关于关于近世代数教学论文范文

欧氏环的研究 摘 要 欧氏环在不同书中常有不同的定义方法, 本文给出了几种欧氏环的定义, 证明了欧氏环中最大公因式的存在性, 并且导出了其类似于整数的最大公因数的性质. 关键词 欧氏环; 主理想; 唯一分解环; 相伴元; 单位 中图分类号 O153 1 基本定义与引理 设I 是一个环, I *表示I 的全体非零元素作成的集合, 用N 表示全体非负整数作成的集合. 定义1[1] 设I 是一个有单位元且无零因子的环. 如果 (1) 有一个I 到N 的映射ϕ; (2) 对I 中任意元素b 及a ≠0, 有元素q , r ∈R , 使 b =aq +r , ϕ(r ) 则称I 是一个对映射ϕ来说的B 欧氏环. 只要存在这样一个映射, 就说I 是B 欧氏环. 定义2[2] 设I 是一个有单位元、可换且无零因子的环. 如果 (1) 有一个I *到N 的映射ϕ; (2) 对I 中任意元素b 及a ≠0, 有元素q , r ∈R , 使 b =aq +r , r =0或ϕ(r ) 则称I 是一个对映射ϕ来说的C 欧氏环. 只要存在这样一个映射, 就说I 是C 欧氏环. 定义3[3] 设I 是一个有单位元且无零因子的可换环. 如果 (1) 有一个I *到N 的映射ϕ; (2) 对I 中任意元素b 及a ≠0, 有元素q , r ∈R , 使 b =aq +r , r =0或ϕ(r ) (3)对I 中任意非零元素a , b 都有 ϕ(ab )>ϕ(b ), 则称I 是一个对映射ϕ来说的V 欧氏环. 只要存在这样一个映射, 就说I 是V 欧氏环. 定义4[4] 设I 是一个有单位元且无零因子的可换环. 如果 (1) 有一个I 到N 的映射ϕ, 而且ϕ(b )=0, 当且仅当如果b =0; (2) 对I 中任意元素b 及a ≠0, 有元素q , r ∈R , 使 b =aq +r , ϕ(r ) (3)对I 中任意非零元素a , b 都有 ϕ(ab )>ϕ(a )ϕ(b ); 则称I 是一个对映射ϕ来说的A 欧氏环. 只要存在这样一个映射, 就说I 是A 欧氏环. 定义5[5] 设I 是整环, 若 (1) 存在一个由I =I \{0}到非负整数集N ⋃{0}的映射ϕ; * (2) ∀a ∈I , b ∈I , ∃q , r ∈I , 使 b =aq +r , r =0或ϕ(r ) 则称I 是一个欧氏环. 定义6[2] 一个整环I 叫做欧氏环, 假如 l : (1) 从I *到非负整数集合N 的映射ϕ存在; (2) ∀b ∈I 都有q , r ∈I , 使得b =aq +r , 其中r =0或ϕ(r ) 引理1 设I 是一个欧氏环, 如果∃a ∈I , 使得ϕ(a )=0, 那么a 整除I 的每一个元. 证明 因为∃a ∈I , 使得ϕ(a )=0. 取b ∈I , 若b =0; 则 a |b ; 若b ≠0, 则由定义6可知, ∃q , r ∈I , 使得b =aq +r , 其中r =0或ϕ(r ) 元. 推论1 若I 是一个欧氏环, 并且a 是使ϕ(a )=0的I 的一元, 那么* I ={aq |q ∈I }. 推论2 若I 是一个欧氏环, 并且a 是使ϕ(a )=0的I 的一元, 那么a 是I 的可逆元(单位). 证明 由推论1知 I ={aq |q ∈I }. 因为1∈I , 所以∃q ∈I 使得aq =1, 即a 是可逆的. 引理2 设I 是欧氏环, 如果I 中有b =aq +r , 那么(a , b )=(a , r ). 证明 设a 与b 的一个最大公因式为d , 记为(a , b )~d . 因为d |a , b ⇒ d |b -aq =r , 所以d |a , r ; 另一方面, 对∀c |a , r ⇒c |aq +r =b , 即c |a , b , 因为d 是a *与b 的一个最大公因式, 所以c |d 这样d 也是(a , r )的一个值, 即(a , r )~d 从而(a , b )=(a , r ). 2 主要结论 定理1[3] 设I 是一个欧氏环, 那么对∀a , b ∈I 来说, 存在a 与b 的最大公因式(a , b ), 并且∃u , v ∈I 使得au +bv ~(a , b ). 证明 若a , b ∈I 有一个为0, 不妨假定a , b ∈I 那么a 是a 与b 的一个最大公因式, 即(a , b )~a . 若a , b ∈I 都不为0, 由欧氏环的定义5知, ∃q 1, r 1∈I 使得a =bq 1+r 1则有下列诸等式: 若r 1≠0, 则∃q 2, r 2∈I , 使得b =rq 12+r 2; 若r 2≠0, 则∃q 3, r 3∈I , 使得r 1=r 2q 3+r 3; 若r 3≠0, 则同样可以继续考虑, r s -3=r s -2q s -1+r s -1; r s -2=r s -1q s +r s . 这个过程称之为辗转相除法. 在此过程中一定存在r s =0, 否则任何r s ≠0, 这时得到以下不等式链:ϕ(b )>ϕ(r 1)>ϕ(r 2)> >ϕ(r s )> , 其中ϕ(b )是一个有限正整数, 有∃r n ∈I 使得ϕ(r n )=0, 由引理1得知r n 整除I 的每一元, 所以r n |r n -1, 从而 r n +1=0, 与任何r s =0矛盾. 于是辗转相除法过程中有一等式r s -2=r s -1q s +r s 中r s =0, 有(r s -2, r s -1)=(r s -1, r s )~r s -1. 再由引理2, (r s -2, r s -1)=(r s -3, r s -2)= =(r 2, r 1) =(a , b ), 有(a , b )~r s -1即r s -1是a 与b 的一个最大公因式, 这样就证明了在欧氏环中最大公因式的存在性. r s -1=r s -3-r s -2q s -1 =r s -3-(r s -4-r s -3q s -2)q s -1 =(1+q s -1q s -2)(r s -5-r s -4q s -3)-r s -4q s -1 =(-q s -1-q s -3-q s -1q s -2q s -3)r s -4+(1+q s -1q s -2)r s -5 =au -bv 即最后可以消去所有r s , 所以(a , b )~r s -1=au +bv . 推论3 a , b 是欧氏环I 的两元, 那么(a , b )~1⇔∃u , v ∈I 使得au +bv ~1. 证明 先证充分性可由定理1直接得出. 再证必要性. 设∃u , v ∈I 使得au +bv ~1因为对∀c |a , b ⇒c |au +bv , 所以 (a , b )~1. 定理2[6] 若欧氏环I 中(a , b )~1, 则对∀c ∈I , 都有(a , bc )=(a , c ). 证明 因为(a , b )~1, 所以1是a , b 的最大公因式. 所以∃u , v ∈I 使得 au +bv =1对∀c ∈I 都有c =a (cu )+(bc )v , 由此可知a , bc 与a , c 相同公因式, 从而(a , bc )=(a , c ). 推论4 在欧氏环I 中若(a , b )~1, 则(a n , b m )~1, ∀n , m ∈N *. ⎛⎫⋅b b 证明 因为(a , b )~1, 且(a , b m )= a , b ⎪由定理2可知, m ⎝⎭ ⎛⎫m a , b ⋅b b = =a , b ~1⇒()()~1. a , b ⎪ m -1⎝⎭ 同理可得(a n , b m )=(b m , a n )=(b m , a n -1)=(b m , a n -2)= (b m , a )~1. 推论5 欧氏环中若(a i , b j )~1(i =1, 2, , n ; j =1, 2 , m ), 那么 (a 1a 2 a n , bb 12 b m )~1. 证明 由定理2得(a i , bb 12 b m )=(a i , b 2b 3 b m )= (a i , b m )~1即 ,2, n ). (a i , bb 12 b m )~1, (i =1 同样可得 (a 1a 2 a n , bb 12 b m )=(bb 12 b m , a 1a 2 a n ) ⇔(bb 12 b m , a 2a 3 a n )= =(bb 12 b m , a n )~1. 3 应用举例 例1[5] 证明：Gauss 整数环Z [i ]={m +ni |m , n ∈Z }是一个欧氏环. 证明 显然Z [i ]是复数域C 的一个子环, 且1∈Z [i ], 于是Z [i ]是一个整环. 令 ϕ:Z [i ]→N ⋃{0}, a a , 2* 其中a 是a 的模, 则ϕ是一个Z [i ]到N ⋃{0}的映射. 下面证明：∀a ∈Z [i ], b ∈Z [i ], ∃q , r ∈Z [i ], 使 b =aq +r , r =0或ϕ(r ) 设a -1b =u +vi , 其中u , v ∈Q . 现取u ", v "分别是与u , v 最接近的整数, 令 k =u -u ", h =v -v ", 则 11k =u -u "≤, h =v -v "≤, 22 于是 b =a (u +vi ) =a ⎡⎣(u "+k )+(v "+h )i ⎤⎦ =a (u "+v "i )+a (k +hi ) =aq +r , 其中q =u "+v "i ∈Z [i ], r =a (k +hi ). 因为r =b -aq , 所以r ∈Z [i ]. 若r ≠0, 则 ϕ(r )=r =a k +hi =a 22222(k 2+h 2) ⎛11⎫1≤a +⎪=ϕ(a ) 因此, Z [i ]是欧氏环. 例2[5] 设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在, a 1, a 2, , a m 是I 中m 个不全为零的元, 若a 1=db 1, a 2=db 2, , a m =db m , 证明：d 是a 1, a 2, , a m 的最大公因 子⇔b 1, b 2, , b m 互素. 证明 若d 是a 1, a 2, , a m 的最大公因子, 由a 1=db 1, a 2=db 2, , a m =db m 及a 1, a 2, , a m 是I 中m 个不全为零的元可得d ≠0. 现设c 是b 1, b 2, , b m 的一个公因子, 则cd 是a 1, a 2, , a m 的公因子, 从而cd |d , 于是c |1, 即c 是单位. 因此b 1, b 2, , b m 互素. 反之, 令d 1是a 1, a 2, , a m 的最大公因子, 则a 1=db 1, a 2=db 2, , a m =db m . 又因为d 是a 1, a 2, , a m 的最大公因子, 所以d |d 1, 即d 1=dh , 于是a i =d 1p i =dhp i (i =1,2， , m ). 又由a i =d 1b i 可得db i =dhp i . 而d ≠0, 于是b i =hp i , 即h 是b 1, b 2, , b m 的一个公因子. 因为b 1, b 2, , b m 互素, 所以h 是一个单位, 于是d ~d i , 因此d 也是a 1, a 2, , a m 的最大公因子. 4 总结 总之, 一个欧氏环中既可以明确地看到最大公因式的存在性, 又可以给出具体求法, 另外欧氏环中讨论问题比较方便, 其很有实用性的特殊主理想环, 又是一个唯一分解环. 参 考 文 献 [1] N.Jaeobson.Basie Algepa.W.H.Freeman and Company,1974. [2] 张禾瑞. 近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978. [3] 吴品三. 近世代数[M].北京:高等教育出版社,1980. [4] N.Jaeobson.Lectures in Abstraet Algepa.V.1.1951. [5] 朱平天, 李伯葓, 邹园. 近视代数[M].北京:第二版. 科学出版社. [6] 李冰. 关于欧氏环定义中单位元的讨论[J].唐山师专学报,1993,21