按照自己内容的研究方向和进度写，具体如下：
20xx-3-01~20xx-3-19：确定论文方向，写出开题报告。
20xx-3-22~20xx-3-26：实习准备工作，搜集相关资料。
20xx-3-29~20xx-4-04：完成论文第一章。
20xx-4-05~20xx-4-18：完成论文第二章。
20xx-4-19~20xx-5-02：完成论文第三章。
20xx-5-02~20xx-5-09：完成论文第四、五章。
20xx-5-10~20xx-5-16：检查修改完成一次论文初稿。
20xx-5-17~20xx-5-29：根据指导老师的讲评及意见，修改并提交二次论文草稿。
20xx-5-30~20xx-5-31：讲评第二次论文草稿、集中解决有关论文漏洞问题并及时修改 20xx-6-01~20xx-6-11：基本完成论文大纲要求，论文成型，指导老师讲评修改并定稿 20xx-6-12~20xx-6-18：整理打印论文、装订论文。
20xx-6-19~20xx-6-30：准备参加答辩。
毕业论文开题报告内容：
一、制作开题报告封面。
每个学校提供的格式可能不一样，一般包括学校标记、论文题目、指导老师、学生姓名、学号、专业、学院、完成时间等信息。
二、介绍课程来源。
课题来源主要有导师提供，学生自选，科研项目等等。这个并不重要，实在不知道怎么写，可以写学校自主命题。
三、说明选题的背景及意义。
这其实是开题报告中最重要的部分，也是学生最应该花时间去思考的。这部分主要说明为什么要研究、研究它有什么价值。而写开题报告的目的，其实就是要请导师来评判自己这个选题有没有研究价值、是否适合研究。
四、说明文献综述。
有些学校要求写文献综述，有些学校只要求写国内外研究现状。其实就是说说别人已经做了什么，是对参考文献的高度概括和综合阐述。写作思路包括简要介绍自己的研究课题是关于什么问题的。
国内、国外的专家学者们已经就相关课题取了哪些成果、还存在哪些问题；自己的课题的必要性及价值，可以解决上述提到的问题。
我在网站上为你找到一些答案，你看下合适不？ 一、 如何做文献综述 首先需要将“文献综述（ Literature Review) ”与“背景描述 (Backupground Description) ”区分开来。我们在选择研究问题的时候，需要了解该问题产生的背景和来龙去脉，如“中国半导体产业的发展历程”、“国外政府发展半导体产业的政策和问题”等等，这些内容属于“背景描述”，关注的是现实层面的问题，严格讲不是“文献综述”，关注的是现实层面问题，严格讲不是“文献综述”。“文献综述”是对学术观点和理论方法的整理。其次，文献综述是评论性的（ Review 就是“评论”的意思），因此要带着作者本人批判的眼光 (critical thinking) 来归纳和评论文献，而不仅仅是相关领域学术研究的“堆砌”。评论的主线，要按照问题展开，也就是说，别的学者是如何看待和解决你提出的问题的，他们的方法和理论是否有什么缺陷？要是别的学者已经很完美地解决了你提出的问题，那就没有重复研究的必要了。 清楚了文献综述的意涵，现来说说怎么做文献综述。虽说，尽可能广泛地收集资料是负责任的研究态度，但如果缺乏标准，就极易将人引入文献的泥沼。 技巧一：瞄准主流。主流文献，如该领域的核心期刊、经典著作、专职部门的研究报告、重要化合物的观点和论述等，是做文献综述的“必修课”。而多数大众媒体上的相关报道或言论，虽然多少有点价值，但时间精力所限，可以从简。怎样摸清该领域的主流呢？建议从以下几条途径入手：一是图书馆的中外学术期刊，找到一两篇“经典”的文章后“顺藤摸瓜”，留意它们的参考文献。质量较高的学术文章，通常是不会忽略该领域的主流、经典文献的。二是利用学校图书馆的“中国期刊网”、“外文期刊数据库检索”和外文过刊阅览室，能够查到一些较为早期的经典文献。三是国家图书馆，有些上世纪七八十年代甚至更早出版的社科图书，学校图书馆往往没有收藏，但是国图却是一本不少（国内出版的所有图书都要送缴国家图书馆），不仅如此，国图还收藏了很多研究中国政治和政府的外文书籍，从互联网上可以轻松查询到。 技巧二：随时整理，如对文献进行分类，记录文献信息和藏书地点。做博士论文的时间很长，有的文献看过了当时不一定有用，事后想起来却找不着了，所以有时记录是很有必要的。罗仆人就积累有一份研究中国政策过程的书单，还特别记录了图书分类号码和藏书地点。同时，对于特别重要的文献，不妨做一个读书笔记，摘录其中的重要观点和论述。这样一步一个脚印，到真正开始写论文时就积累了大量“干货”，可以随时享用。 技巧三：要按照问题来组织文献综述。看过一些文献以后，我们有很强烈的愿望要把自己看到的东西都陈述出来，像“竹筒倒豆子”一样，洋洋洒洒，蔚为壮观。仿佛一定要向读者证明自己劳苦功高。我写过十多万字的文献综述，后来发觉真正有意义的不过数千字。文献综述就像是在文献的丛林中开辟道路，这条道路本来就是要指向我们所要解决的问题，当然是直线距离最短、最省事，但是一路上风景颇多，迷恋风景的人便往往绕行于迤逦的丛林中，反面“乱花渐欲迷人眼”，“曲径通幽”不知所终了。因此，在做文献综述时，头脑时刻要清醒：我要解决什么问题，人家是怎么解决问题的，说的有没有道理，就行了。 二、如何撰写开题报告 问题清楚了，文献综述也做过了，开题报告便呼之欲出。事实也是如此，一个清晰的问题，往往已经隐含着论文的基本结论；对现有文献的缺点的评论，也基本暗含着改进的方向。开题报告就是要把这些暗含的结论、论证结论的逻辑推理，清楚地展现出来。 写开题报告的目的，是要请老师和专家帮我们判断一下：这个问题有没有研究价值、这个研究方法有没有可能奏效、这个论证逻辑有没有明显缺陷。因此，开题报告的主要内容，就要按照“研究目的和意义”、“文献综述和理论空间”、“基本论点和研究方法”、“资料收集方法和工作步骤”这样几个方面展开。其中，“基本论点和研究方法”是重点，许多人往往花费大量笔墨铺陈文献综述，但一谈到自己的研究方法时但寥寥数语、一掠而过。这样的话，评审老师怎么能判断出你的研究前景呢？又怎么能对你的研究方法给予切实的指导和建议呢？ 对于不同的选题，研究方法有很大的差异。一个严谨规范的学术研究，必须以严谨规范的方法为支撑。在博士生课程的日常教学中，有些老师致力于传授研究方法；有的则突出讨论方法论的问题。这都有利于我们每一个人提高自己对研究方法的认识、理解、选择与应用，并具体实施于自己的论文工作中
数学硕士论文开题报告
导语：数学是一门博大高深的学科，要想学好数学必须进行艰苦的研究与知识的积淀。数学硕士撰写论文可以提高学术水平，在写作之前需要提交开题报告。下面和我一起来看数学硕士论文开题报告，希望有所帮助！
一、数学文化的内涵
数学作为一种科学的语言、工具和技术渗透在现代科技的方方面面早已是不争的事实，但是现代数学在人们心中的地位却远远没有达到它应当达到的高度。随着数学专业化程度的提高，它仿佛离人们越来越远了。专业的知识因为艰涩和高深仅仅掌握在少数人手中而无法被大众共享，这直接导致了新的成果无人理解，获得的奖项无人关注，所以数学人是“孤独的”.孤独造成高傲，高傲造成疏远，这其中有误解也有无奈。所以我们强调文化，因为脱离了文化基础的数学只能离人们越来越远。
受目前学校教育情况的影响，很多人认为数学是高高在上的，除了作为升学的工具，毫无用处。这样一来，对于数学这样一门富有深刻文化内涵的学科，就连一些受过良好教育的人也持无视的态度，对数学的无知成了一种很普遍的社会现象，这是一个令人十分担忧的事实。就像美丽的图画并非只是线条和色彩，动人的乐曲并非只是音符和节拍，数学也不是只有数字、符号和运算。了解数学的人都知道，运算只是数学微不足道的方面，数学的精神、思想、方法都蕴藏着无比深刻的内涵，渗透到科学的每个角落。如果将数学比作一棵大树，那么这棵大树的生命力是旺盛的，这种生命力体现在数学起源、发展、完善和应用的每一个过程当中，而数学文化就像土壤一样几百几千年来滋养这棵大树，使它繁衍生息，长盛不衰。因此，扎根于文化土壤的数学教育是十分必要的，也是我们目前十分需要的，这一点将在第五章进行详细论述。
19世纪末到20世纪初的几十年是数学哲学研究领域的黄金时代，关于数学基础的讨论十分活跃，也形成了不同的学派，包括逻辑主义学派、形式主义学派、直觉主义学派、集合论公理化学派等，大家都在筹划为数学建立牢固的哲学基础。虽然几个学派各有优缺点，但都为数学基础的严密性做出了贡献。然而哥德尔的工作击碎了他们的幻想，使数学哲学的研究一度陷入谷底。直到20世纪60年代，西方学者提出了数学文化观，从新的立场为数学哲学研究提出新的观点、新的方法。最早系统地完成这一开创性工作的是美国数学家怀尔德（），他提出了数学作为文化体系的数学哲学观。怀尔德是一名出色的数学家，主要从事拓扑学和数学基础的研究。他的《数学基础引论》和《数学概念演变初探》对数学基础研究有着深远的意义。受到人类学家朋友的影响，他对人类学产生了浓厚的兴趣，并大胆地从人类学的视角考察数学的本质和发展，在数学研究中融入了人类学的研究体会，出版了着作《数学概念的进化》和《作为文化体系的数学》。
他在著作中从文化生成和发展的理论等角度考察数学，率先提出了数学文化的概念并构建了数学文化的理论体系，形成了很长时期以来出现的第一个成熟的数学哲学观，强调了数学的发展动力、发展规律、思维方式等文化内涵，强调了遗传、环境、人类以及人类文化等对数学的作用影响。
二、数学文化研究的意义
区别于其他文化，数学文化具有独特的研究对象、研究视角及价值评判标准，它的出现为数学研究提出了新的思想和方法，使得我们可以从人类文化的任意一个角度切入数学、理解数学、解构数学，最大范围地打开研究思路，拓宽研究范围。
数学文化首先研究的是数学本身，包括从科学体系角度对数学科学进行研究和从哲学角度对数学哲学进行研究。数学科学研究就是一般意义上的数学理论研究，而数学哲学研究则是对数学基础、数学悖论和数学本体论进行探讨，包括数学的对象、性质、特点、地位与作用，数学新分支、新课题提出的哲学意义，着名数学家和数学流派的数学和哲学思想以及数学方法、数学的实在性和真理性等。
数学文化同时研究的是数学学科与其他学科、数学文化与其他文化之间的交互作用，比如数学与文学、数学与经济学之间的渗透影响等。
数学文化研究从文化因素思考数学的演变和发展，为数学史的研究提供新的思考方向。数学文化的历史研究不同于数学史的研究，数学史研究追求的是完善数学知识、数学思想的演化史，数学文化的历史研究是基于全局视角，思考数学与其他文化系统历史的互动关系，关注这些关系对现代数学发展的影响和启示。
如中国的传统文化和实用哲学使中国传统数学重视实用性，制定实际问题的算法成为中国传统数学的本质，也是中国数学存在和发展的基点。古希腊的数学思想产生在城邦航海贸易的氛围中，兼容并追求独立的思辨思想孕育了演绎数学，这是古希腊哲学的深入渗透和文化价值观的体现。从中西文化的差异角度，我们找到了东西方数学体系大相径庭的原因，不是数学本身的要求，而是文化的要求。
数学文化研究强调和突出社会文化心理、价值观念以及人类文化对数学发生的作用，从新的角度诠释了某些理论出现、发展、停滞或覆灭的原因。如古希腊的数学之所以昌盛，是因为希腊人以数学为万学之基，二元论的宇宙观也引导科学家将物质与自身分离而进行科学有效的客观分析。中国的儒家思想将数学放在六艺之末，天人合一的宇宙观使得东方人表现出长于直觉而短于抽象，擅于综合而不擅分析。这也是古代东方数学不能蓬勃发展的原因。
三、数学的文化特征
1.数学的抽象性
在早期的人类文明，数学的创始之初，人类学会了思考数字并进行一定程度的运算。苏联数学家亚历山大洛夫（）说：“抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校学的是抽象的乘法表--总是数字的.乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”
数学成为抽象的学科，人们将这一巨大的功劳记在希腊人身上，毕达哥拉斯学派纯凭心智考虑抽象问题，认为数是真实物质的终极组成部分，是宇宙的要素，完全的演绎推理证明也加深了数学的抽象程度。希腊人有意识地承认并强调：数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形象是完全不同的。物质实体是短暂的、不完善的，而抽象概念却是永恒的、完美的。虽然抽象相对实体更困难，但它的优点也是实体无法企及的，那就是一般性。在抽象的世界里，点没有大小，线没有宽度，面没有厚度，堆积的石子、成捆的树枝都可以表示数量关系。
2.数学的确定性
数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。这种结果得益于数学体系的特殊而有效的方法，即从一系列不证自明的公理出发，准确地描述将要讨论的概念和定义，经过严密的逻辑推理演绎得出明确无误的结论，这也是数学得以长足发展的动力因素。几千年来，数学的真理性得到人们的高度认同和尊崇。
然而，十九世纪以后，数学的这种真理性地位却一次次受到巨大的冲击。非欧几何、四元数理论、集合论悖论给数学“真理的化身”形象笼罩上了阴影，使得数学丧失了揭示客观世界的“真理性”,也丧失了自身基础的严密性。克莱因（Morris Kline）在《数学：确定性的丧失》中提到“数学的当前困境是有许多种数学而不是只有一种，而且由于种种原因每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、正确无误的推理体系--1800年时的尊贵数学和那时人的自豪--现在都成了痴心妄想。与未来数学相关的不确定性和可疑，取代了过去的确定性和自满。关于”最确定的“科学的基础意见不一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。”
3.数学的继承性
科学知识是在长期的历史发展过程中形成的，其过程就说明了知识具有继承性，没有继承，就没有积累。我认为继承性应该从两方面理解。
从个人来讲，我们学习一些知识，无须重新经历科学家们艰苦的实践过程，短时间内就可以掌握到一门学科千百年来积累的成果。这种继承通过教育实现，极大的加速了科学技术的发展，故而现在一个中学生掌握的知识可以超过若干古代著名的科学家。“只有有效地继承人类知识，同时把世界最先进的科学技术知识拿到手，我们再向前迈出半步，就是最先进的水平，第一流的科学家（诺贝尔物理学奖得主温伯格（Steven Weinberg））。”正因如此，知识领域才能发展成今天的面貌。法国的着名科学家庞加莱被誉为“全能数学家”,因为他在数学、天文、物理的几乎每一个领域都做出了杰出的贡献，然而今天，一个人想要掌握全部数学知识的三分之一都是不可能的。
四、提纲
目录
第1章 概述
文化的内涵
文明的内涵
数学文化的内涵
数学文化研究的意义与现状
第2章 数学的文化特征
数学的文化特征
数学的抽象性
数学的确定性
数学的继承性
数学的简洁性
数学的统一性
数学的功能特征
数学的渗透性
数学的传播性
数学的工具性
数学的预见性
数学的艺术特征
数学的艺术性
数学与音乐
数学与美术
数学与文学
第3章 数学与人类文明
数学是人类逻辑能力的来源
数学唤醒人类理性精神
数学促进人类思想解放
数学改善人类生活
数学完善人类品格
数学提高人类文化素质
第4章 数学与社会文明
数学促进社会进步
数学推动知识发展
第5章 我国数学文化与数学教育的研究进展
数学文化与数学教育研究综述
数学文化与数学教育活动进展
第6章 对数学教育的若干思考
数学素养是国民文化素质的重要构成.
数学教育现状
数学文化教育亟需解决的问题与建议
结束语
参考文献
致谢
五、亟需解决的问题与建议
1.数学技能的培养与数学素养的培育应当紧密结合为一个有机的整体，一方面提高学生对于数学的学习兴趣，另一方面，也可以使学生在学习数学技能的过程中，不断地加深对于数学的理解，提高逻辑思维能力，养成理性思考的习惯。高等学校数学文化教育普遍存在的一个问题是数学文化与数学技能培养相脱节。目前，数学文化课或者数学教育课都是选修课，在本质上仍属于“弥补型”课程，通常都是在学生入学一到两个学期以后开设的。当数学文化课引发了学生对于数学的兴趣和思考的时候，数学基础课程已经修完或即将修完，于是，对于学生来说，数学文化课有着某种“相见恨晚”的感觉。正像有些学生所反映的那样，如果早一点开设数学文化课，早一点了解数学的文化内涵，他们的高等数学会学得更好。由于一直以来积重难返的应试教育所致，学生在初、高中阶段主要接受的是数学技能方面的知识，而极少接触到数学文化方面的知识，于是，在进入高等学校以后，学生对于数学文化的了解几近空白。这也在客观上造成了数学文化与技能的培养脱节。
2.近年来，由于各个领域对工作者建模能力的需要，数学建模教育逐渐得到了重视。在建模过程中培养学生的创新意识、思维能力，培养学生良好的数学素养是数学建模教育的主要目标。路易斯安那州立大学一项研究表明，与细菌的生存发展方式类似，学生对知识的探求和接受并非只是个体行为，学生与学生之间形成的交流网络会使学生相互影响、相互促进，对教学效果产生质的影响。数学建模教育形式正是突破了时间和空间的限制，改变“师对生”的传统、单一的教学
六、进度安排
20XX年11月01日-11月07日 论文选题。
20XX年11月08日-11月20日 初步收集毕业论文相关材料，填写《任务书》。
20XX年11月26日-11月30日 进一步熟悉毕业论文资料，撰写开题报告。
20XX年12月10日-12月19日 确定并上交开题报告。
20XX年01月04日-02月15日 完成毕业论文初稿，上交指导老师。
20XX年02月16日-02月20日 完成论文修改工作。
20XX年02月21日-03月20日 定稿、打印、装订。
20XX年03月21日-04月10日 论文答辩。
七、参考文献
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王宁霞中国大学生方程式汽车大赛成本分析报告 李晔，从光好，Li Ye，Cong Guanghao自动气象站防直击雷技术的改进 王慧，胡晋，胡新凯区域品牌形象塑造的影响因素研究 宁冉发达国家应急救援管理体系分析及对福建消防部门的启示 邱凯旋装备维修保障能力评估指标体系与方法研究综述 沈剑，黄定东，赵大磊论职业指导在促进大学生就业工作中的作用和重要性 庄艳阳试从积极心理学角度看我国社会主义核心价值理念 陈新颖网络技术在图书馆工作中的应用体现 聂俊涛浅议乡镇图书馆建设的缺失与补救方略 刘文凤浅议微信在图书馆的应用前景 马骥浅谈高校图书馆勤工助学的意义及管理方法 卢晓何 Linux在嵌入式操作系统中的应用 钟华数字滤波器网络结构的SIMULINK仿真 甘庆玉，Gan Qingyu面向逆向工程中点云数据的处理与精简方法 许岚汽车多功能语音监控系统设计 王波，郑鹏飞关于建设智能变电站的问题研究 徐乾，徐宝库IPG YLP系列脉冲参镱激光器的单片机控制 王国运数字电视节目指南EPG的实现方式 张晓强驾校内场智能教练系统模型的初步设计 赵猛，宋震移动存储设备使用过程中的风险及管控 范晓明利用Excel软件中VBA批量计算环境空气质量指数(AQI) 王悦东，阎毅，张华PLC变频供水系统的设计与实现 汤立刚正交实验法优选99mTc-Gd-DTPA-BMA的标记条件 王华丽，曹丰物联网在日常生活中的应用与发展趋势 韩志君浅析网络审计 林丁国基于web的高校毕业论文档案管理信息系统的设计 江小华大学新生入学教育游戏设计探讨 许文俊，宋珠东，黄奕达，李一媛电子商务的安全分析和Java实现 罗兴荣全自动无人值守换热站及热网监控系统 张云锋无线设备监测系统设计与应用 王丽LTE网络中的VoIP语音实现 方国涛岚皋县佐龙镇正沟村WLAN无线网络覆盖方案 袁法，Yuan Fa基于江苏某市实践的平面控制测量技术研究 王立国市政道路路面采样测量技术研究 顾汉忠地形图数据库设计与数据录入维护研究 刘利清基于云计算的摄影测量数据处理模型设计研究 蒋昌晶凤凰颈闸垂直位移观测方法的探讨 万进桃，Wan Jintao海洋多波束测深技术应用研究 廖剑波水下不分散混凝土配合比应用研究 詹思卵石地层及入岩地下连续墙的设计与施工 孙孝林，祁志强，谭昌军，黄仙坤关于水利堤防工程软土地基处理的探讨 于权超长预应力束张拉损失分析及预应力连接工艺 唐维东海堤地基承载性状研究 宣杰，蒋建平简支系杆拱钢管拱拼接安装测量方案 庞佑涛工业建筑色彩研究 张姝建筑防火中外墙保温材料防火性能的重要性 贾令龙浅析新材料应用与现代建筑结构技术的创新 徐朝富中心组合设计法优化CuCl2为活化剂的茶梗活性炭制备工艺 李素琼，王焕涵，Li Suqiong，Wang Huanhan乌石化常减压蒸馏装置腐蚀调查及分析 唐应彪，Tang Yingbiao综采工作面刮板运输机的安装及试运转的研究 翟智哲，张锡鹏，徐泉矿用液压千斤顶泄露相关事宜及对策 苏伟，刘朋张力控制对冷轧轧机带钢厚度控制的影响 赵兴华用平行流电积技术处理废电解液研究 张伟提高静电除尘器效率的措施与途径 王兆明刃板型钢的生产 宋翊电动汽车的发展趋势分析 郑孟用户宏程序加工实例 郝晓飞软齿面齿轮传动的应用一例 丁鸣浅析张力计工作原理 宋丹，李文波浅析消除铸轧卷质量缺陷的措施 吕文斌钢结构与搅拌设备机架设计论述 薛水明深加工制冷系统的节能方法探讨 万其乐，朱世龙，王平多绳摩擦式提升机罐道钢丝绳导向座的改进 柴占彪，王文华浅谈车床震动问题的解决措施 孙雪娜，张述江，肖红梅基于VB的四辊卷板机辊位精确控制研究 敖峰浅谈智能化家电产品 吕伟TDC(数字时间转换)测量技术在飞机机体变形上的研究 何超浅析FANUC Oi-D机床主轴换挡方式及含义 谢贺年，Xie Henian机电一体化的发展与应用 王霞，Wang Xia探讨液体膨胀机在内压缩流程空分设备中的应用 孙阳，孟凡华火电厂锅炉安装工程施工组织设计分析 熊柳智给水加氨设备自动化改造工程实例 武友根电力大客户负荷用电负荷预测 史焕弘，毛倩倩小波变换在面波去噪中的一些应用 郝建奇，Hao Jianqi锅炉汽包水位计量误差分析及校正 袁明根发电机封闭母线穿墙隔板发热原因分析及解决方案 施明礼，朱晓军矿用变频器漏电检测系统分析 张先华，张磊，孟庆凯，何辉某发电公司1000MW机组锅炉送风机故障跳闸的原因分析及处理对策 卢伟翔TCR静止型动态无功补偿装置应用 陈淑丽，佟维威浅析轿车电器常用维修方法 许佳云浅谈我国港口节能减排 李宗泽，熊如东水泥窑废气污染防治的几个问题 邓加宏冬暖式蔬菜大棚种植对寿光气温的影响研究分析 徐风霞，高学芹，张爱玲，郭春香农村沼气使用情况调查报告 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互信息（Mutual Information）是信息论里一种有用的信息度量，它可以看成是一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不肯定性。互信息代表了两个随机变量的相关程度或者说依赖程度，因此在数据科学中是一种应用广泛的度量标准。 互信息能够捕捉随机变量之间的非线性统计依赖，因此可以作为变量之间真正的依赖关系的度量。然而，互信息的度量一直以来都是困难的。目前的方法仅限于对离散变量互信息的估计以及一些已知概率分布的连续变量，对于一般任务来说，互信息的估计是困难的。本文提出一种基于KL散度对偶表示的神经网络方法（称为MINE），其为互信息的估计提供了一种通用的解决方案。 对于两个随机变量 和 ，它们的互信息表示为： 和 之间的互信息可认为是在给定 时变量 所减少的不确定性： 另外， 和 的互信息等价于其联合分布 和其边缘分布的乘积 之间的KL散度： KL散度的定义为： 也就是说联合分布和边缘分布的乘积之间的KL散度越大，随机变量之间的依赖程度就越大。到目前为止，互信息的估计问题就转化为了KL散度的估计问题。 MINE中应用的关键技术是KL散度的对偶表示，主要采用Donsker-Varadhan表示，同时也对比了f-divergence表示，两种方法分别记作MINE和MINE-f。 f-divergence的定义如下： f-divergence衡量分布 和 之间的差异程度，满足在 和 完全一致的情况下取得最小值为 ，在有所差异的情况下值为一个正数，这一点可以通过凸函数的性质得到： 和 完全一致时： 和 有差异时： 事实上KL散度就是f-divergence的一个特例： 每一个凸函数都有一个共轭函数（Conjugate Function），记作 ，公式为： 这个函数也就是说要找出给定 的情况下变动 能达到的最大值，限制 必须要在 的定义域内，以下图为例，给定不同的 ，代入所有的 能得到的最大值就是 ： 按照上面的方式能够理解前面的公式。那么 的图像是什么样子的呢？我们可以按照以下方式来考虑，在给定 ，使 变动，那么就能得到一条以 为斜率的直线，对于不同的 就对应着不同的直线： 而此时，要求 ，就只需要从 的位置坐垂线，这样与垂线相交最上面的直线对应的 就是能使得 取得最大值的 ： 那么在整个 的定义域上，将位于最上面的直线的片段连接起来就是 的图像了，当然这只是便于理解的一种形象化的思路： 按照上面的思路，可以很直观地看出 也是凸函数。 另外，我们按照上面的方式把有关 的共轭函数的每条直线都画出来： 得到的共轭函数的图像像是一个指数函数，其实 的共轭函数就是 ，求解共轭函数可以直接用数学的方法计算出来，对于 来说，先把 代入前面共轭函数的表达式： 对于括号里面的式子 ，给定 ，需要求解 来使最大化 ，可以直接对 求导，也就有 ，然后解得 ，也就是说，对于给定的 ，能使得 最大的 就是 ，将 代入原来的式子就可以求得共轭函数了： 另外（在满足 是闭凸函数的条件下，这里就不深究了）有 是 的共轭函数， 也是 的共轭函数，也就是说： 是 互为共轭函数： 这叫做二次共轭。 由上面二次共轭的内容，那么对于f-divergence中的凸函数 ，就可以用 来替换它： 现在对于任意的一个 ，它的输入是 ，输出是 ，将 代入上面的式子中，一定有以下关系： 上面的不等式是恒成立的，我们也就得到了 的下界，来调整函数 （ 是任意的）使得这个下界取得最大值就可以用这个最大值来得到 ： 下表中展示了一些不同的divergence对应的函数以及它的共轭函数： 现在我们知道当 时f-divergence就是KL散度（KL-divergence），而此时 的共轭函数为 ，将这些代入上面的式子，得到KL散度的f-divergence表示： 接下来为了与论文中使用的符号一致，我们可以将上述结论写为： 注意这里的 代表任意函数 。在本文提出的深度方法中， 是一个神经网络，此时 就不是任意函数了， 可以取到的所有函数的集合，记作 。现在可以得到 的下界： 通过梯度下降的方法不断学习 ，就可以使用这个下界近似两个分布 和 之间的KL散度。 Donsker-Varadhan表示来源于 Asymptotic evaluation of certain markov process expectations for large time. IV 这篇文章，其具体的形式为： 类似的，当 是一个神经网络时，得到用于估计 的下界： 直观上来看，对于固定的 ，Donsker-Varadhan表示中的下界总是比f-divergence表示要大。MINE主要采用的是Donsker-Varadhan表示，实验中MINE效果要比MINE-f要好一些。 根据上面的理论对于两个随机变量 和 的互信息，假设 是由 参数化的神经网络，记作 ，参数 ，互信息的边界就可以表示为： 其中： 上面式子中的期望可以通过以下方式估计： ①从分布 和 中采样，样本 和 可以简单地通过丢弃样本 中的 获得； ②沿着batch维度打乱联合分布的样本。 接下来，对于一个分布 ，我们用 代表其与 个 样本相关的经验分布。 使用 代表神经网络参数化的函数集合，MINE定义为： 下面是MINE的算法，MINE-f也类似： 对于MINE而言，一个mini-batch内随机梯度下降的梯度为： 这里 代表一个mini-batch的样本。由于损失函数中 的存在，导致上式梯度中的第二项分子分母都有求期望的过程，然而当用采样来代替期望的时候，分子分母的期望应该独立采样，不能使用同一个mini-batch的样本。因此上式的梯度是有偏的，原因就是第二项分子分母的样本不独立。 矫正的方法是将分母上的 改用真正的 。这个值不是采用采样的方法估计的，在文中是采用滑动平均的方法计算 ，将该值记为 。则梯度变为： 该式相当于在原有的梯度的基础上，在后一项前面乘以了一个权重 ， 相当于当前mini-batch的 均值和滑动平均的 均值的比值。注意 在计算中被当做一个常数。虽然 中也包含有参数 的项，但并不参与梯度的计算。 现在由梯度 反推目标函数，得到： 因此 MINE 的偏差校正过程仅需要在原始目标函数的后一项乘以一个常数 。 MINE: Mutual Information Neural Estimation 【深度学习 111】MINE F-GAN & MINE
E(x)指期望。大体上讲，数学期望（或均值）就是随机变量的平均取值，而方差则刻画了随机变量对它的均值的偏离程度。
论文的研究方法一般从较宽泛的领域看有定性研究与定量研究；从取材方面来看有实证研究（实际调查案例为分析基础）与文献归纳法等；如从分析手法上来看有归纳法、演绎法与比较分析法等等。不过要看你是什么专业，专业不一样运用的研究方法是不一样的。
凸函数的性质及其应用如下：
性质：定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。
凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。
注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。
判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数，对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上大于等于零，就称为凸函数。如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。
大概方向能在稍微具体点么？数学教学这方面的话省级的《教育界》可以考虑，性价比不错，同类期刊也算比较不错的，白杜输入壹品优，我发过教育界的稿子的，有编辑邮箱的。
毕业论文研究方法怎么写，为什么很难下笔
论文的研究方法主要有以下几种：
1、调查法
它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解。
2、观察法
观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究提纲或观察表，用自己的感官和辅助工具去直接观察被研究对象，从而获得资料的一种方法。
3、实验法
实验法是通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。其主要特点是：第一、主动变革性和控制性。
4、文献研究法
文献研究法是根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。
5、实证研究法
在科学研究中，通过定量分析法可以使人们对研究对象的认识进一步精确化，以便更加科学地揭示规律，把握本质，理清关系，预测事物的发展趋势。
论文答辩演讲稿 我来
答辩的准备工作学生可以从下列问题（第4~10题）中，根据自己实际，选取二三个问题，作好汇报准备，（第1~3题必选）。时间一般不超过10分钟。内容最好烂熟于心中，不看稿纸，语言简明流畅。1．为什么选择这个课题（或题目），研究、写作它有什么学术价值或现实意义。2．说明这个课题的历史和现状，即前人做过哪些研究，取得哪些成果，有哪些问题没有解决，自己有什么新的看法，提出并解决了哪些问题。3．文章的基本观点和立论的基本依据。4．学术界和社会上对某些问题的具体争论，自己的倾向性观点。5．重要引文的具体出处。6．本应涉及或解决但因力不从心而未接触的问题；因认为与本文中心关系不大而未写入的新见解。7．本文提出的见解的可行性。8．定稿交出后，自己重读审查新发现的缺陷。9．写作毕业论文（作业）的体会。10．本文的优缺点。总之，要作好口头表述的准备。不是宣读论文，也不是宣读写作提纲和朗读内容提要。学生答辩注意事项1．带上自己的论文、资料和笔记本。2．注意开场白、结束语的礼仪。3．坦然镇定，声音要大而准确，使在场的所有人都能听到。4．听取答辩小组成员的提问，精神要高度集中，同时，将提问的问题——记在本上。5．对提出的问题，要在短时间内迅速做出反应，以自信而流畅的语言，肯定的语气，不慌不忙地—一回答每个问题。6．对提出的疑问，要审慎地回答，对有把握的疑问要回答或辩解、申明理由；对拿不准的问题，可不进行辩解，而实事求是地回答，态度要谦虚。
如何写好论文答辩陈述词呢？一、熟悉论文参加论文答辩，首先必须对自己所着的论文有深刻、全面、准确的理解；其次，还要对论文内容有横向把握，即理解从论文主题伸出的概念；此外，近期发生的、和论文有关的新闻时事、学术热点等最好多了解一下。二、想好“台词”在答辩前要事先规划好自己的论文陈述都说什么。一般来说应该涵盖这些方面：1、为什么选择这个题目；2、写作目的是什么，为解决什么问题；3、全文的基本框架、结构、行文逻辑是什么；4、通过研究发现了什么；5、论文在选题、观点、方法等方面有什么创新之处；6、论文有什么不足之处（但注意不要把论文的硬伤说出来）。 注意陈述一定要概括、将重点有所总结，而不是记流水账一样地说“第一章写了……第二章写了……”,因为这些内容老师完全通过翻阅纸质档论文了解。三、做好PPT1、内容：每页不超过10行字或一幅画，只列要点，避免放大段文字；2、配色：力求文字清晰、简洁易看，字体颜色要和背景形成鲜明反差，避免过多颜色、过于花哨繁复配色；3、图表：可以适当地在PPT中穿插使用一些能说明论点的图表，不仅能吸引观众注意，还能更形象地表达你的观点。四、练习控制时间一般答辩现场都对学生的陈述时间有限制。在正式答辩前一定要多计时演练几遍自己的陈述，学会控制掌握时间。这样到时显得你对答辩内容的掌握和控制较熟练，给答辩老师一个准备充分的好印象；否则，很可能会刚讲了一半时间就到了，造成尴尬达到结果。五、拿上必备材料1、论文纸质版：自己手上必须有一份，可以不加封面，但页码一定要与送交答辩的论文一致，方便老师提问时自己查找相应页面； 2、纸和笔：有些答辩老师提问较多，或者每个老师分别提问、学生最后一起回答，有纸笔方便在老师提问时记下题目，或在准备回答时简单做思路笔记。六、注意演讲技巧1、控制语速：很多学生答辩时，说话速度往往越来越快，一致答辩老师听不清楚，影响答辩效果。因此一定要注意语速，要有急有缓，有轻有重；2、目光移动：无论是否脱稿，都应注意自己的目光要时常望一下答辩老师和其他同学，这样可以避免观众分神；3、体态相辅：答辩过程中一成不变地站着或低头，很容易使答辩变得单调；而适当地运用体态，尤其是手势语言，会显得更为自信、有力。七、调整心态1、保持自信：面对几位学术水平显然高于你的答辩老师，不要过于紧张，要相信只要准备充分，一般老师是不会为难你的；2、心态谦虚：如果老师指出了你论文中明确的错误，最好就大方承认，不要试图再反复辩驳了；或者如果老师提出的问题论文中已经写出来了，也不要说“我论文中某某页已经写了答案”,只要再复述一遍答案就好。
论文答辩是一种比较正规的审查形式，有组织、有准备、有鉴定、有计划的。答辩会由校方、答辩委员会还有答辩者组成。我在此献上 毕业 答辩发言稿，希望大家喜欢。
毕业答辩发言稿一：
各位老师，上午好!
我叫赵晓琦，是土 木工 程__ 班的学生，我的论文题目为某某市八十八中学办公楼的设计。设计是在姚力老师的悉心指点下完成的，在那里我向我的老师表示深深的谢意，也向在坐各位老师不辞辛苦参加我的论文答辩表示衷心的感谢，并对上大学来我有机会聆听教诲的各位老师表示由衷的敬意。
下面我将本论文设计的目的和主要资料向各位老师作一汇报，恳请各位老师批评指导。
首先我想简单介绍本设计。
本工程为某某市八十八中学办公楼采用多层框架结构，主体结构为6层，内外装修均为一般装修，为永久性建筑。该楼总建筑面积为3981㎡，拟建位置另行给定，抗震设防烈度为8度。
其次我想谈谈这篇论文的结构和主要资料。
毕业答辩发言稿二：
各位领导、来宾，老师、同学们：
大家上午好!
为了进一步提高广大学生的创业意识，鼓励创新观念的成长，促进同学们就业观念由“择业”向“创业”转换，促进产、学、研一体化发展，培养能够适应市场经济发展需求的骨干人才，厦门大学团委一直致力于激发大学生创新创业的热情，以“挑战杯” 创业计划 竞赛为契机，为大学生创新创业提供广阔的平台。
“恒安杯”厦门大学第五届创业计划竞赛从去年5月启动至今，共吸引了1000多名本科生、硕士生和博士生参加，申报了65个项目。有30支团队从去年10月的初赛中脱颖而出。经过初赛、复赛和决赛三个阶段的培训和角逐，目前闯入决赛的9支队伍今天在此进行决赛。现在我简要向各位介绍一下本次竞赛的举办情况。
毕业论文答辩流程
1、 自我介绍 ：自我介绍作为答辩的发言稿，包括姓名、学号、专业。介绍时要举止大方、态度从容、面带微笑，礼貌得体的介绍自己，争取给答辩小组一个良好的印象。好的开端就意味着成功了一半。
2、答辩人陈述：收到成效的自我介绍只是这场答辩的开始，接下来的自我陈述才进入正轨。自述的主要内容包括论文标题;课题背景、选择此课题的原因及课题现阶段的发展情况;有关课题的具体内容，其中包括答辩人所持的观点看法、研究过程、实验数据、结果;答辩人在此课题中的研究模块、承担的具体工作、解决方案、研究结果。 文章 的创新部分;结论、价值和展望; 自我评价 。
3、提问与答辩：答辩教师的提问安排在答辩人自述之后，是答辩中相对灵活的环节，有问有答，是一个相互交流的过程。一般为3个问题，采用由浅入深的顺序提问，采取答辩人当场作答的方式。
4、 总结 ：上述程序一一完毕，代表答辩也即将结束。答辩人最后纵观答辩全过程，做总结陈述，包括两方面的总结：毕业设计和论文写作的体会;参加答辩的收获。答辩教师也会对答辩人的表现做出点评：成绩、不足、建议。
5、致谢：感谢在毕业设计论文方面给予帮助的人们并且要礼貌地感谢答辩教师。
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反函数定义：
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，通常为了与习惯一致，我们对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)。
（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。
奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（6）反函数是相互的且具有唯一性；
（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
扩展资料
反函数求解步骤：
①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域
②由y=f(x)反解出x=f-1(y)，即把x用y表示出来
③将x，y互换的：y=f-1(x)，并写出反函数的定义域
例题：求f(x)=ex-1的反函数f-1(x)的解析式
解：
∵f(x)=ex-1，可知f(x)的值域为(-1，+∞)
已知y=ex-1
可得ex=y+1，即得：x=ln(y+1)
∴f-1(x)=ln(x+1)，且x∈(-1，+∞)
参考资料来源：百度百科-反函数
一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数。
性质：
（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。
奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（6）反函数是相互的且具有唯一性；
（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（8）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导；
（9）y=x的反函数是它本身。
扩展资料
反函数的复合函数：
这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说，肯定就是我们的恒等函数y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“1x”。
数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与1/x的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为f○g，那么下面的性质成立：f-1○f=1x；1x○f=f○1x=f。
参考资料来源：百度百科-反函数
反函数存在性定理：
若函数y=f(x)，x∈Dfy=f(x)，x∈Df是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数。
x=f1(y)：Rf→Xx=f1(y)：Rf→X，并且f1(y)f1(y)也是严格单调增加（减少）的。
证明：
不妨设y=f(x)，x∈Dfy=f(x)，x∈Df严格单调增加，可知∀x1，x2∈Df，x1 ∀y1，y2∈Df−1=Rf，∀y1，y2∈Df−1=Rf，设x1=f−1(y1)，x1=f−1(y1)，x2=f−1(y2)，x2=f−1(y2)，则y1=y2⇒x1=x2，y1=y2⇒x1=x2，否则 （1）x1 （2）x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2， 因此f−1(y)f−1(y)也是严格单调增加（减少）的。 扩展资料： 反函数的性质介绍： 1、原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。 2、若y=f⁻¹（x）是函数y=f（x）的反函数，则有f（a）=b；f⁻¹（b）=a。 从整个函数图像来考虑，是指y=f（x）与其反函数y=f⁻¹（x）的图像关于直线y=x对称；从图像上的点来说，是指若原函数过点（a，b），则其反函数必过点（b，a）。 3、单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。 一、揭示课题师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数.(板书：反函数 1.反函数的概念)二、讲解新课三、师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数中，如果当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？生：可以构成一个函数.师：为什么是个函数呢？生：在y允许取值范围内的任一值，按照法则→都有唯一的x与之相应.师；根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数是存在反函数的.这个反函数的解析式是怎样的呢？生：应该是.师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以写成这样改动之后，带来这样一个问题，即和是不是同一函数呢？生：是.师：能具体解释一下吗？生：从函数三要素的角度看，和具有相同的定义域和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数.师：既然是相同的，我们就把称作函数的反函数，同样，函数y=x-1 2有没有反函呢？生：有.就是.师：对.也就是说函数与函数是互为反函数的.那么，是不是所有函数都会有反函数呢？生：不是所有函数都有反函数.师：能举个例子说明吗？生：如函数，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1则x=±1，因此不能构成函数，说明它没反函数.师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图１，从图中可看出给出一个y能对应两个x．缺图１通过对几个具体函数的研究，了解了什么是反函数，把前面对函数y=2x＋１的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义．由于这个定义比较长，所以我们一起阅读书上相关内容．（板书：（１）反函数的定义）（要求学生打开书第６０页第二自然段，请一名同学朗读这一段内容．）为帮助学生理解定义中的描述，教师可以再以一上具体函数为例解释y=f(x)和x=j(y)之间的关系，同时应指出定义中＂如果＂二字的含义表示不是所有函数都有反函数．） 对于反函数有了初步的了解之后，下面进一步对这个特殊的函数概念作点深入研究．（板书：（２）对概念的理解．）师：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言的，那么它们之间有什么关呢？不妨以刚才的两个函数y=2x+1和为例加以研究．生：对应法则不同．师：能否说得再具体点，怎么不同？生：这两个函数的对应法则中，x与y的位置换位．（研究两函数间的关系应从函数三要素角度入手研究，老师可适当引导学生向三要素靠拢．）师：还有什么联系吗？生：当的定义域和值域分别是y=2x+1的值域和定义域．师：根据刚才我们的讨论，可以发现反函数的三要素是由原来函数决定的，当给出的函数确定下来后，其反函数的三要素也就确定下来了，可以简记为“三定”．把这种确定关系具体化，也就是反函数的“反”字体现在什么地方呢？生：反函数的定义域就是原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域；反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换．师：由此我们可以看到反函数的“反”实际体现为“三反”．在这“三反”中，起决定作用的就是x与y的反置，正是由于它们位置的改变，才把相应取值反置，从而引起另外两“反”．（板书：a.“三定”，b.“三反”）师：从函数概念的角度来看，我们明确了原来函数与其反函数间的关系，当然还可以从其它方面入手进行研究，如：一个函数有没有反函数？若有反函数，它的性质如何？与原来函数的性质有什么关系？通过前面几个例子可以发现，上述问题中，原来函数的性质起着决定性作用，而且反函数的性质也与原来函数的性质相关．由于函数和反函数有如此密切的关系，它已成为进一步研究函数的重要方面．当我们研究某个函数性质时，如果这个函数有反函数，就可以在两者中择其简而研究之，这就增加了函数的研究方法．师：对反函数概念作了较全面认识之后，自然提出这样一个问题：如果一个函数存在反函数，如何去求这个函数的反函数呢？一起看这样二个题目．例１ 求的反函数．生：（板书）解 由， 得 所以，所求反函数为（在表述上不规范之处，先暂时不追究，待例２解完之后再一起讲评．）例２ 求的反函数．生：（板书）解 由y=得又所以故 ．师：下面请同学对两个例题的表述作个评价．生：例２所求的反函数是错误的，应为 (x≥2)师：这和黑板上所得的函数有什么不同吗？生：两个函数的定义域分别是x≥1和x≥2，所以是不同的两个函数．师：为什么是(x≥2)呢？生：因为反函数的定义域应是原来给出函数f(x)的值域，而f(x)的值域应为y≥2，故所求反函数应为 (x≥2)．师：说得很好．根据我们对反函数的认识，反函数的定义域就是原来给出函数的值域．所以，要求出反函数的定义域，就必须先求出原来函数的值域．那么例２的求解过程应当怎样调整呢？生：由得，又x≥1,所以．因为的值域为，所以 (x≥2)．师：通过刚才的讨论，我们发现并解决了例２反函数的存在问题，同时也注意到求反函数必须明确指出其定义域，以保证结论的正确性．除此之外，还有什么问题吗？生：为什么没有在例１中求原来所给函数的值域呢？师：请同学们针对这个问题讨论一下．生：因为原来所给的函数的值域是y≠0，这和所求出的反函数的定义域是x≠0为结论是一致的，所以没有出错．师：此题出现的这种结论的一致性，应当说是一种偶然，而不是必然．因此，在求反函数的过程中，必须要求出原来所给函数的值域，并且在最后结果中注明反函数的定义域．那么，例１的规范书写过程应如何调整呢？生：（板书）解 由，所以，所求反函数为师：通过刚才对两个具体例子的讨论，能否总结一下求用解析式表达的函数的反函数的基本步骤呢？（板书：２．求反函数的步骤）生：首先从解析式中解出x，其次求出所给函数的值域，最后再改写为习惯的表示形式．师：把这几步用简单的几个字来概括一下：１．反解：即把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式；２．互换：既求出所给函数的值域并把它改换为反函数的定义域；３．改写：将函数写成的形式．（板书：１．反解 ２．互换 ３．改写．）师：下面通过几个练习来看看同学们是否真正理解这三个基本步骤．三、巩固练习练习 求下列函数的反函数１． （由一个学生在黑板上完成．）解 由 x=3 2y-2.又f(x)=23x+3,x∈(-∞,3)的值域为 f(x)∈(-∞,4),所以f-1(x)=32x-2,x∈(-∞,4).(x≥12)（由一个学生在黑板上完成，两题同时进行，其余学生在笔记本上完成，教师巡视．）解 由 y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,所以 x=1±4y-32,又 y=x2-x+1(x≥12)的值域为｛y|y≥34｝,所以，f-1(x)1±4x-32(x≥34).（待全体学生完成之后，结合黑板上学生的表述及其它学生解答中出现的问题进行讲评．）师：先看黑板上同学的表述有没有问题，请加以纠正．（一学生在黑板上加以改正）由y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,所以x=1±4y-32 又x≥12,所以 x=1+4y-32 又y=x2-x+1(x≥12)的值域为｛y|y≥34｝,故所求反函数为y=1+4x-32 (x≥34). 师：经过改正，两个题目在表述上已经没有问题了．下面结合其它同学求解中出现的一些问题，谈几点注意．（１） 求反函数的过程中必有一步是求出原来所给函数的值域．求值域的方法有很多，如果所给函数是常见函数如一次函数、二次函数等，不妨从“形”的角度求值域会比较方便直观.（２） 解关于x的一元二次方程有两个根，必须根据题目所给条件对x进行取舍，保留符合条件的唯一解.（３） 这两个题目在反函数符号的使用上是有区别的，题目给出f(x)这个符号，则反函数可以用f-1(x)来表示，否则只能用文字叙述的形式.四、小结1.反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，因此认识它应从三要素角度进行研究.2.一个函数有没有反函数是由原来给出函数的性质决定的，且反函数的性质也是由原来给出的函数性质决定的.3.求反函数实际上就是办两件事，一是解一个关于自变量x的方程，二是求 一个函数的值域.