研究函数凹凸性的意义论文

凸函数的一阶导数是减函数，因此其二阶导数小于0；凹函数的一阶导数是增函数，因此其二阶导数大于0；当遇到需要知道二阶导数的正负时，图像的凹凸性就显得很重要。比如运动函数s=f(t)，当只知道它的图像而不知道它的解析式子时，要判断其加速度的变化情况时，其图像的凹凸性就显得很重要。

就是二阶导的问题，图形是（向上）凹的，或图形是（向上）凸的设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1]f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。[1]设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。[1]直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;[1-2]不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。ConvexFunction在国内的数学书中指凹函数。ConcaveFunction指凸函数。在国内涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和国外的提法是一致的，也就是和单纯的数学教材是反的。很头大的问题。[1]另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义[2]在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件）设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);设f(x)为凹函数，f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式。加权形式为：f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

就是二阶导的问题,图形是（向上）凹的,或图形是（向上）凸的 设函数f(x)在区间I上定义,若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1),都有[1] f(λx1+(1-λ)x2)=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)