数学分析教学中“问题链”设计原则

　　1问题：数学教学的核

　　问题是指某个给定过程，对对象认识的当前状态与智能主体（包括人与机器）所要求的目标状态之间差距或矛盾的主观反映，是认知领域的一个范畴。数学起源于解决实际生活中的应用问题，而层出不穷的问题推动数学发展，所以问题是数学的心脏，这已经成为人们对数学本质的深刻认识。在数学教学过程中，教师围绕着“提出问题、研究问题、求解问题”而进行，衡量数学学习效果也是通过解决数学问题的水平来评价的，因此问题也就成为数学教学的核心。问题的本质是认识主体从未知到已知的过渡形式或中介环节，是已知与未知的统一体；问题的功能是有助于知识的了解与掌握、理解与应用、调节与评价、教育与发展。由此可见，问题是引导研究的，寻找与发现问题是获得数学发现（特指发现已有真命题）和数学思维发展的基本方法之一。

　　2“问题链”：数学知识的表现形式

　　“问题链”是指面对数学问题，不断探索发展规律、寻找新的联系、论证其真实性，找到具有内在联系的若干问题的组合。对数学学习者而言，数学知识的内部结构是一个纵横交错的“问题链”结构，如由罗尔定理到拉格朗日中值定理，到柯西中值定理，再到泰勒中值定理，由牛顿一莱布尼兹公式到格林公式，到魏尔斯特拉斯公式，再到高斯公式，均是数学分析中典型的“问题链”的知识结构。

　　对于目前高校大规模招生的现状，高师数学专业（特别是专科专业）学生的数学基础知识相对比较薄弱，而数学分析课程从知识内容、逻辑体系、系统构造等方向都非常抽象、严密，如果教师仅仅开展“因为……,所以……”的命题结构进行解决，学生就难以接受教师传递的信息，也无法使“知识逻辑”与“认知逻辑”之间引发内部的矛盾冲突，造成原有数学知识结构与新的数学知识不能很好地融合在一起。所以，我们必须要对问题（命题）进行拆解，寻求它与横向或纵向知识有联系的若干问题，形成一条“问题链”，促进学生对新知识形成有完整的认识，提高数学思维能力。

　　3“问题链”的设计原则

　　数学分析中“问题链”设计的好坏直接影响初学者知识结构的形成、思维能力的提高、发现问题的意识、创新意识的培养及身心健康的发展。下面所涉及到的问题都是结合数学分析教学实践中的若干案例，但是由于本文没有对它展开证明，而是分析问题链的设计原则着手研究的，从而仍然将它们看成问题。

　　3.1数学化原则

　　数学化由现实问题到数学问题，由具体问题到抽象概念的认识活动，是人类发现活动在数学领域里的具体表现12。极限理论是数学分析课程的基础，以研究无穷思维为依据的，运用无限过程的运算解决了实践中提出的诸多现实问题，以至于它的每一个概念的产生都有其现实背景。由此可见，面对数学分析中的概念、应用等问题，“问题链”的设计必须符合数学化原则，提高学生的数学素养，掌握渗透于基础知识的数学思维方法，并解决实际问题。

　　例1:关于定积分概念的理解。

　　问题（1):如何求j=X2(1会)、x轴以及x=1与x=3所围面积的近似值?

　　问题（2)求将区间[1，3]作n等分，则曲边梯形面积的近似值如何求解?

　　问题（3):求在区间[1，3]内任意插入n一1个分点，则曲边梯形面积的近似值为多少？

　　问题（4):说出求曲边梯形面积数学化的实质，并解释定积分概念的定义。

　　3.2可行性原则

　　学生是数学学习活动中的认知主体，知识只有在它与认知主体在建构活动中的行为相冲突或者相顺应时才被建构起来的131。由于学生的认知系统是不完全相同的，在设计“问题链”时，教师必须研究学生的知识结构与思维发展水平。因此，教师设计的问题不要太深，也不要太浅，应在“原有水平”与“最近发展区”的结合点，让学生的思维活动具有一定的可操作性，有效激发求知欲望，主动寻找解决问题的策略，领会数学方法，获得数学活动的体验。

　　例2:关于一元函数一致连续的定义证明。

　　问题⑴:已知f(x)在[a,b]与[bc]上连续，则/(工)在[a,c]是否一致连续?

　　问题(2):已知/(0在[a,b]与[b，+m)上连续则f()在[a,+m)是否一致连续?

　　问题(3):已知/(x)[a,+m)连续且Jm=/(x)=b，则/&)在[a,十⑴)是否一致连续？

　　问题⑷:已知/()[a,+M连续且bx-/(x)]=Qb为非零常数，贝IJ/()在[a,+^)是否一致连续?3.3层次性原则

　　人们对于数学问题的认识是一个由浅入深、由易到难的循序渐近过程，因此，“问题链”的设计就要遵循这种原则，由浅入深、由易到难、由简到繁、由已知到未知，依次设计问题，层层推进，逐步展开问题的探究。数学解题思维的表现具有策略、方法、技能三个层次，那么在处理一个新问题时，往往先要求学生对问题做一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节。明确地说，首先从策略意义上设计问题，以明确解决问题的总体方向，体现思维的“定向性”；其次从方法意义上提出问题，以确定合适的解决问题的方法，体现思维的“选择性”；最后从技能意义上提出问题，完成解决问题的运作过程，体现思维的“具体性”。

　　例3:关于柯西中值定理的证明。

　　问题（1):设/(工）在[a,b]连续在(a,b)内有二阶导数，彐x1G(a,b)且/(a)=/(x\)=/(b)，问是否必存在56(a，b)使得/"(5)=0?

　　问题⑵：设/'(x)在[a,b]上处处存在，/'(a)c</'(b)，问是否存在^G[ab]，使得/'(5)=c?

　　问题(3):设/(x)与g(x))E[a,b]连续，(a,b)可导，且VxG(a,b)有g'(x)#0，问是否存在一点5G(/'5)/(b)-/(a)

　　(“)，使g^rrg(b)^'g(a)

　　3.4探索性原则

　　探索性过程是一种探求未知、侧重思维活动的过程。前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说：“人的内心里有一种根深蒂固的需要一总想自己是发现者、探寻者、研究者。我认为，不断扶植和加深学生想成为发现者的愿望，并通过特殊的工作方法去实现这一愿望，是一项十分重要的教学任务。”德国戈。海纳特说过：“向学生预示结果或解决方法都会阻碍学生去努力研究。”因此，设计“问题链”时，对结果应具有一定的隐蔽性，促使学生自己去探究。数学学科的特点决定它是最适合进行探索活动的学科之一，设计问题链的本质就是加强数学探究活动的过程，它包括：从观察数学事实出发，提出问题，探索数学规律，猜测和寻找适当的数学结论，探索解决问题的方法与途径以及再发现问题4。数学探索强调学生积极思考问题的意识，参与做数学的学习方式，一般不指望学生一定做出完整的结论或产生独到的创见，而是给学生提供信息，引向更深层次的问题研究。

　　例4:关于二重极限与累次极限的联系。

　　3.5模块化原则

　　模块指内容组织上的单元，具有较强内在联系的、共同主题的内容所构成的一个整体15。模块化原则的基本理念是学习者拥有相应内容的知识表征时，教学中设计的问题所要达到的预期学习结果都致力于共同说明某方面的问题。“问题链”设计的模块化，首先有利于整合教学内容，加强内容之间的联系与沟通，在学科课程的背景下实现教学内容的综合化；其次为结构性的内容与发生性的内容的联合提供了可能。

　　例5:关于无穷积分收敛性的判定问题。

　　以上提出“问题链”的设计原则是建立在实践教学基础之上的，类同于方法或规律，在实际运用上往往会混合的，以便于更能适应实际的需要。实践研究发现在这些原则下设计“问题链”，能够提高问题解决的迀移效果，增强数学知识结构的联系，学生容易理解数学分析中抽象知识的科学解释。但是，这些设计原则的结论效度还是有一定的局限性，这是因为：一是学习的材料还需要检验的过程；二是原则的普通性问题，是否适合于其它课程的教学；三是影响数学问题的意识与数学学习的兴趣是多方面的，通常不是独立起作用的，所以还有必要明确它们相互作用的途径。