傅里叶变换仿真毕业论文

(1) 傅立叶级数：法国数学家 傅里叶 发现，任何周期函数都可以用 正弦函数 和 余弦函数 构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据 欧拉公式 ，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。(2) 傅立叶变换：将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。 (3) 频域，时域与相位之间的关系： (4) 欧拉公式： (1) 傅里叶变换的 不足 即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是 方沁园 所说的，“对 非平稳 过程，傅里叶变换有局限性”。如下图： 做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。一切没有问题。但是，如果是 频率随着时间变化的非平稳信号 呢？ 如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。 可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取 一段信号总体上包含哪些频率的成分 ，但是 对各成分出现的时刻并无所知 。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。 然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。 (2) 短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT） 一个简单可行的方法就是—— 加窗 。我又要套用 方沁园 同学的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。 时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了： 图上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。是不是棒棒的？时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。 使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？ 窗太宽太窄都有问题： 窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。（这里插一句，这个道理可以用海森堡不确定性原理来解释。类似于我们不能同时获取一个粒子的动量和位置，我们也不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 所以绝对意义的瞬时频率是不存在的。） 所以 窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低 ， 宽窗口时间分辨率低、频率分辨率高 。对于时变的非稳态信号， 高频适合小窗口，低频适合大窗口 。然而 STFT的窗口是固定的 ，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。(3) 小波变换 那么你可能会想到，让窗口大小变起来，多做几次STFT不就可以了吗？！没错，小波变换就有着这样的思路。但事实上小波并不是这么做的（关于这一点， 方沁园 同学的表述“小波变换就是根据算法，加不等长的窗，对每一小部分进行傅里叶变换”就不准确了。小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换。） 至于为什么不采用可变窗的STFT呢，我认为是因为这样做冗余会太严重， STFT做不到正交化 ，这也是它的一大缺陷。 于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。 STFT是给信号加窗，分段做FFT ；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将 无限长的三角函数基 换成了 有限长的会衰减的小波基 。这样 不仅能够获取频率 ，还可以 定位到时间 了~ 这就是为什么它叫“小波”，因为是很小的一个波嘛~ 从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率ω，小波变换有两个变量：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。 尺度 a控制小波函数的 伸缩 ， 平移量 τ控制小波函数的 平移 。 尺度 就对应于 频率 （反比）， 平移量 τ就对应于 时间 。 当伸缩、平移到这么一种重合情况时，也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是，这 不仅可以知道信号有这样频率的成分，而且知道它在时域上存在的具体位置。 而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后，我们就知道信号 在每个位置都包含哪些频率成分 。 看到了吗？有了小波，我们从此再也不害怕非稳定信号啦！从此可以做时频分析啦！ 做傅里叶变换只能得到一个 频谱 ，做小波变换却可以得到一个 时频谱 ！ 小波还有一些好处，比如，我们知道对于突变信号，傅里叶变换存在 吉布斯效应 ，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号。链接： (1) PSNR(峰值信噪比) PSNR: Peak Signal to Noise Ratio,一种全参考的图像质量评价指标。  其中，MSE表示当前图像X和参考图像Y的均方误差（Mean Square Error），H、W分别为图像的高度和宽度；n为每像素的比特数，一般取8，即像素灰阶数为256. PSNR的单位是dB，数值越大表示失真越小。PSNR是最普遍和使用最为广泛的一种图像客观评价指标，然而它是基于对应像素点间的误差，即基于误差敏感的图像质量评价。由于并未考虑到人眼的视觉特性（人眼对空间频率较低的对比差异敏感度较高，人眼对亮度对比差异的敏感度较色度高，人眼对一个区域的感知结果会受到其周围邻近区域的影响等），因而经常出现评价结果与人的主观感觉不一致的情况。 (2) SSIM(结构相似性) SSIM: structural similarity index, 是一种衡量两幅图像相似度的指标。它分别从亮度、对比度、结构三方面度量图像相似性。 结构相似性的范围为-1到1。当两张图像一模一样时，SSIM的值等于1。 其他指标：

你是数学专业的吗?

傅立叶（Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830） 法国数学家及物理学家。 最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方法。 傅立叶级数（三角级数）创始人。 法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡， 被当地教堂收养 。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员， 次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及 时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817年当选为科学院院 士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委 员会主席。 主要 贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导 出着名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示 ，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。 1822 年在代表作《热的分析理论》中解 决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响 。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方 程符号法则的证法和实根个数 的判别法等。 还有一个网址是 傅立叶是一个法国数学家，他的论文“传热理论的分析与研究”对数学物理学产生的了很大影响。依据他的研究，固体中的导热现象能通过无穷数学级数来表示，即以他的名字命名的傅立叶级数。他通过对典型导热现象的分析研究，打打促进了数学物理学的发展。这些研究也就是围绕许多自然现象，比如太阳黑子、潮汐、大气气候等，一直以来我们说的边界问题的求解。他的研究对这个理论的实际应用产生很大的影响，其中，现代数学就是其中的一个分支。 傅立叶是一个裁缝的儿子，早在他小学时就对数学产生浓厚的兴趣。后来他也曾在他的母校担任数学教师。法国革命的浪潮中，他投身于政治，从此以后，它的生活一直充满了冒险。1794年，法国école Normale 学校建立，他成为该学校第一批学生之一。次年，他在该学校任教，同年加入学校教授会，并成为数学家协会的一成员。 1798年，傅立叶和其他队员一起，陪同拿破仑远征埃及。1801年，他开始着手大范围研究埃及古迹，并在1798年拿破仑建立于Cairo研究所担任三年秘书，他在工程技术以及外交任务方面都提出许多意见。回国后，他被任命出版了大量的有关埃及的刊物。1809年拿破仑封他为男爵。1815年，拿破仑垮台，此后傅立叶在巴黎过了一段平静的学术研究生活。1817年，他被选为科学院院士，1822年，担任科学院常任秘书。 傅立叶于1807年开始他的学术论文写作，并提出求解偏微分方程的分离变量法和可以将解表示成一系列任意函数的概念。于1822年完成论文，发表了著名论著“热的解析理论”，这一著作奠定了导热的理论基础，描述导热的定律就是以他的名字命名的。他论文的研究结果标明：可以用一个偏微分方程来表示固体中的二维导热现象现在地问题是要找出一个特定的温度，比如，对于一个无限大的导热平板，如果在t＝0时刻给定了平板边界处的温度。这个问题可视为一个一维导热问题 傅立叶毕生都致力于导热现象的数学表示研究以及确定这些代数方程根的研究。傅立叶被公认为导热理论的奠基人。