异常事件检测小论文

异常检测（Anomaly Detection）是机器学习算法的一个常见应用。它主要用于非监督学习，但又类似一些监督学习问题。

异常检测常用在对网站异常用户的检测；还有在工程上一些零件，设备异常的检查；还有机房异常机器的监控等等

假设有数据集 ，当又有一个新的测试样本 ； 想要知道这个新样本是否是异常的； 首先对x的分布概率建模p(x) ，用来说明这个例子不是异常的概率； 然后定一个阈值 ，当 时说明是异常的。

当出现在高概率分布的区域时，说明该例子时正常的；当出现在低概率的区域时，说明是异常的。

高斯分布又被称之为正态分布，曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线

假设x是一个实数随机变量，如果它的概率分布为高斯分布，定义几个变量： =平均值 =标准差 =方差 那么x的概率分布可以用公式来表示：

其平均值 决定了其位置，其标准差 决定了分布的幅度

完整的高斯分布的概率公式为：

当参数平均值 和标准差 变化时：

关于平均值和方差的求解：

在一个异常检测的例子中，有m个训练样本，每个样本的特征值数量有n个，那么某个样本的分布概率模型p(x)就可以用样本的每个特征值的概率分布来计算： 上面的式子可以用更简洁的方式来表达

总计一下，异常检测的过程：

如何评估一个异常检测算法，以及如何开发一个关于异常检测的应用：

首先，在获取到的一堆数据中，取一大部分正常的（可能包含少部分异常）的数据用于训练集来训练分布概率公式p(x)。

然后，在交叉验证和测试集中使用包含正常和一定比例异常的数据，来通过查准率和召回率，以及F值公式来评价一个算法。

举个例子

假设有：

下面分割一下训练集，交叉验证集和测试集：

在训练集上训练出概率分布函数p(x) 在交叉验证集上，预测y：

下面通过和真实标签的比较，可以计算出 查准率（Precision）和召回率（Recall），然后通过F值公式来得到一个数值。

总结一下，我们将正常的数据分成60:20:20,分别给训练集，交叉验证集，测试集，然后将异常的数据分成两半，交叉验证集和测试集各一半。 我们可以通过改变不同的阈值 从而得到不同的评价系数来选取一个最佳的阈值。 当得到的评价系数不佳时，也可以通过改变特征值的种类和数量来获取理想的评价系数

在使用异常检测时，对性能影响最大的因素是特征值的选择。

首先要对特征向量使用高斯分布来建模，通常情况下，我们得到的原始数据并没有呈现高斯分布，例如这种：

有几种方法可以实现：

通过上述办法，可以将数据转换成高斯分布的形式。

异常检测有点类似监督学习中的二元分类问题。 我们的目标是使得p(x)对于正常的数据来说是大的，而对于异常的数据来说是很小的，而在异常检测中一个常见的问题是最终我们的到的p(x)对于正常和异常的都很大。 在这种情况下需要观察一下交叉验证集中的异常示例，尝试找出能更好区分数据的新特性。

例子

例如，有一个关于机房机器的样本示例，开始收集的样本示例中包含的特征值有关于cpu负载和网络流量的。

cpu负载和网络流量是呈线性关系的，当网络流量变大时，cpu也会相应增大。

现在有一个异常的示例是网络流量不大，cpu确负载很大。假如在只有这两个特征值的情况下运行异常检测算法得出的p(x)，可能就效果不佳。这时可以添加一个特征值，是流量和cpu的比例关系，这样就约束来上述的异常示例，通过这三个特征值得到的异常检测算法可能就会好一点。

异常检测一般用于： 样本中 的数量非常少（0-50个），而 的非常多。这样由于样本数量的过少，达不到良好的训练效果，而在异常检测中确能够表现良好。 还有就是导致 的情况非常多，且有不可预见性。

监督学习一般用于： 样本中 和 的数量都非常多。这样就有足够的样本数量去训练算法。

多元高斯分布是异常检测的一种推广，它可能会检测到更多的异常。

在原始高斯分布中，模型p(x)的搭建是通过分别计算 来完成的，而多元高斯分布则是一步到位，直接计算出模型： PS： 是一个协方差矩阵。

通过改变 和 可以得到不同的多元高斯分布图：

原始高斯分布模型，它的多个特征值之间的关系是轴对齐的（axis-aligned），两个或多个高斯分布之间没有相关性。 而多元高斯分布能够自动捕获x的不同特征之间的相关性。因此它在图像上会现实椭圆或有斜率的椭圆。

在平常的使用中，一般是使用原始高斯分布模型的，因为它的计算成本比较低。 在多元高斯分布中，因为要计算多个特征值之间的相关性，导致计算会慢很多，而且当特征值很多是，协方差矩阵就会很大，计算它的逆矩阵就会花费很多时间。

要保证样本数量m大于特征值数量n，否则协方差矩阵会不可逆； 根据经验法则，当 时，多元高斯分布会表现良好。

在原始高斯分布模型中可以手动添加相关性高的特征值之间的关系，可以避免了使用多元高斯分布，减小计算成本。

统计学方法有效性高度依赖于给定数据所做的统计的模型假设是否成立。

异常检测的统计学方法的一般思想是：学习一个拟合给定数据集的生成模型，然后识别该模型低概率区域中的对象，把他们作为异常点 例如：正态分布的3个 之外的点为异常点，箱线图中超过2个Q的点为异常点

根据如何指定和学习模型，异常检测的统计学方法可以划分为两个主要的类型：参数方法和非参数方法

参数方法 假定正常的数据对象被一个以 为参数的参数分布产生。该参数分布的概率密度函数 给出对象 被该分布产生的概率。该值越小, 越可能成为异常点。

非参数方法 并不假定先验统计模型，而是试图从输入数据确定模型。非参数方法通常假定参数的个数和性质都是灵活的，不预先确定（所以非参数方法并不是说模型是完全无参的，完全无参的情况下从数据学习模型是不可能的）。

仅涉及一个属性或变量的数据称为一元数据。我们假定数据由正态分布产生，然后可以由输入数据学习正态分布的参数，并把低概率的点识别为异常点。

假定输入数据集为 ，数据集中的样本服从正态分布，即 ，我们可以根据样本求出参数 和 。

求出参数之后，我们就可以根据概率密度函数计算数据点服从该分布的概率。正态分布的概率密度函数为

如果计算出来的概率低于阈值，就可以认为该数据点为异常点。

阈值是个经验值，可以选择在验证集上使得评估指标值最大（也就是效果最好）的阈值取值作为最终阈值。

例如常用的3sigma原则中，如果数据点超过范围 ，那么这些点很有可能是异常点。

这个方法还可以用于可视化。箱线图对数据分布做了一个简单的统计可视化，利用数据集的上下四分位数（Q1和Q3）、中点等形成。异常点常被定义为小于Q1－或大于Q3+的那些数据。

用Python画一个简单的箱线图：

涉及两个或多个属性或变量的数据称为多元数据。许多一元异常点检测方法都可以扩充，用来处理多元数据。其核心思想是把多元异常点检测任务转换成一元异常点检测问题。例如基于正态分布的一元异常点检测扩充到多元情形时，可以求出每一维度的均值和标准差。对于第 维：

计算概率时的概率密度函数为

这是在各个维度的特征之间相互独立的情况下。如果特征之间有相关性，就要用到多元高斯分布了。

在许多情况下假定数据是由正态分布产生的。当实际数据很复杂时，这种假定过于简单，可以假定数据是被混合参数分布产生的。

在异常检测的非参数方法中，“正常数据”的模型从输入数据学习，而不是假定一个先验。通常，非参数方法对数据做较少假定，因而在更多情况下都可以使用。

例子：使用直方图检测异常点。

直方图是一种频繁使用的非参数统计模型，可以用来检测异常点。该过程包括如下两步：

步骤1：构造直方图。使用输入数据（训练数据）构造一个直方图。该直方图可以是一元的，或者多元的（如果输入数据是多维的）。

尽管非参数方法并不假定任何先验统计模型，但是通常确实要求用户提供参数，以便由数据学习。例如，用户必须指定直方图的类型（等宽的或等深的）和其他参数（直方图中的箱数或每个箱的大小等）。与参数方法不同，这些参数并不指定数据分布的类型。

步骤2：检测异常点。为了确定一个对象是否是异常点，可以对照直方图检查它。在最简单的方法中，如果该对象落入直方图的一个箱中，则该对象被看作正常的，否则被认为是异常点。

对于更复杂的方法，可以使用直方图赋予每个对象一个异常点得分。例如令对象的异常点得分为该对象落入的箱的容积的倒数。

使用直方图作为异常点检测的非参数模型的一个缺点是，很难选择一个合适的箱尺寸。一方面，如果箱尺寸太小，则许多正常对象都会落入空的或稀疏的箱中，因而被误识别为异常点。另一方面，如果箱尺寸太大，则异常点对象可能渗入某些频繁的箱中，因而“假扮”成正常的。

BOS全名为：Histogram-based Outlier Score。它是一种单变量方法的组合，不能对特征之间的依赖关系进行建模，但是计算速度较快，对大数据集友好。其基本假设是数据集的每个维度相互独立。然后对每个维度进行区间(bin)划分，区间的密度越高，异常评分越低。

HBOS算法流程：

1.为每个数据维度做出数据直方图。对分类数据统计每个值的频数并计算相对频率。对数值数据根据分布的不同采用以下两种方法：

静态宽度直方图：标准的直方图构建方法，在值范围内使用k个等宽箱。样本落入每个桶的频率（相对数量）作为密度（箱子高度）的估计。时间复杂度：

2.动态宽度直方图：首先对所有值进行排序，然后固定数量的 个连续值装进一个箱里，其 中N是总实例数，k是箱个数；直方图中的箱面积表示实例数。因为箱的宽度是由箱中第一个值和最后一个值决定的，所有箱的面积都一样，因此每一个箱的高度都是可计算的。这意味着跨度大的箱的高度低，即密度小，只有一种情况例外，超过k个数相等，此时允许在同一个箱里超过 值。

时间复杂度：

2.对每个维度都计算了一个独立的直方图，其中每个箱子的高度表示密度的估计。然后为了使得最大高度为1（确保了每个特征与异常值得分的权重相等），对直方图进行归一化处理。最后，每一个实例的HBOS值由以下公式计算：

推导过程：

假设样本p第 i 个特征的概率密度为 ，则p的概率密度可以计算为： 两边取对数： 概率密度越大，异常评分越小，为了方便评分，两边乘以“-1”： 最后可得：

1.异常检测的统计学方法由数据学习模型，以区别正常的数据对象和异常点。使用统计学方法的一个优点是，异常检测可以是统计上无可非议的。当然，仅当对数据所做的统计假定满足实际约束时才为真。

在全局异常检测问题上表现良好，但不能检测局部异常值。但是HBOS比标准算法快得多，尤其是在大数据集上。