一、答辩陈述:
在答辩的陈述中,我从四个方面介绍了我的论文:
1、文章中需要用到的有关二次型、正定二次型等概念;
2、正定二次型的性质及判定方法;
3、半正定二次型的性质及判定方法;
二、答辩分析:
第一部分主要介绍了论文中需要用到的有关二次型、正定二次型等概念。
第二部分介绍了正定二次型的4中判定方法。
第三部分是文章的重点部分,我通过查找资料以及与正定二次型性质判定方法作对比,从而总结了4中主要的判定方法。
最后一部分根据正定二次型的性质判定方法归纳了其9方面的应用。
三、答辩中提出的问题及回答要点:
1、正定二次型的矩阵的行列式值有什么特点?
答:正定二次型的矩阵为正定矩阵,它的行列式值大于零。
四、判断方法:
主要介绍了4种判定方法,分别为:
1、二次型半正定的充分必要条件是它的标准型的所有系数都是非负的;
2、二次型半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等;
3、二次型半正定的充分必要条件是它的矩阵的特征值均为非负数;
4、二次型半正定的充分必要条件是它的矩阵的各阶主子式均为非负数。其次,还可以用半正定二次型的定义进行判定。
五、论文虽未论及,较密切相关的问题:
1、本文主要介绍了正定、半正定二次型的性质及判定方法,然而在实际应用中,更多的会用到正定矩阵相关概念。
2、如(正定二次型在线性最小二乘法问题的解中的应用),对于此部分知识文中没有论及。因此,需要进一步归纳总结正定矩阵的性质,并将其与本文内容相结合,使本部分内容系统化。
1.第x章的博弈结果分析中,列举了一些xx的数据关系,是否可以以此为基础讨论舞弊对策?2.文中列举了xx现状,哪些比较具有代表性,你认为相对xx来说,你的论文的优势在哪里。3.文中多次提到xx,对于xx你是如何理解的4.文中的对策部分主要是针对谁提出的,由谁执行5.如果想针对这篇论文进行实证研究,你认为应该从哪些方面入手6.你认为论文的实用性如何,7.如果将xx等引入模型,对博弈结果会产生何种影响
交给我处理。
时下最时髦的就是:创新点与别人不一样的地方
矩阵对角化有三种方法
1、利用特征值和特征向量将矩阵对角化
由于这种方法相对来说比较基础、简单、机械,一般教材都有详细介绍,这里用图示加以总结。
2、利用矩阵的初等变换将矩阵对角化
矩阵的初等变换
矩阵的初等行变换和初等列变换,统称矩阵的初等变换。下面的三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行;
2 以数k≠0乘某一行的所有元素;
3 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去。
把上面定义中的“行”换成“列”,既得矩阵的初等列变换的定义。
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价。
另外:分块矩阵也可以定义初等变换。
3、利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化
矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log( n ),还可以求路径方案等,所以更是一种应用性极强的算法。矩阵,是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起,所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵乘法看起来很奇怪,但实际上非常有用,应用也十分的广泛。
矩阵对角化的条件和步骤是A2=A 可以x2-x=0看作A的一个零化多项式,再由无重根就可得到该矩阵可对角化。幂等矩阵的运算方法:
(1)设 A,A都是幂等矩阵,则(A+A) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A·A =A·A=0,且有:R(A+A) =R (A) ⊕R (A);N(A+A) =N(A)∩N(A);
(2)设 A, A都是幂等矩阵,则(A-A) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A·A=A·A=A,且有:R(A-A) =R(A)∩N (A);N (A- A) =N (A)⊕R (A);
(3)设 A,A都是幂等矩阵,若A·A=A·A,则A·A为幂等矩阵,且有:R (A·A) =R(A) ∩R (A);N (A·A) =N (A) +N (A)。幂等矩阵的其他性质:1.幂等矩阵的特征值只可能是0,1;2.幂等矩阵可对角化;3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)=rank(A);4.可逆的幂等矩阵为E;5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵;6.幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;7.幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A);的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。
假设矩阵为A,则充要条件为: 1)A有n个线性无关的特征向量. 2),A的极小多项式没有重根. 充分非必要条件: 1)。A没有重特征值 2)A*A^H=A^H*A 必要非充分条件: f(A)可对角化,其中f是收敛半径大于A的谱半径的任何解析函数 。
我觉得应该是相似对角化吧,具体的步骤是:1,求出一个矩阵的全部互异的特征值a1,a2……2,对每个特征值,求特征矩阵a1I-A的秩,判断每个特征值的几何重数q=n-r(a1I-A),是否等于它的代数重数p,只要有一个不相等,A就不可 以相似对角化,否则, 就可以相似对角化3,当可以相似对角化时,对每个特征值,求方程组,(aiI-A)X=0的一个基础解系4,令P=这些基础解系,则P-1AP=diag(a1,a2,a3……),其中有qi个特征值你看行不?这就是我知道的,呵呵
对角化是广义的,只是把矩阵化为对角形的矩阵而已,对对角元的取值不作要求(不要求其全不为零)。从这个意义上讲对称矩阵一定能相似对角化这是没错的。具体地怎么实现相似对角化呢?实际上相似对角化就是找一个正交阵T使得T'AT=T^(-1)AT=diag{λ1,..,.λ1;...;λr,...,λr}(每个λi有其几何重数个)做法如下:找出A的全部值并求全布特征值对应的特征向量αi1,...,αisi(si为λi的几何重数)对每组αi1,...,αisi分别进行施密特正交化,而后将施密特正交化后的这r组向量按次序按列排成矩阵,记为T,T即为所求。对角化这个概念是针对矩阵而言的,并且矩阵的对角化源自于线性变换的化简,所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。设一线性变换a,在基m下的矩阵为A,在基n下的矩阵为B,m到n的过渡矩阵为X,那么可以证明:B=X-1AX那么定义:A,B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X,满足B=X-1AX ,那么说A与B是相似的(是一种等价关系)。如果存在可逆矩阵X使A与一个对角矩阵B相似,那么说A可对角化。相应的,如果线性变换a在基m下的矩阵为A,并且A相似于对角矩阵B,那么令X为过渡矩阵即可求出基n,并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵,从而达到了化简。
分块矩阵,求解!授人予鱼不如授人予渔,在《线性代数》的学习中,方法尤为重要。下面就让我们一起解决《线性代数》中令人头痛的——矩阵分块法吧!如果您对——矩阵分块法的学习比较吃力,建议您先学习——矩阵乘法,传送门开启,嘛咪嘛咪哄!工具原料线性代数课本纸,笔(任何)方法/步骤分步阅读1/12前言:想要学会《线性代数》中的——矩阵分块法,我们这次的学习将按照下面的步骤进行:(1) 了解什么是矩阵分块法;(2) 矩阵分块的例子;(3) 分块矩阵的运算规则;(4) 利用矩阵相乘求解复杂运算;(5) 分块矩阵之间的运算规则;2/12让我们首先了解矩阵分块的定义,如下图:3/12矩阵分块示例,如下图:4/12分块矩阵的运算规则一,如下图:5/12分块矩阵的运算规则二,如下图:6/12分块矩阵的运算规则三,如下图:7/12分块矩阵的运算规则四,如下图:8/12分块矩阵的运算规则五,如下图:9/12分块矩阵运算示例一,如下图:10/12分块矩阵运算示例二,如下图:11/12分块矩阵运算总结,如下图:12/12关于分块矩阵已经讲解完了,祝贺您今天又学习了新知识。注意事项今天讲解了矩阵分块,更多精彩内容,敬请关注!如果您觉得这篇经验有所帮助,别忘了投上您宝贵的一票哦!内容仅供参考并受版权保护
还有三个月就是毕业生们答辩的时间了,但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫,我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目,供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项,前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法
分块矩阵是高等代数中的一个重要内容,是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧,也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块,可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算,同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰,从而能够大大简化运算步骤,或给矩阵的理论推导带来方便。有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明,将显得简洁、明快。 分块矩阵是一个矩阵, 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 。 然后把每个小矩阵看成一个元素。将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵,将每个小矩阵称为这个矩阵的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。同一个矩阵可以有多种不同的分块方法,从而形成不同的分块矩阵。例如矩阵也可分成也可分成特殊分块矩阵分块对角矩阵设A为n阶方阵,若A的分块矩阵在非主对角线上的子块皆为零矩阵,且在主对角线上的子块都是方阵性质:①同结构的分块上(下)三角形矩阵的和(差)、积(若乘法运算能进行)仍是同结构的分块矩阵。② 数乘分块上(下)三角形矩阵也是分块上(下)三角形矩阵。③ 分块上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆;若可逆,则的逆阵也是分块上(下)三角形矩阵。
时下最时髦的就是:创新点与别人不一样的地方
实对称阵的特征值都是实数,所以n阶阵在实数域中就有n个特征值(包括重数),并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的,从而n阶矩阵共有n个无关特征向量,所以可对角化。
判断方阵是否可相似对角化的条件:
(1)充要条件:An可相似对角化的充要条件是:An有n个线性无关的特征向量;
(2)充要条件的另一种形式:An可相似对角化的充要条件是:An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k;
(3)充分条件:如果An的n个特征值两两不同,那么An一定可以相似对角化;
(4)充分条件:如果An是实对称矩阵,那么An一定可以相似对角化。
扩展资料
结论:
1、实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数,这个结论只对实对称矩阵成立,不要错误地使用。
2、两个实对称矩阵,如果特征值相同,一定相似,同样地,对于一般矩阵,这个结论也是不成立的。
3、实对称矩阵在二次型中的应用
使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。
参考资料来源:百度百科-实对称矩阵
一个特征值只能有一个特征向量,(非重根)又一个重根,那么有可能有两个线性无关的特征向量,也有可能没有两个线性无关的特征向量(只有一个)。不可能多于两个。
如果有两个,则可对角化,如果只有一个,不能对角化;矩阵可对角化的条件:有n个线性无关的特征向量;这里不同的特征值,对应线性无关的特征向量。重点分析重根情况,n重根如果有n个线性无关的特征向量,则也可对角化。
特征值和特征向量数学概念
若σ是线性空间V的线性变换,σ对V中某非零向量x的作用是伸缩:σ(x)=aζ,则称x是σ的属于a的特征向量,a称为σ的特征值。位似变换σk(即对V中所有a,有σk(a)=kα)使V中非零向量均为特征向量,它们同属特征值k;而旋转角θ(0<θ<π)的变换没有特征向量。可以通过矩阵表示求线性变换的特征值、特征向量。
以上内容参考:百度百科-特征值和特征向量
矩阵可对角化的充分必要条件是:
1、n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。
推论:如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵。
2、如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重。
实对称矩阵的主要性质如下:
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。
3、n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4、λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。
好写哦!科技论文,专业性这么强,写出来,也是只有专业人员才能明白。首先,序言:把矩阵的乘法原理,加以介绍、解释和说明,这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些,具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文,集中写清楚,你要介绍的应用及事例。字数要多,就多写,写详细一些;字数一般,就写得一般,就可以啦。。。祝成功!
我的毕业论文题目是矩阵的乘法及其应用~个人感觉相当简单~我是数学与应用数学专业
矩阵的迹指:在线性代数中,一个n×n矩阵A的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和被称为矩阵A的迹(或迹数),一般记作tr(A)。
例子:
设有矩阵:
它的迹是:
扩展资料:
性质
一、设有N阶矩阵A,那么矩阵A的迹(用tr(A)表示)就等于A的特征值的总和,也即矩阵A的主对角线元素的总和。
1.迹是所有对角元的和
2.迹是所有特征值的和
3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹
(mA+nB)=m tr(A)+n tr(B)
二、奇异值分解(Singular value decomposition )
奇异值分解非常有用,对于矩阵A(p*q),存在U(p*p),V(q*q),B(p*q)(由对角阵与增广行或列组成),满足A = U*B*V
U和V中分别是A的奇异向量,而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U,特征值组成B'B,A'A的特征向量组成V,特征值(与AA'相同)组成BB'。因此,奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵,B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息,例如非零奇异值的数目(B的阶数)和A的阶数相同,一旦阶数确定,那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
三、在数值分析中,由于数值计算误差,测量误差,噪声以及病态矩阵,零奇异值通常显示为很小的数目。
将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合,方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置, 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质,但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。
矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容,已成为多变量反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一,奇异值实际上是复数标量绝对值概念的推广, 表示了反馈控制系统的输出/输入增益,能反映控制系统的特性。《鲁棒控制.倾斜转弯导弹》
参考资料来源:百度百科-矩阵的迹
矩阵的迹:主对角线(左上至右下的那一条)上所有元素之和。