通过群论研究微扰引起论文

规范场论 (Gauge Theory) 是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群的规范场论有时也称为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等价原理的一个推广。 规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。 规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。 有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。[编辑本段]简史 最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·魏尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度（“规范”）变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变—一个U(1)规范对称性），这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看. , 203。 1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，和Abdus Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。 该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。 1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。[编辑本段]电磁学中的简单的规范对称性的例子 电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电压升高相同的电压时，电路的行为完全不变；因为电路中的电压差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。 这称为整体规范对称性Trefil,1983。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。 相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局部规范对称性。 ^ James S. Trefil 1983年, 创造的瞬间。 Scribner, ISBN 0-684-17963-6 92-93页。[编辑本段]经典规范场论 -------------------------------------------------------------------------------- 本节要求一些经典或量子场论的知识，以及拉格朗日量的使用。 本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子 -------------------------------------------------------------------------------- 一个例子：标量 O(n) 规范场论 下面解释了局部规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。 考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。该系统用一个作用量表示，它是每个标量场φi的作用量之和 拉格朗日量可以简明的写作 这是通过引入一个场的矢量 现在很明显地，拉格朗日量在下面的变换中不变 只要G是一个常数 矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒 其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。 现在，要求这个拉格朗日量必须有局部O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。 不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)， 这意味着定义一个有如下属性的“导数”D 可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是 其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场 而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。 规范场在一点的取值是李代数的一个元素，因此可以展开为 所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。 最后，我们有了一个局部规范不变拉格朗日量 泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。 费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量 这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。 规范场的拉格朗日量 我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量的最一般的形式可以（传统地）写作 其中 而迹在场的矢量空间上取。 注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的（参看Sakurai， 高等量子力学，1-4节）。 O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了 一个简单的例子：电动力学 作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑电动力学的情形，只考虑电子场。产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是 该系统的全局对称性是 这里的规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。 “局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。 一个合适的共变导数是 将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量 其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。 为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。 参看：狄拉克方程，麦克斯韦方程组，量子电动力学[编辑本段]数学形式化 规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的（局部）坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。 注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分（主要是因为它主要在高能物理中研究），联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示（也就是仿射模）可以分类到一种满足特定属性的Jet丛的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象联络形式一样变换（物理学家称其为第二类规范变换）（注意折实一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示（实现），但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。 若我们有一个主丛P其基空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。 我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为 其中d代表外微分而代表楔积。 无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下， 其中是李括号。 一个有趣的结果是，若，则 其中D是共变导数 而且，，这意味着F共变地变换。 需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当基流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子（instanton）中的例子。 杨-米尔斯作用现在可以如下给出 其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。 一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下： 其中χ是复表示ρ的特征标；而表示路径排序算子。[编辑本段]规范理论的量子化 规范理论可以用能够应用到任何量子场论的方法的特殊化来量子化。但是，因为规范约束（参看上面的数学表述一节）所带来的微妙性，存在很多需要解决的理论问题，他们在其他场论中并不存在。同时，规范理论的更丰富的结构使得一些计算得以简化：例如Ward恒等式建立了不同的重正化常数的联系。 方法和目标 第一个量子化的规范理论是量子电动力学（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行标准量子化。Gupta-Bleuler方法也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在量子化条目有介绍。 量子化的要点在于能够计算对于理论所允许的各种进程的量子振幅。技术上，它们退化为在真空状态下的特定相关系数函数的计算。这涉及到理论的一个重正化。 当理论的巡行耦合足够小时，所有需要计算的量可以用微扰理论计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如标准量子化）可以称为微扰量子化方案。现在一些这种方法导向了规范理论的更精确的试验测试。 但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为非微扰量子化方案。这样的方案的精确计算经常需要超级计算，因而目前比其他方案的发展要少。 反常 一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个反常。最出名的包括： 共形反常，它导致了一个跑动耦合常数。在QED中，这导致了朗道奇点（Landau pole）。在量子色动力学（QCD）中，这导致渐进自由。 手征反常，出现在费米子手性或者矢量场论中。这通过瞬子的概念和拓扑有紧密的关联。 在QCD中，这个反常导致了π介子衰变成为两个质子。 规范反常，在任何自洽的物理理论中必须消去。在电弱理论中，这个消去要求夸克和轻子数量相等。这被称为GIM机制。

数学物理以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。“数理”也叫“数学物理”，是数学和物理学的交叉领域，指应用特定的数学方法来研究物理学的某些部分。对应的数学方法也叫数学物理方法。

研究历史

问题的研究一直和数学密切相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和刚体的运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。这种研究一直持续到今天。例如天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。在18世纪中，牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进了变分法的发展，并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。从18世纪以来，在连续介质力学与传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程，通称数学物理方程（也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程）。

直到20世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。此后，联系于等离子体物理、 固体物理、 非线性光学、空间技术、核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。

从20世纪开始，因为物理学内容的更新，数学物理也有新的面貌。伴随着对电磁理论与引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间(用现代术语说，洛伦茨流形)的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论，许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式。在探讨大范围时空结构时，还需要整体微分几何。

量子力学和量子场论的产生，使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画，物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱。在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中描述粒子的产生和消灭。因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同时还要研究微扰展开和重正化（处理发散困难）的数学基础。此外，用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。 物理对象中揭示出的多种多样的对称性，使得群论显得非常有用。晶体的结构就是由欧几里得空间运动群的若干子群给出。正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有时空对称性的许多物理问题有很重要的作用。基本粒子之间,也有种种对称性,可以按群论明确它们的某些关系。对基本粒子的内在对称性的研究更导致了杨－米尔斯理论的产生。它在粒子物理学中意义重大，统一了弱相互作用和电磁相互作用的理论，提供了研究强子结构的工具。这个理论以规范势为出发点，而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络（这是现代微分几何学中非常重要的一个概念）。有关纤维丛的拓扑不变量也开始对物理学发挥作用。

微观的物理对象往往有随机性。在经典统计物理学里需要对各种随机过程的统计规律有深入的研究。

四平方和定理说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。

注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。

每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。