构造函数法在解题中的应用 摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。 关键词：函数思想；构造函数；不等式；方程；应用 函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。 函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。 根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。 一、构造函数解决有关不等式的问题 有些不等式证明和比较大小的问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，去分析推理，证明过程就会简洁又明快。 例1：若 ，则 的大小关系是 。 分析：式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造函数 进行判断。 解：构造函数 ，易证函数 在其区间 是单调递增函数。 例2(2008年山东理)：已知函数 其中 为常数。当 时，证明：对任意的正整数 ，当 时，有 证法一：因为 ，所以 。 当 为偶数时，令 则 （ ）所以 当 时， 单调递增。又 ，因此 恒成立，所以 成立。当 为奇数时，要证 ，由于 ，所以只需证 ，令 ，则 （ ），所以，当 时， 单调递增，又 ，所以当 时，恒有 ，即 命题成立。 综上所述，结论成立。 证法二：当 时， ，当 时，对任意的正整数 ，恒有 ，故只需证明 。令 则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，因此 当 时， ，即 成立。故 当 时，有 ，即 。 试题分析：第二问需要对构造的'新函数 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断。 评注：函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用。函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果。此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性。 二、构造函数解决数列中的有关问题 数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系. 例3：在等差数列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) , 求 Sp+q 的值。 略解：因为 是n的一次函数，点( n , ) 共线，所以点 （p , ） , ( q , ) , ( p + q , ) 共线， 则有 化简即得 Sp+q = －( p + q ) 。 例4：等差数列{ }的首项 ,前 项的和为 ,若 ,问 为何值时 最大? 简析:运用数列中的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。 解:依题意,设此函数是以 为自变量的二次函数。 故二次函数 的图象开口向下当 时, 最大,但 中, 当 为偶数时, 时, 最大当 为奇数时, 时, 最大。 三、构造函数解决方程有解、无解及若干个解的问题 方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域，或直接构造函数。 例5(2010上海文科数学)：若 是方程式 的解，则 属于区间() A. （0，1） B.（1，） C.（，） D.（，2） 解析： 知 属于区间（，2） 例6（2010天津文科数学）：设函数f(x)=x- ,对任意 恒成立，则实数m的取值范围是________。答案：m<-1 解析：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
不等式的证明，基本方法有比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立放缩法：用柯西不等式证。等等……
重点从证明存在性、不等式、方程的根及和式的极限等方面论述了构造函数法的重要应用
证明：先看左边，要证m＜(n-m)/(lnn-lnm)只需证：(n-m)/ln(n/m)＜m （ln(n/m)＞0） 即：ln(n/m)-n/m+1＜0 (n/m＞1)构造函数：f(x)=lnx-x+1 x≥1则f'(x)=1/x-1=(1-x)/x≤0所以f(x)单调递减，在x=1处，f(x)取极大值f(1)=ln1-1+1=0所以x＞1时，f(x)＜0得证所以 m＜(n-m)/(lnn-lnm)成立。同理，可以构造函数证明(n-m)/(lnn-lnm)＜n
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春风又绿江南岸,明月何时照我还?
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提供一个思路，不知道对不对 首先明确定积分=0的三种情况：1、奇函数，对称区间2、上下限相同3、被积函数=0很明显，题目中的fx只满足第三个条件才能使得积分为0，所以得到x*fx=0而两个上下限都相同的积分的大小比较，只需比较被积函数的大小，所以就是x方*fx与fx的大小比较因为fx是非负的，而x方*fx=x*x*fx=0所以证明完毕。
证明：由f''(x)≥0→f'(x)单调递增 由f'(x)=∫(上限x，下限0)f''(x)dx，f''(x)≥0，0＜x＜1→f'(x)＞0→f(x)单调递增由f(0)=0，f(x)单调递增→f(x)＞0由f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)，0＜ξ＜x，f(0)=0，f'(ξ)＜f'(x)→f(x)＞Cx，其中C为常数，且C＞0由∫(上限1，下限0)(x - 2/3)f(x)dx＞∫(上限1，下限0)(x - 2/3)Cxdx=0故：∫(上限1，下限0)xf(x)dx＞2/3∫(上限1，下限0)f(x)dx。
(*)用了拉格朗日定理
用taylor展开一下，证明过程如下：
还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法
随机环境中经济增长模型研究广义生产函数假设下的经济增长模型分析考虑市场预期的供求关系模型基于Matlab的离散事件模拟用风险预算进行资产配置有向图上的PAR贯序模拟系统单圈图的一般Randic指标的极值问题模糊数学在公平评奖问题中的应用模糊矩阵在环境评估中的初步应用模糊评判在电脑中的初步应用数学家的数学思想Riemann积分定义的网收敛表述微积分思想在不等式证明中的应用用有限的尺度标量无限的过程-略论极限ε语言在微积分及现代数学中的位置及意义微积分思想在几何问题中的应用齐次平衡法求KdV-Burgers方程的Backlund变换Painleve分析法判定MKdV-Burgers方程的可积性直接法求KdV-Burgers方程的对称及精确解行波求解KdV-Burgers方程因子有向图的矩阵刻划简单图上的lit-only sigma-game半正则图及其线图的特征多项式与谱分数有向图的代数表示WWW网络的拓扑分析作者合作网络等的拓扑分析古诺模型价格歧视用数学软件做计算微分方程的计算器用数学软件做矩阵计算的计算器弹簧－质点系统的反问题用线性代数理论做隐含语义搜索对矩阵若当标准型理论中变换阵求法的探讨对矩阵分解理论的探讨对矩阵不等式理论的探讨(1)对矩阵不等式理论的探讨(2)函数连续性概念及其在现代数学理论中的延伸从有限维空间到无限维空间Banach空间中脉冲泛函微分方程解的存在性高阶脉冲微分方程的振动性具有积分边界条件的分数阶微分方程解的存在唯一性分数阶微分方程的正则摄动一个形态形成模型的摄动解一个免疫系统常微分方程模型的渐近解前列腺肿瘤连续性激素抑制治疗的数学模型前列腺肿瘤间歇性激素抑制治疗的数学模型病毒动力学数学模型肿瘤浸润数学模型耗散热方程初边值问题解的正则性耗散波方程初边值问题解的正则性耗散Schrodinger方程初边值问题解的正则性非线性发展方程解得稳定性消费需求的鲁棒调节生产函数的计量分析企业的成本形态分析的研究分数阶Logistic方程的数值计算分数阶捕食与被捕食模型的数值计算AIDS传播模型的全局性分析HIV感染模型的全局性分析风险度量方法的比较及其应用具有区间值损益的未定权益定价分析模糊规划及其在金融分析中的应用长依赖型金融市场股票价格与长相依性分数布朗运动下的外汇期权定价不确定性与资产定价加油站点的分布与出租车行业的关系
[1] 熊斌. Schur不等式和H�lder不等式及其应用[J]. 数学通讯, 2005,(15) [2] 段志强. 一个不等式的妙用[J]. 数学通讯, 2004,(17) [3] 赵国松, 张晓东. 一个Cordon型不等式[J]. 许昌学院学报, 2004,(05) [4] 刘宁超. of multiply from i=1 to n (ai+bi) ≥{n~1/[ multiply from i=1 to n (ai)] +n~1/[multiply from i=1 to n (bi)]}~n的证明推广及应用[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版), 1997,(03) [5] 佟成军. 一个不等式的加强及证明[J]. 数学通讯, 2006,(07) [6] 曾峰. 一个不等式的证明及应用[J]. 中学课程辅导(初二版), 2005,(02) [7] 黄长风. 联想证明不等式[J]. 数学教学研究, 2005,(03) [8] 李歆. 不等式a~2+b~2≥2ab的几个推论及应用[J]. 中学生数学, 2005,(05) [9] 方辉. 浅谈哥西不等式的应用[J]. 黄山学院学报, 1997,(01) [10] 孔小波, 孙文迪. 权方和不等式的改进及其姊妹不等式[J]. 数学通报, 2008,(11)
论文研究般较宽泛领域看定性研究与定量研究；取材面看实证研究（实际调查案例析基础）与文献归纳等；析手看归纳、演绎与比较析等等要看专业专业运用研究
用配方的方法来求最快，如，x2+4x+3=0，可以配方为（x+2）2-1=0，那么它的值域是．大于或等于-1…2.用点描绘出一元二次方程的图象，看它和x轴有多少个交点，有多少个交点，那么方程就有多少个解…
不等式口诀：同大取大，即两个不等式同为大于号，取大于大数的。同小取小，即两个不等式同为小于号，取小于小数的。
大小小大中间找，即大于小数，小于大数，解集介于大小两数之间。大大小小找不到，即大于大数，小于小数，无解。
相关方法：
反证法：
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
换元法：
换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
构造法：
通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。
世界中更多时候是不相等的关系，你说会有哪些应用啊...........
我只知初等数学中：比较大小，求函数定义域，函数单调性，求最值（均值不等式、柯西不等式），求变量（参数）范围，判断一元二次方程有没有实根，求距离（如异面直线距离）。高等数学中还有什么？不太清楚了，呵呵