高维几何研究进展论文

当有人提到“高维空间”时，我们往往会想到平行宇宙、时空穿梭。然而，维度的现实以及它们如何在我们的宇宙秩序中发挥作用与这个流行的描述是非常不同的。 维度源于我们对现实的感知，我们会立即意识到空间上的的三个维度——它们定义了我们宇宙中所有物体的长度、宽度和深度(分别是x轴、y轴和z轴)。 在这三个可见的维度之外，科学家认为可能还有更多的维度。事实上，超弦理论的理论框架假设宇宙存在于10个不同的维度中。这些不同的方面支配着宇宙，支配着自然的基本力，支配着宇宙中所有的基本粒子。 第一个维度，正如前面提到的，是给它长度的维度(又名。x轴)。对一维物体的一个很好的描述是一条直线，它只存在于长度上，没有其他可识别的性质。再加上第二个维度，即y轴(或高度)，对象就变成了一个二维的形状(比如正方形)。 第三个维度包括深度(z轴)，并赋予所有对象区域感和截面感。一个完美的例子就是立方体，它存在于三维空间中，有长度、宽度、深度，因此也有体积。在这三个维度之外，还有七个维度，它们对我们来说不是马上就能看到的，但仍然可以被理解为对我们所知道的宇宙和现实有着直接的影响。 科学家认为第四维是时间，它支配着所有已知物质在任何给定点上的属性。与其他三个维度一样，知道一个物体在时间上的位置对于绘制它在宇宙中的位置至关重要。其他维度是更深层可能性发挥作用的地方，而解释它们与其他维度的相互作用对物理学家来说尤其棘手。 更多的时候，高维这个概念出现在科幻电影中。那么在科学中，高维是如何一步步发展的呢？ 19世纪后期，数学家们对几何基础越来越感兴趣。我们的宇宙有三维空间。但是如果有四维空间几何会是什么样子呢? 五维、十维、无穷维又是什么样子? 数学家们在任意空间维数的几何上做了大量的工作。 数学家们也在“非欧”几何上做了大量的工作，这些几何违反了欧几里得的一个或多个公设。在欧几里得几何中，平行线保持相同的距离。我们可以想象平行线最终相交的几何图形，以及平行线逐渐分离的几何图形。这样的空间通常被描述为“弯曲的”——一个例子是一个球体的二维表面，在这个表面上，最初在球体赤道处平行的线与球体的两极相交。 数学家们不知道他们的研究成果会对物理学家有用，但其中一些确实在现实世界中有应用。几百年来，物理学家一直在研究一个四维框架，因为要确定一个事件至少需要4个数字:3表示它的空间位置，1表示它发生的时间。1905年，爱因斯坦发现，物理学定律必须以一种被物理学家称为“洛伦兹不变量”或“明显协变”的四维形式来书写，这是正确的。原因是不同的观察者对于一个事件有多少“投射”到空间轴上，有多少“投射”到时间轴上，会有不同的看法。也就是说，不同的观察者在进程需要多长时间或者进程占用的物理空间大小方面可能存在分歧。 1915年，爱因斯坦发现了一种对引力现象更为普遍的描述，即物质的密度直接决定了四维时空的“曲率”。也就是说，他的引力理论纯粹是几何理论。物质的数量决定了周围空间中存在的几何类型。其他物质沿着测地线运动。 后来，像卡鲁扎、克莱因和泡利这样的物理学家试图将爱因斯坦的思想推广到将电磁力包括在内。为了在纯粹的几何理论中包含电磁效应的源“电荷”，他们必须添加一个新的空间维度，因为几何理论中的每一个数字都是一个坐标上的投影。因此，他们得出了一个5维理论(4个空间维度和时间维度)。这些所谓的卡鲁扎-克莱因理论似乎没有什么结果，于是被抛弃了。 几个世纪以来，物理学家一直在研究任意空间，通常被称为“相空间”。如果你学习过统计物理，就会对相空间的概念再熟悉不过了，其中各种重要的物理量被解释为维度。例如，为了描述气体的“状态”，可以画一个三维图，这个三维图是压力、体积和温度。在相空间中描述一个粒子需要三个动量和三个坐标，如果一个系统包含 100 个粒子，那么需要描述100个粒子的系统，那么需要一个600维的空间来描述这个系统。600 维空间听起来不可思议，但这在统计力学中太稀松平常了，这些都不需要和实际的空间尺度有任何关系。 在20世纪20年代末，研究量子物理学的物理学家发现，数学可以很自然地归入向量理论的框架，而向量理论的维度是无限的。德国数学家大卫·希尔伯特已经提出了这种空间的理论，我们称之为希尔伯特空间。在量子物理学中，测量的每一个可能的结果都是在抽象空间中沿着轴线的投影，与时空无关。不久之后，英国物理学家P. A. M.狄拉克指出，一般来说，量子物理中使用的空间需要无限的维度。在长达40年的时间里，数学家们对这种空间的数学知识一无所知，无法接受，直到一位名叫格尔芬德(Gel’fand)的俄罗斯数学家发现了他所谓的“操纵希尔伯特空间”的规则。这不会以任何方式阻碍物理学或物理学家，他们习惯于发明他们所需要的数学，而不是等待数学家确定这样的数学确实存在并命名。早在数学家们想到无限维度的概念之前，他们就已经在研究无限维空间了，就像牛顿发明微积分来研究物理学，而数学家们还没有听说过微积分一样。 多维空间在计算机结构中也被证明是有用的。例如，可以建立处理器网络，这些网络在几何上连接起来，就像多维空间中的曲面一样。 所有已知物理定律的结构都要求我们的宇宙只有三个扩展的空间维度。例如，近400年来一直被实验确定和证实的事实是，所有的长程相互作用，如引力和电磁力的辐射场，都会像距离的平方反比一样下降，这就要求空间是精确的三维空间。 从1984年开始，当物理学家对所谓的“弦理论”感到兴奋时，媒体对更高维空间产生了更多的困惑。“物理学家们从来没有能够找到一个与量子力学一致的万有引力理论，而且有一些特征表明它可能是唯一正确的!” 弦理论提供了量子系统的几何描述，很自然地将引力纳入其中。但除了引力，我们还知道另外三种基本相互作用。借用卡鲁扎和克莱因的思想，物理学家通过增加空间维度来整合其他三种力。一个典型的弦理论有9或10个空间维度和1个时间维度。额外的空间维度必须存在，才能在几何上整合引力以外的现象，但它们不可能“实际”存在，否则理论就不成立。解决方案是用数学方法把这些额外的维度卷曲成长度不超过10^-35米的“团”，这个过程被称为“压缩”。因此，额外的维度将是“紧凑的”，并且是可检测的。起初，人们希望这样的理论是独一无二的，这样我们就会有信心，认为这是一条正确的道路。在近25年之后，弦理论的“浮华”几乎完全消失了。在进行到一半时，物理学家开始意识到，已经提出的五六个不同的弦理论，似乎都是一个更谱适理论的不同极限情况，这个理论暂时被称为“M理论”。在M理论中，弦被广义化为表面和膜，普通时空坐标一般不再存在。时空框架仍然可以达到十一维。重要的是要认识到，弦理论的任何方面，甚至是最基本的假设都没有经过实验的检验。直到2007年初，对其三个基本假设的实验性检验才最终被提出。 到目前为止，物理学家们还没有具体的概念，关于所有量子过程和引力的统一理论可能是什么样子，但这些理论肯定是有可能保持多维的。重要的是要认识到，这些理论目前与实验毫无关系。对于通常的四维度之外的任何维度，都没有任何实验证据。 在很小的距离内，引力会偏离我们所熟悉的与距离成反比的规律。多小？事实上，在非常短但宏观的距离，比如10^-5米或更小的距离，引力并没有被仔细研究和探测。我们可以做一些相当简单但乏味的实验，并且正在做这些实验来解决其中的一些问题，我们只需要耐心地等待结果。理论情况几乎每月都在变化，理论界提出了M理论、基于弦理论的量子引力理论、独立于弦理论的量子引力理论、粒子和力的标准模型的各种多维扩展等等。 弦理论还提供了一种可能的量子引力理论，另一种不太为人所知的替代理论是圈量子引力理论。这种方法与最早的弦理论(20世纪80年代中期)在同一时间首次提出，时空是四维的，但在亚微观水平上有一个“粒状”、离散的结构。目前，圈量子引力仍然是弦理论的一个非常可行的替代方案，一些人已经提出，这两种不同的方法可能会变成一个单一的、更普遍的理论的不同近似。 在任何情况下，无论M理论或量子引力取得了什么新的进展，或者是在极限能量和距离上的实验揭示了新现象，用于宏观物体的描述都只有三个空间维度。理论试图描述世界，却无法改变世界。 从19世纪最后十年开始，报纸和杂志上充斥着关于“第四维度”的完全混乱的描述，更不用说“振动”和“能量”这两个19世纪后期物理学的热门话题了。当爱因斯坦出现时，“第四维度”成为一个更热门的话题。伪科学中的更高维度常常与当时不相关的场景进一步混淆，比如“平行世界”、在梦境和药物致幻的“世界”，更不用说天堂、地狱，甚至其外星球了。在过去的20年里，对弦理论盲目的新闻宣传引发了另一波涉及“多重宇宙”的科幻和幻想的狂热，这种狂热很大程度上归功于19世纪晚期的神智学，但基本上与物理学的进步无关。 伪科学家和小说家一直喜欢“高维空间”。几乎任何幻想都可以通过诉诸“神秘的第四维度”或著名的“第15个阿卡西维度”来演绎。但这些概念既不是从科学中借鉴的，也并非来自数学，而且在我们实际生活的世界中，都不曾有任何经过验证的描述和观察到的现象作为基础。