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三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
1、数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。
2、三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
3、三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
4、外心是一个数学名词。是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
扩展资料
一、垂直性质
三角形的三条垂直平分线必交于一点
已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O
求证：O点在BC的垂直平分线上
证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO
∵EO垂直平分AC，∴AO=CO
∴BO=CO
即O点在BC的垂直平分线上
二、外心性质
1、三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2、三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
4、OA=OB=OC=R
5、∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
6、S△ABC=abc/4R
参考资料来源：百度百科-三角形的四心
学生和赞美诗
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 三角形的重心、外心、垂心、内心、称为三角形的四心。它们都是三角形的重要相关点。
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1、重心:三角形的三条中线的交点.该点必在三角形内, 且该点将每条中线分为2:1. 2、内心:三角形的三条角分线的交点.该点必在三角形内, 且该点到三条边的距离相等,也是该三角形的内切圆的圆心.. 3、外心:三角形的三条中垂线的交点.锐角三角形该点在三角形内,钝角三角形该点在三角形外 该点到三角形的三个顶点的距离相等,也是该三角形的外接圆的圆心. 4、垂心:三角形的三条高的交点.锐角三角形该点在三角形内,钝角三角形该点在三角形外
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三角形四心及其性质如下：
重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
所谓三角形的四心，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点，它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心；垂心。
三角形三条边上的高相交于一点,这一点叫做三角形的垂心；重心，三角形三条边上的中线交于一点,这一点叫做三角形的重心；三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心；
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心；还有一个心叫旁心，外角平分线的交点，只有正三角形才有中心，这时重心、内心、外心、垂心四心合一。
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