大学数学杂志问题答案

21世纪数学七大难题 最近美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣 布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以 下是这七个难题的简单介绍。 “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅 中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女 士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这 样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问 题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与 此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你 可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803， 那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个 答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被 看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook ）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样 的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来 形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有 力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。 不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些 没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来 说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表 面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸 缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说 ，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球 面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体 )的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的 数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布 并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密 相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的 所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它 对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大 约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学 之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中 所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如 此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学 家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来 没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引 进根本上的新观念。 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气 式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯 托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的 理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托 克斯方程中的奥秘。 “千僖难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾 经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正 如马蒂雅谢维奇()指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一 般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷 通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特 别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z( 1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

1、NP 完全问题数学上著名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NP COMPLETE”问题，简单的写法，是 NP=P？的问题。问题就在这个问号上，到底是NP等於P，还是NP不等於P。NP问题到底是Polynomial，还是Non-Polynomial，尚无定论。 NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。 什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。 这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。 完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。 人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们於是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在指数 时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。 解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。 前段时间轰动世界的一个数学成果，是几个印度人提出了一个新算法，可以在多项式时间内，证明某个数是或者不是质数，而在这之前，人们认为质数的证明，是个非多项式问题。可见，有些看来好象是非多项式的问题，其实是多项式问题，只是人们一时还不知道它的多项式解而已。如果判定问题π∈NP，并且对所有其他判定问题 π∈NP，都有π'多项式变换到π(记为π'∞π)，则称判定问题π 是NP完全的。对P类，NP类及NP完全问题的研究推动 了计算复杂性理论的发展，产生了许多新概念，提出了许多新方 法。但是还有许多难题至今没有解决，P=?NP就是其中之一。许多学者猜想P≠NP，但无法证明。2、郝治（Hodge） 猜想也叫霍奇猜想(Hodge Conjecture)：在非奇异复射影代数簇上, 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。3、庞加莱（Poincare） 猜想在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。” 如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。4、黎曼（Rieman ）假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。5、杨－米尔斯 (Yang-Mills) 理论又称规范场理论，是研究自然界四种相互作用（电磁、弱、强、引力）的基本理论，是由物理学家杨振宁和.米尔斯在1954年首先提出来的。它起源于对电磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和电磁相互作用的统一理论，已经为实验所证实，特别是这理论所预言的传播弱相互作用的中间玻色子，已经在实验中发现。杨－米尔斯理论又为研究强子（参与强相互作用的基本粒子）的结构提供了有力的工具。在某种意义上说，引力场也是一种规范场。所以这一理论在物理中的作用非常重要。数学家注意到杨－米尔斯场中的规范势恰是数学家在20世纪30～40年代以来深入研究过的纤维丛上的联络。不仅如此，他们还发现，这一理论中出现的杨－米尔斯方程是一组数学上未曾考虑到的极有意义的非线性偏微分方程。1975年以来数学家对杨－米尔斯方程进行了许多深入的研究，这些研究对于纯粹数学的发展，也起了推动作用。 6、纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes）方程纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes）方程也称纳威厄-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)：证明或否定3-维奈维尔－斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的边界和初始条件下)。 纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。7、BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想BSD猜想属于数论中的内容，是关于方程的整数和有理数解的问题。数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点

显然此函数是光滑的yc可用多维导数解题

(1) 因 Mx = b = (1, 2, 3)^T 无解， 则系数矩阵 M 的秩 小于 增广矩阵 (M, b) 的秩M 为不满秩矩阵，|M| = 0.(2) 因 Mx = (4, 5, 6)^T 有解向量 x1，Mx = (5, 1, 7)^T 有解向量 x2 ，则 Mx1 = (4, 5, 6)^T， Mx2 = (5, 1, 7)^T，得 M(x2-x1) = (1, -4, 1)^T, x2 ≠ x1, x2-x1 是唯一非零解则 M满秩， M 的简约列梯形式中有 3 个非零行。例如 M =[4 0 0][1 1 0][1 0 1]x1 = (1, 4, 5)^T, x2 = (5/4, -1/4, 23/4)^T

(1)P对NP问题(2)霍奇猜想(3)普安卡雷猜想(4)黎曼假设(5)米尔斯理论(6)斯托克斯方程(7)戴尔猜想 2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，美国克雷数学研究所公布和介绍了7个“千年大奖问题”。并邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。 这7个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯理论、纳卫尔-斯托克斯方程、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想。 其中庞加莱猜想和黎曼假设是两个最大的猜想，剩余下的难题中，很多人攻关的黎曼假设还没有看到破解的希望；引起很多著名数学家兴趣的霍奇猜想“进展不大”；和流体有关的纳卫尔-斯托克斯方程“离解决也相差很远”；P与NP问题“没什么进展”；杨-米尔理论“太难，几乎没人做”。 另外几个数学难题： 难题一：哥德巴赫猜想 提出者：哥德巴赫提出时间：1742年研究进展：尚未破解 内容表述：命题A每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和。 命题B每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和。 1742年，德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出了这两个问题。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。 实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。1920年，挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c是常数。1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。1966年，中国数学家陈景润证明了“1+2”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位。 难题二：费马大定理 提出者：费马提出时间：1637年研究进展：于1995年被成功证明 内容表述：xn＋yn＝zn在n是大于2的自然数时没有正整数解（这里xn、yn、zn表示x的n次方、y的n次方、z的n次方）。 在360多年前的某一天，当费马阅读古希腊名著《算术》时，突然心血来潮在书页的空白处，写下这样一段话：“将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分成两个四次幂，或者一般地将一个高於二次幂的数分成两个相同次幂，这是不可能的。我对这个命题有一个美妙的证明，这里空白太小，写不下。” 这个世纪数论难题由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学理论，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等。 难题三：四色猜想 提出者：格斯里提出时间：1852年研究进展：于1976年被计算机验证 内容表述：每幅地图都可以用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。 四色猜想于1852年由英国学生格斯里提出，这一猜想的证明得益于计算机技术的发展。1976年6月，美国伊利诺斯大学的数学家阿佩尔和哈肯在3台不同的计算机上用了1200个小时，分析了2000个构形后成功证明这一猜想。它是第一个人机合作完成的著名数学证明，在数学界、计算机界，乃至哲学界都引起了广泛关注，引发了关于数学的本质、数学证明的意义等问题的深入讨论。另外，四色难题的研究还对平面图理论、代数拓扑学、有限射影几何和计算机编码程序设计等发展起到了重要的推动作用。 难题四：女生散步问题 提出者：柯克曼提出时间：1850年研究进展：已被破解 内容表述：某学生宿舍共有15名女生，每天3人一组进行散步，问怎样安排，才能使每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每星期一次。 英国数学家柯克曼于1850年提出“女生散步”问题，提出后得到多种解答，其中较有代表性的是假定一位女生固定在某一组，再将其他14位女生编上号码（1至14号），并按照一定规律安排星期天的分组散步，则其他6天星期r散步（r=1,2,3,4,5,6）分组可按原编号与r的数字之和安排（和数超过14则减去14）。 另外，有些数学家更将问题扩展成组合论中的难题：设有N个元素，每三个一组分成若干组。这些组分别组成一个系列，现称为柯克曼序列。若每一元素与其他元素恰有一次同组的机会，问将N分成这种序列要满足的充分必要条件是什么，怎样组成此序列？在女生问题中，序列数为7，N=15是适合条件的数。但N的一般解答直到20世纪60年代后才有突破。我国数学家陆家羲对此曾作出过重要的贡献。 难题五：七桥问题 提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇（今苏联加里宁格勒） 提出时间：十八世纪初研究进展：于1736年被圆满解决 内容表述：一条河的两支流绕过一个岛，有七座桥横跨这两支流，问一个散步者能否走过每一座桥，而每座桥却只走过一次。 这个问题起源于18世纪初的普鲁士柯尼斯堡镇（今苏联加里宁格勒）。欧拉在1736年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数。 七桥问题引发了网络理论之研究，被认为是拓扑学理论基本应用题，对解决最短邮路等问题很有帮助。