常微分方程初值问题毕业论文

这里， 为常微分方程的右端函数，而 为所求未知函数的初始值。求解常微分方程初值问题用指令ode23 或ode45。使用这两条命令中的任何一条都必须事先编写好函数文件并保存在工作目录下（如取文件名为）。命令的具体使用格式为 [x,y] = ode23('yprime', x0, xn, y0)其中，yprime 为描述常微分方程右端函数的函数文件名，而x0 和 xn分别为自变量的初始点和终值点，y0为未知函数的初值。 例如求一阶常微分方程 在（0，1）区间内的数值解，并与该初值问题的解析解 进行比较。 首先编缉两个函数文件，第一个用于描述微分方程右端函数(文件名：)： function z=ff1(x,y)z=x-y+1;另一个用于描述微分方程的解析解（文件名：）： function y=ff2(x)y=x+exp(-x);将这两个函数文件保存在工作目录下，然后求出初值问题的数值解以及微分方程解析解在对应自变量的离散点处的函数值，最后同时绘出两个函数的图形加以比较。在MATLAB环境中键入下列指令： [x,y]=ode23('ff1',0,1,1);y=ff2(x);plot(x,y,’o’,x,y)计算机屏将显示出数值解（用小圆o表示）和解析解的图形常微分方程是研究许多自然科学问题和技术问题的有力工具，因而具有重要的实用价值；它们在力学、天文学、物理学中，在许多化学和生物学问题中，有着广泛的应用．这是因为大量现象、过程所服从的客观规律往往能够写成常微分方程的形式，因此这些方程本身就是相应客观规律的定量表示. 定义 1 如果在一个(或者一组 m(有限个))方程中，未知的 (unknown) 量是一个(或一组 m 有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量 (independent variable) 的导数或微分，则称这方程为常微分方程 (ordinary differential equation) (或者常微分方程组( ODE's)), 简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE's))或方程(组). (提示 ) 定义 2 微分方程中实质上含有的未知函数 x 的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于 x 的阶.微分方程组中各个未知函数 的最高阶导数的阶数 之和称为微分方程组的阶 (计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示) n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数 F 在其变量的某一区域 (domain) 中有定义，并且一定含有未知函数 x 对自变量 t 的 n 阶导数. 定义 3 假设有在区间 I 上有直到 n 阶的连续导数的函数：(可以是由隐式或参数形式决定的)在区间 I 上满足恒等式，我们就说该函数是在区间 I 上方程 的解 (solution)．称区间 I 是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式 (explicit) 解，隐式 (implicit) 解和参数形式解. (提示) 定义 4 微分方程的解 ，或隐式解 在 t - x 平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线 (integral curve). 如果在积分曲线上函数 等于常数，则 也称为微分方程的一个 积分 (integral) 定义 5 已就最高阶导数解出的微分方程称为微分方程的正规形式 (normal form).(提示) 定义 6 若微分方程 中的函数关于未知函数及其导数 是一次有理整式，则称方程是线性的 (linear)，称它是 n 阶线性 (微分)方程．一般形式为：，若其中 ，则称它是 n 阶线性齐次 (homogeneous) 方程；否则称为线性非齐次 (inhomogeneous) 方程．这时称 为线性方程的非齐次项. (提示) 定义 7 不是线性的微分方程称为非线性 (nonlinear) 方程．(提示) 定义 8 满足 n 阶微分方程(组)的一个(一组)依赖于 n 个 任意(arbitrary)独立常数 的解 ，，(其中矢量 x 和 的维数为未知函数的个数 m 不一定与阶数 n 相同)称为 n 阶微分方程(组)的通解 (general solution). (提示) 定义 9 不含任意常数的确定的微分方程(组)的解称为特解． 定义 10 为了确定微分方程的一个特解所给出这个解必须满足的条件称为微分方程的定解条件：常见的有：初始条件 (initial condition)、边界条件 (boundary condition)． 定义 11 n 阶常微分方程的初始条件：指定方程 的解在时刻 以及 x 及其直到 阶导数应取的初始值 (initial value). ． 定义 12 定解问题：求微分方程满足定解条件的解．当定解条件为初始条件时，相应的问题称为初值问题 (initial value problem)，或称为 Cauchy 问题．本教程只讨论初值问题． 方向场: 对于一阶正规型微分方程 ，，它的解是 t-x 平面上的一条曲线，在其每一点上都具有切线，切线的斜率为 . 如果通过 中每一点 (t,x) 都画一微小线段，使其斜率等于 ，则得方程的方向场 (field of directions)． 这样，求方程在区域 内求一经过初始点 的积分曲线，就是在区域 内求一条经过点 的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相同． 等倾线: (isocline) 是方向场中，方向相同的点的几何轨迹．微分方程 的等倾线方程为 ，其中 k 为参数．在画方向场时，可以先画等倾线，再在等倾线上画方向相同的微小线段．通过等倾线法这种图示法可以近似地画出积分曲线．

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要:常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题，实际生活中很多问题的数学模型都是微分方程。但在许多情况下，首先找到问题的解析解，然后再进行相关的计算往往非常困难，有时甚至是行不通的，基于此理由，我们可以避免求解析解而直接求相应的数值解。本论文就是对目前已有的常微分方程的数值方法进行研究，并大胆地提出一种新的数值方法——欧拉-牛顿法。 关键词：常微分方程 解析解 数值解 研究 新的数值方法 欧拉-牛顿法 0 引言 在生产实践和科学研究过程中，我们经常会遇到求解常微分方程的定解问题，虽然我们已经知道不少类型的常微分方程的解法。但工程技术人员在工程和科学研究中所关心的往往只是常微分方程的近似数值解，而非从事数学研究的技术人员所注重的“过程”。采用常规的人工推导、求解无疑是效率非常低下的，而且工程上的常微分方程往往结构非常复杂，要给出一般方程解的表达式也是非常困难的。实际上到目前为止，我们只能对有限的几种特殊类型的方程求精确解，这远不能满足工程需要，对那些不能用初等函数来表达的方程就只能去求其近似的数值解，而且这样还可以借助于运算速度快的计算机来进行辅助求解，大大提高求解的速度和精度。我们考虑一阶常微分方程初值问题在区间[a，b]上的解，其中f(x，y)为x，y的已知函数，y0为给定的初始值，将上述问题的精确解记为y(x)。数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n+1个节点,这里差hi=xi+1-xi，i=0，1，…，n称为由xi到xi+1的步长。这些hi可以不相等，但一般取成相等的，这时，在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分,泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化导致不同的方法。本文在对目前已有的常微分方程的数值方法进行深入研究的基础上，对改进的欧拉方法进行再次改进并提出一种新的数值方法（本文命名为欧拉-牛顿法），并能够以具体实例来验证方法的有效性和实用性。 1 欧拉—牛顿法 改进的欧拉方法的公式是 先研究求的近似值，其中是步长。对于递推格式 由此所确定的可以看成是下面关于的（非线性）函数 在y=yk-1附近的零点。虽然上面(2)式定义的F(y)还与k以及xk-1，xk,yk-1有关，但这个问题还可以在求数值解时予以考虑，对于理论分析来说则无需顾及。如果我们直接利用牛顿法求F(y)在y=yk-1附近的零点，当然可以利用yk-1作为z的初值z0，利用 由于zi-1到zi的区间很小，所以在每一个小区间内设已知方程F(z)=0有近似根zi-1，将函数F(z)在点zi-1展开，有 于是方程F(z)=0可近似地表示为： 这是个线性方程，记其根为zi，则有 从而得到欧拉—牛顿法的递推格式为： f(x，y)关于y的偏导数的绝对值通常特别大，由此可以得出 的值也特别大，再加之初始解yk-1已经很靠近F(y)的零点，所以采用牛顿法求F(y)在y=yk-1附近的零点实现了问题与方法之间的完美结合。事实上，在一般情况下利用(4)式迭代一次即可得到满意的结果。考虑到f(x，y)的凸凹性可能会对迭代格式(4)产生一定的影响，所以保险起见，也可以利用(4)式迭代两次，至少可以增强算法的稳定性。 例1．求解下述初值问题 上面(5)式的理论解为 表中符号说明：X[k]是x的值；Y[k]是对应每一个x的y精确值（理论值）；YX[k]是利用欧拉-牛顿法计算出的y近似值；E[k]是y精确值和近似值之间的误差。利用欧拉—牛顿法求解的计算结果的精度至少达到了小数点后13位，甚至有的达到了小数点后15位，表1中y精确值和计算值之间的误差E[k]的值非常的小，几乎达到了零值，即用欧拉—牛顿法得到的结果几乎达到了人们所企盼的结果，它很明显地优越于改进的欧拉方法，所以实例证明欧拉—牛顿法还是值得推广的。 2 总结 对于求一般的常微分方程初值问题的数值解来说，已经有很多的方法。在实际应用中，我们当然希望能够结合具体问题的特点，充分利用不同方法的差异，选择一种更为合适的方法，力争得到尽可能好的结果。对于求解实际问题来说，我们通常并不能立即得出所得到的结果到底有几位有效数字。虽然可以通过理论分析来估计误差，但这样做一是劳神费力，二是所得到的结果也未必靠的住，这中间不确定的因素太多。在现代计算机条件下，采用基于试验的方法一般比理论分析的结果更为直观，更为具体。在这个基础上再辅之以理论分析，结论当然更可靠一些。求解一阶常微分方程的新的数值求解方法（欧拉—牛顿法）是改进的欧拉方法和牛顿法的完美结合，从而为求解一阶常微分方程的数值解提供了方便，并且结果的精度也比较高。

dx/dt + 2x/t = 1, 一阶线性微分方程

x = e^du(-∫2dt/t) [∫1e^(∫2dt/t)dt + C1]

= (1/t^2) (∫t^2dt + C1) = (1/t^2) (t^3/3 + C1)

= t/3 + C1/t^2, x(1) = 1/3 代入得 C1 = 0

x = t/3。

dy/dt = t/3 + y - 1 + 2/3,

dy/dt - y = (t-1)/3

y = e^(∫dt) [(1/3)∫(t-1)e^(-∫dt)dt + C2]

= e^t [(1/3)∫(t-1)e^(-t)dt + C2]

= e^t [-(1/3)∫(t-1)de^(-t) + C2]

= e^t [-(1/3)(t-1)e^(-t) + (1/3)∫e^(-t)dt + C2]

= e^t [-(1/3)(t-1)e^(-t) - (1/3)e^(-t) + C2]

= e^t [-(1/3)te^(-t) + C2] = -t/3 + C2e^t

y(1) = -1/3 代入得 C2 = 0, y = -t/3

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。

参考资料来源：百度百科-非齐次线性方程组

[]function ydot=DyDt(t,y)mu=2;ydot=[y(2);mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];（3）解算微分方程tspan=[0,30]; y0=[1;0]; [tt,yy]=ode45(@DyDt,tspan,y0); plot(tt,yy(:,1))xlabel('t'),title('x(t)') 图 微分方程解（4）plot(yy(:,1),yy(:,2)) xlabel('位移'),ylabel('速度')