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热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达,其中u =u(t, x, y, z) 表温度,它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间坐标轴的二次导数。
k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程唯一解,必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。
扩展资料
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质,这代表热从高温处向低温处传播。一般而言,许多不同的初始状态会趋向同一个稳态(热平衡)。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态,即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。利用拉普拉斯算子,热方程可推广为下述形式其中的 Δ 是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程,诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型,诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。
解热方程:在理想状态下一根棍子的热传导,配上均匀的边界条件。方程式如下:其中u=u(t,x) 是t和x的双变量函数。x是空间变量,所以x∈ [0,L],其中L表示棍子长度。t是时间变量,所以t≥ 0。 假设下述初始条件,其中函数f是给定的。
参考资料来源:百度百科――一维传热
且吃且增重
热传导方程(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。
1、热传导方程的导出:
模型: 给定一空间内物体G,设其上的点(x,y,z)
在时刻t的温度为 u(x,y,z,t)。
问题: 研究温度u(x,y,z,t)的运动规律。
2、温度时间空间:
在其中:u=u(t,x,y,z)表温度,它是时间变化t与空间变化(x,y,z)的涵数;k是热扩散系数率,决策于原材料的热传导率,相对密度与比热容。
3、唯一解
假如考虑到的物质并不是全部空间,则为了更好地获得方程式的唯一解,务必选定u的初始条件。假如物质是全部空间,为了更好地获得唯一性,务必假设解的增长速度有一个指数型的上界,此假设符合试验结果。
热方程式操纵导热以及它对外扩散全过程,例如颗粒对外扩散或神经元细胞的动作电势差。热方程式还可以做为一些金融业状况的实体模型,例如布莱克-斯科尔斯实体模型与Ornstein-Uhlenbeck全过程。
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