100除以7的余数是2，意思就是说把100个东西七个七个分成一组的话最后还剩2个。余数有一个严格的定义：假如被除数是a，除数是b（假设它们均为正整数），那么我们总能够找到一个小于b的自然数r和一个整数m，使得a=bm+r。这个r就是a除以b的余数，m被称作商。我们经常用mod来表示取余，a除以b余r就写成a mod b = r。 如果两个数a和b之差能被m整除，那么我们就说a和b对模数m同余（关于m同余）。比如，100-60除以8正好除尽，我们就说100和60对于模数8同余。它的另一层含义就是说，100和60除以8的余数相同。a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。比如，刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。你会发现这种记号到处都在用，比如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。 之所以把同余当作一种运算，是因为同余满足运算的诸多性质。比如，同余满足等价关系。具体地说，它满足自反性（一个数永远和自己同余）、对称性（a和b同余，b和a也就同余）和传递性（a和b同余，b和c同余可以推出a和c同余）。这三个性质都是显然的。 同余运算里还有稍微复杂一些的性质。比如，同余运算和整数加减法一样满足“等量加等量，其和不变”。小学我们就知道，等式两边可以同时加上一个相等的数。例如，a=b可以推出a+100=b+100。这样的性质在同余运算中也有：对于同一个模数m，如果a和b同余，x和y同余，那么a+x和b+y也同余。在我看来，这个结论几乎是显然的。当然，我们也可以严格证明这个定理。这个定理对减法同样有效。 性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。 证明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。 容易想到，两个同余式对应相乘，同余式两边仍然相等： 如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)。 证明：条件告诉我们，a-mp = b-mq，x-mr = y-ms。于是(a-mp)(x-mr) = (b-mq)(y-ms)，等式两边分别展开后必然是ax-m(…) = by-m(…)的形式，这就说明ax≡by(mod m)。 现在你知道为什么有的题要叫你“输出答案mod xxxxx的结果”了吧，那是为了避免高精度运算，因为这里的结论告诉我们在运算过程中边算边mod和算完后再mod的结果一样。假如a是一个很大的数，令b=a mod m，那么(a * 100) mod m和(b * 100) mod m的结果是完全一样的，这相当于是在a≡b (mod m)的两边同时乘以100。这些结论其实都很显然，因为同余运算只关心余数（不关心“整的部分”），完全可以每一次运算后都只保留余数。因此，整个运算过程中参与运算的数都不超过m，避免了高精度的出现。 在证明Fermat小定理时，我们用到了这样一个定理： 如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m) （就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数）。 证明：条件告诉我们，ac-mp = bc-mq，移项可得ac-bc = mp-mq，也就是说(a-b)c = m(p-q)。这表明，(a-b)c里需要含有因子m，但c和m互质，因此只有可能是a-b被m整除，也即a≡b(mod m)。
同余这个概念最初是由德国伟大的数学家高斯发现的，有这样的几个定理:对于两个整数A和B，如果他们除以同一个自然数M的余数相同，就说A、B对于模M同余。比如说:12除以5，47除以5，他们有相同的余数2，这时我们就说对于除数5，12和47同余。记作12≡47(mod5)同余的性质主要有:(1)对于同一个除数，两数的和(或差)于他们余数的和(或差)同余数。(2)对于同一个除数，两数的乘积与他们余数的乘积同余。(3)对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。(4)对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。例1:求1992×59除以7的余数。根据性质2，不用计算两个数的乘积，可以转化位分别求出1992÷7和59÷7的余数的积，使计算简单化。第一个余数是4，第二个余数是3.余数的乘积是12，除以7后的余数是5，所以1992×59除以7的余数是5.简单记做因为1992×59≡4×3≡5(mod7),所以余数是5.例2:求2001的2003次方除以13的余数。根据性质4来解决。2001除以13的余数等于12，12除以13的余数也是12，可以说2001的2003次方与12的2003次方对于除数13同余。但是12的2003次方仍然是一个很大的数字，求余数仍然比较困难。这时的关键找出12的几次方对于13与1同余，经过试验知道12的平方≡1(mod13),而2003=2的1001次方+1，所以12平方的1001次方≡1的1001(mod13).根据同余的性质12的2002次方×12≡1×12=12(mod13),所以余数等于12。例3:自然数16520、14903、14177除以m得到相同的余数，m最大的数值等于多少?三个数字比较大，但是他们对于m同余，那么当中任意两个数字的差必然是m倍数，要求m的最大的数值可以转化位求他们的三个差的最大公约数，从而降低计算的难度。16520-14903=1617=3×7的平方×11，16520-14177=2343=3×11×71，14903-14177=726=2×3×11的平方，三个差的最大公约数是3×11=33,m的最大数字等于33.练习:1)879×4376×5283除以19的余数。2)已知2001年的国庆节是星期一，求2008年的国庆节是星期几?3)求16的200次方除以21的余数?4)一个整数除226、192、141都得到相同的余数，并且余数不等于0，这个整数最大是多少?
整数分拆理论，主要是研究各种类型的分拆函式的性质及其相互关系。早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究。18世纪40年代，L.欧拉提出了用母函式法（或称形式幂级数法）研究整数分拆，证明了不少有重要意义的定理，为整数分拆奠定了理论基础。解析数论中的圆法的引进，使整数分拆理论得到了进一步发展。整数分拆与模函式有密切关系，并在组合数学、群论、机率论、数理统计学及质点物理学等方面都有重要套用。
数学发展史 此书记录了世界初等数学的发展与变迁。可大体分为“数的出现”、“数字与符号的起源与发展”、“分数”、“代数与方程”、“几何”、“数论”与“名著录”七大项，跨度千万年。可让读者了解数学的光辉历史与发展。是将历史与数学结合出的趣味百科读物。数的出现一、数的概念出现 人对于“数”的概念是与身俱来的。从原始人开始，人就能分出一与二与三的区别，从而，就有了对数的认识。而为了表示数，原始人就创造并使用了一种古老却笨拙且不太实用的方法——结绳计数。通过在绳子上打结来表示所指物体的数量，而为了辨认数量，也就出现了数数这一重要的方法。这一方法如今看来十分笨拙，但却是人对数学的认识由零到一的关键一步。从这笨拙的一步人们也意识到：对数学的阐述必须要尽量得简洁清楚。这是一个从那时开始便影响至今的人类第一个数学方面的认识，这也是人类为了解数学而迈出的关键性一步。数字与符号的起源与发展一、数的出现 很快，人类就又迈出了一大步。随着文字的出现，最原始的数字就出现了。且更令人高兴的是，人们将自己的认识代入了设计之中，他们想到了“以一个大的代替多个小的”这种方法来设计，而在字符表示之中，就是“进位制”。在众多的数码之中，有古巴比仑的二十进制数码、古罗马字符，但一直流传至今的，世界通用的阿拉伯数字。它们告诉了我们：简洁的，就是最好的。 而现在，又出现了“二进制数”、“三进制数”等低位进制数，有时人们会认为它们有些过度的“简洁”，使数据会过多得长，而不便书写，且熟悉了十进制的阿拉伯数字后，改变进制的换算也十分麻烦。其实，人是高等动物 ，理解能力强，从古至今都以十为整，所以习惯了十进制。可是，不是所有的东西都有智商，而且不可能智商高到能明显区分1-10，却能通过明显相反的方式表达两个数码。于是，人类创造了“二进制数”，不过它们不便书写，只适用于计算机和某些智能机器。但不可否认的是，它又创造了一种新的数码表示方法。二、符号的出现 加减乘除〈＋、－、×(·)、÷(∶）〉等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成。 法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过,用“－”表示不足。1、加号（+）和减号（-） 加减号“＋”，“－”，1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始。到1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“－”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“－”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用。2、乘号（×、·） 乘号“×”，英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘。英国数学家奥特雷德于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法。据说是由加法符号＋变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的。另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首创的。后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“·”表示乘号，这样，“·”也得到了承认。3、除号（÷） 除法除号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比.也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”。瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号。符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广。除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”。 至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普遍采用的程度。4、等号（＝） 等号“＝”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用。1591年法国数学家韦达在其著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。分数一、分数的产生与定义 人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以后在度量和均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。 一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。 分子,分母同时乘或除以一个相同的数〔0除外〕,分数的大小不变.这就是分数的基本性质.分数一般包括:真分数,假分数,带分数. 真分数小于1. 假分数大于1,或者等于1. 带分数大于1而又是最简分数.带分数是由一个整数和一个真分数组成的。 注意 ：①分母和分子中不能有0，否则无意义。 ②分数中的分子或分母不能出现无理数（如2的平方根），否则就不是分数。 ③一个最简分数的分母中只有2和5两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中只含有2和5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5两个质因数也含有2和5以外的质因数那么就能化成混循环小数。（注：如果不是一个最简分数就要先化成最简分数再判断；分母是2或5的最简分数一定能化成有限小数，分母是其他质数的最简分数一定能化成纯循环小数）二、分数的历史与演变 分数在我们中国很早就有了,最初分数的表现形式跟现在不一样。后来,印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后,阿拉伯人发明了分数线,分数的表示法就成为现在这样了。 在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。 在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早在公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了分母是60的分数。 公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是3/7 米．像3/7 就是一种新的数，我们把它叫做分数． 为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征．例如，一只西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的． 最早使用分数的国家是中国．我国春秋时代（公元前770年～前476年）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。这说明：分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。 《九章算术》是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法． 在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所以说中国有着悠久的历史，灿烂的文化 。几何一、公式1、平面图形正方形： S＝a² C＝4a三角形： S＝ah/2 a＝2S/h h＝2S/a平行四边形：S＝ah a＝S/h h＝S/a梯形： S＝(a＋b)h/2 h＝2S/(a＋b) a＝2S/h－b b＝2S/h－a圆形： S＝∏r² C＝2r∏＝∏d r＝d/2＝C/∏/2r²＝S/∏ d＝C/∏半圆： S＝∏r²/2 C＝∏r＋d＝ 顶点数＋面数－块数＝12、立体图形正方体： V＝a³＝S底·a S表＝6a² S底＝a² S侧＝4a² 棱长和＝12a长方体： V＝abh＝S底·h S表＝2(ab＋ac＋bc） S侧＝2(a＋b)h 棱长和＝4(a＋b＋h)圆柱： V＝∏r²h S表＝2∏r²＋∏r²h＝S底（h＋2） S侧＝∏r²h S底＝∏r² 其它柱体：V＝S底h锥体： V＝V柱体/3球： V＝4/3∏r³ S表＝4∏r²顶点数＋面数－棱数＝2数论一、数论概述 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数。（现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0） 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 二、数论的发展简况 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。 在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。三、数论的分类初等数论 意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等。解析数论 借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。 代数数论 是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。建立了素整数、可除性等概念。 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。最著名的定理为Minkowski 定理。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。 计算数论 借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。 超越数论 研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。 组合数论 利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。四、皇冠上的明珠 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。 简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、角谷猜想、圆内整点问题、完全数问题…… 五、中国人的成绩 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。 特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。名著录《几何原本》 欧几里得 约公元前300年 《周髀算经》 作者不详 时间早于公元前一世纪 《九章算术》 作者不详 约公元一世纪 《孙子算经》 作者不详 南北朝时期 《几何学》 笛卡儿 1637年 《自然哲学之数学原理》 牛顿 1687年 《无穷分析引论》 欧拉 1748年 《微分学》 欧拉 1755年 《积分学》（共三卷） 欧拉 1768－1770年 《算术探究》 高斯 1801年 《堆垒素数论》 华罗庚 1940年左右 任意选一段吧!!!
100除以7的余数是2，意思就是说把100个东西七个七个分成一组的话最后还剩2个。余数有一个严格的定义：假如被除数是a，除数是b（假设它们均为正整数），那么我们总能够找到一个小于b的自然数r和一个整数m，使得a=bm+r。这个r就是a除以b的余数，m被称作商。我们经常用mod来表示取余，a除以b余r就写成a mod b = r。 如果两个数a和b之差能被m整除，那么我们就说a和b对模数m同余（关于m同余）。比如，100-60除以8正好除尽，我们就说100和60对于模数8同余。它的另一层含义就是说，100和60除以8的余数相同。a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。比如，刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。你会发现这种记号到处都在用，比如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。 之所以把同余当作一种运算，是因为同余满足运算的诸多性质。比如，同余满足等价关系。具体地说，它满足自反性（一个数永远和自己同余）、对称性（a和b同余，b和a也就同余）和传递性（a和b同余，b和c同余可以推出a和c同余）。这三个性质都是显然的。 同余运算里还有稍微复杂一些的性质。比如，同余运算和整数加减法一样满足“等量加等量，其和不变”。小学我们就知道，等式两边可以同时加上一个相等的数。例如，a=b可以推出a+100=b+100。这样的性质在同余运算中也有：对于同一个模数m，如果a和b同余，x和y同余，那么a+x和b+y也同余。在我看来，这个结论几乎是显然的。当然，我们也可以严格证明这个定理。这个定理对减法同样有效。 性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。 证明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。 容易想到，两个同余式对应相乘，同余式两边仍然相等： 如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)。 证明：条件告诉我们，a-mp = b-mq，x-mr = y-ms。于是(a-mp)(x-mr) = (b-mq)(y-ms)，等式两边分别展开后必然是ax-m(…) = by-m(…)的形式，这就说明ax≡by(mod m)。 现在你知道为什么有的题要叫你“输出答案mod xxxxx的结果”了吧，那是为了避免高精度运算，因为这里的结论告诉我们在运算过程中边算边mod和算完后再mod的结果一样。假如a是一个很大的数，令b=a mod m，那么(a * 100) mod m和(b * 100) mod m的结果是完全一样的，这相当于是在a≡b (mod m)的两边同时乘以100。这些结论其实都很显然，因为同余运算只关心余数（不关心“整的部分”），完全可以每一次运算后都只保留余数。因此，整个运算过程中参与运算的数都不超过m，避免了高精度的出现。 在证明Fermat小定理时，我们用到了这样一个定理： 如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m) （就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数）。 证明：条件告诉我们，ac-mp = bc-mq，移项可得ac-bc = mp-mq，也就是说(a-b)c = m(p-q)。这表明，(a-b)c里需要含有因子m，但c和m互质，因此只有可能是a-b被m整除，也即a≡b(mod m)。
同余这个概念最初是由德国伟大的数学家高斯发现的，有这样的几个定理:对于两个整数A和B，如果他们除以同一个自然数M的余数相同，就说A、B对于模M同余。比如说:12除以5，47除以5，他们有相同的余数2，这时我们就说对于除数5，12和47同余。记作12≡47(mod5)同余的性质主要有:(1)对于同一个除数，两数的和(或差)于他们余数的和(或差)同余数。(2)对于同一个除数，两数的乘积与他们余数的乘积同余。(3)对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。(4)对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。例1:求1992×59除以7的余数。根据性质2，不用计算两个数的乘积，可以转化位分别求出1992÷7和59÷7的余数的积，使计算简单化。第一个余数是4，第二个余数是3.余数的乘积是12，除以7后的余数是5，所以1992×59除以7的余数是5.简单记做因为1992×59≡4×3≡5(mod7),所以余数是5.例2:求2001的2003次方除以13的余数。根据性质4来解决。2001除以13的余数等于12，12除以13的余数也是12，可以说2001的2003次方与12的2003次方对于除数13同余。但是12的2003次方仍然是一个很大的数字，求余数仍然比较困难。这时的关键找出12的几次方对于13与1同余，经过试验知道12的平方≡1(mod13),而2003=2的1001次方+1，所以12平方的1001次方≡1的1001(mod13).根据同余的性质12的2002次方×12≡1×12=12(mod13),所以余数等于12。例3:自然数16520、14903、14177除以m得到相同的余数，m最大的数值等于多少?三个数字比较大，但是他们对于m同余，那么当中任意两个数字的差必然是m倍数，要求m的最大的数值可以转化位求他们的三个差的最大公约数，从而降低计算的难度。16520-14903=1617=3×7的平方×11，16520-14177=2343=3×11×71，14903-14177=726=2×3×11的平方，三个差的最大公约数是3×11=33,m的最大数字等于33.练习:1)879×4376×5283除以19的余数。2)已知2001年的国庆节是星期一，求2008年的国庆节是星期几?3)求16的200次方除以21的余数?4)一个整数除226、192、141都得到相同的余数，并且余数不等于0，这个整数最大是多少?
1 反身性 a≡a (mod m)2 对称性 若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)3 传递性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)4 同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d (mod m)5 同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).故a≡c(mod m).4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m)【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)∴m|[(a-b)±(c-d)]∴m|[(a±c)-(b±d)]∴a ± c ≡ b ± d (mod m)(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)又 m|(a-b) , m|(c-d)∴m|(ac-bd)∴a * c ≡ b * d (mod m) 5 除法若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)6 幂运算如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)8 若a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数9 欧拉定理设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(φ(m))≡1(mod m)(注:φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi))推论: 费马小定理: 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)（但是当p|a时不等价）10 中国剩余定理设整数m1,m2,m3,......,mn 两两互素，令m=m1m2m3m4m5...mn（mi的连乘）。则对于任意的J在（1,n)整数，下列联立的同余式有解：{xj≡1(mod mj){xj≡0(mod mi) i不等于j令x为从1到najxj的和，则x适合下列联立同余式x≡aj（mod mj）, j=1,2,3,.....,n另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余
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盈余管理的动因及规范措施【摘要】盈余管理，企业管理当局基于自身的私人利益，借助会计政策的选择和会计估计的变更，来左右财务报告的过程或行为，或者说是企业管理当局在遵循会计准则的基础上,通过对企业对外报告的会计收益信息进行控制或调整,以达到主体自身利益最大化的行为【关键词】盈余管理，最大利益，会计法规盈余管理简言之就是一种谋取最大利益的行为。企业管理当局基于自身的私人利益，借助会计政策的选择和会计估计的变更，来左右财务报告的过程或行为，或者说是企业管理当局在遵循会计准则的基础上,通过对企业对外报告的会计收益信息进行控制或调整,以达到主体自身利益最大化的行为。 在目前，我们对盈余管理的理解有两种观点：一种是认为适度的盈余管理，是一个企业不断走向成熟的标志，它体现了企业的有关利益主体用合法手段来追求自身利益的实现。另一种观点认为，盈余管理使盈利成为数字游戏，导致会计信息失真，更有一些上市公司将“盈余管理”演变为“利润操纵”，给利益相关者的决策造成严重误导，应严格加以限制。一、盈余管理的客观条件（一） 会计准则、会计制度等会计法规本身的不完善 第一，会计准则与会计制度的制定过程本身可能存在不合理因素。例如，会计准则制定机构的人员组成如果不具有广泛的代表性，会计准则就可能出现偏向性。同时，在会计准则制定过程中，各种利益的代表者为了使准则对自己更有利，都会提出各自的要求，准则制定机构为了在利益相关方之间求得平衡，就必须赋予企业一定的会计政策选择权 第二，会计准则和会计制度本身固有的特点为盈余管理行为提供了机会。企业经营方式不同，经营活动范围不同，社会、法律和金融环境日趋复杂，使得同类会计事项更具个性，会计准则不可能事无巨细，只有对同一会计事项的处理设计出多种备选的会计处理方法，这样就为企业在对会计事项的确认、计量以及会计报告的编报等方面提供了更大的选择范围。同时，会计准则与会计实践之间的时滞性，也会使得企业对某些会计事项的确认和计量等方面采取有利于自己的会计政策，从而使财务报告带有很大的弹性。 第三，各项会计以及相关法规之间存在一定程度的不协调，也导致企业会按照有利于自己的原则选择会计处理程序和方法。 （二） 现行会计理论与会计方法固有的缺陷 第一，现行会计确认基础所固有的缺陷。权责发生制是国际上通用的会计确认基础，这一基础理论虽然较好地解决了收入与费用的配比问题，但在确认的过程中不可避免地加入了一些主观性。第二，现行会计信息重要性原则和稳健性原则固有的缺陷。重要性原则允许企业对不重要的项目可以例外处理或灵活处理，这样就给企业提供了盈余管理的空间，把重要项目按非重要项目处理，从而影响企业财务报告的公允表达。稳健性原则的运用，使得企业平滑收益和计提秘密准备金的操作更容易。企业有可能为了显示持续稳定的盈利趋势，压低经营状况好的年度报告利润，将其转移到亏损年度或经营状况差的年度。企业还可能利用稳健性原则通过过多的计提短期投资跌价准备及存货跌价准备等方法人为地低估企业资产或高估负债。第三，现行会计方法含有估计因素所固有的缺陷。如对坏帐损失、存货跌价损失、或有损失等，常不得不借助于假定和估计的方法，涉及到职业判断，会计估计的变更同样为盈余管理行为提供了条件。 （三） 会计信息具有严重的不对称性 在现代企业制度下，企业管理当局成为企业事实上的控制者，也是会计信息的垄断提供者，他们为了达到自己预期的目的，实现其自身效益的最大化而实施盈余管理。另一方面，从会计信息的使用者来说，在我国国有企业规模和数量所占比重都非常大的情况下，由于所有者缺位、所有权虚化等原因，实际上缺乏对高质量会计信息需求的内在动力。而在证券市场上，应有的理性投资者的缺失，也为企业实施盈余管理行为提供了空间和可能。 二、盈余管理的动因1.筹资动因 按《公司法》的有关规定，首发新股“公司在最近三年内连续盈利并可以向股东支付股利”，“公司预期利润可达同期银行存款利率”。股票上市须“开业时间在三年以上，最近三年连续盈利”。上市公司增发新股“最近三个会计年度加权平均净资产收益率平均不低于10%，且最后一个会计年度加权平均净资产收益率不低于10%。公司“最近三年连续亏损”则暂停上市。因此许多上市公司为了上市，获得配股资格或避免被摘牌，不得不进行相应的盈余管理。 2.债务契约动因 对于公司制的企业，用所获得的资金进行投资，投资成功后，股东可得大部分剩余，而债权人只能获得固定的利息；如果投资失败，股东在破产时可不必偿还全部债务，而债权人要承担全部后果。因此，债权人为了减少代理成本和风险，保证到期收回本息，在贷款时，往往要求债务人提供经注册会计师审计的财务会计报告，并在债务合同中订有一系列以会计数据定义的保护性条款，如流动比率、利息保障倍数、营运资本、固定资产、现金流动等方面的限制。另外，还规定不能过度发放股利、不进行超额贷款以及计提一定比例的偿债准备金等。 如果债务人不能履行合同中的条款，则视为违约。因此，企业管理当局将选择可增加资产或收入及减少负债或费用的会计政策，来保证一定的盈利水平，以避免产生违约行为。盈余管理实际上成为企业减少违约风险的一个工具。 3.政治成本动因 某些企业财务报告提供的数据会成为对其进行管制和监控的信号，一旦财务成果高于或低于一定的界限，企业就会招致严厉的政策限制，必然会影响到企业的正常生产经营，企业管理当局就有可能调整当期报告盈余。比如微软公司通过递延确认实际所得收入来下调盈利，逃避美国反垄断机构的指控就是一例。 另外，企业的高层管理人员，为了增加企业未来预期的盈利能力、提高自己的经营业绩、巩固自己的地位，往往会采用增大收益的盈余管理行为。 4.避税动因 所得税是促使企业管理当局采取盈余管理行为的一个较为明显的因素。企业为了节约税负、减少现金流出，往往尽量降低报告净收益。 另外，我国企业所得税实行33%的比例税率，还规定了两档照顾性税率。若年应税所得额在3万元（含3万元）以下，暂减按18%征税；若年应税所得额在3万元至10万元（含10万元），暂减按27%征税。这样，通过对应税所得额的管理便会达到避税的目的。在《外商投资企业和外国企业所得税法》及其实施细则中，也有详细的税收优惠政策，企业管理当局仍然会通过对利润的管理，如推迟开始获利年度调增两年免税期内的利润，享受到更多的税收优惠。 5.恶意误导市场动因 企业股票上市后，为使股票价格能达到预期的波动，常通过不实的财务报表来达到目的。例如：我国资本市场中的银广厦事件。三、规范盈余管理的措施（一）完善公司组织结构 我国上市公司董事会与经理层往往重叠，这样就使董事会及监事会功能弱化，公司经理人实际上集公司决策、管理、监督大权于一身。在审计委托人、被审计人与审计机构三者之间的委托代理关系中，公司经营管理层实际上由被审计人变成了审计委托人，即由公司经理层聘请审计机构来审计自己，并且审计费用等事项由公司经理层决定。会计人员出于自身利益的考虑，往往受制于经理操纵财务报表，提供虚假信息。 （二） 改进对公司业绩的评价方法 考核公司盈利能力和经营成果应以营业利润为主，而不是净利润或利润总额，尽管对营业利润也会加以操纵，但相对而言，该指标较净利润和利润总额要实在得多。 （三） 完善会计准则与方法1. 不良资产剔除法 所谓不良资产，是指待摊费用、待处理流动资产净损失、待处理固定资产净损失、开办费、递延资产等虚拟资产和高龄应收帐款、存货跌价损失、投资损失等可能产生潜亏的资产项目。如果不良资产总额接近或超过净资产，或者不良资产的增加额（增加幅度）超过净利润的增加额（增加幅度），则说明企业当期的利润有水分。 2. 关联交易剔除法 即将来自关联企业的营业收入和利润予以剔除，分析企业的盈利能力多大程度依赖关联企业。如果主要依赖关联企业，就应当特别关注关联交易的定价政策，分析企业是否以不等价交换的方式与关联方进行交易以调节盈余。 3.异常利润剔除法 即将其他业务利润、投资收益、补贴收入、营业外收入从企业的利润总额中扣除，以分析企业利润来源的稳定性。 4. 现金流量分析法 即将经营活动产生的现金流量、投资活动产生的现金流量、现金净流量，分别与主营业务利润、投资收益和净利润进行比较分析，以判断企业的盈余质量。 （四） 改革现有的关于上市、配股、停牌的规定 应建立一个包括货币量指标和实物量指标、财务数据和生产经营数据的多参数控制体系，以综合衡量和测定公司财务状况和经营业绩，以公平、公正、公开地确认其配股资格。同样摘牌的条件是“连续三年亏损”，这样有些公司便可能通过盈余管理先多转费用，为第三年“转亏”做准备，以避免摘牌。因此，也应建立一套指标体系，这样可以避免由于指标单一而使管理当局容易进行利润操纵。 （五） 加强会计人员职业道德教育 过度的盈余管理甚至“操纵利润”引发的信用危机，实质上是腐败及各经济集团利益相互交织作用的结果，注册会计师只不过是各种利益集团手中利用的工具而已。因此，要规范盈余管理行为，首先一定要加强会计人员职业道德教育，加大执法力度。 （六） 建立法律诉讼体系，加大执法力度 要建立企业、注册会计师民事赔偿机制，企业过度的盈余管理，注册会计师因徇私舞弊或重大过失而不能发现上市公司过度的盈余管理甚至舞弊，致使投资者和债权人蒙受损失的，应当承担民事赔偿责任甚至刑事责任。总之，在目前的市场经济环境下，无论国内国外，盈余管理都不可能完全消除。只能通过不断地推出一些完善措施来加以规范，同时提高各利益相关者识别盈余管理的能力，以期将盈余管理降到最低水平。参考文献； [1]王爱香,《科学时报》科学时报社,2008年12月出版 [2]全国注册会计师考试《经济法》,09年版 [3]全国注册会计师考试《会计》,09年版 [4]全国注册会计师考试《税法》,09年版
怎么写开题报告呢？首先要把在准备工作当中搜集的资料整理出来，包括课题名称、课题内容、课题的理论依据、参加人员、组织安排和分工、大概需要的时间、经费的估算等等。第一是标题的拟定。课题在准备工作中已经确立了，所以开题报告的标题是不成问题的，把你研究的课题直接写上就行了。比如我曾指导过一组同学对伦教的文化诸如“伦教糕”、伦教木工机械、伦教文物等进行研究，拟定的标题就是“伦教文化研究”。第二就是内容的撰写。开题报告的主要内容包括以下几个部分：一、课题研究的背景。 所谓课题背景，主要指的是为什么要对这个课题进行研究，所以有的课题干脆把这一部分称为“问题的提出”，意思就是说为什么要提出这个问题，或者说提出这个课题。比如我曾指导的一个课题“伦教文化研究”，背景说明部分里就是说在改革开放的浪潮中，伦教作为珠江三角洲一角，在经济迅速发展的同时，她的文化发展怎么样，有哪些成就，对居民有什么影响，有哪些还要改进的。当然背景所叙述的内容还有很多，既可以是社会背景，也可以是自然背景。关键在于我们所确定的课题是什么。二、课题研究的内容。课题研究的内容，顾名思义，就是我们的课题要研究的是什么。比如我校黄姝老师的指导的课题“佛山新八景”，课题研究的内容就是：“以佛山新八景为重点，考察佛山历史文化沉淀的昨天、今天、明天，结合佛山经济发展的趋势，拟定开发具有新佛山、新八景、新气象的文化旅游的可行性报告及开发方案。”三、课题研究的目的和意义。课题研究的目的，应该叙述自己在这次研究中想要达到的境地或想要得到的结果。比如我校叶少珍老师指导的“重走长征路”研究课题，在其研究目标一栏中就是这样叙述的：1、通过再现长征历程，追忆红军战士的丰功伟绩，对长征概况、长征途中遇到了哪些艰难险阻、什么是长征精神，有更深刻的了解和感悟。2、通过小组同学间的分工合作、交流、展示、解说，培养合作参与精神和自我展示能力。3、通过本次活动，使同学的信息技术得到提高，进一步提高信息素养。四、课题研究的方法。在“课题研究的方法”这一部分，应该提出本课题组关于解决本课题问题的门路或者说程序等。一般来说，研究性学习的课题研究方法有：实地调查考察法(通过组织学生到所研究的处所实地调查，从而得出结论的方法)、问卷调查法（根据本课题的情况和自己要了解的内容设置一些问题，以问卷的形式向相关人员调查的方法）、人物采访法（直接向有关人员采访，以掌握第一手材料的方法）、文献法（通过查阅各类资料、图表等,分析、比较得出结论）等等。在课题研究中，应该根据自己课题的实际情况提出相关的课题研究方法，不一定面面俱到，只要实用就行。五、课题研究的步骤。课题研究的步骤，当然就是说本课题准备通过哪几步程序来达到研究的目的。所以在这一部分里应该着重思考的问题就是自己的课题大概准备分几步来完成。一般来说课题研究的基本步骤不外乎是以下几个方面：准备阶段、查阅资料阶段、实地考察阶段、问卷调查阶段、采访阶段、资料的分析整理阶段、对本课题的总结与反思阶段等。六、课题参与人员及组织分工。这属于对本课题研究的管理范畴，但也不可忽视。因为管理不到位，学生不能明确自己的职责，有时就会偷懒或者互相推诿，有时就会做重复劳动。因此课题参与人员的组织分工是不可少的。最好是把所有的参与研究的学生分成几个小组，每个小组通过民主选举的方式推选出小组长，由小组长负责本小组的任务分派和落实。然后根据本课题的情况，把相关的研究任务分割成几大部分，一个小组负责一个部分。最后由小组长组织人员汇总和整理。七、课题的经费估算。一个课题要开展，必然需要一些经费来启动，所以最后还应该大概地估算一下本课题所需要 的资金是多少，比如搜集资料需要多少钱，实地调查的外出经费，问卷调查的印刷和分发的费用，课题组所要占用的场地费，有些课题还需要购买一些相关的材料，结题报告等资料的印刷费等等。所谓“大军未动，粮草先行”，没有足够的资金作后盾，课题研究势必举步维艰，捉襟见肘，甚至于半途而废。因此，课题的经费也必须在开题之初就估算好，未雨绸缪，才能真正把本课题的研究做到最好。
企业盈利能力的分析对于一个企业来说是非常重要的，盈利能力分析可以为企业的未来作出很好的规划等等。那么企业盈利能力分析的方法主要有哪些呢？服务博成都兼职财务会计表示，一般有如下的3种分析方法。(一)盈利稳定性的分析盈利的稳定性主要应从各种业务利润结构角度分析，即通过分析各种业务利润在利润总额中的比重判别盈利的稳定性。我国损益表中的利润按着业务的性质划分为，商品(产品)销售利润、其它业务利润、营业利润、营业外收支等。各利润项目又是按获利的稳定性顺序排列的，凡是靠前的项目在利润总额中所占比重越高，说明获利的稳定性越强。由于主营业务是企业的主要经营业务，一个待续经营的企业总是力求保证主营业务的稳定，从而使得盈利水平保持稳定，所以在盈利稳定性的分析中应侧重主营业务利润比重的分析，重点分析主营业务利润对企业总盈利水平的影响方向和影响程度。(二)盈利持久性的分析盈利的持久性，即企业盈利长期变动的趋势。分析盈利的持久性通常采用将两期或数期的损益进行比较的方式。各期的对比既可以是绝对额的比较，也可以是相对数的比较。绝对额的比较方式就是将企业经常发生的收支、经营业务或商品的利润的绝对额进行对比，看其盈利是否能维持或增长。相对数的比较方式，是选定某一会计年度为基年，用各年损益表中各收支项目余额去除以基年相同项目的余额，然后乘以100%，求得各有关项口变动的百分率，从中判断企业盈利水平是否具有持续保持和增长的可能性如企业经常性的商品销售或经营业务利润稳步增长，则说明企业盈利的持久性就越强。(三)盈利水平分析的几个指标分析企业的盈利水平，通过计算相对财务指标评价企业盈利水平。这些指标一般根据资源投入及经营特点分为四大类：资本经营盈利能力分析、资产经营盈利能力分析、商品经营盈利能力分析和上市公司盈利能力分析。成都兼职财务会计表示，包涵的基本指标有：净资产收益率、总资产报酬率、收入利润率、成本利润率、每股收益、普通股权益报酬率和股利发放率等等。对企业盈利能力的分析主要指对利润率的分析。
中国著名数学家 刘徽 刘徽刘徽（生于公元250年左右），三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。他在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产． 《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=的结果．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作． 《海岛算经》一书中， 刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目． 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人． 祖冲之 祖冲之祖冲之（公元429年─公元500年）是中国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于未文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。在数学方面，他写了《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代国子监算学课本，可惜后来失传了。祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。在机械学方面，他设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等等。此外，对音乐也研究。他是历史上少有的博学多才的人物。月球上还有一座环形山是以他的名字命名的。 祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形， 求得π=，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在与之间．并得出了π分数形式的近似值，取22/7为约率，取355/113为密率，其中355/113取六位小数是，它是分子分母在16604以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接12288边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率， 外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"． 祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元． 祖冲之还与他的儿子祖暅（也是中国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理， 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．祖冲之也制造过许多工具，如指南车等。张丘建 张丘建 《张丘建算经》三卷，据钱宝琮考，约成书于公元466～485年间。张丘建，北魏时清河（今山东临清一带）人，生平不详。最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就。“百鸡术”是世界著名的不定方程问题。13世纪意大利斐波那契《算经》、15世纪阿拉伯阿尔·卡西《算术之钥》等著作中均出现有相同的问题。 朱世杰：《四元玉鉴》 朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。 贾宪 中国古典数学家在宋元时期达到了高峰，这一发展的序幕是“贾宪三角”（二项展开系数表）的发现及与之密切相关的高次开方法（“增乘开方法”）的创立。贾宪，北宋人，约于1050年左右完成〈〈黄帝九章算经细草〉〉，原书佚失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉〈〈详解九章算法〉〉（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。〈〈详解九章算法〉〉同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。 贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”，1654年为法国数学家 B·帕斯卡重新发现。 秦九韶：《数书九章》 秦九韶（约1202～1261），字道吉，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书共18卷，81题，分九大类（大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易）。其最重要的数学成就——“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。 李冶 随着高次方程数值求解技术的发展，列方程的方法也相应产生，这就是所谓“开元术”。在传世的宋元数学著作中，首先系统阐述开元术的是李冶的《测圆海镜》。 李冶（1192～1279）原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回家。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的就是说明用开元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一部数学著作《益古演段》（1259），也是讲解开元术的。 成果 华人数学家的研究成果 中国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及的思想方法，近现代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的： 【李善兰恒等式】数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为“李善兰恒等式”（或李氏恒等式）。 华罗庚【华氏定理】数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。 【苏氏锥面】数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。 【熊氏无穷级】数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为“熊氏无穷级”。 【陈示性类】数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。 【周氏坐标】数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标；另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”。 【吴氏方法】数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”；另外还有以他命名的“吴氏公式”。 【王氏悖论】数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”。 【柯氏定理】数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”；另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”。 陈景润【陈氏定理】数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”。 【杨—张定理】数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。 【陆氏猜想】数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”。 【夏氏不等式】数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏氏不等式”。 【姜氏空间】数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”；另外还有以他命名的“姜氏子群”。 【侯氏定理】数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”。 【周氏猜测】数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。 【王氏定理】数学家王戌堂关于点集拓扑学的研究成果被国际数学界誉为“王氏定理”。 【袁氏引理】数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”。 【景氏算子】数学家景乃桓在对称函数方面的研究成果被国际上命名为“景氏算子”。 【陈氏文法】数学家陈永川在组合数学方面的研究成果被国际上命名为“陈氏文法”。 研究表明，数学焦虑程度较高的人，不仅趋向于回避与数学相关的事物，并且不愿意从事与数学相关的职业。芝加哥大学的研究显示，这些回避都源于疼痛焦虑。研究人员说：“这是首次从神经层面揭示了数学焦虑这种主观体验的本质。” 这种焦虑不仅仅限于数学。英国《每日邮报》援引科学家的研究称，担心过圣诞节花钱，计算下饭馆要给多少小费，算一算家庭开销，都可能会给对做数学题有内在恐惧感的人带来身体上的痛苦。[3] 编辑本段数学文化 外国名言 数学符号之美万物皆数－－毕达哥拉斯 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。——毕达哥拉斯 数统治着宇宙。－－毕达哥拉斯 几何无王者之道。——欧几里德 我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。——笛卡儿（Rene Descartes 1596-1650） 数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源。数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙。——笛卡儿 虚数是奇妙的人类棈神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物。——莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646-1716） 不发生作用的东西是不会存在的。——莱布尼茨 考虑了很少的那几样东西之后，整个的事情就归结为纯几何，这是物理和力学的一个目标。——莱布尼茨 虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象。——欧拉（Leonhard Euler 1707-1783） 因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造，因此，如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则，那就根本不会发生任何事情。——欧拉 数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深. 数学是科学之王。——高斯 数学是自然科学之首，而数论是数学中的皇后。——高斯 这就是结构好的语言的好处，它简化的记法常常是深奥理论的源泉。——拉普拉斯(Pierre Simon Laplace 1749-1827) 在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比。——拉普拉斯 读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。——拉普拉斯 一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现她的国力强大。——拉普拉斯 认识一位巨人的研究方法，对於科学的进步并不比发现本身更少用处。科学研究的方法经常是极富兴趣的部分。——拉普拉斯 写满数学公式的纸如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误。——柯西（Augustin Louis Cauchy 1789-1857） 给我五个系数，我将画出一头大象；给我第六个系数，大象将会摇动尾巴。——柯西 人必须确信，如果他是在给科学添加许多新的术语而让读者接着研究那摆在他们面前的奇妙难尽的东西，已经使科学获得了巨大的进展.——柯西 几何看来有时候要领先于分析，但事实上，几何的先行于分析，只不过像一个仆人走在主人的前面一样，是为主人开路的。——西尔维斯特（James Joseph Sylvester 1814-1897） 也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号，因为我相信数学理性创造物由我命名（已经流行通用）比起同时代其他数学家加在一起还要多。——西尔维斯特 一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家。——魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass 1815-1897） 数学的本质在於它的自由。——康扥尔 数学的领域中， 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。——康托尔 只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力， 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡。 ——希尔伯特 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。——克莱因 没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。---Carus,Paul 问题是数学的心脏——.哈尔莫斯 哪里有数，哪里就有美!——普洛克拉斯 逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑还得要使用逻辑。——布特鲁 数学分系统自然界本身同样的广阔————傅立叶 逻辑可以等待，因为它是永恒————亥维赛 一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。 ——马克思 数学是无穷的科学。——赫尔曼·外尔 历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。——培根 一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量。——拉奥 没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。——卡罗斯 数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰明 中国名言 迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。——祖冲之（429-500） 事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。——刘徽 数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚 新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。——华罗庚 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。——华罗庚 数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。——陈省身 科学需要实验。但实验不能绝对精确。如有数学理论，则全靠推论，就完全正确了。这科学不能离开数学的原因。许多科学的基本观念，往往需要数学观念来表示。所以数学家有饭吃了，但不能得诺贝尔奖，是自然的。数学中没有诺贝尔奖，这也许是件好事。诺贝尔奖太引人注目，会使数学家无法专注于自己的研究。——陈省身 我们欣赏数学，我们需要数学。——陈省身 一个数学家的目的，是要了解数学。历史上数学的进展不外两途：增加对于已知材料的了解，和推广范围。——陈省身 现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量。——邱成桐
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一桶40斤重的食用油，每次用去桶内的油的一半，如此进行下去，第四次桶内剩下多少斤油？ 第一次为40/2=20斤第二次为20/2=10斤第三次为10/2=5斤第四次为5/2=斤综合式子40/2/2/2/2=40/（2^4)=(斤）|x-1|=2，求-2|x+1|-|x|+4的值 X-1=2或X-1=-2若X-1=2 即X=3则 -2|x+1|-|x|+4=-8-3+4=-7若X-1=-2 即X=-1 则 -2|x+1|-|x|+4=0-1+4=3综上 -2|x+1|-|x|+4=-7或3 （1）1*3分之一加上3*5分之一加上5*7分之一加上.........2001*2003分之一等于？？？？？？ （2）1-2分之一的绝对值加上2分之一-3分之一的绝对值加上3分之一-4分之一绝对值加上...........999分之一-1000分之一的绝对值 1/(1*3)=(1-1/3)*1/21/(3*5)=(1/3-1/5)*1/2......1/(2001*2003)=(1/2001-1/2003)*1/2原式=1/2*(1-1/3+1/3-1/5+...+1/2001-1/2003)=1/2*(1-1/2003)=1/2*2002/2003=1001/2003|1-1/2|+|1/2-1/3|+...+|1/999-1/1000|=1-1/2+1/2-1/3+...+1/999-1/1000=1-1/1000=999/1000 :某个体粮店一天买进六袋小麦，以每袋60千克为标准，超过的记做正，不足记为负，记录分别为-2.+1.+，这六袋小米共多少千克？解：(9-2)+(+1)+(+3)+(-5)+(+2)+(-4)=-5说明以每袋六十千克计算少5千克，那么60*6-5＝360－5＝355（千克）(1)23+(-73) (2)(-84)+(-49) (3)7+() (4)() (5)(-7/3)+(-7/6) (6)9/4+(-3/2) (7)()+5/4 (8)(+5/4)+() (二)用简便方法计算: (1)(-17/4)+(-10/3)+(+13/3)+(11/3) (2)()+(+)+()+()+(+)+(+) (三)已知:X=+17(3/4),Y=-9(5/11),Z=, 求:(-X)+(-Y)+Z的值 (四)用">","0,则a-ba (C)若ba (D)若a<0,ba 后面几题没答案的 自己慢慢做去
十八九世纪之交，德国产生了一位伟大的数学家，他就是人称“数学王子”的高斯。对数学的痴迷，加上勤奋的学习，18岁时高斯发明了用圆规和直尺作正17边形的方法，从而解决了2000年来悬而未解的难题。他21岁大学毕业，22岁获博士学位。他在博士论文中证明了代数基本定理，即一元n次议程在复数范围内一定有根。在几何方面，高斯是非欧几何的发明人之一。高斯最重要的贡献还是在数论上，他的伟大著作《算术研究》标志着数论成为独立的数学分支学科的开始，而且这本书所讨论的内容成为直到20世纪数论研究的方向。高斯首先使用了同余记号，并系统而深入地阐述了同余式的理论；他证明了数论中的重要结果二次互反律等。高斯去世后，人们建立了以正17边形棱柱为基座的高斯像，以纪念这位伟大的数学家。 1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根 幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。高斯长期从事于数学并将数学应用于物理、天文学和大地测得学等领域的研究，著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），完成4项意义重大的发明：（日光）、回照器(1820)、光度计(1821)、电报(1832)和磁强计(1837)。在各领域的主要成就有：1．物理学和地磁学中，关于静电学（如高斯定理）、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量（如磁场强度）以及地磁场分布的理论研究（如把地面上任一点的磁势进行球谐分析）。2．利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。3．天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。4．结合实验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。此外在纯数学方面，他对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明，如自然数为素数乘积定理、二项式定理、散度定理等。 职业生涯他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格丁根大学学习。第二年他就发现正十七边形的尺规作图法。并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题。高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高理的数论研究 总结 在《算术研究》（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典着作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。 他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了着名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。 高斯最出名的故事就是他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算1＋2＋3…＋100＝？”。 这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后将答案解了出来，他利用算术级数（等差级数）的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目一对对的凑在一起：1＋100，2＋ 99，3＋98，……49＋52，50＋51 而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是： 101×50＝5050。 1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦，有一个后来被证认为小行星并被命名为谷神星的天体被发现当时它好像在向太阳靠近，天文学家虽然有40天的时间可以观察它，但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置。高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法（一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法在天文学中这一成就立即得到公认。他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星”智神星”方面也获得类似的成功。 数学神童 历史上间或出现神童。神童常常出现在数学、音乐、棋艺等方面。卡尔·弗雷德里希·高斯，一位数学神童，是各式各样的天才里最出色的一个。就像狮子号称万兽之王，高斯在数学家之林中称王，他有一个美号——数学王子。高斯不仅被公认为是十九世纪最伟大的数学家，并且与阿基米德、牛顿并称为历史上三个最伟大的数学家。现在阿基米德和牛顿的名字早已进入了中学的教科书，他们的工作或多或少成为大众的常识，而高斯和他的数学仍遥不可及，甚至于在大学的基础课程中也不出现。但高斯的肖像画却赫然印在10马克——流通最广泛的德国纸上，相应地出现在美元和英镑上的分别是乔治·华盛顿和伊丽莎白二世。1777年4月30日，高斯出生在德国下萨克森洲的不伦瑞克（Braunscheig），他的祖先里没有一个人可以说明为什么会产生高斯这样的天才。高斯的父亲是个普通的劳动者，做过石匠、纤夫、花农，母亲是他父亲的第二个妻子，当过女仆，没有受过什么教育，但她聪明善良，有幽默感，并且个性很强，她以97岁高寿仙逝，高斯是她的独养儿子。据说高斯3岁时就发现父亲帐簿上的一处错误。高斯9岁那年在公立小学读书，一次他的老师为了让学生们有事干，叫他们把从1到100这些数加起来，高斯几乎立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的桌子上，当所有的石板最终被翻过时，这位老师惊讶地发现只有高斯得出了正确的答案：5050，但是没有演算过程。高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……这么一来，就等于50个101相加，从而答案是5050。高斯在晚年常幽默地宣称，在他会说话之前就会计算，还说他问了大人字母如何发音，就自己学着读起书来。高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵的注意，这位公爵是个热心肠的赞助人。高斯14岁进不伦瑞克学院，18岁入哥廷根大学。当时的哥廷根仍默默无闻，由于高斯的到来，才使得这所日后享誉世界的大学变得重要起来。起初，高斯在做个语言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是1796年3月30日的事了。当他差一个月满19岁时，他对正多边形的欧几里德作图理论（只用圆规和没有刻度的直尺）做出了惊人的贡献，尤其是，发现了作正十七边形的方法，这是一个有着二千多年历史的数学悬案。高斯初出茅庐，就已经炉火纯青了，而且以后的五十年间他一直维持这样的水准。高斯所处的时代，正是德国浪漫主义盛行的时代。高斯受时尚的影响，在其私函和讲述中，充满了美丽的词藻。高斯说过：“数学是科学的皇后，而数论是数学的女王。”那个时代的人也都称高斯为“数学王子”。事实上，纵观高斯整个一生的工作，似乎也带有浪漫主义的色彩 在高斯的时代，几乎找不到什么人能够分享他的想法或向他提供新的观念。每当他发现新的理论时，他没有人可以讨论。这种孤独的感觉，经年累月积存下来，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。这种智慧上的孤独，在历史上只有很少几个伟人感受过。高斯从不参加公开争论，他对辩论一向深恶痛绝，他认为那很容易演变成愚蠢的喊叫，这或许是他从小对粗暴专制的父亲一种心理上的反抗。高斯成名后很少离开过哥廷根，他曾多次拒绝柏林、圣彼德堡等地科学院的邀请。高斯甚至厌恶教学，也不热衷于培养和发现年轻人，自然就谈不上创立什么学派，这主要是由于高斯天赋之优异，因而心灵上离群索居。可这不等于说高斯没有出类拔萃的学生，黎曼、狄里克雷都堪称伟大的数学家，戴特金和艾森斯坦也对数学作出了杰出贡献。但是由于高斯的登峰造极，在这几个人中，也只有黎曼（在狄里克雷死后继承了高斯的职位）被认为和高斯比较亲近。和高斯同时代的伟大数学家雅可比和阿贝尔都抱怨高斯漠视了他们的成就。雅可比是个很有思想的人，他有一句流传至今的名言：“科学的唯一目的是为人类的精神增光”。他是高斯的同胞，又是狄里克雷的丈人，但他一直没能和高斯攀上亲密的友情。在1849年哥廷根那次庆祝会上，从柏林赶来的雅可比坐在高斯身旁的荣誉席上，当他想找话题谈数学时，高斯不予理睬，这可能是时机不对，当时高斯几杯甜酒下肚，有点不能自制；但即使换个场合，结果恐怕也是一样。在给他兄弟论及该宴会的一封信中，雅克比写到，“你要知道，在这二十年里，他（高斯）从未提及我和狄里克雷……”阿贝尔的命运很惨，他与后来的同胞易卜生、格里格和蒙克一样，是在自己领域里唯一取得世界性成就的挪威人。他是一个伟大的天才，却过着贫穷的生活，毫无同时代人的了解。阿贝尔20岁时，解决了数学史上的一个大问题，即证明了用根式解一般五次方程的不可能性，他将短短六页“不可解”的证明寄给欧洲一些著名的数学家，高斯自然也收到了一份。阿贝尔在引言中满怀信心，以为数学家们会亲切地接受这篇论文。不久，乡村牧师的儿子阿贝尔开始了他一生唯一的一次远足，当时他想以这篇文章作敲门砖。阿贝尔此行最大的愿望就是拜访高斯，但高斯高不可攀，只是将论文瞄了几行，便把它丢在一旁，仍然专心于自己的研究工作。阿贝尔只得在从巴黎去往柏林的旅途中，以渐增的痛苦绕过哥廷根。高斯虽然孤傲，但令人惊奇的是，他春风得意地度过了中产阶级的一生，而没有遭受到冷酷现实的打击；这种打击常无情地加诸于每个脱离现实环境生活的人。或许高斯讲求实效和追求完美的性格，有助于让他抓住生活中的简单现实。高斯22岁获博士学位，25岁当选圣彼德堡科学院外籍院士，30岁任哥廷根大学数学教授兼天文台台长。虽说高斯不喜欢浮华荣耀，但在他成名后的五十年间，这些东西就像雨点似的落在他身上，几乎整个欧洲都卷入了这场授奖的风潮，他一生共获得75种形形色色的荣誉，包括1818年英王乔治三世赐封的“参议员”，1845年又被赐封为“首席参议员”。高斯的两次婚姻也都非常幸福，第一个妻子死于难产后，不到十个月，高斯又娶了第二个妻子。心理学和生理学上有一个常见的现象，婚姻生活过得幸福的人，常在丧偶之后很快再婚，一生赤贫的音乐家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫也是这样。
。如《祝福》的开头与结尾写祝福时的景色气氛，以乐景反衬祥林嫂的悲剧，更增强了作品对旧社会的批判力量。5、自然景色可以暗喻某种社会环境，如高尔基的《海燕》，茅盾的《雷雨前》。
只要保证文章的完整性，发一般的刊物还是可以的