幂级数和函数的几种求法毕业论文

幂级数的和函数求法如下：

【用 [.]'表示对x求导】原式=∑[(-1)^n]x^(2n)+2∑{[(-1)^n]/[2n(2n-1)]}x^(2n)，而在收敛域内，∑[(-1)^n]x^(2n)=(-x^2)/(1+x^2)，设S=∑{[(-1)^n]/[2n(2n-1)]}x^(2n)，两边对x求导，S'=∑{[(-1)^n]/(2n-1)}x^(2n-1)。再对x求导，S''=∑[(-1)^n]x^(2n-2)=-1/(1+x^2)，∴S'=-arctanx+C1，S=-∫(arctanx+C1)dx=-xarctanx+(1/2)ln(1+x^2)+C1x+C2。又，x=0时，S'=0，S=0，∴C1=C2=0。∴原式=(-x^2)/(1+x^2)-2xarctanx+ln(1+x^2)。

扩展资料：

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

各位和函数是指数字和函数是以自然数为自变量的一元函数，记为G(x)。

参考资料：幂级数——百度百科

幂级数的和函数求法如下：

【用 [.]'表示对x求导】原式=∑[(-1)^n]x^(2n)+2∑{[(-1)^n]/[2n(2n-1)]}x^(2n)，而在收敛域内，∑[(-1)^n]x^(2n)=(-x^2)/(1+x^2)，设S=∑{[(-1)^n]/[2n(2n-1)]}x^(2n)，两边对x求导，S'=∑{[(-1)^n]/(2n-1)}x^(2n-1)。再对x求导，S''=∑[(-1)^n]x^(2n-2)=-1/(1+x^2)，∴S'=-arctanx+C1，S=-∫(arctanx+C1)dx=-xarctanx+(1/2)ln(1+x^2)+C1x+C2。又，x=0时，S'=0，S=0，∴C1=C2=0。∴原式=(-x^2)/(1+x^2)-2xarctanx+ln(1+x^2)。

扩展资料：

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

和函数的运算规则为：一个自然数x若为多位数，则将其各位数字相加得到一个和x1；若x1仍为多位数，则继续将x1的各位数字数相加得到一个和x2；……；直到得到一个数字和xn满足：0

例如：

G(0)=0；G(5)=5；

G(35)=G(3+5)=G(8)=8；G(98)=G(9+8)=G(17)=G(1+7)=G(8)=8;

G(124)=1+2+4=7；G(357)=G(3+5+7)=G(15)=G(1+5)=G(6)=6;

参考资料：百度百科-幂函数

求幂级数的和函数的方法：

1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；

2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。

几何含义：

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。