门槛面板模型毕业论文

本文为经典文献阅读系列。我会把一些经典 paper 的数学部分非常详细地推一遍，对于需要引用其他文章才能证明的坑，会在文末给出寻找的索引。

对于文本，非引用的地方一般是作者在 paper 中给出的公式，

希望大家批评指正！

对面板门槛模型： 也可以写成： 其实还可以写成： 其中：

要使用面板门槛模型，最关键的地方在于两个检验：

检验门槛效应是否显著的检验，即检验原假设： 这个原假设可以使用 统计量： 来检验，其中：

统计量并不服从任何标准的分布，==Hansen（1996）==证明了 Bootstrap 程序得到其一阶渐进分布，以此得到的 -value 也可以用于进行统计推断。

在门槛效应显著的情形下，我们要进行的下一步检验是： 其中， 是真实的门槛值。这个假设可以用 统计量检验： 本文证明了，在一定的假设条件下，如果原假设成立，那么： 其中， 时， 服从分布函数： 于是反分布函数为： 所以可以设置各置信水平的上分位值，比如：10% 的置信水平对应的分位值为；而 5% 的分位值是；最后，1% 的分位值时 。那么如果 的值超过了 ，那么我们就可以在 的置信水平上拒绝原假设 。

所以最难的地方在于如何找到 的理论分布 ，下面的数学推导摘录自文章的 Appendix。

对面板门槛模型： 也可以写成： 其实还可以写成： 其中：

令 表示模型中 的真实取值。并定义：

假设：

其中，假设 . 是固定效应面板模型和严格外生变量的基本假设。假设 6. 排除了在回归变量的边际分布和回归函数中同时出现的阈值效应。假设 7. 排除了连续化门槛模型，并要求门槛变量 在 处是连续且正的分布的。假设 8. 排除了对任意 ， 的情况

最值得玩味的假设是 5. ，它假设 时， 这个假设减少样本中与门槛值值有关的信息，从而减慢阈值估计的收敛速度。 由于可以将 降至零的速率设置得很低（通过参数 的调节），因此不必将此假设视为限制性很强。 但是，这确实表明，相对于 大的情况，当 小时，渐近逼近更有可能提供良好的性质。

让 表示关于统一度量的弱收敛，记 。于是：

定理 在 下，对随机变量 ，有： 其中：

证明 令： 当 时，门槛模型成立。对任何 ，回归模型可以被写成：

公式 给出了当 时回归的精确误差（比正确的模型多了一个 的误差修正项）。由于组内估计量的转换是线性的，所以对公式 也同样适用，于是我们有：

此模型才是当 时应该使用的回归方程。Hasen（1999）表示， 的渐进分布并不受 的影响，这个结论在这里也成立（这是因为，门槛的存在与系数是独立的）。于是对一个固定的 来说，回归残差是：

有了公式 ，我们于是可以计算，对两个给定不同门槛值 和 ，模型的 MSE 之差为： 现在我们拥有了 的表达式，后面的目标是找到它服从什么分布。

现在我们证明，对于 ，当 ，对 （" uniformly over "），公式 的左项有： 我们会证明在 的情况下，公式 成立。== Hansen（1999）的定理 ==证明，它的充分条件是对于 ，公式 成立：

把公式 的平方展开，有：