广义函数毕业论文

拓扑群及广义函数论研究在1957年以前，冯康主要从事基础数学研究。他最早的工作（没有发表）是辛群的生成子和四维数代数基本定理的拓扑证明。接着他研究殆周期拓扑群理论，这是1934年由J.冯·诺依曼（von Neumann）创始的，与酉阵表现密切相连。按照群所有的酉阵表现的多寡分出两种极端类型：极大殆周期群——有“足够多”的酉阵表现；极小殆周期群——没有非平凡酉阵表现。1936年A.韦伊（Weil）及H.弗勒登塔尔（Freudenthal）解决了极大群的表征问题，它们就是紧群与欧几里得向量群的直积。1940年冯·诺依曼及E.威格纳（Wigner）对于极小群作出了重要进展，但其表征问题一直没有解决。冯康在1950年率先对线性李（Lie）群（及其覆盖群）解决了这一问题：没有非平凡酉阵表现的充要条件是“本质上”不可交换与非紧。这一成果在后来酉表现论和物理应用中愈显出其重要性。50年代初L.施瓦尔茨（Schwartz）提出广义函数系统性理论，引起世人重视。1954年起，冯康开展这一领域的研究，发表了《广义函数论》长篇综合性论文，也含有一些自己的新成果，推动了这项理论在我国的发展。他还建立了广义函数中离散型函数（δ函数及其导数）与连续型函数之间的对偶定理。他应华罗庚教授的建议，建立了广义梅林变换理论，对于偏微分方程和解析函数论等均有应用，国外迟至60年代才出现类似的工作。有限元方法的创始50年代末60年代初，我国的计算数学刚起步不久，在对外隔绝的情况下，冯康带领一个小组的科技人员走出了从实践到理论，再从理论到实践的发展我国计算数学的成功之路。当时的研究解决了大量的有关工程设计应力分析的大型椭圆方程计算问题，积累了丰富而有效的经验。冯康对此加以总结提高，作出了系统的理论结果。1965年冯康在《应用数学与计算数学》上发表的论文《基于变分原理的差分格式》，是中国独立于西方系统地创始了有限元法的标志。该文提出了对于二阶椭圆型方程各类边值问题的系统性的离散化方法。为保证几何上的灵活适应性，对区域Ω可作适当的任意剖分，取相应的分片插值函数，它们形成一个有限维空间S，是原问题的解空间即C.Л.索伯列夫（Соболев）广义函数空间H1（Ω）的子空间。基于变分原理，把与原问题等价的在H1（Ω）上的正定二次泛函数极小问题化为有限维子空间S上的二次函数的极小问题，正定性质得到严格保持。这样得到的离散形式叫做基于变分原理的差分格式，即当今的标准有限元方法。文中给出了离散解的稳定性定理、逼近性定理和收敛性定理，并揭示了此方法在边界条件处理、特性保持、灵活适应性和理论牢靠等方面的突出优点。这些特别适合于解决复杂的大型问题，并便于在计算机上实现。自然边界归化及自然边界元方法的提出自60年代以来，有限元方法对于求解有界区域的椭圆边值问题取得了极大的成功，被广泛应用于工程技术和科学计算中，是计算数学的重大成就。但是有些实际计算问题的计算区域是无界的，用有界区域来近似无界区域时，为达到所需的精度，会使计算量大大增加，边界元方法是解决此问题的一种有效途径。关于对微分方程作边界归化的思想，早在上一世纪就已出现，但应用于数值计算却是本世纪60年代才开始，这就是边界元方法，即将微分方程归化为边界上的积分方程。由于归化的方法不同，各种边界元方法的数值效果也不尽相同。冯康根据这类问题的物理特性，引用阿达马（Hadamard）型超奇异核，提出自然归化的概念，即通过自然归化后，能量不变，从而保持了问题的本质不变。在这个概念下，他提出了自然边界元方法。该方法除所有边界元方法共有的优点外，还具备许多独特之处：由于通过自然归化后能量不变，使原来椭圆型边值问题的性质都保留，从而保证了自然积分方程的解的存在性、唯一性及稳定性，并且也保证了与有限元方法自然而直接地耦合，由此形成一个有限元与边界元兼容并蓄而自然耦合的整体性系统，能够灵活适应于大型复杂问题，便于分解计算。这是当前与并行计算相关而兴起的区域分解方法的先驱工作。作为特例，冯康对亥姆霍兹（Helmholtz）方程建立了与经典的无穷远处的索墨菲尔德（Sommerfeld）辐射条件相对应的有穷远处的积分型辐射条件，具有理论与应用的价值。冯康倡导的自然边界元方法被国内外专家称为当今国际上边界元方法的三大流派之一，这一方向已由他的学生和其他学者在继续发展。哈密顿体系哈密顿算法的创立经典力学有3种等价的数学形式体系：牛顿（Newton）体系、拉格朗日（Lagrange）体系、哈密顿（Hamilton）体系，其中哈密顿体系具有突出的对称形式，一直是物理学理论研究的数学工具。一切守恒的真实物理过程都可以表示为哈密顿体系，无论是经典性、量子性或相对论性的，无论自由度数为有限或无限，总能表现为适当的哈氏形式。哈氏体系的数学基础是辛几何。辛几何是现代物理和力学的基础，它与欧氏几何一样起着重要作用。哈密顿体系的一个重要问题是稳定性问题，在几何上的特点是它的解在相空间上是保面积的，其特征方程的根是纯虚数的。所以不能用经典的渐近稳定理论来研究它们。长期以来，国际上对于这一具有重要物理意义的哈密顿方程的计算方法几乎是空白。这种状况与哈氏系的普适性与重要性相对照是很不相称的。冯康于1984年在微分几何和微分方程国际会议上发表的论文《差分格式与辛几何》，首次系统地提出哈密顿方程和哈密顿算法（即辛几何算法或辛几何格式），提出从辛几何内部系统构成算法并研究其性质的途径，提出了他对整个问题领域的独特见解，从而开创了哈密顿算法这一富有活力及发展前景的新领域，这是计算物理、计算力学和计算数学的相互结合渗透的前沿界面。以中国科学事业发展为己任冯康由于在抗战初期患骨结核，并因在困难环境下失医，使脊椎致残，给他的生活带来过不少折磨和痛苦，可是他硬顶了过来。凡与他接触或共事的人都无不为他那种为祖国科学事业不倦的孜孜追求的精神所折服。他对自己的生活无所求，想到的、做到的都是科学事业。尽管他早已在1965年就取得了创始有限元法的国际公认的重大成果，但是并不满足。他的强烈的进取心促使他一直走在世界计算数学队伍的前列。冯康学识渊博，对于物理学、数学、计算机科学等领域都有较深的知识。在科学研究上，他总是能把握住事物的本质，运用辩证法进行分析，发现和抓住在理论上和应用上都有广阔的发展前景的课题，提出独到的思想见解，并应用过硬的基本功去解决具体困难，成功地开创新方向、新道路，开辟一个又一个有重要实际意义的新领域，带领一批又一批人在新方向上做出卓越的贡献。在科研工作中，他提倡理论联系实际和对科学的严谨态度。他对于理论上的问题一丝不苟，对于每提出的一种计算方法都是在实际计算中检验，对于经过考验的好的计算方法都努力推广使用，使其变为生产力，为四化建设服务。他不仅自己身体力行，而且对于科研人员也是这样要求。2008 年12 月15 日，国家主席胡锦涛在纪念中国科协成立50 周年大会上发表讲话时说：“我国广大科技工作者勤于思考、勇于实践，敢于超越、不懈探索，无私奉献、团结协作，在短短十几年间，创造了一个又一个科技奇迹。我们取得了有限元方法、层子模型、人工合成牛胰岛素等具有世界先进水平的科学成果……这些重大科技成果，极大增强了我国综合国力，提高了我国的国际地位。”有限元方法，被列为众多科学成果中的第一位，表明了国家对冯康和他的团队所做出的重大贡献给予的充分肯定。