介绍狄拉克函数的毕业论文

1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。

Δ 函数的定义

我们知道，一般函数的定义是对于自变量x的每一个值，都有特定函数值f（x）与之对应，f（x）称为在点x处的函数值。然而，这里我们要讨论的δ函数不是这种通常意义下的函数，因为它没有通常意义下的“函数值”；它的运算作用只有出现在积分号里才能体现出来，它是某种复杂极限过程的简化符号，是广义函数的一种。

所谓狄拉克δ函数是这样一个算符δ（x），它使得对任何在x=0点连续的函数f（x），有下式成立：

地球物理数据处理教程

为理解δ（x），对h＞0引进如下函数序列

地球物理数据处理教程

由积分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜ ，使得有

地球物理数据处理教程

于是得到：

地球物理数据处理教程

由此可以直观地知道，由严格的理论也可以证明，δ（x）是δh（x）在某种意义下的极限。因为

地球物理数据处理教程

故可将δ（x）粗糙地理解为满足

地球物理数据处理教程

及

地球物理数据处理教程

的一个较通常函数意义更广的“函数”，（）式是（）式令f≡1而得到的。

物理上常用δ函数来描述集中分布的量，如集中质量、集中电荷等，设在x轴上有一单位质量集中在原点，用δ（x）表示密度分布函数，则在x≠0时，δ（x）=0。如果取δ（x）=C为有限常数，δ（x）便是一个通常意义下的分段连续函数，按照一般的积分计算有

δ（x）dx=0，即总质量为零，这与假设直线上具有单位质量相矛盾。故不能取δ（0）等于有限常数。事实上，若在x轴上取Δl为包含原点的区间段，ΔM为该段总的质量，则密度应为：

地球物理数据处理教程

由此可见，这里引入δ函数恰好描述了集中质量问题。在电法勘探问题中，δ函数就恰好描述点源的电荷（或电流）密度。

上面我们定义了一维且奇点在x=0处的δ函数，对n维且奇点在任意点（ 、 ，…， ）的δ函数可类似地定义，即它是这样一个算符δ（x1- ）δ（x2- ）…δ（xn- ），使得对任何在点（ ， ，…， ）连续的函数f（x1，x2，…，xn），有

地球物理数据处理教程

成立，特别当取n=1，x1=x， =0时，则得到（）式。实际上n维δ函数可写成n个一维δ函数的乘积的形式。同样它还应满足：

地球物理数据处理教程

及

地球物理数据处理教程

本书中只涉及二维或三维的δ函数。

对于一个有限的研究域，关于δ函数，我们还能给出下面常用结果，例如以二维情况为例：

地球物理数据处理教程

式中D为一个二维区域，f（x1，x2）在（ ， ）处连续，在第二个等式中，要求D的边界Γ在奇点（ ， ）附近是光滑的，特殊情况，当f=1时，可得：

地球物理数据处理教程

现在给出（）式的一个直观证明，当x0=（ ， ）在D外，由（）式知δ在D及其边界上恒为零，这时（）式左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零，当x0在D内时，这时δ在D的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故

地球物理数据处理教程

图 D∩B的二维几何表示

从而由（）式可知（）式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界Γ的情况，令B（x0，ε）是以x0为圆心、ε为半径的开圆（在一维情况是开区间，三维情况下是不含球面的球体，n维情况下为n维开球），注意到δ在B（x0，ε）的外部和边界上为零，知

地球物理数据处理教程

式中D∩B表示D域和B圆重合的部分，即图中阴影部分，另外有

地球物理数据处理教程

因为Γ在x0附近光滑，故当ε趋于零时，D∩B域趋于半圆，这样，由以上两式有

地球物理数据处理教程

这便是（）式中的第二等式。

Δ 函数的性质及其傅氏变换

对于一维情况，给出δ函数的一些常用性质及其傅氏变换，均设f（x）在奇点处连续。由（）式有

地球物理数据处理教程

另外，设α1、α2为常数，δ函数对加法运算是线性的。

地球物理数据处理教程

对于任何在x0处连续的函数f（x），有

地球物理数据处理教程

上式称为δ函数的筛选性质。由于

地球物理数据处理教程

可知

地球物理数据处理教程

由于

地球物理数据处理教程

故有

δ（x）f（x）=δ（x）f（0） （）

或同样

δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0） （）

如果（）式中取f（x）=x，得

xδ（x）=0 （）

若取f（x）在区间（-∞，α）（α为正数）外等于零，那么f（0）=0，于是

地球物理数据处理教程

由此推知

δ（x）=0 x ＜ 0 （）

同理可得

δ（x）=0 x＞0 （）

这便是（）式的由来。

两个δ函数的褶积由下式确定。

地球物理数据处理教程

于是

地球物理数据处理教程

下面我们给出δ函数的傅氏变换，根据δ函数的定义（）式有

地球物理数据处理教程

反过来，数学上可以证明

地球物理数据处理教程

即是说δ（x）与1组成傅氏变换对，由（）式设f（x）=cosωx，可得δ的余弦变换为

地球物理数据处理教程

有时也说单位脉冲函数。通常用δ表示。在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。严格来说狄拉克δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。