离散数学论文怎么写

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范文题目：关于新工程教育计算机专业离散数学实验教学研究

摘要: 立足新工科对计算机类专业应用实践能力培养的要求，分析了目前离散数学教学存在的关键问题，指明了开展离散数学实验教学的必要性。在此基础上，介绍了实验教学内容的设计思路和设计原则，给出了相应的实验项目，并阐述了实验教学的实施过程和教学效果。

关键词:新工科教育;离散数学;计算机专业;实验教学

引言

新工科教育是以新理念、新模式培养具有可持续竞争力的创新型卓越工程科技人才，既重视前沿知识和交叉知识体系的构建，又强调实践创新创业能力的培养。计算机类是新工科体系中的一个庞大专业类，按照新工科教育的要求，计算机类专业的学生应该有很好的逻辑推理能力和实践创新能力，具有较好的数学基础和数学知识的应用能力。作为计算机类专业的核心基础课，离散数学的教学目标在于培养学生逻辑思维、计算思维能力以及分析问题和解决问题的能力。但长期以来“定义－定理－证明”这种纯数学的教学模式，导致学生意识不到该课程的重要性，从而缺乏学习兴趣，严重影响学生实践能力的培养。因此，打破原有的教学模式，结合计算机学科的应用背景，通过开展实验教学来加深学生对于离散数学知识的深度理解是实现离散数学教学目标的重要手段。

1．实验项目设计

围绕巩固课堂教学知识，培养学生实践创新能力两个目标，遵循实用性和可行性原则，设计了基础性、应用性、研究性和创新性四个层次的实验项目。

(1) 基础性实验

针对离散数学的一些基本问题，如基本的定义、性质、计算方法等设计了7个基础性实验项目，如表1所示。这类实验要求学生利用所学基础知识，完成算法设计并编写程序。通过实验将抽象的离散数学知识与编程结合起来，能激发学生学习离散数学的积极性，提高教学效率，进而培养学生的编程实践能力。

(2) 应用性实验

应用性实验是围绕离散数学主要知识单元在计算机学科领域的应用来设计实验，如表2所示。设计这类实验时充分考虑了学生掌握知识的情况，按照相关知识点的应用方法给出了每个实验的步骤。学生甚至不需要完成全部实验步骤即可达到实验效果。例如，在“等价关系的应用”实验中，按照基于等价类测试用例的设计方法给出了实验步骤，对基础较差的学生只需做完第三步即可达到“巩固等价关系、等价类、划分等相关知识，了解等价关系在软件测试中的应用，培养数学知识的应用能力。”的实验目的。

(3) 研究性实验研究性实验和应用性实验一样

也是围绕离散数学主要知识单元在计算机科学领域中的应用来设计实验，不同之处在于，研究性实验的实验步骤中增加了一些需要学生进一步探讨的问题。这类实验项目一方面为了使学生进一步了解离散数学的重要性，另一方面为了加强学生的创新意识与创新思维，提高计算机专业学生的数学素质和能力。表 3 给出了研究性试验项目。

(4) 创新性实验

在实际教学中还设计了多个难度较高的创新性实验题目，例如，基于prolog语言的简单动物识别

系统、基于最短路径的公交线路查询系统、简单文本信息检索系统的实现等，完成该类实验需要花费较长的时间，用到更多的知识。通过这些实验不仅有利于培养学生分析问题、解决问题的能力和创新设计能力，也有利于培养学生独立思考、敢于创新的能力。

3．实验教学模式的构建

通过实验教学环节无疑可以激发学生对课程的兴趣，提高课程教学效率，培养学生的实践创新能力。但是，近年来，为了突出应用性人才培养，很多地方本科院校对离散数学等基础理论课的课时进行了压缩，加之地方本科院校学生基础较差，使得离散数学课时严重不足，不可能留出足够的实验教学时间。针对这种情况，采用多维度、多层次的教学模式进行离散数学实验教学。

(1) 将实验项目引入课堂教学

在离散数学的教学过程中，将能反映在计算机科学领域典型应用的实验项目引入到课堂教学中，引导学生应用所学知识分析问题、解决问题。例如在讲授主析取范式时，引入加法器、表决器的设计，并用multisim进行仿真演示，让学生理解数理逻辑在计算机硬件设计中的作用。又如讲谓词逻辑推理时，引入前一届学生用Prolog完成的“小型动物识别系统”作为演示实验。这些应用实例能够让学生体会数理逻辑在计算机科学领域的应用价值，不仅激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效率，也锻炼了学生的逻辑思维，培养了学生的系统设计能力。

(2) 改变课后作业形式，在课后作业中增加上机实验题目

由于课时有限，将实验内容以课后作业的形式布置下去，让学生在课余时间完成实验任务。例如讲完数理逻辑内容后，布置作业: 编写 C语言程序，实现如下功能: 给定两个命题变元 P、Q，给它们赋予一定的真值，并计算P、P∧Q、P∨Q的真值。通过完成，使学生掌握命题联结词的定义和真值的确定方法，了解逻辑运算在计算机中的实现方法。又如，把“偏序关系的应用”实验作为“二元关系”这一章的课后作业，给定某专业开设的课程以及课程之间的先后关系，要求学生画出课程关系的哈斯图，安排该专业课程开设顺序，并编写程序实现拓扑排序算法。通过该实验学生不仅巩固了偏序关系、哈斯图等知识，而且了解到偏序关系在计算机程序设计算法中的应用和实现方法。

(3) 布置阅读材料

在教学中，通常选取典型应用和相关的背景知识作为课前或课后阅读材料，通过课堂提问抽查学生的阅读情况。这样，不仅使学生预习或复习了课程内容，同时也使他们对相关知识点在计算机学科领域的应用有了一定的了解。例如，在讲解等价关系后，将“基于等价类的软件测试用例设计方法”作为课后阅读材料; 在讲解图的基本概念之前，将“图在网络爬虫技术中的应用”作为课前阅读材料; 货郎担问题和中国邮路问题作为特殊图的课后阅读材料。通过这些阅读材料极大地调动学生学习的积极性，取得了非常好的教学效果。

(4) 设置开放性实验项目

在离散数学教学中，通常选择一两个创新性实验项目作为课外开放性实验，供学有余力的学生学习并完成，图1给出了学生完成的“基于最短路径公交查询系统”界面图。同时，又将学生完成的实验系统用于日后的课堂教学演示，取得了比较好的反响。

(5) 利用网络教学平台

为了拓展学生学习的空间和时间，建立了离散数学学习网站，学习网站主要包括资源下载、在线视频、在线测试、知识拓展和站内论坛五个部分模块，其中知识拓展模块包含背景知识、应用案例和实验教学三部分内容。通过学习网站，学生不仅可以了解离散数学各知识点的典型应用，还可以根据自己的兴趣选择并完成一些实验项目。在教学实践中，规定学生至少完成1－2个应用性实验项目并纳入期中或平时考试成绩中，从而激发学生的学习兴趣。

4．结束语

针对新工科教育对计算机类专业实践创新能力的要求，在离散数学教学实践中进行了多方位、多层次的实验教学，使学生了解到离散数学的重要

性，激发了学生的学习兴趣，提高了学生程序设计能力和创新能力，取得了较好的教学效果。教学团队将进一步挖掘离散数学的相关知识点在计算机学科领域的应用，完善离散数学实验教学体系，使学生实践能力和创新思维得以协同培养，适应未来工程需要。

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如何写数学论文：选题与写作方法引言在审阅数学论文过程中发现很多论文内容简单,或是一两个习题证明或是将教材内容,他人论文组合改编,简单重复,更有甚者直接抄袭。很多从事数学教育工作人士认为数学教育论文难写,事实上他们还没有掌握撰写数学论文的规律。数学论文分两种,一种称为纯数学论文,另一种为数学教学论文。很多从事数学教育工作者很难拥有大量时间从事纯数学研究,而职称聘任制又需要公开发表论文,这样一来很多人将自己工作经验加以总结转而写一些数学教研论文。 数学教研论文是对课程论,教学法,教育思想,教材及教育对象心理加以研究。但无论哪一种数学论文都要遵从论文格式及写作规律。1撰写数学论文应具有原则创新性作为发表研究结果的一种文体,应反映作者本人所提供的新的事实,新的方法,新的见解。论文选题不新颖,实验没有值的报道的成果,即使有高超写作技巧,也不可能妙笔生花,硬写出新东西来。基础性研究最忌低水平重复,如受试对象,处理因素,观测指标,结果与前人雷同,毫无新意,这样论文不值得发表。科学性科技论文的生命在于它的科学性。没有科学性论文毫无价值,而且可能把别人引入歧途,造成有害结果。撰写论文应具备:(1)反映事实的真实性；(2)选题材料的客观性；(3)分析判定的合理性；(4)语言表达的准确性。规范性规范性是论文在表现形式上的重要特点。科技论文已形成一种相对固定的论文格式,大体上由文题,一般不超过20字；摘要(应用的方法,得到的结果,具有意义等)；索引关键词；引言；研究方法,讨论,结果等部分组成。这种规范化的程序是无数科学家经验总结。它的优越性在于:(1)符合认识规律；(2)简洁明快,较少篇幅容纳较多信息；(3)方便读者阅读。2撰写数学论文忌讳大题小作论文不是书,如论文题目选的过大,那么泛论,浅论就在所难免。数学教育论文基本特征:有数学内容,讲数学教育问题,具有论文形态,不贪大,不求空,具有新见解。这样作者应将课题选的小一些,写出特色。关门写稿一本学术杂志中的论文,单独拿出来看自然是独立完整的。就杂志的整个体系来看就会有一些联系,它们或是构成一个小专题或是使讨论不断深入。这样作者就要对你准备投稿刊物有所了解,以免无的放矢。不能缺乏事实凭空捏造,夸大结论。首先应该知道别人做了些什么,写了些什么,避免在自己的 论文中重复。同时可以借鉴别人成果,在他人研究成果基础上进一步研究,避免做无用功。形式思维混乱科学发展到今天,科技论文的基本格式在世界范围内已趋向统一。论文要求规范化,标准化。有的论文东拼西抄,前后矛盾,这样的论文很难教人读懂。所以撰写论文应遵守形式逻辑基本规律,正确使用逻辑推理方法尤为重要。3关于数学论文选题数学论文选题是找“热门”还是“冷门”?“热门”课题从事研究的人员众多,发展迅速。如果作者所在单位基础雄厚,在这个领域占有相当地位,当然要从这一领域深入研究或向相关领域扩展。如果自己在这方面基础差,起步晚又没有找到新的突破,就不宜跟在别人后面搞低水平重复。选择“冷门”,知识的空白处及学科交叉点为研究目标为较好的选择。无论选“冷门”还是“热门”,选题应遵循以下原则:(1)需要性 选题应从社会需要和科学发展的需要出发。(2)创新性 选题应是国内外还没有人研究过或是没有充分研究过的问题。(3)科学性 选题应有最基本的科学事实作依据。(4)可行性 选题应充分考虑从事研究的主客观条件,研究方案切实可行。4关于数学论文文风语言表达确切从选词,造句,段落,篇章,标点符号都应正确无误。语言表达清晰简洁语句通顺,脉络清楚,行文流畅,语言简洁。语言朴实语言朴实无华是科技论文本色。对于科学问题阐述无须华丽词藻也不必夸张修饰。总之撰写论文应有感而写,有为而写,有目的而写。借鉴他人成果,博采众长,涉足实践,提炼新意,在你的论文中拿出你的真实感受,不简单重复别人的观点,这样的论文才可能发表,并为广大读者接受。

组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。 2. 组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听到过一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。 3. 组合数学在国外的状况 纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的组合数学家。计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是没有对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，AT&T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了组合数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威。我所熟悉的美国重要的国家实际室（Los Alamos国家实验室，以造出第一颗原子弹著称于世），从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括组合数学的研究。我所接触到的有关组合数学的计算机模拟项目经费达三千万美元。不仅如此，该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究实力。美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数学有密切的联系，各国对生物信息学的研究都很重视，这也是组合数学可以发挥作用的一个重要领域。前不久召开的北京香山会议就体现了国家对生物信息学的高度重视。据说IBM也将成立一个生物信息学研究中心。由于DNA就是组合数学中的一个序列结构，美国科学院院士，近代组合数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为组合数学的一个前沿领域。 美国的大学，国家研究机构，工业界，军方和情报部门都有许多组合数学的研究中心，在研究上投入了大量的经费。但他们得到的收益远远超过了他们的投入，更主要的是他们还聚集了组合数学领域全世界最优秀的人才。高层次的软件产品处处用到组合数学，更确切地说就是组合算法。传统的计算机算法可以分为两大类，一类是组合算法，一类是数值算法（包括计算数学和与处理各种信息数据有关的信息学）。依我个人的浅见，近年来计算机算法又多了一类：那就是符号计算算法。吴文俊院士开创的机器证明方法就属于符号计算，引起了国际上的高度评价，被称为吴方法。而国际上还有专门的符号计算杂志。符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密切的联系。组合数学，数值计算（包括计算数学，科学计算，非线性科学，和与处理各种信息数据有关的信息学）和统计学可能是应用最广的数学分支，而组合数学的价值甚至不亚于统计学和数值计算。由于数学机械化近年来的发展和在计算机科学中的重要性，把数学机械化，科学计算和组合数学组合起来，就可以说是中国信息产业的基础。组合数学家H. Wilf和D. Zeilberger1998因为在组合恒等式的机械化证明方面的成果，获得1998年美国数学会的Steele奖。 Gian-Carlo Rota教授在他去年不幸逝世之前，还专门向我提出，希望我向中国有关部门和领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。中国在软件技术上远远落后于美国，而在组合数学上则更是落后于美国和欧洲。如果中国只是想在软件技术上跟着西方走，而不在组合数学上下功夫，那么中国的软件将一直处于落后的状态。他特别强调组合数学在计算机科学中的作用，以及在大学计算机系加强组合数学教学和人才培养。 最近Thomson Science公司创刊的一份电子刊物《离散数学和理论计算机科学》即是一个很好的说明。它的内容涉及离散数学和计算机科学的众多方面。由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学基础，逐渐成为了数学的主流分支。本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。这一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得到了中国数学界的赞同和响应。 加拿大在Montreal成立了试验数学研究中心，他们的思路可能和吴文俊院士的数学机械化研究中心的发展思路类似，使数学机械化，算法化，不仅使数学为计算机科学服务，同时也使计算机为数学研究服务。吴文俊院士指出，中国传统数学中本身就有浓厚的算法思想。 今后的计算机要向更加智能化的方向发展，其出路仍然是数学的算法，和数学的机械化。另外的一个有说服力的现象是，组合数学家总是可以在大学的计算机系或者在计算机公司找到很好的工作，一个优秀的组合数学家自然就是一个优秀的计算机科学家。相反，美国所有大学计算机系都有组合数学的课程。 除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。 4. 组合数学花絮 ** 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。 ** 我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九这九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数之和都是一十五。组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。 ** 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。 ** 在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。 ** 我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。 ** 航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足 不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是 组合数学的问题。 ** 对于城市的交通管理，交通规划，哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方 应该设单行道，立交桥建在哪里最合适，红绿灯怎样设定最合理， 如此等等，全是组合数学的问题。 ** 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该怎样选择什么样的路径，这就是著名的"中国邮递员问题"，由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J. Edmonds和他的合作者给出了一个解答。 ** 一个通讯网络怎样布局最节省？美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。 ** 据说，假日饭店的管理中，也严格规定了有关的工序，如清洁工的第一步是换什么，清洗什么，第二步又做什么，总之，他进出房间的次数应该最少。既然，这样一个简单的工作都需要讲究工序，那么一个复杂的工程就更不用说了。 ** 库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取（如存储时间短的应该放在容易存取的地方）。 ** 我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。 ** 组合数学中有一个著名问题：是否存在稳定婚姻的问题。假如能找到两对夫妇（如张（男）--李（女）和赵（男）--王（女）），如果张（男）更喜欢王（女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜在的不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。这种组合数学的方法却有 一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请排序。按这样的 次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。 实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。 ** 组合数学还可用于金融分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。南开大学组合数学研究中心开发出了"金沙股市风险分析系统"现已投放市场，为短线投资者提供了有效的风险防范工具。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。 胡锦涛同志在1998年接见"五四"青年奖章时发表的讲话中指出，组合数学不同于传统的纯数学的一个分支，它还是一门应用学科，一门交叉学科。他希望中国的组合数学研究能够为国家的经济建设服务。 如果21世纪是信息社会的世纪，那么21世纪也必将是组合数学大有可为的世纪。

数 学 概 览数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说，就是研究数和形的科学。由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率的一般方法。    虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。    早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。在近代，数的概念更进一步抽象化，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。    开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。    在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解，而源于古希腊、埃及传统的欧洲数学则不同，一般致力于探究方程解的性质。16世纪时，韦达以文字代替方程系数，引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质进行探讨，是从线性方程组引出的行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现；从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗华理论与群论的创立。而近代极为活跃的代数几何，则无非是高次联立代数方程组解所构成的集合的理论研究。形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象是由于工具的制作与测量的要求所促成的。规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。    墨经》中对一系列的几何概念，有抽象概括，作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题。例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体的体积的阳马鳖需的二比一原理(刘徽原理)；5世纪祖(日恒)提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代(约10世纪)以后，中国在几何学方面的建树不多。    中国几何学以测量和计算面积、体积的量度为中心任务，而古希腊的传统则是重视形的性质与各种性质间的相互关系。欧几里得的《几何原本》，建立了用定义、公理、定理、证明构成的演绎体系，成为近代数学公理化的楷模，影响遍及于整个数学的发展。特别是平行公理的研究，导致了19世纪非欧几何的产生。欧洲自文艺复兴时期起通过对绘画的透视关系的研究，出现了射影几何。18世纪，蒙日应用分析方法对形进行研究，开微分几何学的先河。高斯的曲面论与黎曼的流形理论开创了脱离周围空间以形作为独立对象的研究方法；19世纪克莱因以群的观点对几何学进行统一处理。此外，如康托尔的点集理论，扩大了形的范围；庞加莱创立了拓扑学，使形的连续性成为几何研究的对象。这些都使几何学面目一新。在现实世界中，数与形，如影之随形，难以分割。中国的古代数学反映了这一客观实际，数与形从来就是相辅相成，并行发展的。例如勾股测量提出了开平方的要求，而开平方、开立方的方法又奠基于几何图形的考虑。二次、三次方程的产生，也大都来自几何与实际问题。至宋元时代，由于天元概念与相当于多项式概念的引入，出现了几何代数化。    在天文与地理中的星表与地图的绘制，已用数来表示地点，不过并未发展到坐标几何的地步。在欧洲，十四世纪奥尔斯姆的著作中已有关于经纬度与函数图形表示的萌芽。十七世纪笛卡尔提出了系统的把几何事物用代数表示的方法及其应用。在其启迪之下，经莱布尼茨、牛顿等的工作，发展成了现代形式的坐标制解析几何学，使数与形的统一更臻完美，不仅改变了几何证题过去遵循欧几里得几何的老方法，还引起了导数的产生，成为微积分学产生的根源。这是数学史上的一件大事。    在十七世纪中，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化，包括量的变化与形的变换(如投影)，还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分，使数学从此进入了一个研究变量的新时代。    十八世纪以来，以解析几何与微积分这两个有力工具的创立为契机，数学以空前的规模迅猛发展，出现了无数分支。由于自然界的客观规律大多是以微分方程的形式表现的，所以微分方程的研究一开始就受到很大的重视。    微分几何基本上与微积分同时诞生，高斯与黎曼的工作又产生了现代的微分几何。19、20世纪之交，庞加莱创立了拓扑学，开辟了对连续现象进行定性与整体研究的途径。对客观世界中随机现象的分析，产生了概率论。第二次世界大战军事上的需要，以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、控制论、数理统计学等学科。实际问题要求具体的数值解答，产生了计算数学。选择最优途径的要求又产生了各种优化的理论、方法。    力学、物理学同数学的发展始终是互相影响互相促进的，特别是相对论与量子力学推动了微分几何与泛函分析的成长。此外在19世纪还只用到一次方程的化学和几乎与数学无缘的生物学，都已要用到最前沿的一些数学知识。    十九世纪后期，出现了集合论，还进入了一个批判性的时代，由此推动了数理逻辑的形成与发展，也产生了把数学看作是一个整体的各种思潮和数学基础学派。特别是1900年，德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上的关于当代数学重要问题的演讲，以及三十年代开拓的，以结构概念统观数学的法国布尔巴基学派的兴起，对二十世纪数学的发展产生了巨大、深远的影响，科学的数学化一语也开始为人们所乐道。    数学的外围向自然科学、工程技术甚至社会科学中不断渗透扩大，并从中吸取营养，出现了一些边缘数学。数学本身的内部需要也孽生了不少新的理论与分支。同时其核心部分也在不断巩固提高并有时作适当调整以适应外部需要。总之，数学这棵大树茁壮成长，既枝叶繁茂又根深蒂固。    在数学的蓬勃发展过程中，数与形的概念不断扩大且日趋抽象化，以至于不再有任何原始计数与简单图形的踪影。虽然如此，在新的数学分支中仍有着一些对象和运算关系借助于几何术语来表示。如把函数看成是某种空间的一个点之类。这种做法之所以行之有效，归根结底还是因为数学家们已经熟悉了那种简易的数学运算与图形关系，而后者又有着长期深厚的现实基础。而且，即使是最原始的数字如1、2、3、4，以及几何形象如点与直线，也已经是经过人们高度抽象化了的概念。因此如果把数与形作为广义的抽象概念来理解，则前面提到的把数学作为研究数与形的科学这一定义，对于现阶段的近代数学，也是适用的。    由于数学研究对象的数量关系与空间形式都来自现实世界，因而数学尽管在形式上具有高度的抽象性，而实质上总是扎根于现实世界的。生活实践与技术需要始终是数学的真正源泉，反过来，数学对改造世界的实践又起着重要的、关键性的作用。理论上的丰富提高与应用的广泛深入在数学史上始终是相伴相生，相互促进的。    但由于各民族各地区的客观条件不同，数学的具体发展过程是有差异的。大体说来，古代中华民族以竹为筹，以筹运算，自然地导致十进位值制的产生。计算方法的优越有助于对实际问题的具体解决。由此发展起来的数学形成了一个以构造性、计算性、程序化与机械化为其特色，以从问题出发进而解决问题为主要目标的独特体系。而在古希腊则着重思维，追求对宇宙的了解。由此发展成以抽象了的数学概念与性质及其相互间的逻辑依存关系为研究对象的公理化演绎体系。    中国的数学体系在宋元时期达到高峰以后，开始陷于停顿且几至消失。而在欧洲，经过文艺复兴运动、宗教革命、资产阶级革命等一系列的变革，导致了工业革命与技术革命。机器的使用，不论中外都由来已久。但在中国，则由于明初被帝王斥为奇技淫巧而受阻抑。    在欧洲，则由于工商业的发展与航海的刺激而得到发展，机器使人们从繁重的体力劳动中解放出来，并引导到理论力学和一般的运动和变化的科学研究。当时的数学家都积极参与了这些变革以及相应数学问题的解决，产生了积极的效果。解析几何与微积分的诞生，成为数学发展的一个转折点。17世纪以来数学的飞跃，大体上可以看成是这些成果的延续与发展。    20世纪出现了各种崭新的技术，产生了新的技术革命，特别是电子计算机的出现，使数学又面临了一个新的时代。这一时代的特点之一就是部分脑力劳动的逐步机械化。与17世纪以来以围绕连续、极限等概念为主导思想与方法的数学不同，由于计算机研制与应用的需要，离散数学与组合数学开始受到重视。    计算机对数学的作用已不仅仅只限于数值计算，也开始更多的涉及符号运算(包括机器证明等数学研究)。为了与计算机更好地配合，数学对于构造性、计算性、程序化与机械化的要求也显得颇为突出。例如，代数几何是一门高度抽象化的数学，而最近出现的计算性代数几何与构造性代数几何的提法，即其端倪之一。总之，数学正随着新的技术革命而不断发展

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