还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法
毕业论文答辩常见问题：你选择这个论文题材的原因是什么？论文的研究背景是什么？论文的核心观点是什么？本篇论文采用了哪些研究方法？你所研究问题是采用什么方法解决的，使用了什么解决方案？论文在哪些方面有哪些创新？等。可以结合个人的实际情况以及论文写作两个方面来进行表述。 因为学校不同，老师不同，所以论文答辩老师一般会提的问题也会不同，以下问题和回答仅供参考： 毕业论文答辩常见问题一：你选择这个论文题材的原因是什么？ 我们可以结合个人的实际情况以及论文写作两个方面来进行表述，保证语言清晰，逻辑合理。例如这样回答：因为平常自身比较喜欢这方面的内容、时常关注该研究领域的相关事宜，结合了当前政治新闻和发展趋势，受导师课题影响，参与相关研究课题等。这一部分容易加分但是也容易减分，为了表现出自身的特点和优势，所以我们应该将这一部分内容表述清楚到位。 毕业答辩常见问题二：论文的研究背景是什么？ 这个问题与第一个问题有异曲同工之妙，同学们也可以按照第一个问题的答案来进行回答。 毕业答辩常见问题三：论文的核心观点是什么？或者这么问：论文的主题是什么？这是答辩听审老师最常见的问的问题，而且答案很简单。用自己的话高度概括论文的核心，尽可能全面、准确、简洁的表达出来，不少于3句，不超过5句。 毕业答辩常见问题四：本篇论文采用了哪些研究方法？ 首先明确指出所用的研究方法，然后结合具体内容进行讲述，也就是举例说明。 毕业答辩常见问题五：你所研究问题是采用什么方法解决的，使用了什么解决方案？ 这个问题应该结合实际情况来进行说明，如果有具体的结论或方法的学生，可以分点解释说明。 毕业答辩常见问题六：论文在哪些方面有哪些创新？ 这时，老师们想知道你的论文和别人的有什么不同，有什么亮点，建议同学们举例说明，分点作答，这样显得逻辑清晰、调理清楚，而且这个问题答辩老师一般都会问到，所以同学们要做好准备。 最后学术堂总结：在答辩的时候一定要迅速回应。如果是你不知道问题，你可以向老师请教，千万不要出现冷场的情况，那样你的导师会很尴尬的。答辩时一定要谦虚，虽然你的论文完成得十分出色，但是这些成果暂时的、是没有获得认可结论。
上下极限有多种定义方式，其中一种是比较容易理解的，就是集合E的上确界，集合E中的元素是数列An所有子列的收敛点，我说了例子就容易理解了，例如数列1,0,1,0,1,0......显然本身是不收敛的，但其子列1,1,1,1.....和子列0,0,0,0,0......分别收敛到1和0，集合E={0,1}上极限就是1，下极限就是0，（事实上上极限它本身一定也是极限点，所以上极限也可以这么认为就是集合E中最大的元素），希望能帮助到你
我理解是对于每个x0，fn（x0）的上下极限构成的新的函数。你那个学校的？
论文答辩那些事 答辩基本流程一、学生在答辩会举行前，将进过指导老师审定并签署过意见的毕业论文一式三份连同提纲、草稿等交给答辩委员会；二、答辩现场，由答辩老师介绍答辩规则；三、学生概述论文的题目，研究方法、研究内容、发现与结论等；四、答辩老师针对论文提问；五、学生回答完所有问题退场（如分组进行答辩，则待组里所有人答辩完成后清场休会），答辩委员会根据论文质量和答辩情况，商定是否通过，并统计成绩。（具体情况以学院安排为准）拿上必备材料论文纸质版、纸和笔听取答辩小组成员的提问，精神要高度集中，同时，可将提问的问题――记在本上，以免问题过多，回答时有遗漏部分。调整心态自信：坦然镇定，声音要大而准确，使在场的所有人都能听到。镇定：对提出的问题，要在短时间内迅速做出反应，以自信而流畅的语言，肯定的语气，不慌不忙地―一回答每个问题。谦虚：对提出的疑问，要审慎地回答，对有把握的疑问要回答或辩解、申明理由；对拿不准的问题，可不进行辩解，而实事求是地回答，态度要谦虚。熟悉论文要做到自信，需要对自己的论文从内容、范围、材料有充分的理解和多方面的准备，做到烂熟于心。从整体到局部都有了然于胸的感受，这样就能对提出的种种质疑，应付自如，即使不能对答如流，至少也能迎刃而解，问有所答。真正做到“艺高胆大”，有了真才实学，就不怕别人提出质询。针对论文答辩的目的和内容，学生在论文答辩前至少要做到以下几点：一、对自己所写论文的观点、关键问题、解决思路和创新点等要了然于胸。尽量用言简意赅的语言陈述出以上问题，这是你陈述论文时的必备技巧。这里也是答辩老师检验真伪最容易出题的范围。二、对论文中出现的基本概念、专业词汇、引用的文献要明白其涵义。这里往往是答辩老师检验真伪和探测你水平的一些地方。三、对自己论文中的相关的观点和理论要进行一定的涉猎，这是论文答辩得高分的技巧。大多数论文仅仅知道自己文章的单方面观点，对于其它观点要么知之甚少，要么一无所知，如果能对相关的理论进行了解，那么在答辩中基本上不会遇到答不上来的尴尬场面。做好PPT内容：每页不超过10行字或一幅图，只列要点，切忌放大段文字配色：文字清晰，简洁易看，字体颜色和背景要协调，切忌花哨繁复，用色过多。图表：不要忘记将与论文有关的一些图表类资料整理好。如经济类论文答辩时，可能会涉及许多统计表、统计图、测算表、明细表、演示图等。准备许多相关的图表，在答辩现场，供作讲解之辅助工具。想好“台词”做好发言提纲的准备。“工欲善其事，必先利其器”，不打无准备之仗，答辩者在答辩前可从以下角度去考虑准备答辩：一、自己为什么选择这个课题？二、研究这个课题的意义和目的是什么？三、全文的基本框架、基本结构是如何安排的？四、全文的各部分之间逻辑关系如何？五、在研究本课题的过程中，发现了那些不同见解？对这些不同的意见，自己是怎样逐步认识的？又是如何处理的？六、论文虽未论及，但与其较密切相关的问题还有哪些？七、还有哪些问题自己还没有搞清楚，在论文中论述得不够透彻？八、写作论文时立论的主要依据是什么？对以上问题应仔细想一想，必要时要用笔记整理出来，写成发言提纲，在答辩时用。这样才能做到有备无患，临阵不慌。假如在准备的时候已经准备了一个较完整的提纲，那么沿着回答问题的主线，再穿上一些玉珠（举例子）就可以做到中心明确，条理清楚，有理有例了。学生首先要介绍一下论文的概要，这就是所谓“自述报告”，须强调一点的是“自述”而不是“自读”。这里重要的技巧是必须注意不能照本宣读，把报告变成了“读书”。“照本宣读”是第一大忌。这一部分的内容可包括写作动机、缘由、研究方向、选题比较、研究范围、围绕这一论题的最新研究成果、自己在论文中的新见解、新的理解或新的突破。做到概括简要，言简意赅。不能占用过多时间，一般以十分钟为限。所谓“削繁去冗留清被，画到无时是熟时”，就是说，尽量做到词约旨丰，一语中的。要突出重点，把自己的最大收获、最深体会、最精华与最富特色的部分表述出来。这里要注意：一忌主题不明；二忌内容空泛，东拉西扯；三忌平平淡淡，没有重点。开头要简洁，单刀直入，是最好的开头，开门见山地表述观点，在答辩中是最好的办法。主体部份的表述可条分缕析，即把所要回答的内容逐条归纳分析，实际上是对自己掌握的材料由此及彼，由表及里地做整理。这样的表述就不会流于表面，而能深入本质。条分缕析可以把自己掌握的一些实际例子合并，整理成若干条目，列成几个小标题，分成几点，一点一点、一条一条地说出。满碗的饭必须一口一口吃，满肚子的道理也必须一条一条讲出来，环环相扣，条条相连，令人听完后有清楚的印象。常见问题让学生进行论文答辩的目的绝对不是故意刁难学生，以显示老师水平多高。论文答辩的目的只有一个，检查学生对所写论文题目的掌握程度和理解程度。参加论文答辩的老师提出的问题一般不会少于三个，但所提出的问题全部是论文所涉及的学术范围之内的问题，一般不会、也不能提出与论文内容毫无关系的问题，这是答辩老师拟题的大范围。在这个大范围内，主答辩老师一般是从检验真伪、探测能力和弥补不足这三个方面提出问题。一、检验真伪题，就是围绕毕业论文的真实性拟题提问。二、探测水平题，这是指与毕业论文主要内容相关的，探测学生水平高低、基础知识是否扎实，以及掌握知识的广度深度如何等方面来提出问题的题目，主要是论文中涉及到的基本概念，基本理论以及运用基本原理等方面的问题。三、弥补不足题，这是指围绕毕业论文中存在的薄弱环节，如对论文中论述不清楚、不详细、不周全、不确切以及相互矛盾之处拟题提问，请作者在答辩中补充阐述或提出解释。练习控制时间一般答辩现场都对学生陈述时间有限制，正式答辩前多做几次计时演练，学会控制时间，不然讲到一半就时间到了，太太太太太尴尬了！注意演讲技巧注意语速：心情尽量放松，语速不要太快。放松的心情可以使得思维活跃，不会出现语言重复、答非所问等现象。适当的语速，有利于你的表达被听众清晰得接受；目光移动：无论是否脱稿，都应注意目光互动，这样可以避免观众分神；体态辅助：答辩过程中切忌“木头人”或者弯腰驼背，适当运用手势语言，会显得更自信有力。
论文陈述可以很好地组织和发展论点，并为读者提供关于论点的“指南”。
论文陈述包含以下内容：
1、陈述你对这个主题的主要观点
陈述观点时一定要表达一个主要思想，并陈述你的立场或看法。关于主题，需思考：
2、给出几个支持主要观点的理由
理由要写清楚，一定要用符合逻辑的事实和证据来支持这个理由。
3、给出一个与主要观点相反的观点
一个好的论文陈述要承认论点存在另一面。所以，同学可以在论文陈述中给出一个反论点。
论文陈述写作示例：
1、首先，从一个问题开始。例如：互联网对教育有正面或负面的影响吗?
2、其次，表明你对这个问题的立场。例如：互联网对教育的正面影响大于负面影响。
3、最后，发展你的答案。例如：互联网使用的负面影响被其对教育的诸多好处所抵消：互联网有助于学生和老师更容易地获取信息、接触不同的观点，以及这是一个灵活的学习环境。
还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法
极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 ！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法 ，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） !!!!!!当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中 13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法， 就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。 15单调有界的性质对付递推数列时候使用 证明单调性！！！！！！16直接使用求导数的定义来求极限 ，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）,咱英语不好，lim为极限号，下面看清趋向于0还是无穷，根据以上方法即可。嘻嘻，努力哦，加油 资料来源：
关系
虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。
它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。
区别
1、从研究的对象看区别：数列是离散型函数。 而函数极限研究的对象主要是具有（哪怕局部具有）连续性的函数。
2、取值方面的区别：数列中的下标n仅取正整数，而对函数而言其自变量x取值为实数。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。
3、从因变量趋近方式看区别：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近；而函数没有跳跃趋近。
扩展资料
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
参考资料
百度百科——海涅定理
百度百科——函数极限
函数极限的一般概念:在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这个变化过程中的函数极限。 主要有两种情形: 1. 自变量X任意的接近于有限值X0 或者说趋于有限值X0 对应函数值的变化情形 2. x的绝对值趋于无穷，对应于函数值的变化。可以把数列看成是自变量为N的函数，数列的极限就是N趋于正无穷时数列收敛的值。可以说是函数极限的一个特殊情况。 而且数列的N取值是正整数，一般函数的X取值是连续的。这样，可以理解，数列具有离散性。而函数，有连续型的，也有离散型的。
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=.关于函数极限→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.
根据heine定理，函数极限数列极限是可以转化的：f（x）一>a（x一>xo）的充要条件为对任何以xo为极限的数列xn！xn不等于xo，都有f（xn）一>a（n一>无穷）
计算函数的极限可以通过使用公式或图像方法来实现。如果您想使用公式法来求极限，那么您可以使用平方根近似规则，偏导和几何的思想来解决问题。而如果您想使用图像方法来求极限，那么您可以通过寻找曲线上某一点的x和y坐标来得出极限值。
极限理论是数学分析课程的理论依据，就因为引入极限思想，微积分才有了理论根基，从而可以解决很多初等数学不能解决的实际问题.极限理论贯穿于数学分析课程的始终.因此，教学中让学生深刻理解极限理论对学好整门课程起到至关重要的作用.作者就自己多年教授数学分析课程的经验，谈谈数列极限与函数极限的联系与本质区别.1.关于数列极限数列初等数学中对数列这样定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列.数学分教材[1]关于数列的定义：若函数f的定义域是全体正整数集N，则称f：N→R或f（n），n∈N为数列.正因为正整数集的元素可按从小到大的顺序排列，所以数列f（n）也可写作a，a，…a…，或简单地记作{a}，其中a是该数列的通项.看得出来，数列就是一正整数集为定义域的函数，即所有数列的定义域都是正整数集.数列的极限的定义定义1设{a}为数列，a为定数.若对任给的正数？藓，总存在正整数N，使得当n>N时，有|a-a|<？藓，则称数列{a}收敛于a，定数a为数列{a}的极限，并记作a=.关于函数极限→∞时函数极限定义2设f为定义[a，+∞）在上的函数，A为定数，若对任给的正数？藓，存在正数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<？藓，则称函数当x→+∞时以A为极限，记作f（x）=A.现设f为定义在U（-∞）或U（∞）上的函数，当x→-∞或x→∞时，若函数值无限地接近某定数A，则称f当x→-∞或x→∞时以A为极限，f（x）=A或f（x）=→x时函数极限定义3（函数极限的？藓-δ定义）设函数f在点x的某个空心邻域U（x；δ′）内有定义，A为定数，若对任给的正数ε，存在正数δ（<δ′），使得当0<|x-x|<δ时有|f（x）-A|<0ε，则称函数f当x→x时以A为极限，记作f（x）=A.类似可定义f（x）=A及f（x）=.数列极限与函数极限的异同及根本原因从以上定义可以看出，数列极限与函数极限有相同点也有不同点，研究二者的方法大同小异，相同点是数列极限与函数极限中当x→+∞时的类型完全相似，因此可以用相同的方法研究.二者的不同点在于，数列极限只有一种类型，就是n→∞时的极限；而函数极限细分有六种类型x→+∞；x→-∞；x→∞；x→x；x→x；x→x的极限，分类的标准是根据的趋向的不同来分类.二者的相同点源自二者都是函数，数列可以认为是特殊情况的函数，任何一个不同的数列都以正整数集为定义域；而通常意义下的函数在数学分析课程中是定义在实数范围的，其定义域可以是实数集也可以是实数集的某个子集.正因为将二者同看成函数的情况下，由于二者的定义域范围不同，导致二者极限类型的不同.数列的定义域是正整数集，那自变量的取值为1、2、3……，自变量的最小取1，因此不可能趋向于-∞，又因为数列各项必须取整数，所以它不可能趋近于某个定数，自变量n只可能有一种趋向于+∞；而通常意义下的函数是在实数范围内的讨论，因此，自变量x既可以趋近于+∞，又可以趋近于-∞；如果自变量x同时趋近于+∞和-∞时函数极限存在，则称x→∞时函数极限存在.同理，因为实数集的稠密性，自变量x会趋近于某个定数x，根据自变量x趋近于x的方向不同又可以分为x点处的左极限和右极限，于是某定点处有三种类型x→x；x→x；x→x函数极限.综上，数列是特殊的函数，正因为数列作为函数的特殊性，使数列极限相对简单并且具有相对理想的性质，收敛数列的所有性质都具有整体性；而收敛函数的所有性质都只能满足局部性质.导致二者性质差别的真正原因也在于二者作为函数定义域的范围不同.笔者认为，还要真正学透极限，一定要从本质上研究导致他们不同的原因，相同的理论完全可以通过类比的方式学习，而学习的重点应该放在二者的不同上，弄懂有什么不同，为什么不同，只有懂得了“为什么”，才能真正学懂相应知识.
一、利用极限四则运算法则求极限
函数极限的四则运算法则：设有函数，若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，则
lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B
lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B
lim==（B≠0）
（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。对于和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则，往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简，再使用极限的四则运算法则。方法有：
1.直接代入法
对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。
2.无穷大与无穷小的转换法
在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。
（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。
（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。
3.除以适当无穷大法
对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。
4.有理化法
适用于带根式的极限。
二、利用夹逼准则求极限
函数极限的夹逼定理：设函数f（x），g（x），h（x），在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（类似的可以得数列极限的夹逼定理）利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。
三、利用单调有界准则求极限
单调有界准则：单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程，可求出极限。
四、利用等价无穷小代换求极限
常见等价无穷小量的例子有：当x→0时，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。
等价无穷小的代换定理：设α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，则lim=lim。
五、利用无穷小量性质求极限
在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。
六、利用两个重要极限求极限
使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
七、利用洛必达法则求极限
如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则可能存在，也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式，对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必达法则求极限。
采用洛必达法则求极限。
洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
洛必达法则：符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。
存在准则
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
求极限的方法归纳：1. 代入法，分母极限不为零时使用。先考察分母的极限，分母极限是不为零的常数时即用此法。2. 倒数法，分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时使用。3. 消去零因子（分解因式）法，分母极限为零，分子极限也为零，且可分解因式时使用。4. 消去零因子（有理化）法,分母极限为零，分子极限也为0，不可分解，但可有理化时使用。可利用平方差、立方差、立方和进行有理化。5. 零因子替换法，利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1，分母极限为零，分子极限也为零，不可分解，不可有理化，但出现或可化为sinx/x时使用，常配合利用三角函数公式。6. 无穷转换法，分母、分子出现无穷大时使用，常常借用无穷大和无穷小的性质。
函数极限的几种常用的求解方法加以归纳。1.利用极限的描述性定义极限的描述性定义为：若当自变量的绝对值|x|无限增大时，相应的函数值f（x）无限接近某确定的常数A，则称当x趋向无穷时函数f（x）以A为极限，或f（x）收敛到A，记为f（x）=A或f（x）→A（x→∞）利用描述性说明可以容易地估计出一些简单的函数极限，六类基本初等函数的极限也都可以根据描述性定义，结合图像方便地得到。六类基本初等函数的极限需要学生熟记于心，这是后面求一些复杂函数极限的基础。但其中，有一些极限会比较容易混淆，在应用的时候要引起注意。比如：lnx=-∞;lnx=+∞;e=+∞;e=0arctanx=-;arctanx=;arctanx不存在2.利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则可以求一些较为简单的复合函数的极限，但在应用的时候必须满足定理的条件：参加求极限的函数应为有限个，且每个函数的极限都必须存在；考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为0。 特殊极限的计算如图：
3.利用一些常见的重要极限公式（或等价无穷小替换）在微积分的教材中给出了两个重要极限公式：lim((sinx)/x) = 1 (x->0)或lim(1 + 1/n)^n = e(n->正无穷）可以利用这两个重要极限公式及其变形公式来求函数的极限。4.利用函数变量替换求极限对于一些较复杂的复合函数，我们可以适当地进行变量替换，简化极限的计算，这是一个由繁到简的过程。 对复合函数f［φ（x）］，令u=φ（x），a=φ（x），则有f［φ（x）］=f（u）.5.利用无穷小量的性质解答如图：
6.利用函数连续性求极限若函数f（x）连续，则有f［φ（x）］=f［φ（x）］。7.利用二个准则：夹逼准则和单调有界准则 。8.未定式求极限（1）分子、分母都趋向无穷大，即型，处理方法是分子、分母同除无穷大因子的最高次幂。（2）分子，分母都趋向无穷小，即型，常见的处理方法是：消零因子，有理化，利用重要极限公式或等价无穷小替换。
9.罗毕达法则对于未定式或的极限计算，还有一种重要而又简便的方法，即罗毕达法则。而且，有些未定式可能要重复使用罗必塔法则，才能确定待求极限之值。如图：
而其它类型的未定式求极限的关键是，先将它们化为型或型，然后再利用罗必塔法则或其他方法求解。
10.利用级数收敛的必要条件 ，如果级数u收敛，则其一般项u收敛于0，即u=.分段函数求极限一般的，分段函数本身不是初等函数，但在其每段子区间上表示为初等函数，可按初等函数讨论极限问题，而对分段函数分界点的极限就必须先讨论左右极限。
16 种求极限的方法，相信肯定对你有帮助。1、等价无穷小的转化只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 ,前提是必须证明拆分后极限依然存在 ,e 的 X 次方-1 或者(1+x) 的 a 次方-1 等价于 Ax 等等。全部熟记(x 趋近无穷的时候还原成无穷小2、洛必达法(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 )。首先他的使用有严格的使用前提!必须是 X 趋近而不是N 趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然 n 趋近是 x 趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的， 不可能是负无穷 !)必须是函数的导数要存在 !(假如告诉你 g(x), 没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死 !!)必须是 0 比 0 无穷大比无穷大 !当然还要注意分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况： 0 比 0 无穷比无穷时候直接用 ;0 乘以无穷， 无穷减去无穷 (应为无穷大于无穷小成倒数的关系 )所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。 通项之后这样就能变成第一种的形式了 ;0的 0 次方， 1 的无穷次方，无穷的 0 次方。对于 (指数幂数 )方程方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了， (这就是为什么只有3 种形式的原因， LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候， LNX 趋近于 0)。3、泰勒公式(含有 e 的 x 次方的时候 ,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意 !)E 的 x展开 sina ，展开 cosa, 展开 ln1+x, 对题目简化有很好帮助。4、无穷大比上无穷大面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 ,取大头原则最大项除分子分母 !!!看上去复杂 ,处理很简单 !5、无穷小于有界函数无穷小于有界函数的处理办法 ,面对复杂函数时候 ,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需 要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理主要对付的是数列极限 !这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7、等比等差数列公式应用对付数列极限 (q 绝对值符号要小于1）8、各项的拆分相加(对付数列极限 )例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系，已知 Xn 的极限存在的情况下,xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。9、求左右极限的方式(对付数列极限 )例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系，已知 Xn 的极限存在的情况下,xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。10、两个重要极限的应用这两个很重要 !对第一个而言是 X 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第 2 个就如果 x 趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式 (第 2 个实际上是用于函数是 1 的无穷的形式 )(当底数是 1 的时候要特别注意可能是用地两个重要极限 )11、趋近于无穷大还有个方法，非常方便的方法 ,就是当趋近于无穷大时候 ,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的 !x 的 x 次方快于 x!快于指数函数， 快于幂数函数， 快于对数函数(画图也能看出速率的快慢 )!!当 x 趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。12、换元法换元法是一种技巧 ,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。13、四则运算假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。14、数列极限还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0 到 1 的形式。15、单调有界单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!16、导数的定义直接使用求导数的定义来求极限， (一般都是 x 趋近于 0 时候，在分子上 f(x 加减某个值 )加减 f(x) 的形式 ,看见了要特别注意 )(当题目中告诉你 F(0)=0 时候 f(0) 导数=0 的时候，就是暗示你一定要用导数定义 !【求极限的一般题型】1、求分段函数的极限，当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了 !当 X 趋近无穷时候存在 e 的 x 次方的时候，就要分情况讨论应为E的x 次方的函数正负无穷的结果是不一样的 2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!解决办法：1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是有 2 个问题要注意 !问题 1：积分函数能否求导 ?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误!!!问题 2：被积分函数中既含有 t 又含有 x 的情况下如何解决?解决 1 的方法：就是方法 2 微分中值定理 !微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!解决 2 的方法：当 x 与 t 的函数是相互乘的关系的话， 把 x 看做常数提出来， 再求导数 !!当 x 与 t 是除的关系或者是加减的关系,就要换元了 !(换元的时候积分上下限也要变化 !)3、求的是数列极限的问题时候 :夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候, 就考虑 x 趋近的时候函数值 ,数列极限也满足这个极限的 ,当所求的极限是递推数列的时候 :首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!数列是离散的 ,只能用前后项的比较 (前后项相除相减 )，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对 xn 与 xn+1 两边同时求极限 ,就能出结果!4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如 : 当 x 趋近 0 时候 f(x) 比 x=3 的函数 ,分子必须是无穷小，否则极限为无穷，还有洛必达法则的应用 ,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则 ,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。