活跃在高考题中的二次函数问题的解决策略

　二次函数是出现在初中数学中的一个具体的基本初等函数.初中阶段对它的的教学要求比较低，加上初中学生的接受水平所限制和各地区初中毕业升学考试的要求不一，高中阶段的教材中又没有这部分内容,因此这块内容在教学中，就并没有真正达到高中阶段应用要求的高度.各地区一般采用的方法都是在初中与高中衔接的过程中补充一些二次函数的内容.事实上,高中数学问题中，二次函数问题的应用却是十分广泛，本文通过一些具体的高考问题来阐述二次函数在高考数学中的应用，期望能给高中学生一些帮助.
　　一、直接以二次函数为模型来处理的问题
　　例1设a>1，则双曲线x2a2-y2(a+1)2=1的离心率e的取值范围是（）
　　(A) (2,2)(B) (2,5)(C) (2,5)(D) (2,5)
　　解：e2=(ca)2=a2+(a+1)2a2=2+2a+1a2.因为1a是关于a的减函数，所以当a>1时0<1a<1.令1a=t∈(0,1)，e2=f (t)=t2+2t+2在区间（0，1）上是增函数，所以2　　点评：这是一道解析几何与函数的简单综合问题，它是通过求二次函数e2=f (t)=t2+2t+2的值域，来求出离心率e取值范围的.
　　例2求函数f (x)=cosx-12cos2x(x∈R)的最大值.
　　解：f (x)=cosx-12cos2x=-cos2x+cosx+12,令t=cosx∈［-1,1］，则f (x)=g(t)=-t2+t+12.
　　当t=12时,g(t)max=g(12)=34.
　　所以函数f (x)=cosx-12cos2x(x∈R)的最大值为34.
　　点评：本题处理过程是通过换元，直接把问题转化成了一个二次函数的最大值问题.
　　二、三次函数求导后形成的二次函数问题
　　例3已知函数f (x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R)，若f (x)在 x=x0处取得最小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围.
　　解：f ′(x)=3x2+6ax+3+6a，由f ′(x)=0得x2+2ax+1-2a=0 （*）.
　　（1）当-2-1≤a≤2-1时，方程（*）没有解，函数
　　f (x)没有极小值.
　　(2)当a>2-1或a<-2-1时，由f ′(x)=0得x1=-a-a2+2a-1 <0，所以x2=-a+a2+2a-1=x0.
　　由题设可以知道1<-a+a2+2a-1<3.当a>2-1时，不等式1<-a+a2+2a-1<3无解.
　　当a<-2-1时，解不等式1<-a+a2+2a-1<3得-52　　综合(1)(2)得a的取值范围是(-52,-2-1).
　　点评：本题通过二次方程f ′(x)=0的判别式进行分类讨论来处理问题的.
　　三、其他函数中形成的二次函数问题
　　例4设函数f (x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2，且x1　　解: 求原函数的导数得f ′(x)=2x+a1+x=2x2+2x+a1+x(x>-1).令g(x)=2x2+2x+a，其对称轴为x=
　　-12.由题意知x1、x2是方程g(x)=0的两个均大于-1的不相等的实根，其充要条件为Δ=-4-8a>0,
　　g(-1)=a>0,得0　　(1)当x∈(-1,x1)时，f ′(x)>0,所以f (x)在(-1,x1)内为增函数.
　　(2)当x∈(x1,x2)时，f ′(x)<0,所以f (x)在(x1,x2)内为减函数.
　　(3)当x∈(x2,+∞)时，f ′(x)>0,所以f (x)在(x2,+∞)内为增函数.
　　点评：通过构造函数，直接把问题转化成了一个二次函数问题来处理的.
　　例5已知函数f (x)=ln(1+x)-x(1+λx)1+x.若x≥0时f (x)≤0，求λ的最小值.
　　解：由已知得f (0)=0,f ′(x)=(1-2λ)x-λx2(1+x)2,f ′(0)=0.若λ<12，则当00，所以
　　f (x)>0.若λ≥12，则当x>0时，f ′(x)<0，所以当x>0时f (x)<0.综上，λ的最小值是12.
　　点评：本题借助函数g(x)=(1-2λ)x-λx2对应方程根的讨论来处理的.
　　转化后能够利用二次函数来处理的高考试题还有很多.作为生活中应用最广泛的一种函数，依据新课程标准倡导的基本理念，二次函数的有关内容必然会成了高考中长考不衰，灵活多变的的考查内容.因此在学习的过程中，要对这一内容要引起足够的重视，并且要通过深入的研究达到必要的广度和深度,才能顺利的处理相关的高考问题.