毕业论文拉贝判别法

后项比前项、大于1发散、小于1收敛。

正项级数，是一种数学用语。在级数理论中，正项级数是非常重要的一种，对一般级数的研究有时可以通过对正项级数的研究来获得结果，就像非负函数广义积分和一般广义积分的关系一样。所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。

正项级数收敛性的判别方法主要包括：利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。

若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。

利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。

对于正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，如果原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛；

如果新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，通常在判别过程中使用其极限形式。局限性：当级数过于复杂时，要找的那个新级数究竟是什么很难判断，通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开，以找到与之等价的p级数。

扩展资料：

判断级数的收敛性：

首先，从数项级数的定义入手，了解和掌握数项级数收敛的定义，挖掘出部分和数列收敛判别法、余和判别法；

其次，掌握数项级数收敛的性质，推导出夹逼定理和奇、偶子级数收敛判别法、Cauchy收敛准则；

再次，讨论特殊的级数――正项级数的收敛方法：有界性判别法，比较判别法，Cauchy积分判别法，比率判别法，Cauchy根值判别法；

最后，研究一般项级数的收敛方法：交错级数的Leibniz判别法，Dirichlet判别法。

lim(n->∞)

∵an>bn>0, an>a(n+1), 数列{an}单调递减

又∵lim(n->∞)an=0,

根据交错级数的莱布尼兹(Leibnitz)判别法，

交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*an）收敛。

对于正项级数有比较判别法，

对交错级数是否可以依据 an>bn>0,

来判别∑（n=1..∞）（(-1)^n*bn）收敛性呢？结论是不一定。

例1. 取an=1/n, bn=1/(n^1+1), 显然满足条件an>bn>0, 且an>an+1, lim(n->∞)an=0， 而且有bn>bn+1, lim(n->∞)bn=0成立，

根据交错级数的莱布尼兹(Leibnitz)判别法，交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*an）收敛，交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*bn）也收敛。

例2.取an=1/√n, bn=1/(n+1) (n=1,3,5,7,...) 或=1/(n^2+1) （n=2,4,6,8,...)。

显然满足条件an>bn>0, 且an>an+1, lim(n->∞)an=0，根据交错级数的莱布尼兹(Leibnitz)判别法，交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*an）收敛.但交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*bn）发散。

∵其前2n项的和

S2n=-1/2+1/5-1/4+1/17+...-1/(2n-1+1)+1/((2n)^2+1)

=-∑（k=1,2,..n)(1/(2k))+∑（k=1,2,..n)(1/(4k^2+1))

=-1/2*∑（k=1,2,..n)(1/k)+∑（k=1,2,..n)(1/(4n^2+1))

∵级数-1/2*∑（k=1..∞）(1/k) ->-∞，而级数∑（k=1..∞)(1/(4n^2+1)) 收敛，

∴lim(n->∞)S2n=-∞,

从而交错级数∑（n=1..∞）（(-1)^n*bn）发散。

扩展资料：

这个是发散的级数，你问的应该是交错级数(-1)^n*1/n。交错级数应用莱布尼兹判别法。其内容为两个条件，一去除符号项后级数通项当n趋于无穷大时，其趋于零，二级数所有相邻项符号都是交错的。满足两个条件级数收敛。

高等数学教材里，莱布尼兹判别法是有的。如果你还想了解更多方法可以参考数学分析教材，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，拉贝判别法。

参考资料来源：百度百科-正项级数

上面几楼说的都对，但是都不全。我来说个全一些的。（纯手工，绝非copy党）首先要说明的是：没有最好用的判别法！所有判别法都是因题而异的，要看怎么出，然后才选择最恰当的判别法。下面是一些常用的判别法：一、对于所有级数都适用的根本方法是：柯西收敛准则。因为它的本质是将级数转化成数列，从而这是一个最强的判别法，柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件。局限性：有一些数列的特征太过明显，可以用更加简洁的判别法去判别，用柯西收敛原理是浪费时间；另一方面，如果级数本身过于复杂，用柯西收敛准则也未必能很快得到证明。二、对于正项级数，一个基本但不常用的方法是部分和有界，这同样是级数收敛的充分必要条件，这是正项级数中最强的判别法之一，局限性也是显然的：通常来说一个级数的和函数并不好求，用这种方法行不通，因此这个方法通常只有理论上的意义。三、对于正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，如果原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛；如果新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，通常在判别过程中使用其极限形式。局限性：当级数过于复杂时，要找的那个新级数究竟是什么很难判断，通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开，以找到与之等价的p级数。四、对于正项级数，有柯西判别法和达朗贝尔法。这些楼上都已说到，它的实质是找等比级数与之比较。另外柯西判别法比达朗贝尔判别法强，这是因为比值的下极限小于等于开n次根号的下极限，比值的上极限大于等于开n次根号的上极限（即二楼说的这两个判别法等同是不对的）。局限性：如果原级数的阶低于任何一个等比级数，这方法就完全失效了。五、对于正项级数，有积分判别法：如果x>=1且f（x）〉=0且递减，则无穷级数（通项为f（n））与1到正无穷对f（x）作的积分同敛散。这个办法对于某些级数特别有效。局限性：由于其本质是将级数化成了反常积分，如果化成的反常积分的收敛性难以判断，则有可能该方法就把问题复杂化了。六、对于正项级数，还有拉贝判别法与高斯判别法。拉贝判别法是将级数与通项为1/（n^alpha）的级数做比较，如果当n充分大时，n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1，那么级数收敛。高斯判别法将级数与通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数做比较，如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn），其中beta〉1，则级数收敛。局限性：这两个判别法已经很强了，大部分级数都可以用这两个判别法去估计，但是仍然不是全部级数都有效的，如果级数比通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数收敛得还慢，就无效了，这时应该去想比较判别法或者其他办法，可能需要比较强的技巧。七、对于交错级数，有莱布尼兹判别法：如果级数符号交替且通项绝对值递减，则级数收敛。局限性：如果级数不满足上述条件，显然就失效了。八、一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法：阿贝尔判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积，其中一部分随下标单调有界，以另一部分为通项的级数收敛，那么原级数收敛。狄利克雷判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积，其中一部分随下标单调趋于零，以另一部分为通项的级数的部分和有界，那么原级数收敛。这两个判别法对于一些通项为两项以上乘积形式的级数非常有效。局限性：如果拆不出来，那就没办法了。不过通常的题最多就考到这里，基本上应该可以判别。九、绝对收敛性。如果一个级数，以其通项的绝对值为通项的级数收敛，则原级数收敛。局限性是显然的：如果以其通项的绝对值为通项的级数不收敛就无效了。通常的题目上很少会蠢到让你去求绝对值，然后判断正项级数的收敛性，从而这个办法一般只有理论上的意义，除非题中明说让你去判断条件收敛性和绝对收敛性。十、一些技巧。例如裂项求和，再利用数列中的一些性质等等。这类方法通常用于抽象级数，即并不把级数告诉你，只告诉你一些级数的特征，然后叫你去判断。局限性是显而易见的：你想得到这样的技巧么？好了，写了这么多手都酸了，希望对你有用。