射影变换论文开题报告

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在一维基本形之间，可以通过投影和截影互相转化。用{p}表示直线l上的点列，其中p表示点列中的任意点。设S为不在l上的一点，作直线p=SP，则当p在l上变动时，就得到以S为中心的线束{p}，叫做点列{p}的投影，而{p}就叫做线束{p}的截影，p和 p叫做对应元素（图2）。再设S1为空间不在{p}的平面上的点，作经过S1和p的平面π，就得到以SS1为轴的面束{π}，它是{p}的投影，{p}是{π}的截影，p和π 是对应元素（图3）。若经过一系列的投影和截影，从一个一维基本形到另一个，这两个基本形就叫做射影相关，它们元素间的对应关系就叫做射影对应。一个射影对应所包含的两个变换叫做射影变换，它们互为逆变换。在空间，通过投影和截影，点场和线把之间，线场和面把之间都可以互相转化，因而点场之间，线把之间，线场之间，面把之间也可以互相转化。至于二维基本形之间的其他转化，例如点场和线场之间的转化，则可以通过下面将要叙述的代数方法来确定。同样，三维基本形之间的转化也要通过代数方法。总之，两个二维基本形之间或两个三维基本形之间，也都可以有射影对应和射影变换。已经指出，如何在点列，点场，点空间，以及线场和面空间里建立齐次坐标系。事实上，在任何一个一、二、三维的基本形里，都可以建立齐次（或叫射影）坐标（见射影坐标）。这样，射影对应或射影变换就可以通过齐次坐标间的满秩齐次线性变换来表示。例如，设(x)，()为两个点场的齐次坐标，则射影变换(x)→()可以用三个变数的齐次线性变换 (2)表示，式中det表示行列式；ρ是非零比例常数。解这个方程组，就得到逆变换(x')→(x)的方程。射影变换的一个基本性质是保持关联关系，这等于说，它把线性相关的元素变成线性相关的元素。例如，点场之间的变换(2)就把点列变成点列，即直线变成直线，因而，它还把线束变成线束。由此又可以看出，只涉及关联关系的每个定理（如德扎格定理）一定代表一种射影性质，即经过射影变换不变的性质。换句话说，这种定理是一个射影定理。关于射影对应，有一个基本定理。如果把一、二、三维的情况概括在一起，那就是：若在两个n维 (n=1，2，3)基本形中，分别指定一组n+2个元素，式中各组里的每n+1个元素线性无关，则两个基本形间，有惟一的射影对应，使两组元素按给定次序相对应。事实上，对于任意维射影对应，这个定理都成立。所谓“线性无关”，可以举例来说明：两个线性无关的点不重合，三个线性无关的点不共线，四个线性无关的点不共面。射影变换也可以作用于扩大空间，但经过射影变换，无穷远元素可以变为非无穷远，非无穷远元素可以变为无穷远（例如平行平面可以变得不平行，不平行平面可以变得平行），因此，在未经扩大的欧氏或仿射空间里，射影变换不完全是一对一的。