因为这里的x可以是0. 三,巩固练习: 课本第32页课内练习. 四,体会和分享 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗 先由学生自由发言,教师再投影演示: 1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积; 2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程的右边化为零; (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; (3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0. 4,用分解因式法解一元二次方程的注意点:1.必须将方程的右边化为零;2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 5,数学思想:整体思想和化归思想. 五.课后作业 1.书本作业题 2.作业本 【板书设计】 屏幕 2.1一元二次方程(二) ——因式分解法解一元二次方程 1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程的右边化为零; (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; (3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 2. 数学思想:整体思想和化归思想. 2.2一元二次方程的解法(1) 【教学目标】 ◆1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义. ◆2. 会用开平方法解一元二次方程. ◆3. 理解配方法. ◆4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:开平方法. ◆教学难点:配方法有一个比较复杂的过程,无论从理解和运用上,对学生来说都有一定的难度. 【教学手段】 用多媒体powerpoint和黑板的形式. 【教学过程】 (一)引入新课 问题1: 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时,遇到高山,需要开掘隧道,为了预计这座山隧道的长度,工程人员测量了山的高度约AB=3千米,坡面的长度约AC=5千米.请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米 从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程,体现方程与几何图形性质的应用,对一元二次方程概念的理解,方程根的检验等起着复习巩固的作用. (二)由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根. 如果把 变形为 ,进而可以理解为x是16的平方根,引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行,再得出开平方法的概念. 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征:1,它适合于什么样的方程 (左边是一个关于x的完全平方,右边为一个非负常数即 ).2:用什么样的方法来解 (方程的两边直接开平方的方法) 然后通过一系列,连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程,既突出本节课的重点,又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程. 例1, (1 ) (2) (3) (4) 通过第4个例题的讲解学生已经了解到,如果左边不是一个直接的完全平方,那么通过观察,变形,把它配成完全平方,就可以用开平方法来解一元二次方程. (三),问题2: 把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数. 1:先移项:含有未知数的项移到左边,含有常数的项移到右边. 2:方程两边同加上一个合适的数. 3:左边是一个完全平方,右边是一个非负常数. 4:最后用开平方法来解 即可引出配方法的概念.像这样,把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 然后让学生回答:用配方法解一元二次方程关键在哪里 (就是如何在方程左,右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方.) 为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数,可以通过专门的3个练习来得出.即突破本节课的难点. (1) (2) (3) 最后让学生得出结论:1:加上一次项系数一半的平方; 2:前提条件:二次项系数为1 例2, (1) (2) 再次总结:形如 (二次项系数为1时),可以用配方法来解一元二次方程. 具体的步骤有: 第一:移项. 第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方. 第三:再用开平方法来解方程. (四)提出挑战题:当二次项系数不是1时,怎么办 为下节课的教学打下了基础. 例3, 课堂小结 让学生回答1:用开平方法,配方法解一元二次方程的概念.2:用这两种方法解方程时,方程的特点.3:用这两种方法解方程时的步骤.4:让学生回答在解方程过程中应注意的事项. 六,布置作业. 2.2一元二次方程和解法(2) 【教学目标】 ◆1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤. ◆2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程. ◆教学难点:当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程. 【教学过程】 一.复习旧知 用适当的方法解下列方程: 1,(x-2)2=3 2, x2+3x+1=0 请学生上来板演,老师点评归纳. 二.新课讲授 1.出示引例:用配方法解方程5x2=10x+1 提出问题:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时,怎样用配方法来解 经学生讨论后,指定一名学生(中等程度)回答. 教师总结:对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程,只要将方程的两边都除以二次项系数,就转化为我们已经能解决的问题.即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程. 2.讲解例题 例3:用配方法解下列一元二次方程 (1)2x2+4x-3=0 (2) 3x2-8x-3=0 评注(1)本例讲解可由上一课时的复习来引入,先给出方程x2+2x-1=0,让学生解答,并板书过程,同时解答方程3x2+6x-3=0,让学生作比较,学生容易发现,两个方程同解.再把6x改成4x,并提出问题:方程3x2+4x-3=0又应该如何解 从而把问题化归. (2)本例中两个小题的解法是相通的,在讲解时,需要让学生明确配上去的值到底应该是多少,即解决的一半是多少这一问题,常用的解决方法是把该数乘以. 教师总结:1:用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时,一般步骤为: (1)x2+px=-q(移); (2)x2+px+() 2=-q+() 2(配); (3)(x+)2= (化); (4)解得x=- (解) 2,当二次项系数不为1时,则在 "移"之前先要有个"除",即两边同除以二次项系数,使二次项系数为1. 练习:用配方法解下列方程 1.2x2-7x+5=0 2.-3n=1 3.x2-x-=0 练习: 一个长方形牧场的面积为8100平方米,长比宽多19米.这个牧场的周长是多少米 三:小结 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程. 本课时的难点是对二次项系数的处理. 四:布置作业 课本""作业本"及习题精选中对应的练习. 2.2一元二次方程的解法(3) 【教学目标】 ◆知识教学点:理解一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程. ◆能力训练点:1.通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性. 2.培养学生快速而准确的计算能力. ◆德育渗透点:1.通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识. 2.让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美,简洁美,产生热爱数学的情感. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程. ◆教学难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解. 【教学过程】 (一)复习引入 1.用配方法解下列方程. (1)x2-7x+11=0,(2)9x2=12x+14. (通过两题练习,使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤,为本节课求根公式的推导做第一次铺垫.) 2.用配方法解关于x的方程 x2+2px+q=0. 解:移项,得x2+2px=-q 配方,得x2+2px+p2=-q+p2 即(x+p)2=p2-q. (教师板书,学生回答,此题为求根公式的推导做第二次铺垫.)3.用配方法推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根. 解:因为a≠0,所以方程的两边同除以a, ∵ a≠0, ∴4a2>0 当b2-4ac≥0时. 从上面的结论可以发现: (1)一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的. (2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入上式中,可求得方程的两个根. 的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (二)师生互动,应用新知 互动1 师:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式中,要求b2-4ac ≥0 , 那么b2-4ac<0时会怎样呢 生:当b2-4ac<0时,没有意义,此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解. 明确: b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分,是求根公式成立的前提条件,这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件.当b2-4ac0, ∴ x1=2,x2=1. 在教师的引导下,学生回答,教师板书,提醒学生一定要先"代"后"算".不要边代边算.引导学生总结步骤 1.确定a,b,c的值.2.算出b2-4ac的值.3.代入求根公式求出方程的根. 例2不是一般形式,所以在利用公式法之前应先化成一般形式,另外注意例2中的b2-4ac=0,方程有两个相同的实数根,应写成x1= 例3用公式法解一元二次方程: (1)X(x-1)=(X-2)2; (2) x2+x+1=0 其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b2-4ac<0,方程无实数根. 明确:运用公式法解一元二次方程的步骤:( 1) 把方程化为一般形式, 确定a,b,c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)若b2-4ac≥0,把a,b,c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求出方程的根;若b2-4ac<0,此时方程无解. 练习:P.35课内练习1.熟悉公式法的步骤,训练快速准确的计算能力. 互动3 请同学们根据学习体会,小结一下解一元二次方程的几种方法,通常你是如何选择的 请同学们交流,教师鼓励发言. 明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法,因式分解法,配方法,求根公式法.(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时,可用直接开平方法;(2) 当方程左边可以直接简单因式分解时,可选用因式分解法;(3) 配方法是一种重要的解法,尤其要熟悉配方法的整个过程,但解一般方程不选用这种解法;(4) 公式法是一元二次方程最重要的,最常用的解法,任何一元二次方程都可以选用这种解法,我们有时也称它为万能公式. 练习:P.35课内练习2.合理选择解法. (三)达标反馈,深化新知 (1)用公式法解方程4x2+12x+3=0,得到 (A) A.x= B.x= C.x= D.x= (2)关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根,则k的取值范围是 (3)不解方程,你能说出下列方程解的个数吗: x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0, (四)总结及布置作业 引导学生从以下几个方面总结: ≥0). (2)利用公式法求一元二次方程的解的步骤:①化方程为一般式.②确定a,b,c的值.③算出b2-4ac的值.④代入求根公式求根.公式法与配方法都是通法,前者较之后者简单. 2.求根公式是指在b2-4ac≥0对方程的解,如果b2-4ac<0时,则在实数范围内无实数解.渗透一种分类的思想. 2.3一元二次方程的应用(2) 【教学目标】 ◆1. 继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值. ◆2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用. ◆教学难点:"合作学习"的问题教为复杂,计算量大,是本节的难点. 【教学过程】 1.复习提问, (1)列方程解应用题的基本步骤 答: ①审题; ②找出题中的量,分清有哪些已知量,哪些未知量,哪些是要求的未知量; ③找出所涉及的基本数量关系; ④列方程; ⑤解方程; ⑥检验. 2.新课讲解, 列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:(1)变化率问题;(2)市场营销中单价,销量,销售额以及利润之间的相互关系问题;(3)根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题. 如图2-4,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2-5那样的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少 分析 设纸盒的高为x (cm),那么裁去的四个小正方形的边长也是x(cm),这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽,根据纸盒的底面积是450cm,就可以列出方程. 解 设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm,(25-2x)cm.由题意,得 化简,整理,得 解这个方程,得 (不合题意,舍去) 答:纸盒的高为5cm. 接下来,同学们来做一下课内练习题1. 围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800㎡,求这个公园的长与宽. 解: 设公园的一边长为x(m),则另一边长为(140-x)m,由题意,得 化简,整理,得 解这个方程,得 答:略. 合作学习: 一轮船一30km/h的速度由西向东航行(如图2-6),在途中接到台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得BC=500km,BA=300km. 如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区 你采用什么方法来判断 如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到报警开始,经过多少时间就进入台风影响区 建议: ①假设经过t时后,轮船和台风中心分别在cb位置; ②运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程; ③通过相互交流,检查列方程,计算等过程是否正确; ④讨论:如果把航速改为10km/h,结果该怎样 提示:①几何画版给出演示; ②若从接到台风警报开始,经过t时,轮船到达C'点,台风中心到达B'点,那么船是否受到台风影响与什么有关 ③当B'C'符合什么条件时船受到台风影响 ④你能用关于t的代数式表示B',C'两点之间的距离吗 ⑤你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗 解答(略) 练习 练习:P40——课内练习2 补充练习:P40---作业题5 课堂小结: 体会如何根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.从中学到了什么
可以给你提供几个要点参考：三者的联系最明显的就是根的判别式，即“△”。二次函数中的“△”可以和二次项系数“a”一起判断图像与X轴的交点个数；在一元二次方程中用于判断方程根的个数；在一元二次不等式中可以通过观察二次函数的图像来确定自变量X的取值范围。总之“△”可以说是用一条线把三者串联起来了。三者的区别在于：二次函数是一个研究因变量Y与自变量X变化关系的过程，其中需要探究函数图像增减性、单调性、对称性以及极值等等；一元二次方程则是探究方程中的未知数是否有解的过程，而一元二次不等式是探究未知数X满足条件的范围的过程，但一元二次不等式和二次函数的联系是非常紧密的，因为其经常要利用二次函数的图像来确定未知数X的范围。综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图像上的点；一元二次不等式是截取二次函数图像上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系。
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内事不决问百度 ，外事不决问谷歌，房事不决问天涯。《《杂谈名言》》
二元一次方程组在实际生活中有着广泛的应用，解这类问题时，我们要先弄清题意，设出未知数，用代数式来表示题中的量，再找出其中的等量关系，列出方程组，然后通过解方程组来解决问题。
例析一次函数的常见问题一次函数是初中数学的重要内容之一，在历年的中考中，不仅一些基础题出现，而且一些联系实际的应用题也频频“亮相”。因此，现就有关一次函数的一些常见问题举例分析如下：一、有关字母的取值（取值范围）例1已知y=(k2-1)x2+(k+1)x+k是一次函数，求k的值。简析掌握一次函数的定义“形如y=kx+b(k、b为常数k≠0)的函数，叫做一次函数”是解决这类问题的关键，一定不要忽视了k≠0的隐含条件，否则就会出错。解由题意，得k2-1=0，k+1≠0。∴k=1。二、确定一次函数的表达式例2已知一次函数的图象经过点（3，0）和点（2，5），求这个一次函数的表达式。简析这是一道最常见最基础的确定一次函数关系式的问题，在一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)中有两个待定系数k和b，需要两个独立的条件，常见的求函数关系式的题型主要有利用定义求表达式，利用一次函数的性质求表达式等。确定一次函数表达式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的一次函数关系式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程（方程组）；（3）解方程（方程组），求出待定系数；（4）把求出的待定系数的值代入所设的关系式。解设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)由题意，得3k+b=0，2k+b=5,解之得k=-5,b=15。∴这个一次函数的表达式为y=-5x+15。三、一次函数的图象所在象限例3一次函数在同一坐标系下的图象是图1中的（）。简析一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它所经过的象限是由k、b的符号决定的，理解掌握它们的关系，才可以轻松熟练的解答此类问题。解选（A）。四、有关一次函数图象的交点（一）与坐标轴的交点问题。（略）。（二）两个一次函数的图象交点问题。例4已知两条直线y=2x-3和y=6-x。①求它们的交点坐标；②利用函数图象解不等式：2x-3＞6-x；③求这两条直线与轴围成的三角形的面积。简析①二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量的取值，使两个函数的值相等；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。②一次函数与二元一次方程组之间的关系是解决一次函数与一元一次不等式的基础，正确理解交点坐标与自变量、函数值之间的关系，是解决这类问题的关键。③直线与坐标轴围成的三角形的面积是常见的一次函数综合性较强的题目，它涉及了许多关于坐标、函数的基础内容。这里，正确求出两条直线的交点坐标，是解决直线与坐标轴围成三角形的面积的前提。解①解方程组y=2x-3，y=6-x得x=3,y=3。∴直线y=2x-3和y=6-x的交点为（3，3）。②在同一平面直角坐标系中分别画出直线y=2x-3和y=6-x，（如图2），可以看出，两直线的交点为（3，3）。又由图所示，当x＞3时，对于同一个x，直线y=2x-3上的点在直线y=6-x上相应点的上方，这时，2x-3＞6-x，所以不等式的解集为x＞3。③设直线y=2x-3与x轴的交点为A点，直线y=6-x与x轴的交点为B点。令y=0，分别代入两直线表达式得A（3/2，0）、B（6，0），∴AB＝6-3/2=9/2，又由①知两直线的交点为（3，3）∴这两条直线与轴围成的三角形的面积为:S＝12×92×3=274。五由函数图象提供信息的问题例5《邹城日报》2007年9月12日报道了“养老保险执行新标准”的消息。尚河中学课外活动小组根据消息中提供的数据，绘制出邹城企业职工养老保险个人月缴费y（元）随个人月工资x（元）变化的图象，如图3，请你根据图象提供的信息解答下面的问题：（1）赵工程师5月份的工资是3500元，这月他个人应缴养老保险元；（2）小王5月份的工资是550元，这月他个人应缴养老保险元；（3）李师傅5月份个人养老保险56元，求他5月份的工资是多少。简析这是以图象提供信息为特征，考查一次函数的综合应用题。解决这类问题首先应具备阅读图象的能力，然后要有分类的数学思想，要注意“分段”地观察图象，即自变量分成若干“段”，观察各“段”中图象的变化情况，逐一加以分析。解从图象易得（1）填195.2元；（2）填38.99元；（3）设中间线段所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，由图象，知该直线过点（557，38.99）和（2786，195.2）∴2786k+b=195.2,557k+b=38.99。解之得k=7/100，b=0∴y=7x/100。∴当y=56时，x=800，即李师傅5月份的工资为800元。(A)(B)(C)(D)y=2x-3y=6-x118
1、一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从根本上讲，则是为了解决实际问题的需要，比如在几何、物理及其他学科中，许多问题都要化归到一元二次方程问题来解决．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤是(1)审题．分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系．(2)设未知数．一般采取直接设法，有的要间接设．(3)列出方程．要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同．(4)解方程．应注意一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法(1)三连续整数：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－1，x＋1．三连续偶数(奇数)：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－2，x＋2．(2)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为100a＋10b＋c．(3)增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，二次增长后的值为a(1＋x)2．降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，二次降低后的值为a(1－x)2．(4)三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据．4、在列方程解应用题的过程中，审题是解决问题的基础，找出相等关系列方程是解决问题的关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．
把一元二次方程的解法写下来。
一元二次方程解法：
一、直接开平方法
形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。
二、配方法
1、二次项系数化为1
2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。
四、因式分解法
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。
判别式
一般地，式子b^2－4ac叫做一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b^2－4ac。
1、当Δ>0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；
2、当Δ＝0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
3、当Δ<0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根。
一、教学目标1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。教学重点和难点：二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：根与系数的关系及其推导。2．教学难点：正确理解根与系数的关系。3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。三、教学步骤（一）教学过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。（2）解方程①，②。观察、思考两根和、两根积与系数的关系。在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。设是方程的两个根。∴ ∴以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果的两个根是，那么。如果把方程变形为。我们就可把它写成。的形式，其中。从而得出：结论2．如果方程的两个根是，那么。结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。
4x*5y=154x+5y=15因此4x, 5y为方程 Z^2-15Z+15=0的两个根：4x=（15+√165）/2, 5y=(15-√165)/2因此x=（15+√165）/6, y=(15-√165)/10由对称性，还有另一组解：x=（15-√165）/6, y=(15+√165)/10
还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法
（二）多归纳——总结规律 从学生实际情况出发，教师要多归纳、多总结，使知识系统化、条理化，达到易记好用。如求斜率的四种方法：（1）已知两点求斜率；（2）已知方向向量求斜率；（3）已知倾斜角求斜率；（4）已知直线的一般式求斜率。又如直线的点向式、点法式、点斜式，有一个共同特点，方程中都含有。再通过练习：已知直线经过点A（-3,1），B（1,4），分别用点向式、点法式，点斜式求直线方程。（三）勤练习——及时巩固 学习困难生在课堂教学中有意注意时间较短,因此需要将每节课分成若干个阶段，每个阶段都让自学、讲解、提问、练习、学生小结、教师归纳等形式交替出现，这样可以调节学生的注意力，使学生大量参与课堂学习活动。事实表明：课堂活动形式多了，学生思想开小差、做小动作、讲闲话等现象大大减少了。 （四）快反馈——及早纠错 学困生由于长期以来受各种消极因素的影响，数学知识往往需要多次反复才能掌握。这里的“多次反复”就是“多次反馈”。教师对于练习、作业、测验中的问题，应采用集体、个别面批相结合，或将问题渗透在以后的教学过程中等手段进行反馈、矫正和强化。同时还要根据反馈得到的信息，随时调整教学要求、教学进度和教学手段。由于及时反馈，避免了课后大面积补课，提高了课堂教学的效率。“快反馈”既可把学生取得的进步变成有形的事实，使之受到激励，乐于接受下一次学习，又可以通过信息的反馈传递进一步校正或强化。 三、辩证施教，掌握学习方法不是努力就能学好数学，但不努力肯定学不好数学。因此如何教以及如何学都得讲究方法。（一）弃重就轻、引发兴趣 中职生从小学到初中再到中职，在数学的学习中，经历过太多的磨难，曾经的挫折为他们的数学学习留下了恐惧的阴影，很多同学有畏惧心理，提到数学就害怕，见到数学就头痛，甚至厌学数学。这种情况下，教师首先要关心他们的生活和思想，以取得他们的信任。而后了解思想上、学习上存在的问题，消除其紧张心理。最后鼓励他们“敢问”、“会问”，激发其学习兴趣。让他们轻松愉快地投入到数学学习中来；还可以结合历届学生成功的事例和现实生活中的实例，帮助他们树立学好数学的信心。（二）开门造车、暴露思维中职生，尤其是高一新生作业问题很多，书写格式五花八门、条理混乱、交作业拖拖拖拉拉、有难题不合作、否则就是抄作业。他们互不交流、互不讨论、互不合作怎么能学好数学？因此教师要指导他们“开门造车”，暴露学习中的问题，有针对性地指导听课与作业，强化双基训练，对综合题要将问题转化为若干个基础问题，先做若干个基础题，然后做综合题。课堂练习经常开展说题活动，以暴露学生的解题思维过程，逐步提高解题能力。（三）笨鸟先飞、强化预习提高课堂学习过程中的数学能力，课前的预习非常重要。教学中，要有针对性地指导学生课前的预习，比如编制预习提纲，对抽象的概念、逻辑性较强的推理、空间想象能力及数形结合能力要求较高的内容，要求通过预习有一定的了解，便于听课时有的放矢，易于突破难点。认真预习，还可以改变心理状态，变被动学习为主动参与。因此，要求学生强化课前预习，“笨鸟先飞”。 （四）固本培元、落实双基 中职生数学知识“先天不足”，要提高数学教学质量，必须重视初高中数学教学的整体性，固本培元，优化数学知识结构。数学能力差，主要表现在对基本知识、基本技能的理解、掌握和应用上。因此，教师要加强总结，使新旧知识系统化，形成知识树。基本技能训练要多周期反复进行，练习题难度易中低水平，训练的形式要多样化，使学生觉得新鲜有趣。通过训练使他们具备学习新知识所必需的基本能力，从而对新知识的学习和掌握起到促进作用。（五）改进方法、促使理解“上课能听懂，作业有困难”是中职学生共同的“心声”。他们不会自主学习，学习基本上是被动的；在解题方法上只停留于模仿，没有真正理解知识；在数学思考方法上，限于记忆模仿型、思维定式型。实际上模仿例题做习题是数学学习失败的第一大原因，其致命弱点是缺乏对解题方法的“理解”。从学困生的实际出发，我们设计出学生预习例题的步骤：（1）阅读例题；（2）边看边做例题；（3）默做例题，直至能够把例题规范做出来。当教师讲解例题时就能正确理解解题方法。因此，教学必须使学生向探究理解型的认识水平发展，否则不利于高中数学的教与学。 【参考文献】[1]张思明.勤学、乐学才能善学[J].中学数学教与学,2001,(2).
在数学里面，勤奋大部分是很难战胜天赋的。因为有些东西一个人的起点是很多人奋斗半生的结果，所以根本没有办法通过个人的勤奋去战胜天赋。
如果只是为了考试而去学习数学的话，那这种为了应试教育而学习，通过自己的勤奋是绝对可以战胜天赋的。因为时间是很固定的，当你自己比别人有更多的努力，这样自然就能够成功，所以在上学的时候，老师都会很强调勤能补拙。
但是等到真正更高层次一点的数学，包括其他的各种学科都是一样，真正依靠勤奋就是没有办法战胜天赋的。因为勤奋只是你个人的能力不是很突出的一种表现而已，真正这个人能力特别强，他也不需要那么勤奋，就能够达到你想要达到的高度。
分式“家族”中的亲缘探究 分式离我们并不远，生活中充满了数学分式问题，分式也是不一般的难。 一．简介 分式的基本概念形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 掌握分式的概念应注意： 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/B的形式，关键要满足。 （1）分式的分母中必须含有未知数。 （2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。 由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 整式和分式统称为有理式。 带有根号的式子叫做无理式 无理式和有理式统称代数式 二．常见的分式问题在7年级的数学学习中，我遇到过这样一道题目: 若 y-x/xy=3 ,求分式2x+3y-2y/x-2xy-y的值。 这道题并不是很难，可是这道题也是难住了我们班的一些同学，这是一道基本的有关于分式的问题，十分简单，只是因为有些人不动脑筋。解:因为 y-x/xy=3 ，所以 y-x=3xy 2x+3y-2y/x-2xy-y=2(y-x)-3xy 把(y-x)=3xy代入 得 6xy-3xy/3xy+2xy =3xy/5xy =3 /5还有一题，这个也是普通的，但是生活都是由普通构成的。甲乙两个工程队承包一项工程。如果是甲单独做，则刚好如期完成；如果是乙单独做，就要超过6个月才可完成。现在由甲、乙两队共同施工4个月，剩下的由乙来完成，则刚好如期完成。问：原来规定需多长时间完成这项工程。设原来规定该工程需要x个月完工，则甲队单独做则刚好需要x个月,乙队单独施工则需要x+6个月；把该工程的工程量看成1，则甲的效率为1/x,乙的效率为1/(x+6)。列方程式如下： [1/x+1/(x+6)]4 + (x-4)/(x+6)= 1 (8x+24)/x(x+6) + (x^2-4x)/x(x+6) =1 8x+24+x^2-4x=x(x+6) 4x+24+x^2=x^2+6x 24=2x x=12 即原来规定该工程需要12月完成由这两题可以知道数学知识并不像有些同学们想的那样难，其实只要肯动脑筋什么难题都会迎刃而解。有时数学考试时，试卷上会多出一些附加题，这更让有些同学头疼，有些提高题也如同基本题一样，掌握多了就会了。例如:已知 abc不等于0 且a+b+c=0 ，求a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b) 的值 。解 :有这分式，得 a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b =（b+c）/a+（a+c）/b+(a+b)=-3这题要靠整体思想才能做出来，整体思想是我们数学老师整天挂在嘴上的东西，听上去不怎么样，到用的时候就知道了它的好处，解决的数学题大多数都由它做出来的，每次在想不出题的时候，用这个方法做出题目，正是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村。”三．分式的法则 1.约分： 把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。 2.分式的乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 3. 分式的加减法法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 4.通分： 异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：3/2和2/3可化为9/6和4/6.即：3*3/2*3，2*2/3*2！ 5.异分母分式的加减法法则： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 (1).定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A/B 叫做分式。 注：A/B=A×1/B (2).组成：在分式 中A称为分式的分子，B称为分式的分母。 (3).意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。 (4).分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分式值为1。 注：分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。四．生活中的分式探究有一次，学校准备用钱买奖品，到了文具点，那里的店员跟我们说，你们的钱以一支钢笔和2本笔记本为一份奖品，可以买60份；以3支钢笔和1本笔记本为1份奖品,则可买30份奖品。她说你们是中学生，我算不过来，你们说你们的钱能分别买多少支钢笔和笔记本?我回去便算了一下:(因为有两个未知数，所以用二元一次方程去做。)解:设一支钢笔为x元，一本笔记本y元，钱为z元。 60(x+2y)=z 1 30(3x+y)=z 2 由 1，2 得60x+120y=z 1 90x+30y=z 2 得 60x+120y=90x+30y 即 90y=30x 得 x=3y 把x=3y 代入 2 得 270y+30y=z 再代入 1 得 60x+40x=z 所以 300y=z 100x=z 即 用这些钱可以分别买300 支钢笔 100 本笔记本。五．总结与感受 数学的学习对我们的思维有很多积极的影响，对我们的脑力也有许多的提高。每次的探究都会有不一样的收获，生活中充满了探究，动手可以让自己对所学知识有更深的理解和掌握，也体验到了数学知识的内在的联系，更明白了数学探究的趣味性。通过不断地尝试和推导，发现生活中的一些道理和定义，正如爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。 在日常学习中，往往有许多数学题目的答案是多个的，容易在练习或考试中被忽略，这就需要我们认真审题，唤醒生活经验，仔细推敲，全面正确理解题意。否则就容易忽略了另外的答案，犯以偏概全的错误。
可以结合自己在日常生活中的经验，比如如何节约用水（你每天节约多少，长此以往用数学粗略地算一下）；或者说如何节约时间，节约钱（做一个类似于预算表的东西)
写三角形 对实际生活的应用 我几个月前才写过哦
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)