求极限的方法综论毕业论文

如图所示：

特别注意：

1、函数在一点有极限与这点是否有定义无关.但是函数在这点的邻域一定要有定义；

2、一般地，函数在一点有极限，是指函数在这点存在双侧极限,且相等，只有区间端点，是单侧极限。

对数法。此法适用于指数函数的极限形式，指数越是复杂的函数，越能体现对数法在求极限中的简便性，计算到最后要注意代回以e为底，不能功亏一篑。

定积分法。此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。

扩展资料：

极限性质：

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”

3、保号性：若  （或<0），则对任何  （a<0时则是  ），存在N>0，使n>N时有  （相应的xn

极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。下面以较基础的数列极限求法为例。

首先列举判断数列敛散性的方法：

一、根据定义判定，包括：

1、利用数列极限的ε-N定义。对应的是，可以根据伊普西龙N定义，判定一个数不是数列的极限。如果这个数具有任意性，那么该数列就发散。

设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限.

2、收敛数列有与邻域相关的数列极限定义。相对应的也有否定一个定数是数列的极限的定义。同样的，如果这个数具有任意性，那么数列就发散。

任给ε>0，若在U(a; ε)之外数列{an}的项至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a.

定义一般用来证明数列的敛散性，较少用于求数列的极限。

二、利用数列收敛的充要条件来判定，一共有三个充要条件：

1、数列通项an与定数a的差表示的数列是一个无穷小数列；

2、数列的任何非平凡子列都收敛；同时决定了它们收敛于同一极限。如果数列存在发散的非平凡子列，就证明数列发散；或者数列存在极限不同的非平凡子列，也说明数列发散；

3、柯西收敛准则。对应的也有数列发散的柯西充要条件。

对任何ε>0，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε.

这些充要条件也主要是用于判断数列的敛散性。三、利用性质

比如利用收敛数列的迫敛性，有时候也用它来求极限。

接下来介绍求极限的常用方法：

一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。

它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：

1、相反的收敛数列极限相反；

2、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；

3、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；

4、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；

5、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。

二、利用极限的单调有界定理。

其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。

三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x的极限和1的无穷次方类型的极限。

四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。

五、用洛必达法则，针对0/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。

六、利用泰勒公式求极限的方法。

还有把极限化为导数或积分求极限的方法等。大多数的求极限法中，都浸透有换元的思想，所以你还可以说有一种换元法。

1、关于极限的常用计算方法与示例，请楼主参看下面的图片；

2、由于篇幅巨大，无法全数上传，下面图片上的方法，应付到

研究生考试，已经绰绰有余。

3、每张图片均可点击放大，放大后的图片更加清晰。

4、若有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释。

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