函数零点的研究论文

函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是高中新课程标准新增内容之一，是函数的重要性质。接下来我为你整理了浅谈高中数学零点问题，一起来看看吧。

一、求函数的零点

例1求函数y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零点。

解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1，

2x-1=0(x≥0)，解得x=。

所以原函数的零点为和-1和。

点评：求函数f(x)的零点，转化为方程f(x)=0，通过因式分解把方程转化为一(二)次方程求解。

二、判断函数零点个数

例2求f(x)=x-的零点个数。

解：函数的定义域(-∞，0)∪(0，+∞)。

令f(x)=0即x-=0，

解得：x=2或x=-2。

所以原函数有2个零点。

点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。

三、根据函数零点反求参数

例3若方程ax-x-a=0有两个解,求a的取值范围。

析：方程ax-x-a=0转化为ax=x+a。

由题知，方程ax-x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=ax与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。

(1)0此种情况不符合题意。

(2)a>1。

直线y=x+a 在y轴上的截距大于1时，函数y=ax与函数y=a+x 有两个不同的交点。

所以a<0与0点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。

四、用二分法近似求解零点

例4求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点(精确到0.1)。

解：(1)第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。

(2)列表如下：

零点所在区间中点函数值 区间长度

(1，2)f(1.5) >0 1

(1，1.5) f(1.25) <00.5

(1.25,1.5) f(1.375) <00.25

(1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125

(1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625

可知区间(1.375，1.438)长度小于0.1，故可在(1.375，1.438)内取1.4065作为函数f(x)正数的零点的近似值。

点评：用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点。当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点。

函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f(x)有零点?圳方程f(x)=0有实数根?圳函数y=f(x)的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与函数y2=g(x)的图像有交点.

围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：

类型一：函数零点的分布

解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)・f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.

例1：(2013高考数学重庆卷)若aA.(a，b)和(b，c)内

B.(-∞，a)和(a，b)内

C.(b，c)和(c，+∞)内

D.(-∞，a)和(c，+∞)内

解析：由题意a0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)・f(b)<0，f(b)・f(c)<0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.

变式：(高考广东卷、高考山东卷)若函数为f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=-lg(-x)+x+3，已知f(x)=0有一个根为x0，且x0∈(n，n+1)，n∈N*，则n的值为________.

解析：由题意，设x>0，则-x<0，f(-x)=-lgx-x+3=-f(x)，所以当x>0时，f(x)=lgx+x-3在(0，+∞)上是增函数，f(2)<0，f(3)>0，所以x0∈(2，3)，则n=2.

类型二：函数零点的个数

判断函数零点个数可利用定义法，即令f(x)=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数;也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.

例2：(2012高考数学湖北卷)函数f(x)=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定义法，令f(x)=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f(x)=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.

类型三：利用函数零点求参数

在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题(如求参数).要解决此类问题常根据函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与y2=g(x)函数的图像有交点.

例3：(2009高考数学山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：

1.构造函数.设函数y=ax(a>0，且a≠1)和函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点， 就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.

2.通过图像描绘题意――将数转化成形.

3.由图像得出结论――将形转化成数.

当时0当时a>1(如图2)，因为函数y=ax(a>1)的图像过点(0，1)，而直线y=x+a所过的点(0，a)在点(0，1)的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f(x)、y=g(x)的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.

数学系张义堂教授声称，他已经解决了兰道·西格尔的零猜测，这引起了数学界的关注。数学的定义在数学中真的很少见，“迟来的大工具”，这是一个罕见的奇迹。成就引起了很多关注，因为数学是一门非常深刻的学科，要在数学上取得成功并不容易，而且要知道写已发表的文章需要更长的时间。许多人同时，由于缺乏耐心，也要放弃一半。

许多人不知道这种猜测有多令人兴奋，简单地说，如果兰道·西格尔的猜测推翻了黎曼的猜测，那么现代数学可能就是一切。数学课涉及的范围非常广泛，黎曼猜测是七种猜测之一物理学领域的伟大猜测，适用于世界上许多数学问题，如果黎曼猜想是一击，那么利用黎曼猜想解决世界数学问题的这一阶段将是一击，这将是所有物理学都是一个根本性的变化。

这是一个令人兴奋的消息，立即让很多人愿意尝试，许多人正在等待张义堂正式发布书面信息，在这个阶段，张义堂只是口头上实现了兰道·西格尔的猜测兰道·西格尔的猜测只是一种黎曼猜测，如果他相信的话，黎曼猜测就是验证。

兰道·西格尔的猜测实际上是零猜测，其本质是证明传统零区域中是否有任何零。黎曼猜测，除1/2的真实部分外，所有非微不足道的零功能都位于平行线上。从零开始。2013年，他在顶级数学杂志上发表了第一篇论文，表明部长们的数量是无限距离的。此后，在双重猜想方面取得了重大进展，震惊了数学界。后来，张义堂在朋友的推荐下，前往新罕布什尔大学数学和统计系担任助教和讲师，教授微积分、代数、质数理论等课程。最后，他回到了在学院的梦想。

这对于数学界带来的意义是非常重大的，一旦这篇论文被证实是真实可行的话，对于数学界也会带来一次巨大的制度，对于一些问题的解决也将会带来非常积极的帮助。

函数的零点等价于对应方程的根，计算方法主要是解方程。对区间上的可导函数而言，函数的极值点是导函数的变号零点，这时极值点的计算方法是先求导，再求导函数的零点，再讨论零点两侧的导数符号，最后结论。所以要经历求导运算，解方程，解不等式等。对于区间上的不可导函数而言，函数的极值可能存在，因而极值点存在。往往用初等方法。需讨论。例如y=|x|,因为y=|x|≥0，当且仅当x=0时，y min=0.所以极值点x=0.亲，以上是提供，供参考。您可以发散一下，并举些具体例子。必要时把零点和极值点的定义加进去。

“零点猜想”，是20世纪初提出的关于点集理论的著名猜想。由数学家华罗庚在提出并在国际数学界产生了巨大影响。Landau-Siegel猜想被认为是数学领域里最重要的问题之一，也是至今仍未被攻克的重要数学难题之一。《自然》杂志曾发表过一篇名为《Downtown Whole Is More Things in Memory》文章，总结了这篇论文对一些领域重要研究做出了重要贡献。

张益唐和他的同事们在美国数学会(CVSI)杂志发表论文。论文从构造函数说起，对数论核心领域里最重要的数学难题之一的Landau-Siegel零点猜想进行了一个系统性证明，这是首次系统性地对这一重要几何问题进行了一个系统性的证明，并将该成果发表在国际权威数学期刊《Journal of Analysis》上。

国家自然科学奖揭晓，中国科学院数学与系统科学研究院张益唐教授和他课题组共同完成的“低维几何中的黎曼积分”项目获得2019年度国家自然科学奖二等奖。这一奖项是对我国数学、物理、化学、生命科学领域作出突出贡献的科学家进行奖励的活动。

奥利弗·马修斯在间担任剑桥大学理学院讲师。他利用黎曼空间的不连续空间(VRL)建立了李群论猜想，证明了该猜想中所有可能的零点。在这篇论文中，马修斯通过对 VRL函数图中任意一个点(1和2)进行精确的操作，发现了它们的零点被证明存在。这一结果表明，在某些情况下，点集理论中可以有一个或多个零点，而且只有一个会在其中出现。

这对数学来说的意义是在一些量级上有了一个质的飞跃，而且在数学相关的核心问题上得到了应用。