wkb近似毕业论文

看你考哪个学校的。有些学校的量子力学考得浅一些，比如南开，有时候会出一些量子物理的内容，有些单位，比如中国科学院就考得比较难，经常会出一些高等量子力学或者统计物理和量子力学交叉的题。比如今年出的谐振子与角动量的耦合，就是一例。不过不管哪个单位的量子力学，始终是有一些共通的地方的，比如说，好一些的学校往往会从曾谨言，张永德等人的教材或者习题集中选一些题，而且试卷具有继承性，因此开始复习前一定要购买前五年的试卷以作参考，分析其考的重点与难点，针对复习和练习。就量子力学的基础内容而言，首先是数学物理方法的一些内容要求掌握，比如：三角函数积分化成复指数函数积分，exp(-ax^2)在0到无穷区间上的积分公式的导出，xexp(-a|x|)在负无穷到正无穷区间上的积分，归一化运算的定义及方法，球坐标系和柱坐标系里解微分方程，用分离变数法加边界条件求解微分方程，球谐函数的推导与前几个特殊球谐函数的表示，用级数法求解微分方程等傅立叶变换，Dirac符号和克朗内克符号推荐再掌握微分算子法求特解。然后是量子物理。比如：波粒二象性，光量子理论，黑体辐射导出，测不准原理，角动量量子化（波尔理论）再是量子力学基础，比如：态函数与量子态，态函数的叠加原理与线性定理矩阵的概念，算符的概念和用矩阵表示算符，薛定厄方程和能量算符，能量本征值，本征态，本征态在正交基上的展开，概率密度，概率流密度厄米算符，涨落，一维势阱（无限势阱，势阶，势垒）的推导及应用，及用分离变数法求含时变化与多维情况。动量表象和能量表象，表象变换含时演化。就可以进入正题了，又分几个部分：1。谐振子，这一部分有两大做法，一类是通过厄米多项式来做，是用级数法求解微分方程，可以仔细算一下，但是考试不推荐这样用。另一类是通过升降算符做，这种方法很好。这一部分主要内容有：谐振子的本征态和本征值，谐振子的矩阵元和跃迁，荷电谐振子的跃迁，谐振子升降算符，谐振子相干态2。对易子。这一部分很重要，是量子力学里最重要的内容之一，除了对易子运算，算符代数等内容之外，还要掌握埃伦费斯特定理，位力定理，费曼-黑尔曼定理的导出，应用，要掌握动量算符和能量算符的对易关系，位置算符和动量算符的对易关系，位置算符和能量算符的对易关系。3。中心力场，角动量，自旋。这一部分的内容其实是一样的，中心力场是用球谐函数（θφ表象）表示，角动量是用lm表象表示，自旋又是特殊的角动量。采用角动量，自旋理论就可以采用矩阵形式很方便的求解有心力场问题和跃迁问题，也可以方便微扰论的应用。中心力场则是球坐标系下微分方程的求解。这一部分的主要内容有：守恒量完全集的定义与应用，角动量的量子化及其在不同表象中的表达，角动量代数与微分表示，升降算符与角动量间的对易关系，自旋，泡利算符的一般表达与常用表达，自旋空间旋转，氢原子本征态与本征值，氢原子光谱，角动量耦合（L-s耦合与J-J耦合）磁矩，电磁作用下的粒子运动（这部分要求不高，一般只要求磁场作用下的自旋变化。该类问题又有四种解法，其中在薛定谔绘景下有两种解法，在海森堡绘景下有两种解法，但是结果是一样的）角动量和谐振子耦合，今年中科院的题出现了，以前没有出现过，属于热力学与统计物理和量子力学的交叉。4.全同粒子，对称性。由于这是高等量子力学的主要内容之一，因此考研这个部分要求应该不高吧，知道Bose子和Fermi子的定义，以及常见粒子哪些是玻色子，那些是费米子就可以了，如果不放心，找本教材再看看。5.计算方法。包含变分法，微扰法，准经典近似法。变分法一般只考Ritz变分法，背几个特例就行。微扰法分含时微扰和定态微扰，含时微扰求演化，定态微扰求能级。定态微扰是基础。非简并态微扰很简单，所有书上都有，简并态微扰就不那么简单了，一阶简并微扰用H'-λI=0求，二阶简并微扰要分类求，简并体系内的和非简并一样，简并体系外的则是把简并部分和非简并部分的二阶微扰的几个对应结果求和。含时微扰考得很少。WKB近似法考得少，要考的话可能和固体物理结合。微扰法不写成矩阵形式得时候要弄清楚用法，就是变成积分∫a*bd(x)。微扰法的应用：塞曼效应，Stern－Gerlach实验，Stark效应，势阱中有势垒，不对称势阱。6.散射理论：掌握波恩近似就可以了最后再推荐几本书：顾莱纳的 量子力学：导论皮莱阁的 全美经典量子力学程檀生的 现代量子力学喀兴林的 高等量子力学曾谨言的 量子力学卷一 量子力学习题精选与剖析张永德的 量子力学 物理学大题典量子力学卷宋鹤山的 量子力学典型题精讲周世勋的 量子力学教程注意，不要全部细看，按你的基础和需要选择合适的。不要现在去看什么路径积分，读研的时候再去看吧。 参考资料：[原创]未经本人许可，任何单位和个人不得转载-by scroa

薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。你去这个看看，里面有说明

薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程[1]，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。就好像牛顿定律在经典力学的地位，薛定谔方程在量子力学里占有中心的地位。 薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。 薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。 薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。 目录 [隐藏] 1 含时薛定谔方程 2 不含时薛定谔方程 3 历史背景与发展 4 含时薛定谔方程导引 启发式导引 假设 波函数以复值平面波来表达波函数 薛定谔的导引 5 特性 线性方程 证明 实值的本征态 么正性 证明 完备基底 6 相对论性薛定谔方程 7 解析方法 8 实例 自由粒子 一维谐振子 球对称位势 角部分解答 径向部分解答 9 参阅 10 参考文献 11 外部链接 [编辑] 含时薛定谔方程 虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 ；(1) 其中， 是质量， 是位置， 是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克常数， 是位势。 类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为 。(2) 假若，系统内有 个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达， 。 其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。 [编辑] 不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法，猜想 的函数形式为 ； 其中， 是分离常数， 是对应于 的函数．稍回儿，我们会察觉 就是能量． 代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程： 。 类似地，方程 (2) 变为 。 [编辑] 历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为一种粒子，称为光子；也就是说，光波具有波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比；也就是说，光波具有波粒二象性。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维孙和 Lester Germer 将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，探测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库伦位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了 的行为，但并没有解释 的意义。薛定谔曾尝试解释 代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了 的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数塌缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。 [编辑] 含时薛定谔方程导引 [编辑] 启发式导引 含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设： [编辑] 假设 (1) 一个粒子的总能量 可以经典地表达为动能 与势能 的和： ； 其中， 是动量， 是质量。 特别注意，能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。 (2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 与对应的电磁波的频率 成对比： 其中， 是普朗克常数， 是角频率。 (3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数 来表达。粒子的动量 与伴随的波函数的波长 有关： ； 其中， 是波数。 用矢量表达， 。 [编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数 1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示： 。 他想到 ， 因此 。 并且相同地由于 ， 故 。 因此得到 。 再由经典力学的公式，一个粒子的总能为 ，质量为 ，在势能 处移动： 。 薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程： 。 [编辑] 薛定谔的导引 思考一个粒子，运动于一个保守的位势 。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程 ； 其中， 是哈密顿主函数。 由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分： ； 其中，不相依于时间的函数 是哈密顿特征函数， 是能量。 代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到 ； 哈密顿主函数随时间的全导数是 。 思考哈密顿主函数 的一个常数的等值曲面 。这常数的等值曲面 在空间移动的方程为 。 所以，在设定等值曲面的正负面后， 朝着法线方向移动的速度 是 。 这速度 是相速度，而不是粒子的移动速度 ： 。 我们可以想像 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与 成比例的波函数： ； 其中， 是常数， 是相依于位置的系数函数。 代入 的方程， 。 注意到 的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论 ；其中， 是约化普朗克常数， 是角频率。设定 ，粒子的波函数 变为 ； 其中， 。 代入波动方程， 。 经过一番运算，得到 。 注意到 。稍加编排，可以导引出薛定谔方程： 。 [编辑] 特性 [编辑] 线性方程 主条目：态叠加原理 薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若 与 是某薛定谔方程的解。设定 ， 其中， 与 是任何常数。 则 也是一个解。 [编辑] 证明 根据不含时薛定谔方程 (1) ， ， 。 线性组合这两个方程的解， 。 所以， 也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。 类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。 [编辑] 实值的本征态 不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。假若两个波函数 与 都是某不含时薛定谔方程的，能量为 的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为 的解答。 。 对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数 是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数 也是这薛定谔方程的解答。所以， 的实值部分或虚值部分，都分别是解答。我们只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。 转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的解答 。其替代波函数是另外一个解答： 。 这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。 [编辑] 么正性 在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为么正性。薛定谔方程能够自动地维持么正性。用波函数表达， 。(3) 为了满足这特性，必须将波函数归一化。假若，某一个薛定谔方程的波函数 尚未归一化。由于薛定谔方程为线性方程， 与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。设定 ；其中， 是归一常数，使得 。 这样，新波函数 还是这个薛定谔方程的解答，而且， 已经被归一化了。在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数 相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足么正性。所以，薛定谔方程能够自动地维持么正性。 [编辑] 证明 总概率随时间的微分表达为 。(4) 思考含时薛定谔方程， 。 其复共轭是 。 所以， 代入方程 (4) ， 在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。所以， 。 薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。 [编辑] 完备基底 能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。 [编辑] 相对论性薛定谔方程 主条目：相对论量子力学 薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式， ； 其中， 是光速， 是静止质量。 直接地用这关系式来推广薛定谔方程： 。 或者，稍加编排， ； 其中， ， 是达朗贝尔算符。 这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶方程。所以，不能成为波函数的方程。并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守 ； 其中， 是角频率，可以是正值或负值。 对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。 保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-½粒子量子态的波函数方程： ， 其中，是自旋-½ 粒子的质量， 与 分别是空间和时间的坐标。 狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。 假若，一个粒子被局限于一个长度为 的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性 。假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为 。当盒子的长度 等于康普顿波长 时，能量的不确定性等于粒子的质能 。当盒子的长度 小于康普顿波长时，我们无法确定盒子内只有一个粒子。因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。 [编辑] 解析方法 一般来说，解析薛定谔方程会用到下述这些方法： 量子微扰理论 (perturbation theory (quantum mechanics)) 。 变分原理 (variational principle) 。 量子蒙特·卡罗方法 (Quantum Monte Carlo methods) 。 密度泛函理论。 WKB 近似 (WKB approximation) 与半经典扩展。 对于某些特殊的状况，可以使用特别方法： 有解析解量子系统列表 (List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。 哈特里-福克方法与越哈特里-福克方法。 离散 delta 位势方法 ({{|lang|en|Discrete delta-potential method}}) 。 [编辑] 实例 [编辑] 自由粒子 主条目：自由粒子 当位势为 0 时，薛定谔方程为 。 解答是一个平面波： ， 其中， 是波矢量， 是角频率。 代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系： 。 由于粒子存在的概率必须等于 1 ，波函数 必须先归一化，然后才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。 在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。： ； 其中，积分的区域是所有的 -空间。 为了简化计算，只思考一维空间， ； 其中，因子 是由傅立叶转换的常规而设定，振幅 是线性叠加的系数函数。 逆反过来，系数函数可以表达为 ； 其中， 是波函数在时间 的函数形式。 所以，知道波函数在时间 的形式 ，借由傅立叶转换，我们可以推演出波函数在任何时间的形式 。 [编辑] 一维谐振子 主条目：量子谐振子 能量最低的八个束缚本征态的波函数表征 (） 。横轴表示位置 。此图未经归一化。在一维谐振子问题中，一个质量为 的粒子，受到一位势 。此粒子的哈密顿算符 为 ； 其中， 为位置。 为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须找到本征能量薛定谔方程： 。 我们可以在座标基底下解这个微分方程，用到幂级数方法。可以见到有一族的解： 。 最先八个解（n = 0到5）展示在右图。函数为厄米多项式 (Hermite polynomials) ： 。 相应的能阶为 。 值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有离散的值，即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。再者，可有的最低能量（当n = 0）不为零，而是 ，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”，且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。 [编辑] 球对称位势 主条目：球对称位势 一个单粒子运动于球对称位势的量子系统，可以用薛定谔方程表达为 ； 其中， 是普朗克常数， 是粒子的质量， 是粒子的波函数， 是位势， 是径向距离， 是能量。 采用球坐标 ，将拉普拉斯算子 展开： 。 满足薛定谔方程的本征函数 的形式为： ， 其中， ， ， ，都是函数。 与 时常会合并为一个函数，称为球谐函数， 。这样，本征函数 的形式变为： 。 [编辑] 角部分解答 相依于天顶角 和方位角 的球谐函数 ，满足角部分方程 ； 其中，非负整数 是角动量的角量子数。 （满足 ）是角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的 与 给予不同的球谐函数解答 ： ； 其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程定义为 ； 而 是 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为 。 [编辑] 径向部分解答 将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程： 。 设定函数 。代入方程。经过一番繁杂的运算，可以得到 。 径向方程变为 ； 其中，有效位势 。 这正是函数为 ，有效位势为 的薛定谔方程。径向距离 的定义域是从 到 。新加入有效位势的项目，称为离心位势。为了要更进一步解析，我们必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。 [编辑] 参阅

你好，薛定谔方程是从自由粒子的波函数（复数形式）服从的方程猜想出来的，请参阅《量子力学导读》（浙江大学出版社）薛定谔方程是用算符化方法建立起来的,当然不是数学的逻辑地推导出来的,但只要找到合适的数学工具,不仅薛定谔方程可以推导出来,而且可以推导出单粒子体系和双粒子体系的相对论波动方程,当然这方面的研究成果尚未有人发表.我对量子论与狭义相对论的结合问题很有兴趣,事实上,在德布罗意那里量子论跟狭义相对论是触合的,德布罗意公式就是二者结合的产物.狭义相对论跟量子论的分离是从薛定谔那里开始的,克莱因和戈登沿着薛定谔的道路走下去,并试图纠正薛定谔对相对论的偏离,建立了相对论的克莱因-戈登方程,虽然此方程是有用的,但由于存在负几率困难,他们的工作没有成功.狄拉克继续沿此方向前进,他吸取了克莱因和戈登失败的教训,建立了著名的狄拉克方程,此方程竟然导出了电子的自旋,可惜只适用于单粒子体系.当他试图建立双粒子体系的相对论波动方程时,遇到很大困难,于是另擗途径,走量子场论的道路,在费曼等人的努力下,量子电动力学获得极大的成功.虽然量子场论的一般理论一度受到怀疑,由于杨-米耳斯场的引进,以及很多人的努力,弱电统一理论成功建立,使量子场论的成功达到了顶点.最近又有报到称量子场论的量子色动力学也取得了重大进展.因此,狭义相对论与量子论在量子场论中结合得如此成功,很自然使人们觉得在量子力学的框架内不可能使狭义相对论与量子论结合起来.但既然沿着薛定谔的道路即算苻化方法能建立起狄拉克方程,为什么就不能进一步沿此方向建立起双粒子体系的相对论波动方程呢?只要找到合适的数学工具并进行概念上的突破,就一定能实现这个目标.总之,量子论与狭义相对论一点都不矛盾,不仅在德布罗意那里,在狄拉克那里,在量子场论那里结合得很好,在量子力学的框架内也一定能结合起来,只要我们找到合适的数学工具.在我发表这个贴子的时侯,这样的数学工具其实我早已找到,并且已经建立了双粒子体系的相对论波动方程

你必须先学好数学物理方法这门课程，再对原子物理学有理论认识，这样量子力学才能有所理解！但您本不是物理系学生，建议你先学习一下周世勋《量子力学教程》，再学习曾谨言的《量子力学引论》效果会更好！要下一定的功夫啊。好运！

关于半导体三极管噪声分析的探究光电系 邬智翔摘要：本文主要探讨了两种主要三极管噪声的来源，通过对它们的机理的具体分析，讨论了三级管噪声系数的频率特性，对频率特性的影响因素及对实际工作参数的选择给出了较为详细的解答。正文：基于课本163页给出的三极管噪声系数的频率特性以及对于低噪声工作频率的选择的内容，我们很感兴趣并且想对于其具体的技术进行了解，于是查阅了相关文献，对三极管的噪声源和噪声模型有了一些进一步的认识。一、晶体管的噪声源通常人们把晶体管内常见噪声分成电阻热噪声，散弹噪声，分配噪声和闪烁噪声（1/f）。注意到电阻热噪声和散弹噪声均为白噪声。分配噪声与f二次方成正比，闪烁噪声近似与1/f成正比。因此分配噪声和闪烁噪声决定了三极管的合适工作频率。1、分配噪声 分配噪声产生的原因是由于基区载流子的复合率有起伏，使得集电极电流和基极电流的分配有起伏，从而使集电极电流有起伏（文献【2】）。文献【2】中提到，分配噪声可用集电极电流的均方值表示，即式中，是三极管集电极静态电流，是低频时共基极电流放大系数，是高频时共基极电流放大系数，其值为式中为共基极晶体管截止频率；f为晶体管工作频率。上式即表明，晶体管的分配噪声不是白噪声，它的功率密度谱随工作频率而变化，频率越高噪声越大。【2】中给出的噪声系数表达式如下：式中Rs是信号源内阻，是晶体管的截止频率，是低频时电流放大系数。文献【2】指出，在的频域内，噪声系数随频率升高以接近60dB/十倍频的变化规律增大，这时分配噪声起了主要的作用。2、1/f噪声1/f噪声产生的具体原因现在还没有很确切的解说。文献【1】给出了这些方面的解释。（1）由在晶体管制造过程中有表面损伤，原子价键的不饱和以及与环境气氛的接触、污染等原因，在表面会形成所谓界面态（快态）。一般界面态密度为1010-1011cm-2。随着晶体管周围气氛的变化和外加电场的影响，被电子所占据的界面态数将有无规则的起伏，这就引起表面和体内电导受到无规则的调制，从而产生噪声。（2）由于晶格缺陷，起复合中心作用的杂质在结中缺陷处的沉积以及沟道的存在，都会使p-n结漏电流增大，从而使1/f噪声增大。二、共基极高频噪声系数的推导上面的文献内容让我们对分配噪声有了一个初步的认识。但是分配噪声产生的具体机理，以及决定噪声频率的具体因素，并没有很好的涉及。鉴于此，我们查阅了更古老的文献，《晶体管原理与设计》【1】，1984年。从中可以找到对分配噪声模型的具体分析和求解。1、高频噪声等效电路及模型文献【1】给出的高频噪声等效电路的基本形式如下：图中为热噪声；为发射结散粒噪声；为集电结散粒噪声；经计算，上述等效模型中发射结和集电结散粒噪声之间相关系数较大，因此在计算噪声系数时会有困难。将电路转换成下面这种形式可减弱这种相关。转换过程中将发射结噪声电流源用发射结噪声电压源替代，集电结噪声电流源也进行了下列的修改：对均方值进行计算得其中为共基极直流电流放大系数，为共基极短路电流放大系数及其截止频率。【1】中给出的表达式为，。简明起见，其他参数不再做具体说明。注意到，该表达式中有频率相关项，后面会看到，这是影响高频噪声功率的主要原因之一。2、噪声系数当与不相关时，经推导可得到上述模型的噪声系数（也称共基极高频噪声系数）表达式如下：该公式用到了的一级近似一般来说上式在频率低于500MHz时才正确，频率较高时则与实际结果相比偏高。从实际的角度考虑，上述公式可写成如下形式：这里，至此，晶体管的高频噪声特性已经初见端倪。截止频率fCH决定了我们实际使用时对高频噪声段的选择。这里截止频率fCH是用很重要的功率上的意义的，原因在于它是噪声为白噪声两倍时的频率，也就是说噪声系数较白噪声高3dB时的频率。fCH的完整表达时较复杂，不便分析计算，作工程估计时，略去的影响，可近似认为，实际使用中，一般工作频率不应大于fCH，故为了提高工作频率，可以提高fCH。根据上式，在晶体管设计时，提高fCH的最有效途径是提高共基极截止频率。三、1/f噪声的初步分析上述的讨论中，针对的噪声因素主要集中在高频工作段，主要由分配噪声决定实际的噪声功率。当频率较低时，上述模型就会存在局限性。经研究表明，在实际使用中，低频段三极管噪声的主要来源是闪烁噪声，由于它近似于频率的倒数成正比，因此也被称为1/f噪声。1、1/f噪声模型多晶硅导电材料的1 / f噪声模型及其产生机制的研究一直存在争议。De graaff和Luo等人基于迁移率涨落机制认为，多晶硅导电材料中的1 / f噪声产生于耗尽区，是由晶格散射造成的；Armin和Ralf等人基于载流子数涨落机制认为，1 / f噪声是由晶界附近大量悬挂键、缺陷态俘获和发射载流子引起的（与文献【1】的解释相同）。而文献【5】认为，载流子在多晶硅导电材料内输运过程中既会通过耗尽区，也会通过晶界区，引起电流噪声的迁移率涨落和载流子数涨落两种机制应该同时存在。以下分别对两种模型作简要介绍。（1）迁移率涨落模型1982年, H C de Graaff和M TM Huybers首次测量了多晶硅电阻中的1 / f噪声。他们认为多晶硅材料是由晶粒体区和大的耗尽势垒区组成，可以看作是由一系列晶粒体电阻RC 和大的势垒电阻RSCR串联起来的，de Graff等人结合胡格公式和肖特基势垒Kleinpenning噪声模型建立了多晶硅材料的1 / f噪声模型，并认为噪声主要产生于耗尽区，晶界没有贡献且与杂质和工艺无关。这与多晶硅的实际传导机理不符，所建立的1 / f噪声模型是不准确的。Min - Yih Luo等人认同晶粒耗尽区产生的1 / f噪声起主导作用，并引入权函数考虑晶界耗尽区产生的噪声，解释了肖特基势垒模型不能解释的1 / f噪声与偏置的关系。具体的公式推导可以参考文献【5】。（2）载流子数涨落模型基于载流子数涨落机制的1 / f噪声模型的研究者认为，多晶硅内部是由中性区、耗尽区和势垒区组成。晶粒间晶界是1～2 nm的准非晶硅层，具有大约116 eV的能带。1988年，Madenach等人根据实验结果首次提出多晶硅中噪声来源于晶界俘获载流子引起的势垒涨落，得到了1 / f噪声模型，这是典型的载流子数涨落噪声模型。1998年, Ralf等人也基于多晶硅电阻的载流子数涨落机制建立1 / f噪声模型。文献【6】是Ralf关于此项研究发表的论文。下面是引自文献【6】的原文，笔者对其进行了翻译。在晶界处有大量的陷阱，根据他们相对于费米能级的能级位置，这些陷阱可以俘获和发射载流子。如果局部费米能级在陷阱能级和导带（或价带）能级的中间，那么这种现象就会非常的明显。每一次俘获和发射运动都会改变局部势垒的高度和周围空间电荷的区域。自由载流子对电流的贡献同样会受到这种运动的影响。由于俘获和发射运动的随机性，这就造成了电阻阻值的随机涨落。单位能量内被占据的陷阱数量的归一化涨落由下式给出，（）第一项是陷阱数量对能量的微分，第二项是在占据态或者非占据态发现陷阱的概率（态被占据的概率满足费米函数），第三项是陷阱的占据态的概率随时间指数衰减（这是通过将该衰减转换到频域得到的洛伦兹函数），最后一项是相对位置（a可看成单位长度）。这里引入的时间常数τ( x, E)是电荷隧穿进入或离开能量势垒附近陷阱态的概率, 它可以通过WKB近似计算得到。它的表达式为，单个晶界引起的电流噪声涨落可以由变换被占据的陷阱数量的归一化涨落成电流涨落得到，（）其中，穿越晶界的电流密度对陷阱数量的微分为，（）被占据的陷阱的数量变化不仅改变了自由载流子的数量，也由于影响了势垒的高度从而改变了电流。对全部可能的陷阱能量的位置进行积分（对积分），得到在单一晶界处的单位频率带宽的总噪声电流密度，（）上述积分可以得到下面的结果，（）其中用到了一个三角函数的近似。为了得到电阻总噪声，需要把单一晶界处的噪声变换到一个复合晶界的系统。一个很好的近似就是假设所有单一晶界的噪声都是统计独立的，当所有陷阱具有相同的体积时，存在下列的关系，（）其中W，L，H是电阻的宽、长和高。Sv就是单位频率的噪声电压。至此，该文献的主体推导已经完成。该推导结果表明，噪声电流均方值与流过元件电流的平方成正比，与电子面积和高度成反比，与工作频率成反比。注意到下划线的两点与书本的公式和文献【3】的模型公式吻合。为了对公式中各个参数有所了解，下表给出了一些参数的物理意义。符号 物理意义 单个晶界的电流密度 晶界宽度 晶界处的掺杂浓度 晶界处的陷阱密度 晶界的势能 噪声电压、电流谱密度（单位：V2，A2） 平均晶格尺度 单位晶界陷阱密度的的涨落谱密度 电流密度涨落谱密度 穿越单个晶格的电流密度 空间电荷区域的势能对于课程上同学提出的如何具体确定实际中噪声对频率的依赖关系，从这篇文献的角度来看，上述公式中有许多微观的物理量，似乎无从获得具体数值。但该文献的最后一部分确实是给出了对于某一种情况下理论的值和实际测量值的结果。这说明上述公式的值都是可以通过某些更加深入的方法确定的。在这里就不详细展开了。下面介绍一种简易的模型和解决方法。2、1/f噪声的一种测量方法 根据对噪声机理的研究并已得到充分承认的结果，三极管的1/f噪声可用下式表达。（文献来源:”Low noise electronic design”, & 1973）式中，噪声转折频率和噪声指数是1/f噪声中非常重要的参数，如果可以通过实验测量出参数的具体值，那么三极管低频噪声功率就可以由上式确定。文献【3】给出了测量和的一种方法和理论的分析。建立适当的三极管噪声模型，可以得到全频段等效输入噪声功率谱为各参数的具体意义这里不再详述。在中低频区，有如果能测得两个不同基极电流值和情况下的中、低频等效输入噪声电压谱，则有，，当，当设，，则有上述两式可以解得，或由此可见，只需测得、和就可以得到和。文献【3】中给出了一种通过加权最小二乘曲线拟合的方法获得A和B。该方法通过对不同频率点的噪声谱值进行测量，然后再使用函数拟合得到。具体的方法这里不再详述。文献【3】中还对一个具体的器件3DX7晶体管进行了实验的测量，得到了下列的结果：，总结：通过对文献的查阅，我们由表及里，追本溯源，从近期的文献，简单的模型表述，搜寻其相关的原始参考文献，一步一步的深入，进而对三极管的两种噪声模型有了一个较为深入的认识。这样的过程是愉快的，得到的结果也是富有启发和对噪声深入的理解大有裨益的。这是一个从发现问题，到分析问题，最终到解决问题的过程。在这个问题的解决过程中，我们应该注意到科研工作者在面对实际问题时，掌握正确的建模方法以及以此来解决问题的重要性。上述的分析，都是以模型为基础的，其中对分配噪声的分析用到的是较为经典的三极管模型，而对1/f噪声的分析由于学界仍有争论，因此给出的模型也仅仅是一种思考的方向。还记得一位学长曾在一次经验分享会上说过，工科的过程，其实就是一个建模的过程。我想，通过这次探究性学习，我们对这种过程有了进一步的认识。正如这次探究性学习仍然还有不完善的地方一样，在工科学习的这个道路上，我们要走的仍然还有很长很长。附录一：参考文献1、晶体管原理与设计，成都电讯工程学院出版社，陈星粥，唐茂成2、通信电子电路，电子工业出版社，于洪珍3、双极晶体管1/f噪声参数的测量提取，电子学报1993年11期，罗涛，戴逸松4、微型无线定位电子白板中的低噪声电路设计与实现，吉林大学硕士学位论文，尹万宇5、多晶硅导电材料的1 / f噪声模型研究，电子科技，2009年11期，张天福，杜磊等6、Low frequency Noise of Integrated Poly silicon Resistors [J]. IEEE Transactions on Electron Devices, 2001, 48 (6) : 1180 - 1187. Ralf Brederlow, Werner.附录二：一篇08年的新闻——石墨烯晶体管: 摩尔定律的延寿者2008年4月，权威的美国《科学》杂志发布，英国曼切斯特大学科学家开发出世界最小的晶体管。有业内人士认为，摩尔定律也许能借此延续下去。众所周知，根据半导体业著名的摩尔定律，芯片的集成度每18个月至2年提高一倍，即加工线宽缩小一半。人们普遍认为，这一定律还能延续10年。提出该定律的摩尔本人也曾公开表示，10年之后，摩尔定律将很难继续有效，因为采用目前的工艺和硅基半导体材料来延长摩尔定律寿命的发展道路已逐渐接近终点。￥百度文库VIP限时优惠现在开通,立享6亿+VIP内容立即获取关于半导体三极管噪声分析的探究关于半导体三极管噪声分析的探究光电系 邬智翔摘要：本文主要探讨了两种主要三极管噪声的来源，通过对它们的机理的具体分析，讨论了三级管噪声系数的频率特性，对频率特性的影响因素及对实际工作参数的选择给出了较为详细的解答。正文：基于课本163页给出的三极管噪声系数的频率特性以及对于低噪声工作频率的选择的内容，我们很感兴趣并且想对于其具体的技术进行了解，于是查阅了相关文献，对三极管的噪声源和噪声模型有了一些进一步的认识。第 1 页一、晶体管的噪声源通常人们把晶体管内常见噪声分成电阻热噪声，散弹噪声，分配噪声和闪烁噪声（1/f）。注意到电阻热噪声和散弹噪声均为白噪声。分配噪声与f二次方成正比，闪烁噪声近似与1/f成正比。因此分配噪声和闪烁噪声决定了三极管的合适工作频率。1、分配噪声 分配噪声产生的原因是由于基区载流子的复合率有起伏，使得集电极电流和基极电流的分配有起伏，从而使集电极电流有起伏（文献【2】）。第 2 页文献【2】中提到，分配噪声可用集电极电流的均方值表示，即式中，是三极管集电极静态电流，是低频时共基极电流放大系数，是高频时共基极电流放大系数，其值为式中为共基极晶体管截止频率；f为晶体管工作频率。上式即表明，晶体管的分配噪声不是白噪声，它的功率密度谱随工作频率而变化，频率越高噪声越大。第 3 页【2】中给出的噪声系数表达式如下：式中Rs是信号源内阻，是晶体管的截止频率，是低频时电流放大系数。文献【2】指出，在的频域内，噪声系数随频率升高以接近60dB/十倍频的变化规律增大，这时分配噪声起了主要的作用。2、1/f噪声1/f噪声产生的具体原因现在还没有很确切的解说。文献【1】给出了这些方面的解释。第 4 页（1）由在晶体管制造过程中有表面损伤，原子价键的不饱和以及与环境气氛的接触、污染等原因，在表面会形成所谓界面态（快态）。一般界面态密度为1010-1011cm-2。随着晶体管周围气氛的变化和外加电场的影响，被电子所占据的界面态数将有无规则的起伏，这就引起表面和体内电导受到无规则的调制，从而产生噪声。（2）由于晶格缺陷，起复合中心作用的杂质在结中缺陷处的沉积以及沟道的存在，都会使p-n结漏电流增大，从而使1/f噪声增大。