Causal Interpretability for Machine Learning - Problems, Methods and Evaluation
机器学习方法被越来越广泛的应用到工作中，深度神经网络的成功把感知智能推向一个巅峰。然而，人们常常需要理解模型为什么做出这样的判断？并且在一些极端严谨的场景，如金融、补贴、欺诈等，模型的判断依据和缘由变的格外重要。 机器学习可解释性应运而生，且逐步的被应用到工业场景中。然而，在一些黑盒度较高的模型，如深度神经网络，中上进行有效的解释十分困难。随着机器学习可解释技术的不断发展，难题逐渐被攻克。不过，传统的可解释技术更多的依赖于特征和结果变量之间的相关性，有可能会检测出一些相反甚至病态的解释关系。同时，不能回答，“如果某个干预改变了，模型的决策或判断是什么？”这样的反事实相关的问题。
因果推断技术，是专门研究干预到结果效应的方法。通常，我们把相关性看成无向的关系（特征和结果会互相影响，调整一方，另一方会随之变动），而把因果看成有向关系（特征决定结果，只有特征的变化会使得结果变动，而不存在反向关系）。因果关系，通常是多场景稳定的，并且相比于相关关系，受到的干扰较小。因此，以因果为依据的决策或判断更加稳定，也是我们希望机器学习方法能够学习到的关系。（我们希望，机器学习方法是因为看到毛，胡须，脚掌上的肉垫以及没有虎皮花纹等特征，而判断某物体是猫。并非因为猫身边大概率有毛线球、猫砂和铲屎官，而够狗没有。） 反事实估计与反事实推理是因果推断技术的重要组成部分。（个人理解）因果推断可以被理解为想要回答，1）what cause（Why）；2）what if。回答what if，必须基于多种干预下的结果。 而在观测中缺少反事实结果是因果推断的根本问题 。与估计因果效应不同（这类方法主要解决如何消除偏差以及估计反事实，并基于此判断不同干预下的结果差异），基于因果的机器学习可解释性方法，主要基于反事实来解释，“如果在其他场景（干预）下，模型会做出怎样的决策或判断？”，来展示机器学习模型所学习到的因果关系。
Judea Pearl曾经阐述过不同层次的可解释性，并强调生成反事实的解释是最高层次的。Pearl的可解释性层次大概可以分为如下三层，
在社区已经看到有许多精彩的文章详细阐述了传统的机器学习可解释技术。本文（系列）将在接下来详细阐述一下基于因果的机器学习可解释性方法。
基于因果的机器学习可解释方法，大致可以分为三类，基于模型的方法，基于样本的方法以及因果关系确认相关方法（由于非重要方向，略去了引用文章中提到的其他部分）。
基于模型的解释方法，主要是从因果效应的角度拆分模型各个部分的作用。例如，计算深度神经网络中，第n层，第m个神经元的改变带来的平均因果效应。相比于传统的可解释性方法，这类方法可以回答“神经网络的一个神经元对最终输出结果有多大因果效应？”，以此衡量模型每个组成部分的重要性，并能够给出一定的量化结果。 基于模型的方法大致可以分为两类，估计因果效应和近似结构化。如上所述，可以通过计算每一个神经元（通常是某个组件，而不是这么细节）在输出变量的因果效应，来确定组件的重要性。近似结构化的方法，通过生成扰动样本的方法，构建一个二部图，图中定点为输入特征的元素与输出结果的元素，边为元素之间的影响关系。通过对二部图进行划分，得到输入、输出各个元素之间影响关系比较紧密的子组件，进而解释模型的决策过程和判断依据。
基于样本的解释方法，旨在通过寻找样本示例，来解释模型的决策和判断过程。反事实样本是在现有事实样本的基础上进行修改，来推断和想象可能的结果。其中，最典型的方法是反事实解释器（counterfactual explanations）。该方法是通过在现有样本上的特征上，进行最小改动，并得到预期的反事实结果并，并收集这些经过微小改动的样本，来对模型的决策进行解释。例如，一个用户从平台流失了。我们尽可能小的变动他的特征，使得模型预测他为留存。观察特征变化，并以此为依据进行解释。这里我们仍然使用了扰动的概念，最小扰动得到的可解释的样本，即反事实估计器。反事实估计并没有真正对样本进行干预，而是通过模型的预测，模拟了人类的想象，因此处于因果阶梯的第三层。 生成反事实解释器的方法大致可以分为6类，包括启发式方法，加权法，基于多样性的方法，混合整数规划求解法，基于原形的方法，以及基于GAN的方法。启发式的方法主要利用距离度量来寻找最小扰动，而加权法在距离度量上为每个特征维度分配不同的权重（权重通过ANOVA F-value得到）。基于混合整数规划的方法，主要应用于特征中有比较多分类特征的场景，其他方法生成的反事实样本，可能为分类特征生成连续值，导致特征不合理，而通过混合整数规划，可以生成合理的反事实样本。基于原形的方法，通过寻找一个具有反事实结果的目标样本，来确定生成方向，加速生成算法收敛（不能直接选择具有反事实结果的样本，是因为他的扰动可能很大）。基于GAN存在多种反事实生成方法，较为简单的是基于conditionalGAN，把期望的反事实当做标签，来生成反事实样本。
基于因果推断（反事实样本）的模型可解释性方法已经被越来越多的应用于各个场景。接下来，我们看两个分别来自于自然语言处理和推荐系统场景的案例。 重复问题识别是问题搜索场景里的重要任务，图中的两个语句被识别为重复的问题。右侧的条形图是通过SHAP值计算出的单词重要性，可以看到“friend”这个单词的重要性没有排在前面。通过扰动Q2生成反事实样本，我们发现“How do I help a
在商品推荐的场景下同样存在反事实可解释性的需求，例如，当我们看到某个物品被作为top1 candidate推荐给用户时，我们可能想知道是哪些用户行为影响了这个结果，进而能否通过改变一些行为而改变推荐结果。图中，推荐系统在top1位置被推荐了一个背包。通过算法识别出的“最小可删除行为集合”（反事实中的最小扰动），可以看出“购买Adidas的登山靴，评论尼康相机为登山好伴侣以及给Intenso充电宝高分评价”让推荐系统决定了把狼爪的背包排在第一位（因为种种迹象表明Alice喜欢远足）。如果删除这些行为iPad Air的排名会变为top1。
在不同的场景下，因果可解释性方法仍然有可能受限于特定模型，并且存在一些时间复杂度的问题。此外，还有很多待解决的问题。后续会介绍一些具体的方法。
下面简单介绍一下，如何评价基于因果机器学习可解释方法，以及对应的评价指标。不同的类别的解释方法有自己特有的评价准则。首先介绍一下，基于反事实的可解释性方法的评价准则。由于没有反事实的ground truth，所以无法直接检验反事实样本的好坏，因此通过启发式定义一些的指标，来确保生成的反事实符合预期，具有预期的性质。
还有其他的一些面向模型可解释方法，以及公平性的评价指标，这些类方法的评价指标仍然是一个待攻克的课题，这里就不一一介绍了，感兴趣的同学可以参考引文。
[1] J. Pearl. Theoretical impediments to machine learning with seven sparks from the causal revolution. CoRR, abs/1801.04016, 2018. [2] Pearl, J., & Mackenzie, D. (2018). The book of why: the new science of cause and effect. Basic books. [3] Cong Wang, Xiao-Hui Li, Han Gao, Shendi Wang, Luning Wang, Caleb Chen Cao, Lei Chen. Counterfactual Explanations in Explainable AI: A Tutorial. Tutorial on ACM SIGKDD Conference on Knowledge Discovery and Data Mining (KDD 2021). [4] D. Alvarez-Melis and T. Jaakkola. A causal framework for explaining the predictions of black-box sequence- to-sequence models. In Proceedings of the 2017 Conference on Empirical Methods in Natural Language Processing, pages 412–421, Copenhagen, Denmark, Sept. 2017. Association for Computational Linguistics. [6] Wu, T., Ribeiro, M. T., Heer, J., & Weld, D. S. (2021). Polyjuice: Generating Counterfactuals for Explaining, Evaluating, and Improving Models. In Proceedings of the 80 59th Annual Meeting of the Association for Computational Linguistics. [5] Ghazimatin, A., Balalau, O., Saha Roy, R., & Weikum, G. (2020, January). PRINCE: Provider-side interpretability with counterfactual explanations in recommender 88 systems. In Proceedings of the 13th International Conference on Web Search and Data Mining (pp. 196-204).
降 耗 节 能——做好无功补偿及滤波工作的现实意义当前，我国正在号召全民建设节能型社会，中央给各级政府与企业也都确定了明确的节能目标，各种节能项目迅速发展，为社会带来巨大的效益。在众多领域的节能项目中，电力节能是关系到国计民生的重要组成部分，而在众多的电力节能产品中，无功补偿无疑是电力节能最重要的措施之一。我国从50年代起就实行了《利率电费调整办法》，把无功补偿上升到了政策、法规层面，要求全社会共同重视，强制做好无功补偿方面的工作。合理有效的无功补偿可以为电力用户与供电系统带来巨大的效益，这已是的事实。理论分析及现场实测证实，合理有效的无功补偿使输配电线路、变压器等配电设施上的有功损耗可降低35%--50% ，设备带载能力可增加20%--30%。从业内总结的无功当量概念上看，每投入1kvar低压电容器，每天可以节约0.09×24小时= 2.16kwh电能。我国的电网十分庞大，无功含量也十分巨大，还在消耗着系统的大量有功电能。可见，积极有效的开展无功补偿工作，让有不合理量无功存在的用电户得到合理的补偿，让存在故障、补偿不合理的无功补偿设备恢复正常运行，“投入电容1千乏，每天节约2度电”，将为全社会和企业带来巨大的经济效益，也使能源压力得到一定的缓解。 通过对无功补偿设备现状和使用情况的调查和研究表明，大部分设备都是由开关厂做为一个附属产品提供给用户的。由于设计、控制原理、补偿方式与实际应用脱节，做为十分重要、降耗节能的无功补偿设备并没有得到应有的重视，直接导致了无功补偿设备与用户系统不匹配，补偿能力不能充分发挥，产品质量得不到有效保证，无功补偿设备起不到应有的作用，给用户和社会带来了巨大的能源、经济损失。另外，供电部门对电力用户的无功电量有一个考核，即力率调整电费。向力率（功率因数）达不到要求的电力用户收取力率调整电费。对于这些电力用户，做好无功补偿的工作，不仅会让供电系统有功损耗降低，而且其本身也得到降低线损、变损及不支出力率电费的收益，并且补偿到位的，还会有电费奖励。专业无功补偿谐波治理领域的公司，对无功补偿和谐波治理有更多的理解思考，有效解决问题：对每一个用户现场进行测量和了解，针对每一个用户进行符合现场需要的合理设计和配置，使无功补偿和谐波治理设备的能力得到最大程度的发挥，得到最大的社会效益和经济效益。 有功功率 当电能转换成其它形式的能量时，如：电流通过白炽灯发热发光，转换成热能和光能；通过电动机的转动使电能转换成机械能等，这些在能量的转变过程中做功的电能，叫做有功电能，其功率称有功功率。无功功率 在交流电力网中使用最多的电动机与变压器，在运行中要产生磁场，而电容器及空载输电线路则产生电场。交流电流在电源与电感或电容负载之间往返流动，形成电能与磁场能、电场能能量的相互交换。此电能既不做功也不消耗，这种电能称为无功电能，其功率称无功功率。无功功率绝不是无用功率：电动机需要建立和维持旋转磁场，使转子转动；变压器也同样需要无功功率，才能使变压器的一次线圈产生磁场，在二次线圈感应出电压。功率因数（力率） 有功功率与视在功率的比值， 称为功率因数， 用 表示 =P/S力率电费 全国供用电规则规定，用户的功率因数应达到的标准为：高压用电的工业用户和高压用电装有带负荷调整电压装置的电力用户，功率因数为0.90以上，其它100KVA及以上的电力用户和大中型电力排灌站，功率因数为0.85以上；农业用电功率因数为0.80以上。凡功率因数达不到上述规定的用户，供电部门会在用户使用电费的基础上按一定比例对其加收一部分电费，这部分加收的电费称为力率电费，也即是罚款。 供用电政策 鉴于电力生产的特点，用户用电功率因数的高低，对发、供、用电设备的充分利用、节约电能和提高电能质量有着十分重要的影响，为了提高用户的功率因数，为提高供、用电双方的社会及经济效益，制订了《功率因数调整电费》。力率电费调整办法 全国供用电规则规定，凡是功率因数达不到上述规定的用户，供电部门对其加收一部分电费——力率调整电费；如果功率因数超过上述规定的用户，供电部门会对其减收一部分电费——奖励电费。具体按照《功率因数调整电费办法》执行。 高压计量的用户： 力率电费=（电度电费+基本电费）×罚款比例 奖励电费=（电度电费+基本电费）×奖励比例 低压计量的用户： 力率电费=电度电费×罚款比例奖励电费=电度电费×奖励比例电度电费是指动动力电费，不包括照明电费，照明不参与力率考核。高压计量的用户当变压器的容量超过315KVA时收基本电费。基本电费是按变压器容量来收取的。由此可见，《力率电费调整办法》是用电管理部门督促电力用户做好无功补偿的促进手段，做好无功补偿工作对供、用电双方都有巨大的经济效益。 以0.90为标准值的功率因数调整电费表减收电费（奖励比例） 增收电费（罚款比例）实际功率因数 月电费减少％ 实际功率因数 月电费增加％ 实际功率因数 月电费增加％0.90 0.00 0.89 0.5 0.75 7.50.91 0.15 0.88 1.0 0.74 8.00.92 0.30 0.87 1.5 0.73 8.50.93 0.45 0.86 2.0 0.72 9.00.94 0.60 0.85 2.5 0.71 9.50.95～1.00 0.75 0.84 3.0 0.70 10.0 0.83 3.5 0.69 11.0 0.82 4.0 0.68 12.0 0.81 4.5 0.67 13.0 0.80 5.0 0.66 14.0 0.79 5.5 0.65 15.0 0.78 6.0 功率因数自0.64及以下，每降低0.01电费增加2％ 0.77 6.5 0.76 7.0 表二 以0.85为标准值的功率因数电费调整表减收电费（奖励比例） 增收电费（罚款比例）实际功率因数 月电费减少％ 实际功率因数 月电费增加％ 实际功率因数 月电费增加％0.85 0.0 0.84 0.5 0.70 7.50.86 0.1 0.83 1.0 0.69 8.00.87 0.2 0.82 1.5 0.68 8.50.88 0.3 0.81 2.0 0.67 9.00.89 0.4 0.80 2.5 0.66 9.50.90 0.5 0.79 3.0 0.65 10.00.91 0.65 0.78 3.5 0.64 11.00.92 0.80 0.77 4.0 0.63 12.00.93 0.95 0.76 4.5 0.62 13.00.94～1.00 1.10 0.75 5.0 0.61 14.0为什么要进行无功补偿 负载需要的大量无功是从哪提供的呢？这些负载所需要的无功功率是由发电厂提供的，也就是说发电机在工作时会向系统提供有功电能，同时对有无功需要的负载提供相应的无功电能。发电机运行时必须要满足无功功率输出。当系统中无功功率需求增大时，如果不在系统人为地安装无功补偿装置，发电厂要通过调相的方式来加大无功功率输出，由于发电机的容量是一定的，那么就势必要减少有功功率的输出量，也就是为满足用电负荷无功功率的需求，降低发电机的有功功率输出能力；为满足用电质量的要求，发电机、供电线路和变压器的容量需增大，这样不仅增加供电投资、耗费资源、降低设备利用率，也将增加输、配电网络的有功电能的损耗。为了消除上述的弊端，我们在供电系统中负载需要无功较大的点投入相应的电容器来为感性负载提供无功功率，这样就极大的减轻了发电厂的无功供给压力，使无功功率就地提供，减少了无功电流在庞大电力网络中流动产生的有功损耗，并降低了用电户的变压器有功损耗。用户装设无功补偿装置，并随其负荷和电压变动及时投入或切除电容器，同时用户的功率因数达到相应的标准，避免供电部门加收力率电费，补偿到位的，还有奖励电费。因此，无论对供电部门还是用电部门，对无功功率进行自动补偿以提高功率因数，对节约电能、提高电能质量、降低用电部门的用电费用都具有非常重要的意义。 补偿无功功率，提高功率因数（如下图所示） 式中：P——有功功率，KW S1——补偿前的视在功率 S2——补偿后的视在功率 Q1——补偿前的无功功率 Q2——补偿后的无功功率 Φ1——补偿前的功率因数角 Φ2——补偿后的功率因数角 由图示可以看出，在有功功率P不变，无功得到补偿以后（补偿容量 ），功率因数角由Φ1减少到Φ2，电源提供的电功率由S1降低到S2；COS ＞COS ，提高了功率因数，降低了电源提供的电功率，减少了有功损耗。合理的补偿可以有效的降低系统电流，以系统自然功率0.7为例，如通过补偿装置将系统功率因数提高到接近1的水平，系统电流将下降30%左右，即线路和变压器的有功损耗可降为P=I2R＝(1-30%)2R=0.49R，即线路和变压器可变有功损耗可降低51%。 通过下列公式可计算线损和变损降低率：变损（或线损）降低率＝ 用电企业的自然功率因数一般在0.7左右，功率因数从0.7提高到0.95以上线损降低率和变压器的可变有功损耗降低率如下表：cos 0.7 0.7 0.7 0.7COS 0.95 0.97 0.98 1线损降低率 46% 48% 49% 51%变损降低率 46% 48% 49% 51% 增加电网的传输能力，提高设备利用率 由于补偿装置可以有效的降低系统电流和视在功率，故可以有效的降低电网建设中所有相关设备的容量，从而降低电网建设中的投资、节省资源。功率因数在0.7左右的系统，由于有效的补偿可使系统电流下降30%，即提高发电厂、变配电设施30%的带载能力。 改善电压质量 由于系统存在的大量感性负载将造成供电线路电压降低的损失，尤其在供电线路末端更为严重，通过合理的补偿可以有效的缓解线路压降，改善电能质量。 线路中的电压损失 的计算公式如下： ×10－3式中：P——有功功率，KW U——额定电压，KV R——线路总电阻， Q——无功功率，KVAR ——线路感抗， 由于系统的感抗远大于电阻，从上式中可以看到,无功的变化会引起电压产生很大的变化。线路中，无功功率Q减小以后，电压损失也就减少了。对于供电线路末端电压一般较低，可通过增加无功补偿装置来提升线路末端电压。节约电费支出 通过合理的补偿，，使计量点的功率因数达到国家标准的要求，可以消除力率电费，从而使电力用户电费支出大幅度降低。无功就地平衡，减少线路中无功电流的流动，是降低线路有功损耗最有效的方法。如果用户在负荷的终端做补偿，流过用户线路和变压器的电流会相应的降低，有功损耗与电流的平方成正比，线路和变压器的有功损耗会有明显的下降，且功率因数得到显著提高。供电政策中关于谐波部分要求由于现代电力电子设备的广泛使用，产生谐波的设备、设备种类、数量巨增，使得供用电系统中的谐波含量大量增加。电子电力装置 电力电子设备是电力系统中数量最大的谐波源，这种装置的主要类型是多相换流装置，包括整流器（交变直）、逆变器（直变交）和变频装置、三相交流调压器等，换流装置的特征谐波次数为HC＝kp±1,k为任意正整数，p为换流装置的脉动数。变频装置 变频装置常用于风机、水泵、电梯等设备中，由于采用了相位控制，谐波成分很复杂，除含有整数次谐波外，还含有分数次谐波，这类装置的功率一般较大，随着变频调速的发展，对电网造成的谐波也越来越多。一般变频装置的特征谐波次数为5、7次。 电弧炉、电石炉 通常所谓的电弧炉是指交流电弧炉，用于钢铁冶炼。由于加热原料时电炉的三相电极很难同时接触到高低不平的炉料，使得燃烧不稳定，引起三相负荷不平衡，产生谐波电流，经变压器的三角形连接线圈而注入电网，其中主要是2～7次谐波，平均谐波畸变率可达基波的8%～20%，最大可达45%。气体放电类电光源 节能灯、荧光灯、高压汞灯、高压钠灯与金属卤化物灯等属于气体放电类电光源。分析与测量这类电光源的伏安特性可知，其非线性十分严重，有的还含有负的伏安特性，它们给电网制造了大量的奇次谐波电流。虽然单体功率小、产生的谐波量有限，但其庞大的数量，使之产生的谐波污染不容忽视。 家用电器 电视机、录相机、计算机、调光灯具等，因具有调压整流装置，会产生奇次谐波。另外，工厂中常用的电焊机等也会产生大量的谐波。谐波的危害对供配电线路的危害 供配电系统中的电力线路与电力变压器一般采用继电保护，保证线路与设备的安全运行。但由于谐波的干扰，保护不能全面有效地起到保护作用，甚至产生误动或拒动。谐波严重威胁供配电系统的稳定与安全运行。 影响电网的质量 电力系统中的谐波使电网的电压与电流波形发生畸变。如民用配电系统中的中性线，由于荧光灯、调光灯、计算机等负载，产生大量的奇次谐波，其中3次谐波的含量较多，可达40%；三相四线配电线路中，3的整数倍谐波在中性线上叠加，使中性线的电流值超过相线上的电流。另外，相同频率的谐波电压与谐波电流要产生同次谐波的有功功率与无功功率，从而造成有功损耗，降低电网电压，占用电网的容量。 对电力设备的危害 对电力变压器的危害 谐波使变压器的铜耗增大，其中包括电阻损耗、导体中的涡流损耗与导体外部因漏磁通引起的杂散损耗都要增加。谐波还使变压器的铁耗增大，这主要表现在铁心中的磁滞损耗增加，谐波使电压的波形变得越差，则磁滞损耗越大。除此之外，谐波还导致变压器噪声增大，变压器的振动噪声主要是由于铁心的磁致伸缩引起的。 对电力电缆的危害 随着谐波次数升高，频率上升，使电缆趋肤效应明显，导致导线的有效截面积变小，交流电阻增大，增加导线的有功损耗。另外，电缆的电阻、系统母线、线路感抗与系统串联，提高功率因数用的电容器、线路的容抗与系统并联，在特定条件下可能发生谐振。 对电动机的危害 谐波对异步电动机的影响，主要是增加电动机的附加损耗，降低效率，严重时使电动机过热。尤其是负序谐波在电动机中产生负序旋转磁场，形成与电动机旋转方向相反的转矩，起制动作用，从而减少电动机的出力。另外电动机中的谐波电流，当频率接近某零件的固有频率时还会使电动机产生机械振动，发出很大的噪声。对低压开关设备的危害 对于配电用断路器、漏电断路器、电磁接触器、、热继电器来说，受谐波电流的影响，在工作中都有可能产生误动作。对弱电系统设备的干扰 对于计算机网络、通信、有线电视、楼宇自动化等弱电设备，电力系统中的谐波通过电磁感应、静电感应传导方式耦合到这些系统中，产生干扰。其中电磁感应与静电感应的耦合强度与干扰频率成正比，传导则通过公共接地耦合，有大量不平衡电流流入接地极，从而干扰弱电系统，使之不能正常工作。另外，谐波还能影响电力测量的准确性、对人体造成有害影响等等。谐波电流，特别是3次（及其倍数次）谐波侵入三角形连接的变压器，会在其绕组中形成环流，使绕组发热。对Y形连接中性线接地系统中，侵入变压器的中性线的3次谐波电流会使中性线电流巨增、使中性线发热。由于谐波的频率较高，使导线的集肤效应加重，因此铜损急剧增加。同时变压器铁芯由于不能适应急剧变化的磁通而导致铁损急剧增加。《中华人民共和国电力法》规定：“用户用电不得危害供电、用电安全和扰乱供电、用电秩序”。《供电营业规则》中规定：用户的非线性阻抗特性的用电设备接入电网运行，所注入电网的谐波电流，引起波形畸变超过标准时，用户必须采取措施予以消除。根据国家标准GB/T14549-93的规定，注入考核点的谐波电压和谐波电流畸变率应满足国家标准的要求。 ★ 公共电网谐波电压（相电压）限值电网标称电压（KV） 电压总谐波畸变率（%） 各次谐波电压含有率（%） 奇次 偶次0.38 5.0 4.0 2.06-10 4.0 3.2 1.635-66 3.0 2.4 1.2110及以上 2.0 1.6 0.8 注入公共连接点的谐波电流允许值标准电压（kV） 基准短路容量（MVA） 谐波次数及谐波电流允许值 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.38 10 78 62 39 62 26 44 19 21 16 28 13 24 11 12 9.7 18 8.66 100 43 34 21 34 14 24 11 11 8.5 16 7.1 13 6.1 6.8 5.3 10 4.710 100 26 20 13 20 8.5 15 6．4 6.8 5.1 9.3 4.3 7.9 3.7 4.1 3.2 6.0 2.835 250 15 12 7.7 12 5.1 8.8 3.8 4.1 3.1 5.6 2.6 4.7 2.2 2.5 1.9 3.6 1.766 500 16 13 8.1 13 5.4 9.3 4.1 4.3 3.3 5.9 2.7 5.0 2.3 2.6 2.0 3.8 1.8110 750 12 9.6 6.0 9.6 4.0 6.8 3.0 3.2 2.4 4.3 2.0 3.7 1.7 1.9 1.5 2.8 1.3谐波的治理1) 在谐波源处装设无源调谐滤波装置，吸收谐波电流，有效地减少谐波对电力网及用电设备的影响。2）加装有源滤波装置，向电网注入与谐波电流相位相反、幅值相同的电流，来抵消电网中的谐波，从而达到消除谐波的目的。3）加装静止无功补偿装置（SVC），对系统、负荷无功功率进行快速动态补偿，改善功率因数，抑制不平衡电流产生，并滤除谐波源产生的谐波。4）改造谐波源，优化电力设备的结构设计和工艺，降低电力电子设备产生的谐波量。关于谐振由于电力系统中存在大量非线性负荷，根据并联电容器组和谐波源的位置，电容器组(容抗) 和系统等效电路(感抗)之间会出现串联谐振或并联谐振。当系统在基波的状况下，由于系统的容量很大，所以阻抗很小。而我们补偿的电容器在低压侧一般几百千乏，高压侧不过几千千乏或上万千乏，容量比较小，阻抗较大，远不能构成谐振条件：nXL＝XC/n n=1 因此，在基波状态下，不会产生谐振。 但在谐波状况下，随着频率的变化，系统和电容器的阻抗均发生变化。系统感抗大增，而电容器装置的容抗大减，一旦达到nXL＝XC/n 即nωL=1/nωC, ω=2πf 其中n为谐波次数。满足谐振条件，就会产生谐振。也就是说，无论功率因数是否为1,在谐波状况下都有可能产生谐振。这种谐振会使谐波电流放大几倍甚至几十倍，会对系统、特别对电容器和与之串联的电抗器形成很大的威胁，常常使电容器和电抗器烧损。避免谐振最常用的方法是选用适当串联电抗率的电抗器与电容器相串联，调谐的谐振频率低于电力网络中含有的最低次谐波的频率，这样，无论是串联谐振还是并联谐振都可有效的避免。总之，经济有效的无功补偿、滤波装置，不仅会使输变电系统节约大量的有功电能，还能使用电户节约力率电费的支出，并能使电力网络中的电能质量得到很大的改善，使有功损耗减少，消除对其它用电器的干扰，利国利民。
物流配送中心选址方法研究综述 内容摘要：物流配送中心的选址决策在物流运作中有着重要的地位。本文对近年来国内外有关配送中心选址方法的文献进行梳理和研究。研究结果发现：各种选址方法有着各自的优缺点和一定的适用范围，各种方法的组合是未来该领域研究的趋势。关键词：物流配送中心 选址 文献综述 在物流系统的运作中，配送中心的选址决策发挥着重要的影响。配送中心是连接工厂与客户的中间桥梁，其选址方式往往决定着物流的配送距离和配送模式，进而影响着物流系统的运作效率。因此，研究物流配送中心的选址具有重要的理论和现实应用意义。 本文对近年来国内外有关物流配送中心选址方法的文献进行了梳理和研究，并对各种方法进行了比较。选址方法主要有定性和定量的两种方法。定性方法有专家打分法、Delphi法等，定量方法有重心法、P中值法、数学规划方法、多准则决策方法、解决NP hard问题（多项式复杂程度的非确定性问题）的各种启发式算法、仿真法以及这几种方法相结合的方法等。由于定性研究方法及重心法、P中值法相对比较成熟，因此，本文将主要分析定量方法中的数学规划、多准则决策、解决NP hard问题的各种启发式算法、仿真在配送中心选址中应用的研究状况。 数学规划方法 数学规划算法包括线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划和动态规划、网络规划算法等。在近年来的研究中，规划论中常常引入了不确定性的概念，由此进一步产生了模糊规划、随机规划、模糊随机规划、随机模糊规划等等。不确定性规划主要是在规划中的C(价值向量)、A(资源消耗向量)、b(资源约束向量)和决策变量中引入不确定性，从而使得不确定规划更加贴近于实际情况，得到广泛地实际应用。 国内外学者对于数学规划方法应用于配送中心的选址问题进行了比较深入的研究。姜大元(2005)应用Baumol-wolf模型，对多物流节点的选址问题进行研究，并通过举例对模型的应用进行了说明，该模型属于整数规划和非参数规划结合的模型。各种规划的方法在具体的现实使用中，常常出现NP hard问题。因此，目前的进一步研究趋势是各种规划方法和启发式算法的结合，对配送中心的选址进行一个综合的规划与计算。 多准则决策方法 在物流系统的研究中，人们常常会遇到大量多准则决策问题，如配送中心的选址、运输方式及路线选择、供应商选择等等。这些问题的典型特征是涉及到多个选择方案(对象)，每个方案都有若干个不同的准则，要通过多个准则对于方案(对象)做出综合性的选择。对于物流配送中心的选址问题，人们常常以运输成本及配送中心建设、运作成本的总成本最小化，满足顾客需求，以及满足社会、环境要求等为准则进行决策。多准则决策的方法包括多指标决策方法与多属性决策方法两种，比较常用的有层次分析法(AHP)、模糊综合评判、数据包络分析(DEA),TOPSIS、优序法等等。 多准则决策提供了一套良好的决策方法体系，对于配送中心的选址不管在实务界还是理论方面的研究均有广泛的应用与研究。关志民等(2005)提出了基于模糊多指标评价方法的配送中心选址优化决策。从供应链管理的实际需要分析了影响配送中心选址的主要因素，并建立相应的评价指标体系，由此给出了一种使定性和定量的方法有机结合的模糊多指标评价方法。Chen-Tung Chen(2001)运用了基于三角模糊数的模糊多准则决策对物流配送中心的选址问题进行了研究。文章以投资成本、扩展的可能性、获取原材料的便利性、人力资源、顾客市场的接近性为决策准则，并对各个准则采用语义模糊判定的方式进行了权重上的集结。 有关多准则决策方法，特别是层次分析法和模糊综合评判的方法，在配送中心的选址研究中有着广泛的应用。但是，这两种方法都是基于线性的决策思想，在当今复杂多变的环境下，线性的决策思想逐渐地暴露出其固有的局限性，非线性的决策方法是今后进一步的研究的重点和趋势。 启发式算法 启发式算法是寻求解决问题的一种方法和策略，是建立在经验和判断的基础上，体现人的主观能动作用和创造力。启发式算法常常能够比较有效地处理NP hard问题，因此，启发式算法经常与其它优化算法结合在一起使用，使两者的优点进一步得到发挥。目前，比较常用的启发式算法包括：遗传算法；神经网络算法；模拟退火算法。 （一）遗传算法 遗传算法（genetic algorithm, GA）是在 20 世纪 60 年代提出来的，是受遗传学中自然选择和遗传机制启发而发展起来的一种搜索算法。它的基本思想是使用模拟生物和人类进化的方法求解复杂的优化问题，因而也称为模拟进化优化算法。遗传算法主要有三个算子：选择；交叉；变异。通过这三个算子，问题得到了逐步的优化，最终达到满意的优化解。 对于物流配送中心的选址研究，国内外有不少学者将遗传算法同一般的规划方法结合起来对其进行了研究。蒋忠中等（2005）在考虑各种成本(包括运输成本等)的基础上，结合具体的应用背景，建立的数学规划模型(混合整数规划或是一般的线性规划)。由于该模型是一个组合优化问题，具有NP hard问题，因此，结合了遗传算法对模型进行求解。通过选择恰当的编码方法和遗传算子，求得了模型的最优解。 遗传算法作为一种随机搜索的、启发式的算法，具有较强的全局搜索能力，但是，往往比较容易陷入局部最优情况。因此，在研究和应用中，为避免这一缺点，遗传算法常常和其它算法结合应用，使得这一算法更具有应用价值。 （二）人工神经网络 人工神经网络(artificial neural- network, ANN)是由大量处理单元(神经元)广泛互连而成的网络，是对人脑的抽象、简化和模拟，反应人脑的基本特征。可以通过对样本训练数据的学习，形成一定的网络参数结构，从而可以对复杂的系统进行有效的模型识别。经过大量样本学习和训练的神经网络在分类和评价中，往往要比一般的分类评价方法有效。 对于神经网络如何应用于物流配送中心的选址，国内外不少学者进行了各种有益的尝试。韩庆兰等（2004）用BP网络对物流配送中心的选址问题进行了尝试性地研究，显示出神经网络对于解决配送中心选址问题具有一定的可行性和可操作性。 这一研究的不足是神经网络的训练需要大量的数据，在对数据的获取有一定的困难的情况下，用神经网络来研究是不恰当的。在应用ANN时，我们应当注意网络的学习速度、是否陷入局部最优解、数据的前期准备、网络的结构解释等问题，这样才能有效及可靠地应用ANN解决实际存在的问题。 （三）模拟退火算法 模拟退火算法(Simulated Annealing, SA)又称模拟冷却法、概率爬山法等，于1982年由Kirpatrick提出的另一种启发式的、随机优化算法。模拟退火算法的基本思想由一个初始的解出发，不断重复产生迭代解，逐步判定、舍弃，最终取得满意解的过程。模拟退火算法不但可以往好的方向发展,也可以往差的方向发展,从而使算法跳出局部最优解,达到全局最优解。 对于模拟退火算法应用于物流配送中心选址的研究，大量的文献结合其它方法（如多准则决策、数学规划等）进行了研究。任春玉(2006)提出了定量化的模拟退火遗传算法与层次分析法相结合来确定配送中心地址的方法。该方法确保总体中个体多样性以及防止遗传算法的提前收敛，运用层次分析法确定 物流配送中心选址评价指标权重，并与专家评分相结合进行了综合评价。该算法对于解决物流配送中心的选址具有较好的有效性和可靠性。 除以上三种比较常用的方法之外，启发式算法还包括蚁群算法、禁忌搜索算法、进化算法等。各种算法在全局搜索能力、优缺点、参数、解情况存在着一定的差异。各种启发式算法基本上带有随机搜索的特点，已广泛地应用于解决NP hard问题，同时也为物流配送中心选址的智能化处理提供了可能。用解析的方法(包括线性规划等)建立数学模型，然后运用启发式算法进行求解是目前以及未来研究物流配送中心选址的一种较为可行和可操作的研究方法。 仿真方法 仿真是利用计算机来运行仿真模型，模拟时间系统的运行状态及其随时间变化的过程，并通过对仿真运行过程的观察和统计，得到被仿真系统的仿真输出参数和基本特征，以此来估计和推断实际系统的真实参数和真实性能。国内外已经不少文献将仿真的方法运用于物流配送中心选址或是一般的设施选址的研究，研究结果相对解析方法更接近于实际的情况。 张云凤等(2005)对汽车集团企业的配送中心选址运用了仿真的方法进行了研究。先确定了配送中心选址的几种方案，应用了Flexim软件对各方案建立了仿真模型，根据仿真结果进行了分析和方案的选择。该方法为集团企业配送中心选址问题提供了一种较为理想的解决方法。薛永吉等(2005)通过建立数学模型对物流中心的最优站台数问题进行研究，在一定假设和一系列限制条件下，求解最优站台数量，并针对数学模型的复杂性和求解的种种不足，以ARENA仿真软件为平台，建立仿真模型确定了最优化方案。Kazuyoshi Hidaka等(97)运用仿真对大规模的仓库选址进行了研究。该研究对仓库的固定成本、运输成本，和同时满足6800名顾客进行了仿真，以求得临近的最优解(near-optimal solution)。在求解的过程中，结合了贪婪－互换启发式算法(Greedy-Interchange heuristics)和气球搜索算法(Balloon Search)两种启发式算法进行求解。该算法能比较有效地避免陷入局部最优解和得到比较满意的选址方案。但是，研究的结果容易受到运输车辆的平均速度变化的影响。 仿真方法相对解析的方法在实际应用中具有一定的优点，但是，也存在一定的局限性。如仿真需要进行相对比较严格的模型的可信性和有效性的检验。有些仿真系统对初始偏差比较敏感，往往使得仿真结果与实际结果有较大的偏差。同时，仿真对人和机器要求往往比较高，要求设计人员必须具备丰富的经验和较高的分析能力，而相对复杂的仿真系统，对计算机硬件的相应要求是比较高的。关于未来的研究，各种解析方法、启发式算法、多准则决策方法与仿真方法的结合，是一种必然的趋势。各种方法的结合可以弥补各自的不足，而充分发挥各自的优点，从而提高选址的准确性和可靠性。 物流配送中心的选址决策对于整个物流系统运作和客户满意情况有着重要的影响。本文在对国内外有关物流配送中心选址方法文献研究的基础上，对比分析了数学规划方法、多准则决策、启发式算法、仿真方法在配送中心选址中的应用。研究发现数学规划方法、多属性决策方法、启发式算法、仿真方法各自有自己的优缺点和一定的适用范围，各种方法的组合研究是未来研究的一种趋势。同时，由于选址问题本身具有的动态性、复杂性、不确定性等特性，因此，开发和研究新的模型与方法也是进一步解决配送中心选址问题的必需途径。 参考文献： 1.蒋忠中，汪定伟.B2C电子商务中配送中心选址优化的模型与算法(J).控制与决策，2005 2.韩庆兰，梅运先.基于BP人工神经网络的物流配送中心选址决策(J).中国软科学，2004
主课还有科学
在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。关于数学方面的论文我们可以写哪些呢?下面我给大家带来关于数学方向的优秀论文题目有哪些，希望能帮助到大家!
最全组合数学论文题目
1、并行组合数学模型方式研究及初步应用
2、数学规划在非系统风险投资组合中的应用
3、金融经济学中的组合数学问题
4、竞赛数学中的组合恒等式
5、概率 方法 在组合数学中的应用
6、组合数学中的代数方法
7、组合电器局部放电超高频信号数学模型构建和模式识别研究
8、概率方法在组合数学中的某些应用
9、组合投资数学模型发展的研究
10、高炉炉温组合预报和十字测温数学建模
11、证券组合的风险度量及其数学模型
12、组合数学中的Hopf方法
13、PAR方法在组合数学问题中的应用研究
14、概率方法在组合数学及混合超图染色理论中的应用
15、一些算子在组合数学中的应用
16、陀螺/磁强计组合定姿方法的相关数学问题研究
17、高中数学人教版新旧教材排列组合内容的比较研究
18、生物絮凝吸附-曝气生物滤池组合工艺处理生活污水的数学模拟研究
19、基于数学形态学-小波分析组合算法的牵引网故障判定方法
20、证券组合投资的灰色优化数学模型的研究
21、一些算子在组合数学中的应用
22、概率方法在组合数学中的应用
23、组合数学中的Hopf方法
24、概率方法在组合数学中的某些应用
25、概率方法在组合数学及混合超图染色理论中的应用
26、竞赛数学中的组合恒等式
27、Stern-Lov醩z定理及在组合结构中的应用
28、几类特殊图形的渐近估计及数值解
29、Fine格路和有禁错排
30、基于DFL的Agent自主学习模型及其应用研究
31、基于DFL的多Agent自动推理平台设计
32、预应力混凝土斜拉桥施工监控概率方法研究
33、最大概率方法与最近邻准则下的图像标注
34、亚式期权定价的偏微分方程方法和概率方法
35、编目空间碎片的碰撞概率方法研究及应用
36、基于概率方法的机器人定位
37、民用建筑内部给水设计秒流量的概率方法研究
38、图论中的组合方法和概率方法
39、物理概率方法预估贮存寿命研究
40、静载下结构参数识别的误差分析和概率方法
41、概率方法在组合计数证明中的应用
42、基于非概率方法的结构全寿命总费用评估
43、概率方法在组合数学中的应用
44、概率方法与邻点可区别全染色的色数上界
45、既有钢筋混凝土结构耐久性评定的概率方法
46、概率方法在多任务EEG脑机接口中的应用研究
47、应用概率方法对居住小区给水设计秒流量的推求
48、概率方法与图的染色问题
49、概率方法对居住小区设计秒流量的推求
50、概率方法在组合数学中的某些应用
51、概率方法在组合恒等式证明中的应用
52、遗传算法的研究与应用
53、基于空间算子代数理论的链式多体系统递推动力学研究
54、关于Weidmann猜想及具有转移条件微分算子的研究
55、实数编码遗传算法杂交算子组合研究
56、基于OWA算子理论的混合型多属性群决策研究
57、序列算子与灰色预测模型研究
58、具有转移条件的Sturm-Liouville算子和具有点作用的Schrodinger算子谱分析的研究
59、高精度径向基函数拟插值算子的构造及其应用
60、多线性算子加权Hardy算子与次线性算子的相关研究
数学建模论文题目
1、高中数学核心素养之数学建模能力培养的研究
2、小学数学建模数字化教学的设计与实施策略——以“自行车里的数学问题”为例
3、培养低年段学生数学建模意识的微课教学
4、信息化背景下数学建模教学策略研究
5、数学建模思想融入解析几何的实际应用探讨
6、以数学建模为平台培养大学生创新能力的SWOT分析──以内蒙古农业大学为例
7、基于高等数学建模思维的经济学应用
8、以数学建模促进应用型本科院校数学专业的发展
9、高等代数在数学建模中的应用探讨
10、融入数学建模思想的线性代数案例教学研究
11、以“勾股定理的应用”为例谈初中数学的建模教学
12、经管概率统计中的数学建模思想研究——评《经管与 财税 基础》
13、数学建模实例——河西学院校内充电站最佳选址问题
14、基于数学建模探讨高职数学的改革途径
15、大数据时代大学生数学建模应用能力的提升研究
16、“数学写作之初见建模”教学设计及思考
17、大学数学教学过程中数学建模意识与方法的培养简析
18、基于建模思想的高等数学应用研究
19、小学数学建模教学实践
20、依托对口支援平台培养大学生的数学建模能力
21、跨界研究在数学建模教与学中的应用
22、基于结构参数的机织物等效导热率数学建模
23、数学建模对大学生综合素质影响的调查研究
24、计算机数学建模中改进遗传算法与最小二乘法应用
25、数学建模在高中数学课堂的教学策略分析
26、发动机特性数字化处理与数学建模
27、数学建模中的数据处理——以大型百货商场会员画像描绘为例
28、数学建模竞赛对医学生 学习态度 和自学能力的影响
29、数学建模思想与高等数学教学的融会贯通
30、试论数学建模思想在小学数学教学中的应用
31、浅析飞机地面空调车风量测控系统数学建模及工程实施
32、高中数学教学中数学建模能力的培养——基于核心素养的视角
33、注重数学建模 提炼解题思路——对中考最值问题的探究
34、在数学建模教学中培养思维的洞察力
35、刍议数学建模思想如何渗透于大学数学教学中
36、数学建模竞赛背景下对高校数学教学的思考
37、数学建模课程对高职学生创新能力的培养探究
38、高等数学教学中数学建模思想方法探究
39、初中数学教学中数学建模思想的渗透
40、无线激光通信网络海量信息快速调度数学建模
41、基于多元线性回归模型的空气质量数据校准——2019年大学生数学建模竞赛D题解析
42、中学数学建模教学行为探究
43、数学建模竞赛成果诊断倒逼教学资源库优化的机制研究
44、基于数学建模活动的高校数学教学改革
45、数学建模与应用数学的结合研究
46、谈初中数学建模能力的培养
47、数学建模在初中数学应用题解答中的运用
48、基于数学建模思想的高等数学 教学方法 研究
49、数学建模融入高等数学翻转课堂模式研究
50、数学软件融入数学建模课程教学的探讨
最新小学数学教学论文题目
小学数学教材问题探析
小学数学生活化教学研究
小学数学___教学方法有效性分析
小学数学多媒体课件设计研究
小学生数学思维培养探究
小学数学中创新意识的培养
数学作业批改中巧用评语
新课标下小学数学教学改革研究
数学游戏在小学数学教学中的应用
《9和几的进位加法》教学设计
小学数学教学中素质 教育 研究
小学数学学困生的转化策略
小学数学教学中的情感教育
《六的乘法口诀》教学 反思
浅谈数学课堂中学生问题意识的培养
问答式学习课堂教学怎样转向小组合作学习
浅谈农村课堂的有效交流
浅谈在实践活动中提高学生解决实际问题的能力
浅谈小学应用题教学
浅谈学生合作意识的培养
“层次性体验”在数学课堂中的应用
数学课堂教学中学生探索能力的培养
小学数学低段学生阅读能力培养点滴
“观察、 品味、 顿悟” 我谈小学数学空间与图形教学
浅谈小学数学课堂教学中的“留白”
润物细无声--小班化数学作业面批有效策略的尝试
“我的妈妈体重 50 千克” 对培养良好数感的思考
“圆的面积” 教学一得
利用图解法解决逆推题
我教《24 时计时法》
《解简易方程》 教学反思
“可能性” 的反思
折线统计图折射出的“光芒”
《平均数》 教学反思
数学课堂上的“失误“也是一种资源
幽默语言在教学中的应用
“圆的认识” 教学片断与反思
计算机多媒体与小学数学教学的整
充分发挥学生的主体作用
“圆柱的体积” 教学反思
“平行四边形的面积” 听课反思
听“逆向求和应用题” 有感
小学低年级教学策略的实践与反思
“相遇问题” 建立“数学模型”
如何提高课堂语言评价的有效性
“20 以内退位减法” 教学反思
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六年级学生数学规划
根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优措施，制定培优计划，以高度的责任心投入到紧张的教学及培优补差工作中，力争取得好成绩。
一、思想方面的培优补差。
1．做好学生的思想工作，经常和学生谈心，关心他们，关爱他们，让学生觉得老师是重视他们的，激发他们学习的积极性。了解学生们的学习态度、学习习惯、学习方法等。从而根据学生的思想心态进行相应的辅导。
2．定期与学生家长、班主任联系，进一步了解学生的家庭、生活、思想、课堂等各方面的情况。
二、有效培优转差措施。
利用课余时间和晚自习，对各种情况的同学进行辅导、提高，“因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下：
1．课上差生板演，中等生订正，优等生解决难题。
2．安排座位时坚持“好差同桌”结为学习对子。即“兵教兵”。
3．课堂练习分成三个层次：第一层“必做题”—基础题，第二层：“选做题”—中等题，第三层“思考题”--拓广题。满足不同层次学生的需要。
4．培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优。培优补差尽可能“耗费最少的必要时间和必要精力”。备好学生、备好教材、备好练习，才能上好课，才能保证培优补差的效果。要精编习题、习题教学要有四度。习题设计（或选编习题）要有梯度，紧扣重点、难点、疑点和热点，面向大多数学生，符合学生的认知规律，有利于巩固“双基”，有利于启发学生思维。
习题讲评要增加信息程度，围绕重点，增加强度，引到学生高度注意，有利于学生学会解答；解答习题要有多角度，一题多解，一题多变，多题一解，扩展思路，培养学生思维的灵活性，培养学生思维的广阔性和变通性；解题训练要讲精度，精选构思巧妙，新颖灵活的典型题，有代表性和针对性的题，练不在数量而在质量，训练要有多样化。
三、在培优转差中注意几点：
1、不歧视学习有困难的学生，不纵容优秀的．学生，一视同仁。
2、根据优差生的实际情况制定学习方案，比如优秀生可以给他们一定难度的题目让他们进行练习，学困生则根据他们的程度给与相应的题目进行练习和讲解，已达到循序渐进的目的。
3、经常与家长联系，相互了解学生在家与在校的一些情况，共同促进学生的作业情况，培养学习兴趣，树立对学习的信心。
4、对于学生的作业完成情况要及时地检查，并作出评价。
5、不定期地进行所学知识的小测验，对所学知识进行抽测。
6、要讲究教法。要认真上好每一节课，研究不同课型的教法。如上复习课时，要把知识进行网络，把知识进行列表比较，把知识系统，便于学生掌握；上习题评讲课时，做到既评又讲，评有代表性的学生答题情况，讲知识的重点、易混点、热点及考点。做到师生互动，生生互动，极大的调动学生学习积极性。提高优生率。
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。分为初等数学和高等数学。它在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。我们从有意识开始，边接触数学，入学之后便开始系统的学习，与我们生活学习息息相关紧密相联。 数学一种工具，逻辑性较强，能训练我们的思维能力；它注重方式方法，能让我们的思维更敏锐；再者就是能帮助我们解决一些实际问题。掌握数字规律，训练逻辑思维，数学是一门基础学科，除了语言学科以外，其他学科基本上都会运用到数学。数学是一门严谨、缜密的学科，通过学习数学可以锻炼我们做事时候思路清晰、依照科学规律办事。对于我个人而言，直白的说，想进入理想学府，学好数学的重要性更是不言而喻。这就要求我们必须培养自己的学习兴趣并掌握科学的适合自己的学习方法，下面是我对于初中阶段学习数学的总结及一点浅见。 凡事预则立，不预则废。智力相同的两个学生有无学习计划，直接影响到学习效果。科学的利用时间，在有限的时间内有计划的学习，这是科学学习方法的一条重要原则。所以数学学习缺乏计划性是一些学生天长日久感到吃力的重要原因之一。要提高数学学习效率，变被动学习为主动学习，做学习的主人。学好数学首先要过的是心理关，任何事情都有一个由量变到质变的循序渐进的积累过程。培根说过，数学是思维的体操。然而，不少学生却在题海中疲惫地挣扎，完全不顾对基本要领理解，这种只顾埋头拉车，而不抬头看路的做法，往往导致事倍功半，极大地挫伤人的自信心。勤学苦练不可少，成功没有捷径，要乐观，有毅力，要有决心，还要有耐心，学数学是一个很长的过程，你的努力于回报往往不能那么尽如人意的成正比，甚至会有下坡路的趋势，但只要坚持下去，一定能看到光明。 实践告诉我，可以从三个大方面去掌握学习要点，即理解基本概念，总结实践经验，形成知识网络。之后细分为以下六点： 一．预习。不等于浏览。要深入了解知识内容，找出重点，难点，疑点，经过思考，标出不懂的，有益于听课抓住重点，还可以培养自学能力，有时间还可以超前学习。 二．听讲。核心在课堂。1。以听为主，兼顾记录。2。注重过程，轻结论。3．有重点。4。提高听课效率。 三．复习。像演电影一样把课堂复习，整理笔记 四．多做练习。1。晚上吃饭后，坐到书桌时，看数学最适合，2。做一道数学题，每一步都要多问个别为什么，不能只满足于老师课堂上的灌输式传授和书本上的简单讲述，要想提高必须要一步一步推，一步一步想，每个过程都必不可少，3。不要粗心大意，4。做完每一道题，要想想为什么会想到这样做，大脑建立一种条件发射，关键在于每做一道题要从中得到东西，错在哪，5。解题都有固定的套路。6还有大胆的夸奖自己，那是树立信心的关键时刻， 五．总结。1。要将所学的知识变成知识网，从大主干到分枝，清晰地深存在脑中，新题想到老题，从而一通百通。2。建立错误集，错误多半会错上两次，在有意识改正的情况下，还有可能错下去，最有效的应该是会正确地做这道题，并在下次遇到同样情况时候有注意的意识。3。周末再将一周做的题回头看一番，提出每道题的思路方法。4有问题一定要问。 六．考前复习，1。前2周就要开始复习，做到心中有数，否则会影响发挥，再做一遍以前的错题是十分必要的。2。要重视基础，绝不可眼高手低，小看基础题，一份试卷的约百分之五十到六十之间都是比较基础的，该拿到得分，一份也不能丢。 用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断培养思维的严谨性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。 以上全部即是我对初中阶段数学学习的总结及学习方法的浅见。
mapping algorithm[计] 映射算法，映象算法，变换算法映射算法；匹配算法；映像演算法；映射的方法双语例句1. The hemispherical surface is an important intermediary surface used in two - part texture mapping algorithm. 摘要在两步纹理映射算法中,半球面是使用较多的一种中介面.2. The thesis uses 0 - 1 integer linear programming to construct algorithm - hardware mapping models. 论文运用运筹学中的 0-1 整数规划方法建立算法 - 硬件映射模型.3. The paper introduces a new algorithm of bump mapping. 本文介绍一种新的凹凸贴图方法.4. A theorem of synthetic algorithm is proved by local quasi contraction mapping. 对局部拟压缩映射进行了讨论,并得到了关于综合算法的一个定理.5. A high saturation algorithm for gamut mapping with a minimized color difference is presented.提出了一种高饱和度小色差的色域匹配算法.
谈关于运筹学教学的几点思考 [论文关键词]运筹学 教学研究 课程建设[论文摘要]本文对运筹学教学中存在的一些问题进行分析，并就运筹学的教学目的、教学内容、教学形式等方面进行探讨，提出相应的改革思路和措施。 运筹学作为一个学科出现以来，特别是20世纪50年代以来，运筹学的研究与实践在我国得到深入发展，在工程、管理、经济等领域都发挥了重大的作用，并作为一门课程逐渐成为管理科学、系统科学、信息技术、工程管理、物流管理、经济、金融等专业的基础课程之一。然而，由于运筹学知识的综合性及内容上的数学复杂性，使得这一课程的教学表现出强烈的自身特色。结合几年来十几次运筹学教学的体会，对运筹学的教学方法进行一个粗浅的分析，以供探讨。 一、注重其发展背景及现实意义的讲授 运筹学作为一门应用科学，既不同于数学等经典学科，又不同于普通的应用学科，这一点可以从其发展背景中略见一斑。从运筹学的早期的发展来看，它可追溯到1914年提出的军事运筹学中的兰彻斯特(Lanchester)战斗方程、1917年丹麦工程师爱尔朗(Er-lang)在哥本哈根电话公司研究电话通信系统时提出的排队论的先驱者、20世纪20年代初提出的存储论最优批量公式等等。这些发展背景的介绍有助于学生对于这一学科的重要性、学科的特点、以及其中问题的解决思路都会起到非常重要的作用。所以，作为运筹学课程的讲授人员，要把不应在课程绪论的讲授中一带而过，而是要在讲授过程中让学生有所体悟。 二、注重其“学科交叉、多分支”的特点 应该说“学科交叉、多分支”是运筹学作为一门课程的重要特色,也是教学过程中需要认真处理、仔细推敲的一个关键问题。多学科交叉使得运筹学表现出知识结构和思维方式上的复杂性——既具有数学学科的理论特性又具有应用学科的自身特性、既具有理工学科的定量特性、又具有人文学科的分析特性、既追求“完美”又注重“实用”。作为授课教师而言要始终把握运筹学的这一特点，做到对发展现状的较好跟踪，注重对学生启发性引导；做到对授课对象的仔细区分，既包括对学生学历的区分又包括对学生专业的区分，对学生学历的区分主要体现在知识内容、授课学时、授课方式、课程要求等环节，而对学生专业的区分则主要体现在理学、工学和经管专业在知识深度与广度上的差异以及在理论和应用上的差异。而多分支特性则要求授课教师在授课过程中对各个分支有针对性的选择并能够做到对该分支理论及应用的充分把握。 三、注重“案例教学、实验教学”的`综合运用 案例教学与实验教学在运筹学教学中的运用主要在于对学生综合能力的培养。“案例教学”一方面可以在课程讲授过程中起到引导的作用，既可做到由浅入深、又可在较大程度上激发学生的学习兴趣，为接下来的深入做好铺垫；另一方面，又可在知识的运用上起到较好的教学效果，既激发学生的知识运用的兴趣又加深对知识理论的理解。“实验教学”既是对理论教学和案例教学的细化又是对学生动手能力的有效引导手段，特别是对学生脚踏实地的学习态度是一个较好的锤炼，同时也对学生长期以来单纯的“分数为上”的学习方式是一个有效的冲击。正是基于上述考虑，笔者认为在运筹学的讲授过程中要充分重视“案例教学”和“实验教学”的运用，充分考虑二者在运筹学教学过程中比重和搭配问题。 四、注重教学方式的运用 随着教育技术的飞速发展，多媒体教学在课堂教学中运用越来越普遍，它在一定程度上提高了教学的质量和教学率，同时又带来相应的弊端。尤其是多年的高校扩招和运筹学课程的普遍适用性使得多数运筹学课程为大课教学，这就促使教师为了避免后排学生看不清而几乎抹去了板书的运用。所以，在大班化的背景下，板书与多媒体的矛盾始终是运筹学教学中一个难以解决的问题。 五、注重对考核方式的研究 考核作为学习过程中的一个重要环节，其设计的好坏对整个教学质量有着重要影响。在传统的考试方式中，往往过多得强调知识点的掌握情况，而在一定程度上忽视了应用能力的培养。所以，不仅要在教学过程中注重“案例教学”和“实验教学”的运用，又要注重对学生实践能力方面的考核，不仅包括学生对分析能力、动手能力的考核，还要包括对学生探索精神和探索能力的考核。基于此，笔者认为在运筹学考核过程中“专题考核”和“研究论文”都可作为传统考核方式的重要补充。 总之，教学内容、教学方式、教学媒介、考核方式都是运筹学授课教师始终需要认真思考的问题。不仅如此，还要综合考虑自身高校的教学特点，特别是该课程在专业体系中作用的考虑以及该校教学管理部门的课程管理特点。该文仅仅是笔者一点粗浅体会，不足深论，仅供参考。 [参考文献] [1]杨茂盛,孔凡楼,张炜.对运筹学课程教学改革的看法和建议[J]．西安建筑科技大学学报(社会科学版),2006（12）,108-110 [2]张润红.从整体角度对工程管理专业《运筹学》教学的探索[J]．理工高教研究,2005（2）,94-95 [3]胡发胜,刘桂真.国家精品课程运筹学的教学改革与实践[J]．中国大学教学,2006（7）,9-10 论文相关查阅： 毕业论文范文 、 计算机毕业论文 、 毕业论文格式 、 行政管理论文 、 毕业论文 ;
参考文献格式怎么对齐
参考文献格式怎么对齐，我们在写论文的时候，会出现一些小问题的，比如说参考文献的格式对不齐的，怎么调整都好像不对的样子，我和大家一起来看看参考文献格式怎么对齐的相关资料。
第一步：用鼠标全选中要进行编号的参考文献，然后右击鼠标右键。
第二步：在出现的下拉菜单中找到“编号”选项，点击进入。
第三步：在“编号”选项中，找到论文对应的编号格式，并选中编号库中相应格式。
第四步：点击参考文献的编号形式[1]这种，就会自动编号如下，但是会出现如下的空格。
第五步：在选中参考文献的状态下，点击鼠标右键，弹出下列的快捷选项。
第六步：点击“调整列表缩进”，在弹出的选项卡中将“制表符”转为“空格”。
第七步：点击“确定”后，之前的空格就会消失了！
首先，单击参考文献前面的任意一个自动编号，就可以选中整个参考文献列表。
之后我们有两种调整的方法；可以在调整列表缩进—文本缩进里设置，也可以在段落—缩进—特殊格式里进行设置。
无论选择哪种方法，我们要做的都是把这个数字（文本缩进或者悬挂缩进）调整到合适大小，使参考文献的第二行与第一行刚好按要求对齐。
但是，如果我们一个数字一个数字地去试的.话，是很耽误功夫的。所以，这里给大家分享一个快速找到合适缩进量的方法。
快速确定文本缩进量
首先，把光标放在某一个没有对齐的文献前面（即文献前面的空白处）。
选好光标位置后，在页面上方找到标尺，可以看到上下各有一个三角形的小标记。
鼠标左键单击标尺下面的小三角，按住不放。同时，按住键盘上的Alt键，往左拖动小三角，直至光标所在的那一行文献上下对齐。
然后，我们选中这个已经对齐的参考文献，在段落中查看对齐时的文本缩进量是多少。
最后，按照前面介绍的方法，将所有序号选中后，调整文本缩进量或者悬挂缩进量。这时，参考文献就全部对齐了。有必要的话，我们还可以对某些参考文献再做针对性的调整。
使用Word中尾注的功能可以很好地解决论文中参考文献的排序问题。方法如下：1．光标移到要插入参考文献的地方，菜单中“插入”——“引用”——“脚注和尾注”。2．对话框中选择“尾注”，编号方式选“自动编号”，所在位置选“节的结尾”。3．如“自动编号”后不是阿拉伯数字，选右下角的“选项”，在编号格式中选中阿拉伯数字。4．确定后在该处就插入了一个上标“1”，而光标自动跳到文章最后，前面就是一个上标“1”，这就是输入第一个参考文献的地方。5．将文章最后的上标“1”的格式改成正常（记住是改格式，而不是将它删掉重新输入，否则参考文献以后就是移动的位置，这个序号也不会变），再在它后面输入所插入的参考文献（格式按杂志要求来慢慢输，好像没有什么办法简化）。6．对着参考文献前面的“1”双击，光标就回到了文章内容中插入参考文献的地方，可以继续写文章了。
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。 论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。 论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。[注]赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。全国大学生数学建模竞赛组委会2009年3月16日修订数学建模论文一般结构1摘要 （单独成页）主要理解 、主要方法、 主要结果、 主要特点 （不要图、不要表）作用：了解文件重要性，对文件有大致认识最佳页副：页面2/3。2、问题重述和分析3、问题假设假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。常犯错误有缺少假设或假设不切实际。对一些关键性的或对结果有重大影响的条件或参数应该在假设中明确约定。作假设的两个原则：① 简化原则：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，方便 数学处理。② 贴近原则：贴近实际。以上两个原则是相互制约的，要掌握好“度”。通常是先建模后假设。4、符号说明 （3.4可以合并）5、模型建立与求解（重要程度 ：60%以上）6、模型检验（误差一般指均方误差）7、结果分析 （6.7可以合并）8、模型的进一步讨论 或 模型的推广9、模型优缺点10、参考文件11、附件（结果千万不能放在附件中）论文最佳页面数：15-21页 论文结构一题目摘要1.问题的重述2.合理假设3.符号约定4.问题的分析5.模型的建立与求解6.模型的评价与推广1、误差分析2、模型的改进与推广对XXXX切实可行的建议和意见：1.……2.…………7.参考文献8.附录 数学建模论文一般格式 摘要（主要理解、主要方法、主要结果、主要特点）或（背景、目标、方法、结果、结论、建议） 问题重述与分析 问题假设 符号说明 模型建立与求解 模型检验 结果分析 模型的进一步讨论 模型优缺点优秀论文要点：1. 语言精练、有逻辑性、书写有条理2. 文字与图形相结合，使内容直观、清晰、明了、容易理解3. 切忌只用文字进行说明，多运用图形或表格，并对图形或表格做精简的分析，毕竟文字性东西太过于枯燥、乏味，没人有耐性去看那么冗长的文章4. 对论文中所引用或用到的知识、软件要清晰地予以说明。5. 在附录中附上论文所必须要的一些数据（图形或表格），并将论文中所编写的程序附上去各步骤解释摘要：主要理解 、主要方法、 主要结果、 主要特点 （不要图、不要表）作用：了解文件重要性，对文件有大致认识最佳页副：页面2/3问题重述与分析： 一向导、对题意的理解、 建模的创造性创造性是灵魂，文章要有闪光点。好创意、好想法应当既在人意料之外，又在人意料之中。新颖性（独特性）与合理性皆备。误区之一：数学用得越高深，越有创造性。解决问题是第一原则，最合适的方法是最好的方法。误区之二：创造性主要体现在建模与求解上。创造性可以体现在建模的各个环节上，并且可以有多种表现形式。误区之三：好创意来自于灵感，可遇不可求。好创意来自于对数学方法的掌握程度与对问题理解的透彻程度。 表达的清晰性好的文章 = 好的内容 + 好的表达 替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关键指标或参数的引入，建模的思路，结果的分析等。 写好摘要，包括：建模主要方法、主要结果，模型主要优点。 专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思框架、理清思路的过程，有利于从总体上把握建模的思路，反过来促进建模。 适当采用图表，增加可读性。
衡量一个赛程优劣，除各队每两场比赛间相隔场次数上限d这个指标外，各队在整个赛程中总间隔场次数e的差异程度E也是一个重要的指标。可设E=Emax-Emin，E越大说明各队总体休整间隔数的差异大。见表2、表3，分别是n=8,n=9的满足d=[(n-3)/2]的赛程，n=8的此赛程E=19-17=2；n=9的赛程E=28-21=7。这里n=8的赛程中差异度较小，表现出各队总体休整时间较为均匀，因而此赛程就指标而言，也较为公平的，n=9的赛程中差异度较大，因而此赛程仍有不公平性。此外，除了每两场比赛间相隔场次数外，各队比赛之前的休息时间，即首轮比赛的出场次序，对比赛的成绩仍有一定的影响，（如在首轮中靠后面比赛可减少旅途劳累，可先观察各队情况等等）。如表2中，4队、5队首轮最后比赛，表3中，9队首轮最后比赛。实际中此因素无法解决，常采取抽签的方法来决定首轮的出场次序。关于赛程的优劣，除考虑公平性外，还有效率性问题，即考虑如何合理紧凑地安排赛程，使赛程的从时间较短。6．模型评价6.1 本模型的结果成功地给出了同一场地单循环赛各队每两场比赛中间相隔场次数上限的计算公式，有一定的理论意义与实际意义。6.2关于同一场地单循环赛赛程编派法，至今实际中都采用“循环规则”，（见上文n为偶数编派法），通过我们的研究发现此规则虽然简易、对于n为偶数的赛程，符合d=[(n-3)/2],从而有公平性，对于n为奇数，编派的赛程d<[(n-3)/2],有失公平性。表4是用实际方法对n=7编制的赛程（首轮1队轮空，1队不动）。其弊端是此赛程d=1，而按公式d=[(n-3)/2]=2。说明各队每两场比赛中间极不均等，如有间隔6场，有间隔1场，具体到一个队（如5队比赛与休整时间极不均等）。从比赛与休整的节奏，第一队最有利，第五队最不利，另外从各队总间隔场次数看，也有较大差异，说明实际赛程编制法有待改进。而本模型算法提出的“生成规则”（见上文n为奇数编派法）既简便又公平。 东区15支 西区15支常规赛：一支球队要跟同区的每一支球队各打4场比赛（两场主场、两场客场）和不同区的每支球队各打两场比赛（一场主场、一场客场）。这样下来每一支球队在常规赛都要打八十二场比赛。顺便把算法写出来：一个区的比赛总场数：15× 14×（4＋2）－30＝1230（场） 一个区的球队总数为15个 每只球队一个赛季的比赛场数就为：1230/15=82（场） 常规赛打完，每个赛区战绩排在前八名的进入季后赛。赛区的第一名对第八名、第二名对第七名、第三名对第六名、第四名对第五名。季后赛是打淘汰制比赛，每轮比赛是七场四胜制 最终决出赛区第一名。两个赛区的第一名争夺总冠军
有期刊杂志，书籍和论文三种，在建模论文的写法都不一样，论文格式中应该会有
简单说一下时代背景，如规划模型在经济学精确化条件下越来越重要，作为运筹学的重要分支，应用……再解释一下数学规划的定义，稍加阐释，百度上有，不过太简单，然后说一下数学规划的分类。最核心的环节是，对分类在经济学中应用的举例，注意详略得当，重点介绍线性规划，非线性规划，动态规划，以上三类书上都有例子。其余的不必展开论述。最后总结一下就好了 。附：类似论文一篇浅析数学在经济学中的应用摘要：半个多世纪以来经济学领域中数理形式的运用是—个重要的发展趋势，对经济理论和实践也有重要的影响。西方经济学知识的普及也已将数学知识渗透到了经济学的方方面面。将当今经济学名刊稍作翻阅便会发现，大量数学方法的运用甚有超越数学专业学生的趋势，经济学论文的质量要看其数学方法应用的程度，经济学硕士博士的录取要看其数学背景的深厚，数学几乎有一统经济学天下之势。经济学遇上数学将会演绎如何的理性之美?关键词：经济学；数学；西方经济学一、经济学的定义资源的有限性和人类欲望的无穷性是经济学诞生的根基，这是一个常人皆知浅之又浅但又非常深刻的道理。经济学要解决的其实就是一个如何选择的问题，也就是说，经济学就是要解决选择以什么样的方式把有限的资源合理有效的配置进而达到满足人类无穷之欲望的目的。所以西方经济学里经济学被定义为研究稀缺资源配置的学科，它以理性的假设为逻辑起点，研究人类行为，这些基于现实基础研究的问题与现实经济生活中存在的问题紧密相连，研究的结论能有助于解释或理解现实经济问题。但是，经济关注人类行为本身的目的最终就是为了追求资源配置的效率(efficiency)。经济学作为一门研究人类社会的事实的学科，有着它独特的味道。它可以联系到政治，社会等各种学科。对于经济学家，当他试图解释这个世界的时候，他就是经济学家，当他试图改变这个世界的时候，他就是政客。特殊的双重身份也说明经济学的多元性。甚至有人提出这样一种见解，认为经济学在本质上和史学没有什么差别，只是史学研究的大多是过去的事情，而经济学关注的历史长度就没那么长了，而且经济学更多的借用了数学和统计的工具来阐释问题。二、数学在经济学中的应用西方经济学者大量的把数学引入经济学，就是试图以一种精确的方式阚释世界，进而试图把现代西经济学发展成为一门精确的科学。以高鸿业主编的《西方经济学(微观部分)第四版)>为例，在说明边际效用时应用的极限和求导；在分析蛛网模型时应用的拉格朗日乘数法；在论证边际技术替代率时应用的多元函数微分法；在阐述寡头厂商之间的博弈策略时应用的博弈论与均衡的概念；以及无处不在的各种函数曲线的应用和函数表达式的推导。而这些只是经济学学习的入门课本上的一些例子。而在整个经济学领域里，边际分析、瓦尔拉斯一般均衡论、线性规划、投入产出分析、博弈论以及随机数学、模糊数学和非线性科学在经济中也有着广泛的应用。这些本来属于数学范畴的工具现在充满了经济学研究的方方面面。同时诺贝尔经济学奖的设立似乎也是一个强有力的明证。但我们也不可否认，数学作为一门工具，在对经济学理论的解释中也发挥了重要的作用。下面来看几个经典的例子。1．边际理论公元17世纪，随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过度，向数学提出了一系列必须从运动变化和发展的观点来研究事物的新问题。于是，从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分——变量数学便应运而生。19世纪70年代初期，杰文斯、门格尔和瓦尔拉斯三位不同国籍的学者将他们的“欲望”概念或者“效用”概念和“微分”的基本概念结合起来，“边际效用”使出现了。经济学史上著名的“边际革命”也随着微积分思想向经济学渗透而爆发。在边际革命鼎盛时期之后，边际分析方法本身朝着更深更广的方向发展。而边际分析这一脱胎于微积分思想的有力工具，也在经济学的各个研究领域一宏观经济学、线性规划分析、经济计量学、福利经济学等等中得到了普遍的应用。2．一般均衡理论1 8世纪的欧洲，自由竞争的资本主义正处于上升的历史阶段。经济学家们注意到在一个社会里有众多的消费者和生产者，他们各自独立做出的决策不但没有引起混乱，反而在实际中产生了一种最优的经济状态。1776年，亚当·斯密就在他那本堪称“经济学的圣经”的‘<国民财富的性质和原因的研究》中提出，这是由于有一只“看不见的手”在起作用。而在一百年后，法国经济学家瓦尔拉斯把斯密的这一思想提炼成一般均衡问题，把用文字表述的思想借助19世纪已经发展成熟的线性代数理论转化成了数学问题。按照线性代数的观点，商品空间可以看作一个线性空间，每一种商品的需求或供给可以看作是一种约束，这种约束用状态变量所满足的方程来表示。而找到一组确定的值满足所有方程，就找到了均衡体系。瓦尔拉斯在1874年出版的代表作《纯粹经济学要义势中，从交换均衡入手，分析了由交换均衡、生产均衡、资本积累均衡和货币均衡四个方面构成的体系，阐明了在纯粹竞争条件下整个经济处于完全均衡状态时各种经济变量的均衡值的决定条件与相互关系。瓦尔拉斯借助于线性代数创造的这样一套全新的理论概念体系当时并没有被同时代的经济学家立刻适应和接受，反而对他诸多责难。但是，这一开拓性的工作却对后世产生了持久的深远影响。三、数学方法在经济学中是工具通过上面的几个例子，可以看出，数学的灵活运用对于一个经济理论的阐述的确起到了非同小可的作用。但我们必须看到，对于经济理论，数学方法是一种分析、论证和研究的工具，这种工具能否产生有用的成果，取决于应用数学的经济理论是否正确。数学方法可以为正确的理论服务，也可以为错误的理论效劳，方程式证明是对的，只是公式上的对，内容上却可能是错的，数学方程式大有用场，但数学本身是没有内容的。大概地对比精确的错可取，世界如此复杂，而统计学的陷阱多如牛毛，可取的结论也要先求大概地对为好，所以，经济学中数学的应用应该是一个附加条件慎之有慎而绝不是人人想用就可用的问题。记得复旦大学陆铭教授在源于经济学和数学关系的一篇文章中说道，“在经济学里直觉非常重要。有了直觉以后，在做一个数学模型之前，应该在脑子里面有一个故事和逻辑，用数学把这个故事和逻辑写下来。数学的确可以帮助你得到一些结论，但我的经验告诉我，百分之七十甚至百分之八十的结论，可能你在写数学之前就已经知道了；确确实实有百分之二、三十的结论，如果你不写数学可能你就不知道，或者你知道的很模糊。为什么我这样说?回过头来想想看刚刚讲到的起点问题，如果你相信仅仅依靠数学可以帮你把经济学解释清楚，那我就要问，你的起点是哪儿来的?当你去写你的数学的假设时，当你去假设人的行为决策模式的时候，当你去假设模型中的市场结构的时候——是用垄断的市场结构，还是完全竞争的市场结构?在不在你的模型里放政府?——实际上你要做的是用数学来表达一个你对经济现实的认识。如果你说我对这个现实没有认识就直接写数学了，那非常危险的一个结果就是你的起点就错了，于是你的结论不可能是对的，哪怕你数学上非常花俏”。而且陆铭教授还强调了“数学之后”的问题，他说，“你们把数学推导完了，有没有想过在数学逻辑的背后，它的故事是什么，它的经济学含义是什么。这往往是同学们所忽略的。在学习和读论文的过程当中，如果你们忽略这一点，你们学到的就只是数学，而不是经济学。你们在写论文的时候，把数学写完了，写上两个字“证毕”，你的论文最多完成了百分之五十。你要知道，在数学层面上，只要动—叫叫、小的假设，就完全可能得到不同的结论，因此，脱离经济学机制而存在的数学结论是毫无意义的”。所以思想应该是最重要的，数学是工具，目的是为了把问题看清楚，得出结论。经济学中的数学工具很重要——就仿佛和外国人交流用英语一样重要。但是，与和外国人用英语交流一样，更重要的你想要交流的思想。在经济学中，数学是全球经济学家都能听懂的语言，同样，语言很好并不必然意味着你的思想就很深刻。现在的经济学流派里，不大使用数学的新制度经济学就很有解释力。在经济史上的伟大经济学家，纳什作为一位数学系的博士生，因其博士论文在博奕论中的开拓性贡献而获得了一九九一年诺贝尔经济学奖。纳什能够获奖，依靠的仅是数学吗?是通过数学所透析出的思想，一种具有开拓性的思想。还有科斯，他从来不用数学，仅凭二十余岁时发表的《企业的性质》及以后发表的《联邦传播委员会》而获得诺贝尔经济学奖，成为经济史上一位举足轻重的人物，科斯的产权理论和交易费用理论，证明了产权制度对经济的重要性，并在此基础上形成一个当前在经济学中十分重要的新制度经济学派。科斯没有凭借任何数学工具，凭借的完全就是一种思想，一种开拓于前人的思想。还有一些经济学家反对在经济学中运用数学工具，如获一九七四年诺贝尔经济学奖的缪尔达尔，他是代表弱势群体说话的经济学家，他对美国黑人和发展中国家人民的关注是经济学人文关怀的体现。同年获奖的经济学家哈耶克是自由主义大师，他对自由问题的论述，无疑是对人类的最大关怀。