关于圆周率估算的研究性论文

π=3.1415926……这是我们再熟悉不过的数字。最近，麻省理工学院的科学家却算出π≈3.115——一个明显偏离了正确答案的数字，而且这个毫无精确度可言的结果，还被写成了论文。

不用惊讶，这位天体物理学家的真正目的不是让π值更精确，而是从引力波中寻找π，进而验证广义相对论。

撰文 | 丹尼尔·加里斯托（Daniel Garisto）

翻译 | 王语嫣

至少在3700年前，巴比伦的数学家就估算出了圆的周长和直径之间的比值。他们将答案镌刻在一块朴素的泥板上：25/8，也就是3.125。最近，麻省理工学院的理论天体物理学家卡尔-约翰·哈斯特（Carl-Johan Haster）也得到了类似的结果：在一篇预印本论文中，他将π的值计算到了 3.115左右 。

等会……这个数值，似乎与我们记忆中π的数值有一些差距。近些年来，科学家利用高性能的计算机将π精确到了小数点后近500万亿位。虽然靠后的位数你可能不清楚，但对于3.1415926……，你一定背得滚瓜烂熟。哈斯特的估算，从精确度上来讲，可能落后了几千年。然而，精确度也的确不是他计算的目的——他真正的目的，是 通过π值检验爱因斯坦的相对论，这个将引力与时空结合起来的理论。

当两个大质量物体（比如黑洞）碰撞时，在时空中产生的涟漪就是引力波。引力波中暗含了大量关于物理定律的信息。哈斯特作为LIGO团队的成员，注意到π在描述波传播的函数中多次出现。

“卡尔的思路是，‘你看，这些函数都和π有关。所以咱们干脆把π变化一下，然后看看结果（和广义相对论）是否一致。’” 约翰·霍普金斯大学的理论物理学家埃马努埃莱·贝尔蒂（Emanuele Berti）说。

哈斯特想到，可以把π看作一个变量，而不是常数。这样，他就可以比较引力波方程与LIGO 的实验结果。理论上来讲，只有当π接近其原本的值（约为3.14）的时候，爱因斯坦的理论才能够与观测结果一致。 如果LIGO的观测在π等于其他值的情况下也符合广义相对论，那或许说明广义相对论还不够成熟。

哈斯特将π的测试范围定在了-20~20，并对比了20余起已观测到的引力波事件。他最终发现， π大约为3.115时，观测结果和理论相吻合 ，这一结果与π的实际数值相近。这样看来，爱因斯坦的理论并没有什么问题。“在我看来，这项研究可爱又迷人，同时还为广义相对论提供了相当有力的证明。”哈斯特说。

π无处不在，它不仅出现在圆中，还与氢原子的能级和针落下的方式有关（布丰投针问题：如果将一把针撒落在一张画有等间距横线的纸上，针掉落在线上的概率与π相关）。π出现在引力波的方程中的原因则更复杂一些： 引力波与其自身相互干渉。

“引力波在传播时，会遇上时空弯曲，其中就包括引力波之前所造成的弯曲。”贝尔蒂说。就好像朝平静的水面扔一块石头，涟漪就会在水面上传播开来；如果此时再扔一块石头，水波就会发生变化——上一块石头造成的涟漪与这块石头的发生了干涉。引力波的原理与此类似，只是介质不是水，而是时空本身。

描述这种自相干现象的方程中也出现了π。在2016年LIGO对爱因斯坦理论的检验中，他们只改变了单一项，而不是π这样的公因子。尽管2016年的研究足以验证爱因斯坦的广义相对论，但科学家还是想知道当方程中的几项同时变化时会有什么结果，而哈斯特的研究正好提供了一种方法。

然而，这个证明的确还存在一些问题。其中之一就是哈斯特的结果存在较大误差：他对π的估计值大约在3.027到3.163之间。要得到更精确的答案，需要观测质量更轻的物体的合并事件，比如中子星合并，这类事件所产生的引力波波长是黑洞合并所产生的300倍。就好比听一首歌，听得时间越长，认出这首歌的可能性就越高。目前，科学家只观测到两次中子星合并事件。而在因疫情而暂时关闭的LIGO重启之前，这个数字都不会改变。

尽管该研究结果精度不足，并不是每个人都对此表示担心。“有些人说我们或许应该把‘圆周率日’（3月14日）改成‘圆周率周’（3月2日-3月15日），以代表现有的误差。”西北大学的天体物理学家克里斯·贝里（Chris Berry）开玩笑地说，他也是此项研究和LIGO团队的一员。

当然，随着这项研究即将正式发表，那些爱好圆周率的物理学家们又可以“饱餐一顿”了。贝里开玩笑地说，“多多产粮”并不是一件坏事：至少盛宴过后，研究者们又多了种估算圆周率的新方式——测量自己圆润的体型。

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古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。

1、马青公式

π=16arctan1/5-4arctan1/239

这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。

还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。

2、拉马努金公式

1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：

3、AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法

高斯-勒让德公式：

这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。

4、波尔文四次迭代式：

这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。

5、bailey-borwein-plouffe算法

这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。

6、丘德诺夫斯基公式[1]

这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的，十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本：

<算法设计与分析> 这类书上有的.