dsp论文读书笔记

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此篇论文中在早年，描述了一种实时地从音乐的声音信号中识别出和弦的方式。它的主要思路，是将连续的声信号输入，转换成音乐中的十二平均律，对应到钢琴中一个八度的键当中，识别出和弦的每一个音。

首先我们将输入的声音信号获取进来，转换成一个离散傅立叶变换(DFT)的一个声谱图，之后我们将这个声谱图转换成一个音级轮廓图PCP(Pitch Class Profile)。然后再根据准备好的和弦模版与PCP进行模式匹配，最终得到根音以及最后的和弦类型。

首先，此算法将输入声音信号流转换为一个DFT图，假设f s 为采样频率，x(n)为N个采样点中的第n个输入声信号片段。那么DFT谱图的公式如下，其中k = 0,1,2...N-1，而我们的X(0)，X(1)...X(N/2 - 1)表达了我们的整个频谱。

X(k)表达了f s * (k/N)频率波的正弦系数。 我们的问题中关注到，它所能表达的频率与采样的点数是相关的。这从道理上来说是合理的，采样的点越丰富(越详细)，我们能描述越细致的频率。

我们在看到傅立叶变换原理时，会想到的方法可能是构造正余弦函数的线性和，并设计很多参数，最后通过一些手段将参数求出来。

其实这样的思路本质上是没有什么问题的，我们的目标也正是将函数拆解成若干正余弦函数的组合。有科学家发现，所有的周期函数，都可以使用sin和cos函数的加减组合而成。

那么下面的问题是，如果我们原函数的周期是T，那么如何保证组合出来的函数周期也为T呢？

假如sin(x)的周期是2π，那么sin(2x)的周期也为2π(虽然最小周期是π)。更一般的，如果f(x)的周期为T，那么下式的周期也为T。所以对这些函数的加减，可以保证组成的函数一定周期也为T。

接下来，对三角函数振幅进行一些调整，再对三角函数进行加加减减

最终我们构造的逼近和大概是这样的，这个式子表达的是，无穷多种频率的正余弦波线性的组合。

假设我们的函数可以进行以下分解

如果转到复平面去，那么它应该是这个欧拉公式所构造式子的虚部

很显然，根据刚才的说法e it + e i2t 所表达的是两个向量的和

更一般地，我们可以写出函数向量的表达式

并且函数向量的点积是这么定义的

根据函数点积的定义，我们可以自己计算得出下式

那么如何求得对应函数向量的坐标呢？ 假设w = a u + b v （w、u、v都是向量，其中u和v是正交的） 那么基u的坐标a可以用以下公式求得：

sin(x)这个向量函数的坐标应该为

现在回顾以下我们之前的假设

我们可以改写成这样（ 所有频率不同的正余弦向量函数在共同的周期内一定正交 ）

我们可以得到另一种形式的f(x)

其中

我们可以得到离散形式下的 f(x) ，它表达了P种不同频率的波叠加而成的函数，其中ω是所有频率波中的单位频率，它决定了波叠加的效果， ω=2π/N 。

当 n=1,2,3...P 时，使

由于单位频率为 2π/N 时，有一个这样的特殊条件：

其中C n 在n=0时，表达的是直流分量，n=1...P的范围内（即1...(N-1)/2），可以表达所有的系数，n=P+1..N上的系数只是一个对称。 故而，一般情况下，我们需要求出前半部分的系数即可

现在再来回顾一下我们的公式，相信已经很容易理解了。 这里与论文中叙述一致，我们仅需要求出X(k)(k = 0 ... N / 2 - 1)的值即可。这里的X(k)与C n 表达的等价

实际上，C n 是对应频率的波在复平面内的点坐标，利用这个我们可以求出对应频率波的振幅。

DFT之后对应频谱的某点C n 或者X(k)可以用复数a+bi表示。那么这个复数的模就是Ak=√(a * a+b * b)，那么振幅A为

对于n=0点的信号，它的振幅为0，通常作为一个整体偏移的作用存在，称为直流分量，幅度即为A1/N。

最后我们注意一点，由于DFT结果的对称性， 通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。 （由奈奎斯特理论可得，可还原的信号量频率必小于采样频率的二分之一。）

对于X(k)，我们可以继续推导出PCP，它12维向量表示钢琴中八度里的12个半调音级。 设p = 0,1,2...11，那么我们定义 式(1) PCP(p)如下：

在论文里，选择了27组和弦，论文使用上述过程，进行手工调整得到了模版PCP。

论文中给出了两种方式对匹配性能进行评估：

1、进行pcp平滑化 2、和弦转变感知 3、PCP预处理 4、消除M(l)中无关紧要的区域 5、使用DFT窗口 6、静音检测 7、噪音检测

引用