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安静的芋米
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半夜磨牙

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微积分在不等式中的应用[摘要]本文应用微积分讨论了一些不等式的解法和证明,进一步揭示了微积分作为一种实用性很强的数学方法和工具,在求解不等式中的作用。[关键词]微积分高等数学不等式不等式是数学研究的一个基本问题,是属于初等数学的重要内容。不等式的证明方法多种多样,初等数学中常用的方法有恒等变形,使用重要不等式,用数学归纳法等,这些方法往往需要极高的技巧和超强的变形能力。微积分是高等数学的核心,微积分思想方法是高等数学乃至整个数学的典型方法,微积分思想方法的引入为解决不等式证明的难题找到了突破口,用这来解不等式可使解题思路变得简单。下面就通过实例分析微积分在证明不等式中的应用。1、用导数的定义证明不等式例1.设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx,已知f(x)≤sinx,求证:a1+2a2+…+nan≤1。证明:方法1:因为f(0)=0,由已知f(x)-f(0)x-0≤sinxx(x≠0)∴limx→0f(x)-f(0)x-0≤1圯f'(0)≤1即a1+2a2+…+nan≤1。导数的定义是微积分的基础,此题还可运用两个重要极限及变形进行证明。方法2:由f(x)≤sinx,得f(x)x≤sinxx(x≠0),即a1sinxx+a2sin2xx+…+ansinnxx≤sinxx两端同时取x→0时的极限得limx→0a1sinxx+a2sin2xx+…+ansinnxx≤limx→0sinxx由重要极限及其变形知:limx→0sinkxx=k∴a1+2a2+…+nan≤1,证毕。2、利用函数的单调增减性定理1:设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(1)若在(a,b)内,f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)若在(a,b)内,f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。由定理1我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤:(1)移项,使不等式一端为“0”,另一端即为所作的辅助函数f(x);(2)求出f'(x),并判断f(x)在指定区间的增减性;(3)求出区间端点的函数值,作出比较即得所证。例2.设b>a>0,证明:lnba>2(b-a)a+b。分析:当b>a>0时,lnba>2(b-a)a+b圳(lnb-lna)(a+b)>2(b-a)证明:令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)(x≥a)∵f'(x)=1x(a+x)+(lnx-lna)-2f''(x)=-ax2+1x=x-ax2≥0(x≥a)所以f'(x)单调增加,又f'(a)=0,于是f'(x)≥0(x≥a)因而f(x)单调增加,又f(a)=0,故当b>a>0时,有f(b)>f(a)=0即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)>0,亦即lnba>2(b-a)a+b。3、用微分中值定理证明不等式定理2(罗尔定理):设函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b);则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得f'(ξ)=0。定理3(拉格朗日中值定理):设函数f(x)满足条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得f'(ξ)=f(b)-f(a)b-a。

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dragonyanyan

还有三个月就是毕业生们答辩的时间了,但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫,我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目,供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项,前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法

313 评论

三尺优姬

中值定理已经被研究的透彻的不能再透彻了,我真不懂你写什么》?没有质量的论文写了也只是在浪费时间。就整个数学分析而言,已经研究的很透彻了,唯一可以入手的地方我想也只有Fourier级数的吉布斯化的现象的研究。其次就是关于p级数和的问题的研究,这个和Riemann猜想有联系。其他方面根本没有科研究之处,前人做的已经非常完备,即使你写了,也只能说是copy,这也正是当前中国只追求论文数量而不追求质量的恶果,不如不写。 至于数学分析学习倒是可以推荐给你几本书:张筑生《数学分析新讲》,卓里奇《数学分析》,菲赫金哥尔兹《微积分教程》习题:周民强《数学分析习题演练》,谢惠民《习题课讲义》 ,至于裴礼文亦可一看

330 评论

高兴儿88

确实没啥可写的,应用的话可以想点办法

302 评论

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