一次函数研究小论文

数学小论文一 关于“0” 0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。” “任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。 “105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。 数学小论文二 各门科学的数学化 数学究竟是什么呢？我们说，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学．它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具． 同其他科学一样，数学有着它的过去、现在和未来．我们认识它的过去，就是为了了解它的现在和未来．近代数学的发展异常迅速，近30多年来，数学新的理论已经超过了18、19世纪的理论的总和．预计未来的数学成就每“翻一番”要不了10年．所以在认识了数学的过去以后，大致领略一下数学的现在和未来，是很有好处的． 现代数学发展的一个明显趋势，就是各门科学都在经历着数学化的过程． 例如物理学，人们早就知道它与数学密不可分．在高等学校里，数学系的学生要学普通物理，物理系的学生要学高等数学，这也是尽人皆知的事实了． 又如化学，要用数学来定量研究化学反应．把参加反应的物质的浓度、温度等作为变量，用方程表示它们的变化规律，通过方程的“稳定解”来研究化学反应．这里不仅要应用基础数学，而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学． 再如生物学方面，要研究心脏跳动、血液循环、脉搏等周期性的运动．这种运动可以用方程组表示出来，通过寻求方程组的“周期解”，研究这种解的出现和保持，来掌握上述生物界的现象．这说明近年来生物学已经从定性研究发展到定量研究，也是要应用“发展中的”数学．这使得生物学获得了重大的成就． 谈到人口学，只用加减乘除是不够的．我们谈到人口增长，常说每年出生率多少，死亡率多少，那么是否从出生率减去死亡率，就是每年的人口增长率呢？不是的．事实上，人是不断地出生的，出生的多少又跟原来的基数有关系；死亡也是这样．这种情况在现代数学中叫做“动态”的，它不能只用简单的加减乘除来处理，而要用复杂的“微分方程”来描述．研究这样的问题，离不开方程、数据、函数曲线、计算机等，最后才能说清楚每家只生一个孩子如何，只生两个孩子又如何等等． 还有水利方面，要考虑海上风暴、水源污染、港口设计等，也是用方程描述这些问题再把数据放进计算机，求出它们的解来，然后与实际观察的结果对比验证，进而为实际服务．这里要用到很高深的数学． 谈到考试，同学们往往认为这是用来检查学生的学习质量的．其实考试手段（口试、笔试等等）以及试卷本身也是有质量高低之分的．现代的教育统计学、教育测量学，就是通过效度、难度、区分度、信度等数量指标来检测考试的质量．只有质量合格的考试才能有效地检测学生的学习质量． 至于文艺、体育，也无一不用到数学．我们从中央电视台的文艺大奖赛节目中看到，给一位演员计分时，往往先“去掉一个最高分”，再“去掉一个最低分”．然后就剩下的分数计算平均分，作为这位演员的得分．从统计学来说，“最高分”、“最低分”的可信度最低，因此把它们去掉．这一切都包含着数学道理． 我国著名的数学家关肇直先生说：“数学的发明创造有种种，我认为至少有三种：一种是解决了经典的难题，这是一种很了不起的工作；一种是提出新概念、新方法、新理论，其实在历史上起更大作用的、历史上著名的正是这种人；还有一种就是把原来的理论用在崭新的领域，这是从应用的角度有一个很大的发明创造．”我们在这里所说的，正是第三种发明创造．“这里繁花似锦，美不胜收，把数学和其他各门科学发展成综合科学的前程无限灿烂．” 正如华罗庚先生在1959年5月所说的，近100年来，数学发展突飞猛进，我们可以毫不夸张地用“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学”来概括数学的广泛应用．可以预见，科学越进步，应用数学的范围也就越大．一切科学研究在原则上都可以用数学来解决有关的问题．可以断言：只有现在还不会应用数学的部门，却绝对找不到原则上不能应用数学的领域． 数学小论文三 数学是什么 什么是数学？有人说：“数学，不就是数的学问吗？” 这样的说法可不对。因为数学不光研究“数”，也研究“形”，大家都很熟悉的三角形、正方形，也都是数学研究的对象。 历史上，关于什么是数学的说法更是五花八门。有人说，数学就是关联；也有人说，数学就是逻辑，“逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代。” 那么，究竟什么是数学呢？ 伟大的革命导师恩格斯，站在辩证唯物主义的理论高度，通过深刻分析数学的起源和本质，精辟地作出了一系列科学的论断。恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学——研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。 数学可以分成两大类，一类叫纯粹数学，一类叫应用 数学。 纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。例如研究梯形的面积计算公式，至于它是梯形稻田的面积，还是梯形机械零件的面积，都无关紧要，大家关心的只是蕴含在这种几何图形中的数量关系。 应用数学则是一个庞大的系统，有人说，它是我们的全部知识中，凡是能用数学语言来表示的那一部分。应用数学着限于说明自然现象，解决实际问题，是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。大家常说现在是信息社会，专门研究信息的“信息论”，就是应用数学中一门重要的分支学科， 数学有3个最显著的特征。 高度的抽象性是数学的显著特征之一。数学理论都算有非常抽象的形式，这种抽象是经过一系列的阶段形成的，所以大大超过了自然科学中的一般抽象，而且不仅概念是抽象的，连数学方法本身也是抽象的。例如，物理学家可以通过实验来证明自己的理论，而数学家则不能用实验的方法来证明定理，非得用逻辑推理和计算不可。现在，连数学中过去被认为是比较“直观”的几何学，也在朝着抽象的方向发展。根据公理化思想，几何图形不再是必须知道的内容，它是圆的也好，方的也好，都无关紧要，甚至用桌子、椅子和啤酒杯去代替点、线、面也未尝不可，只要它们满足结合关系、顺序关系、合同关系，具备有相容性、独立性和完备性，就能够构成一门几何学。 体系的严谨性是数学的另一个显著特征。数学思维的正确性表现在逻辑的严谨性上。早在2000多年前，数学家就从几个最基本的结论出发，运用逻辑推理的方法，将丰富的几何学知识整理成一门严密系统的理论，它像一根精美的逻辑链条，每一个环节都衔接得丝丝入扣。所以，数学一直被誉为是“精确科学的典范”。 广泛的应用性也是数学的一个显著特征。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。20世纪里，随着应用数学分支的大量涌现，数学已经渗透到几乎所有的科学部门。不仅物理学、化学等学科仍在广泛地享用数学的成果，连过去很少使用数学的生物学、语言学、历史学等等，也与数学结合形成了内容丰富的生物数学、数理经济学、数学心理学、数理语言学、数学历史学等边缘学科。 各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。

例析一次函数的常见问题一次函数是初中数学的重要内容之一，在历年的中考中，不仅一些基础题出现，而且一些联系实际的应用题也频频“亮相”。因此，现就有关一次函数的一些常见问题举例分析如下：一、有关字母的取值（取值范围）例1已知y=(k2-1)x2+(k+1)x+k是一次函数，求k的值。简析掌握一次函数的定义“形如y=kx+b(k、b为常数k≠0)的函数，叫做一次函数”是解决这类问题的关键，一定不要忽视了k≠0的隐含条件，否则就会出错。解由题意，得k2-1=0，k+1≠0。∴k=1。二、确定一次函数的表达式例2已知一次函数的图象经过点（3，0）和点（2，5），求这个一次函数的表达式。简析这是一道最常见最基础的确定一次函数关系式的问题，在一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)中有两个待定系数k和b，需要两个独立的条件，常见的求函数关系式的题型主要有利用定义求表达式，利用一次函数的性质求表达式等。确定一次函数表达式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的一次函数关系式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程（方程组）；（3）解方程（方程组），求出待定系数；（4）把求出的待定系数的值代入所设的关系式。解设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)由题意，得3k+b=0，2k+b=5,解之得k=-5,b=15。∴这个一次函数的表达式为y=-5x+15。三、一次函数的图象所在象限例3一次函数在同一坐标系下的图象是图1中的（）。简析一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它所经过的象限是由k、b的符号决定的，理解掌握它们的关系，才可以轻松熟练的解答此类问题。解选（A）。四、有关一次函数图象的交点（一）与坐标轴的交点问题。（略）。（二）两个一次函数的图象交点问题。例4已知两条直线y=2x-3和y=6-x。①求它们的交点坐标；②利用函数图象解不等式：2x-3＞6-x；③求这两条直线与轴围成的三角形的面积。简析①二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量的取值，使两个函数的值相等；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。②一次函数与二元一次方程组之间的关系是解决一次函数与一元一次不等式的基础，正确理解交点坐标与自变量、函数值之间的关系，是解决这类问题的关键。③直线与坐标轴围成的三角形的面积是常见的一次函数综合性较强的题目，它涉及了许多关于坐标、函数的基础内容。这里，正确求出两条直线的交点坐标，是解决直线与坐标轴围成三角形的面积的前提。解①解方程组y=2x-3，y=6-x得x=3,y=3。∴直线y=2x-3和y=6-x的交点为（3，3）。②在同一平面直角坐标系中分别画出直线y=2x-3和y=6-x，（如图2），可以看出，两直线的交点为（3，3）。又由图所示，当x＞3时，对于同一个x，直线y=2x-3上的点在直线y=6-x上相应点的上方，这时，2x-3＞6-x，所以不等式的解集为x＞3。③设直线y=2x-3与x轴的交点为A点，直线y=6-x与x轴的交点为B点。令y=0，分别代入两直线表达式得A（3/2，0）、B（6，0），∴AB＝6-3/2=9/2，又由①知两直线的交点为（3，3）∴这两条直线与轴围成的三角形的面积为:S＝12×92×3=274。五由函数图象提供信息的问题例5《邹城日报》2007年9月12日报道了“养老保险执行新标准”的消息。尚河中学课外活动小组根据消息中提供的数据，绘制出邹城企业职工养老保险个人月缴费y（元）随个人月工资x（元）变化的图象，如图3，请你根据图象提供的信息解答下面的问题：（1）赵工程师5月份的工资是3500元，这月他个人应缴养老保险元；（2）小王5月份的工资是550元，这月他个人应缴养老保险元；（3）李师傅5月份个人养老保险56元，求他5月份的工资是多少。简析这是以图象提供信息为特征，考查一次函数的综合应用题。解决这类问题首先应具备阅读图象的能力，然后要有分类的数学思想，要注意“分段”地观察图象，即自变量分成若干“段”，观察各“段”中图象的变化情况，逐一加以分析。解从图象易得（1）填元；（2）填元；（3）设中间线段所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，由图象，知该直线过点（557，）和（2786，）∴2786k+b=。解之得k=7/100，b=0∴y=7x/100。∴当y=56时，x=800，即李师傅5月份的工资为800元。(A)(B)(C)(D)y=2x-3y=6-x118

（一）教材地位：本小节属于《全日制义务教育数学课程标准实验稿》中“数与代数”领域，是我们在学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数领域，通过本小节的学习，让学生感受到函数是反映现实生活的一种有效模型，同时，本小节的学习内容，直接关系到后续内容的学习，也可以说是后续内容的基础。（二）教学重点：1、了解并掌握反比例函数的概念；2、能根据问题中的已知条件确定反比例函数解析式；3、能判断一个函数是否为反比例函数及比例系数；4、培养学生的观察、比较、概括能力。（三）教学重学：1、了解并掌握反比例函数的概念2、能根据已知条件确定反比例函数解析式（四）教学难点：1、解并掌握反比例函数的概念2、能根据已知条件确定反比例函数解析式分式目录 第一节 分式的基本概念 第二节 分式的基本性质和变形应用 第三节 分式的四则运算 第四节 分式方程 第一节 分式的基本概念I.定义：整式A除以整式B，可以表示成A/B的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式（fraction）。注:A÷B=A×1/BII.组成：在分式 中A称为分式的分子，B称为分式的分母。III.意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。IV.分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0。注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。第二节 分式的基本性质和变形应用V.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。VI.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分．VII.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.VIII.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.IX.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.X.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质.(2)分式的约分和通分都是互逆运算过程.第三节 分式的四则运算XI.同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减.XII.异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算.XIII.分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母.XIV.分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘.第四节 分式方程XVI.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.XVII.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 二、分析教法与学法：（一）教法：由于学生已学过正比例关系，一次函数，正比例函数等概念，由于打算采用新旧知识相联系的方法，让学生通过比较发现从而掌握新知识（二）学法：通过观察、比较、发现、概括的方法来学习新知识。三、分析教学过程（一）创设情境： 1、由于学生所学过的反比例关系，一次函数等概念时间已较长，所以在创设情境时对这些知识加以复习，以换取学生以以有知识的记忆。 2、在情境中，列举大量实例，让学生装根据已知条件，列出一次函数、正比例函数、反比例函数为学生的探险索创造条件。（二）探索过程 1、学生的探索能力不是很强，因此在列出的大量函数中，教师发挥主导作用，启发学生思考。 2、通过一系列的探索，让学生概括出反比例函数的共同特征，从而给出概念。3、在学生得出反比例函数后，再进行深化，给出比例系数为负数或分的情境，巩固反比例函数的概念。（三）小结和作业：在学生的自我小结中教师加以完善，对反比例函数有一定程度上的掌握。

好难写...不会...