论题：置换群运算与证明的数学机械化目录摘要ABSTRACT' 科学计算和计算机代数系统.' 论文的主要结果及安排第二章群论知识背景' 置换群' 置换群的运算及其在集合上的作用' 小结第三章置换群运算与证明的计算机实现置换群上运算的实现 置换群证明的计算机实现小结第四章计算对称群的子群数据表示和计算方法对称群中的交换子群.例子第五章结束语杯.1群论和算法对A。为单群的计算机证明的展望.计算机代数系统的局限性致谢参考文献附录A置换群运算的Mathematics程序群论的算法是一个很有意义的问题。在实际应用中遇到的群大都十分复杂，需要借助于计算机来实现其运算。本文用计算机代数系统Mathematica实现了置换群上的运算和证明问题。针对置换群上的基木运算、子群的运算和生成以及群对集合的作用等问题，我们设计了相应的算法并用Mathematica实现了这些算法。把交代群A。的元素按共扼分类，将除单位元所在共扼类之外的其它共辘类的阶数进行所有可能的组合相加，对所得的每个数加上单位元所在共扼类的阶数1，然后用所得结果依次去除{An，如果其中存在某个数k，使得k能够整除{An I，则只有阶数相加为k的那些共扼类的并集所生成的群才有可能成为A。的非平凡的正规子群。从这个理论出发，我们设计了用计算机代数的方法判断A。是否为单群的算法，当n< 10时都能很快地得出An (n } 4)为单群的结论。Caley定理揭示了一个抽象群G和一个具体的群Sn的关系。如果能把Sn中所有不同构的n阶子群都找出来，那么也就能把所有可能存在的n阶群都找出来了。本文讨论了计算对称群的所有子群并对其进行共扼分类的算法，作为例子，我们完成了}S(n_7)的所有子群的共扼分类。论题：置换群_PSL_3_p_PSL_2_7_的次轨道结构目录摘要Abstract .1.引言2.预备知识3.主要定理证明长为7的自阮挤寸次轨道长为8的自配对次轨道长为14的自配对次轨道长为21的自配对次轨道长为24的自配对次轨道长为28的自配对次轨道长为42的自配对次轨道长为56的自瓦织寸次轨道长为84的自配对次轨道参考文献致谢摘要设群G是有限集合几上的传递置换群，对任意aES2，令G。二{9〔G}as二a}是G关于点a的稳定子群.我们称G。在几上作用的轨道为G关于a的次轨道，而次轨道的个数称为G的秩.对任一次轨道△，设as E△，则把as_，所在的次轨道△，称为与△配对的次轨道.当二者重合时，称其为自配对的.决定一个置换群的次轨道结构是置换群理论的基本间题之一，它在组合结构的研究中有着重要的应用.在文!21】中，作者决定了PSL(3,川关于极大子群 PSL(2, 7)的本原置换表示的次轨道，其中p三1(mod 168)，但未研究其次轨道的瓦妞寸情况.而在多数情况下，群在组合结构方面的应用要求决定次轨道的配对情况.本文将决定该置换表示的全体非正则自配对的次轨道.
一元三次方程的解法可以吗? 一元三次方程求根公式的解法 -------摘自高中数学网站 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 （5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。 x^y就是x的y次方 好复杂的说 塔塔利亚发现的一元三次方程的解法 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p3 = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里发现的一元四次方程的解法 和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程 一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程： x4=px2+qx+r 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数 a，我们有 (x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2 等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即 q2 = 4(p+2a)(r+a2) 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以 解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。 最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算)，这称为阿贝耳定理 这3个网站都是一元四次方程的解法!
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方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。 一、伽罗瓦群论产生的历史背景 从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。 二.伽罗瓦创建群理论的工作 伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。峰 1.伽罗瓦群论的创建 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。 2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式 △1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程 =0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设f(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△i中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群s(n)，s(n)是由n!个元素集合构成的，s(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把s(n)中的元素个数称为阶，s(n)的阶是n!。 伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群g后，开始寻找它的最大子群h1，找到h1后用一套仅含有理运算的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域r，并且在h1的置换下不改变值，但在g的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，…于是得到h1,h2,…,hm，直到hm里的元素恰好是恒等变换（即hm为单位群i）。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时，系数域r也随之一步步扩大为r1,r2,…,rm，每个ri对应于群hi。当hm=i时，rm就是该方程的根域，其余的r1,r2,…,rm-1是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3) p与q独立，系数域r添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群g，g是s(4)的一个8阶子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中 e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。 要把r扩充到r1，需在r中构造一个预解式，则预解式的根，添加到r中得到一个新域r1，于是可证明原方程（3）关于域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群h1在母群g中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。第二步，构造第二个预解式，解出根 ，于是在域r1中添加得到域r2，同样找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群h2在h1中的指数4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根 ，把添加到r2中得扩域r3，此时方程（3）在r3中的群为h3，h3={e}，即h3=i，则r3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群h3在h2中的指数2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。 现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。 他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由g 约化到h1)的预解式是一个二项方程xp=a (p为素数)时，则h1是g的一个正规子群。反之，若h1是g的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群g生成的一个极大正规子群序列标记为g、h、i、j…, 则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g的阶数/ h的阶数。对上面的四次方程(3)，h1是g的极大正规子群， h2是h1的极大正规子群，h3又是h2的极大正规子群，即对方程(3)的群g 生成了一个极大正规子群的序列g、h1、h2、h3。 随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。 根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时，该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，当n=3时，有两个二次预解式t2=a和t3=b，合成序列指数为2与3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)，s(n)的极大正规子群是a(n) (实际a(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)，a(n)的元素个数为s(n)中的一半，且a(n)的极大正规子群是单位群i，因此[s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2，[a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2， 2是质数，但当n ≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。 顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。 三.伽罗瓦群论的历史贡献 伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。” “任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。 “105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。生活中的数学 有一个谜语：有一样东西，看不见、摸不着，但它却无处不在，请问它是什么？谜底是：空气。而数学，也像空气一样，看不见，摸不着，但它却时时刻刻存在于我们身边。 奇妙的“黄金数” 取一条线段，在线段上找到一个点，使这个点将线段分成一长一短两部分，而长段与短段的比恰好等于整段与长段的比，这个点就是这条线段的黄金分割点。这个比值为：1：…而…这个数就被叫作“黄金数”。 有趣的事，这个数在生活中随处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点；有些植物茎上相邻的两片叶子的夹角恰好是把圆周分成1：…的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或是近代的埃菲尔铁塔，都少不了…这个数。人们还发现，一些名画，雕塑，摄影的主体大都在画面的…处。音乐家们则认为将琴马放在琴弦的…处会使琴声更柔和甜美。 数…还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间。为了求得最恰当的加入量，通常是取区间的中点进行试验，然后将实验结果分别与1000克与2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做实验，直到得到最理想的效果为止。但这种方法效率不高，如果将试验点取在区间的处，效率将大大提高，这种方法被称作“法”，实践证明，对于一个因素的问题，用“法”做16次试验，就可以达到前一种方法做2500次试验的效果！ “黄金数”在生活中竟有如此多的实例和运用。或许，在它的身上，还有更多的奥秘，等待我们去探寻，使它能更好地为我们服务，为我们解决更多问题。 美妙的轴对称 如果在一个图形上能找到一条直线，将这个图形沿着条直线对这可以使两边完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 如果仔细观察，可以发现飞机是一个标准的轴对称物体，俯视看，它的机翼、机身、机尾都呈左右对称。轴对称使它飞行起来更平稳，如果飞机没有轴对称，那飞行起来就会东倒西歪，那时，还有谁愿意乘飞机呢？ 再仔细观察，不难发现有许多艺术品也成轴对称。举个最简单的例子：桥。它算是生活中最常见的艺术品了（应该算艺术品吧），就拿金华的桥来说：通济桥、金虹桥、双龙大桥、河磐桥。个个都呈轴对称。中国的古代建筑就更明显了，古代宫殿，基本上都呈轴对称。再说个有名的：北京城的布局。这可是最典型的轴对称布局了。它以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线成左右对称。将轴对称用在艺术上，能使艺术品看上去更优美。 轴对称还是一种生物现象：人的耳、眼、四肢、都是对称生长的。耳的轴对称，使我们听到的声音具有强烈的立体感，还可以确定声源的位置；而眼的对称，可以使我们看物体更准确。可见我们的生活离不开轴对称。
初三 就写 论文 厉害 佩服啊你可以 按这个 模式 写一下一、目的要求从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。二、内容分析1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法。2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。三、教学过程复习提问：1．当x取什么值的时候，3x－15的值（1）等于0；（2）大于0；（3）小于0。（这是初中作过的题目）2．你可以用几种方法求解上题？新课讲解：像3x－15＞0(或＜0）这样的不等式，常用的有两种解法。(1)图象解法：利用一次函数y＝3x－15的图象求解。注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根。②图象在x轴上面的部分表示3x－15＞0。(2)代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解。注这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的。复习提问：画出函数的图象，利用图象回答：（1）方程的解是什么；（2）x取什么值时，函数值大于0；（3）x取什么值时，函数值小于0。（这也是初中作过的题目）新课讲解：1.结合二次函数的对应值表与图象（表、图略），可以得出，方程的解是x＝－2，或x＝3；当x<－2，或x>3时，y>0，即；当－2
数学学习的良师益友——兴趣 美国教育家布鲁纳说过：“学习的最好动力是对学习材料的兴趣”。古人云"兴趣是最好的老师。"心理学研究表明，求知欲和学习兴趣是一种内在的学习动机，学生如果能在学习中产生兴趣，就会积极主动地思考和学习，学习的效率就会事半而功倍。进入初中后，学生数学成绩两极分化严重，造成这一现象的重要原因之一就是学生学习兴趣不高，主动学习意志淡薄，部分学生甚至对数学产生畏惧心理，产生厌学情绪，严重影响了数学学科的成绩。因此，激发学生的数学兴趣，调动学习数学的积极性对搞好课堂教学、提高学习成绩，有着十分重要的意义。如何培养学生学习数学的兴趣呢？下面结合本人多年的教学实践谈谈自己的一些见解： 1、首先要建立和谐的师生关系要提高学生的学习兴趣教师首先要懂得建立和谐的师生关系。"感人心者先乎于情"，因此，教师应加强与学生感情的交流，增进与学生的友谊，关心他们，爱护他们，热情地帮助他们解决学习和生活中的困难。做学生的知心朋友，使学生对老师有较强的信任感、友好感、亲近感。当教师的情感灌注在教学内容中，激起了学生的学习情感时，学生就能够更好地接受教师所教的学科上了。达到"尊其师，信其道"的效果。和谐的师生关系，能产生情感期待效应，使每个学生都感受到教师的期待，教师对他们深切的爱，从而激发学生强烈的求知欲望，每一节课，教师要满腔热情，让学生从教师的 "精神"中受到激励，感到振奋；要热爱关心每一个学生，尊重学生，使每个学生都感到"老师在期待我"，教师要用自己的眼神、语调、表达对学生的爱，创设一种和谐的师生关系，这是提高学生学习兴趣的基础。 2、了解数学史，帮助学生正确认识数学学习一门学科首先要弄清楚这是一门怎样的学科，《标准》明确提出要使学生"初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用"，而现阶段初中学生对数学的看法大都停留在感性的层面上——枯燥、难学等。数学在科学发展中的地位如何？与其它学科有什么联系？这些问题大都不被学生了解。因此，教师在教学生数学时，首先要让学生了解数学的历史，了解数学在科学发展中的地位，了解数学与其它学科的联系。让学生正确认识数学，这是提高学生学习数学兴趣的关键。 3、创设良好的导入情境一堂课的导入设计的好，就会把学生的注意力深深的吸引住，调动他们的胃口，使之对本节课的内容产生兴趣，从而讯速使学生进入"角色"，思维马上活跃起来。因此，创设良好的导入情境也是学生提高学习数学兴趣的关键。那么，怎样的'导入'才能激发学生的兴趣呢？、导入要有生活性，要关注学生的生活背景。数学教学内容虽然是抽象的，然而大多可以在生活中找到适合学生接受的原型。从学生的生活背景出发，设计生活化的导入情境，可使学生体验到数学的价值与魅力，能够激发学生去探索数学知识的欲望。例如：在教学《统计》一节时，开课时，先创设这样的情境：同学们，快过“元旦”了，我们要开个联欢晚会，需要买些气球布置会场：有红色、黄色、绿色、蓝色，但又不知道每种颜色买多少，你们能帮帮老师吗？同学们争先恐后，想出了各种各样的办法。经过研究讨论，大家一致认为，只要让喜欢某种颜色的人举手，数一数，便知道喜欢某种颜色的同学有多少，也就知道每种颜色需要买多少。接着告诉学生，刚才所做是统计。这样，学生进一步认识了什么是统计。把一个比较枯燥的数学问题融于生活情境中，使学生在不知不觉中学会了有关知识。这样比老师很费劲地去讲什么是统计，效果要好得多。、导入要有趣味性，符合学生的认知发展规律。例如：在学习《圆的性质》一节时，说：“为什么车轮要做成圆形而不做成方形的呢？”引起学生思考：圆上任一点到圆心的距离都等于圆的半径，与圆的概念相联系。、导入要有启发性，能诱发学生的疑问和思考。比如教“三角形按边的相等关系分类”一节，学生往往把三角形分为两大类：一类是不等边三角形，另一类是等边三角形。从而违反了分类遗漏的原则。对此教师从实际入手提问：“有两腰长5cm；底边是8cm的等腰三角形应该归为哪一类呢？”话音刚落，讨论热烈。教师抓住关健及时引导，巧妙点拨，使学生从迷雾中解脱出来，问题便迎刃而解。、导入要有知识性，与新知识要有密切的联系。例如：在学习解“解一元一次方程”时，说：“同学们，我们先做一个游戏。现在，你们心理想好一个数，然后加上2，行、乘以3，得出的积减去5，再减去你原来想好的那个数。好了，只要你把最后的结果告诉我，我就能猜出你原来想好的数是几。”游戏开始了，同学们纷纷举手。一个学生说：“我的最后结果是15。”老师告诉他：“那么你原来的数是7，对吗？”“对！”学生高兴的回答。“老师你是怎么知道的？快告诉我们吧！”同学们兴趣盎然，纷纷向老师提出要求。老师不慌不忙地说：“好，方法是‘解一元一次方程’（板书），顺利引题。 4、创建和谐愉快的课堂气氛和谐愉快的课堂气氛可以使学生的心情舒畅，让学生在轻松愉快的气氛中学习，从而使教师更好的搞好教学。这样，学生就能增强学习注意力，增强学习兴趣和信心，变被动为主动，收到良好的教学效果。反之学生情绪沮丧，会使注意力分散，态度消极，影响学习效果。因此，课堂上，我避免采用单一的教学模式和手段，而是力求教学方法丰富多彩，用不断变化的活动去激发学生的兴趣，让学生从"枯燥无味"的数学课中解脱出来。另外，在课堂上我力争创造一个"宽松、民主、和谐"的课堂气氛，把学生对于学习的内在心理需要调动起来，做到少点"威严"多点"亲切"，使学生享受到学习的乐趣。 5、 学以致用数学源于现实，寓于现实，用于现实，教学大纲也指出："要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，形成应用数学的意识"。在数学教学过程中，要进一步密切数学与生活的联系，从学生已有的知识和生活经验出发，引导学生进行观察、思考、交流，充分挖掘生活中的数学素材，唤醒学生的生活经验，将数学知识与生活实际紧密地联系起来，把社会生活中的题材引入课堂教学之中，是数学教学体现新理念的重要一环。对任何知识的学习，前提是感到有用，才会有学的兴趣。教师若能从生活中抽象出数学问题，将实际问题和数学问题紧密联系起来，使学生确信生产生活离不开数学，便可进一步激发他们学习的兴趣。例如：在学生学习了一次函数与二元一次方程组后，我给出了一道这样的题：一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A以每分钟元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟元的价格按上网时间计费。上网时间为多少分钟时，两种上网方式的计费相等？如果是你，你会选择哪种方式上网？这些应用性问题是学生身边有的事，是学生见得着，摸得着的事，因此是最感兴趣，思维也是最积极，最活跃的，从而增添了他们对学习数学的兴趣。6、以新颖的教学方法激发学习兴趣要“让学生在生动具体的情境中学习数学”，“让学生在现实情境体验中理解数学”，要善于利用有效的学具和形式创设有利于学生学习的氛围，增强学生的好奇心，激发学生的学习兴趣，调动学生学习数学的积极性。同时，在课堂教学中，要充分考虑学生的自身特点，设计能吸引学生的问题，创设直观形象、生动有趣、学生能接受、爱观看、喜参与的学习氛围。如找规律的教学，教材安排的是一个庆祝活动的情景图，是一个静止的画面,考虑到不便于学生动态的感知规律。于是，我们把情景图改成贴近儿童生活的游戏活动，先是拍手、跺脚游戏，并让学生猜猜接下去应该做什么动作，激发了学生的学习兴趣，引发学生自觉参与学习活动的积极性，促进学生主动建构有关的数学知识。然后通过形象直观、生动活泼的现场排队游戏，让学生感知规律就在他们眼前，在他们生活当中，在他们的一些游戏活动当中，然后解释和揭示课题：找规律。7、应用信息技术激发学生的学习兴趣学生的学习兴趣来源于所接受的信息，信息的传递方式适合学生的口味，学生就容易接受，兴趣就浓。而现代信息技术通过声、相、动画等学生喜闻乐见的形式，不断地给学生以新的刺激，使学生的大脑始终保持兴奋状态，激发了学生强烈的学习欲望，增强了学习兴趣。因此，作为教师就要很好地把握现代信息技术教学工具和数学教学有效整合，最大限度的为学生传递更容易接受的信息，使学生在课堂教学中发挥出更多的聪明才智。例如教学圆的认识，汽车、自行车的车轮为什么要做成圆形的？车轴应放在什么位置，为什么？针对这个问题，教学时采用多媒体课件，一个小猴子坐在由圆形、方形、椭圆形车轮的车子上，动态演示再配上相应的音乐。学生看到小猴坐在方形、椭圆形车轮的车子上滚动时，一路颠簸，样子十分滑稽，引得学生哈哈大笑，也为它揪着心。而坐在圆形车轮的车子上时，小猴子悠闲地在欢快的音乐声中前进。通过新颖独特的画面，图象的滚动、闪烁、重复、定格以及声响效果等给学生以新奇的刺激，引起学生有意注意，激发学生的学习兴趣和好奇心，调动学生的积极性、主动性和创造力，感悟并理解了车轮为什么要做成圆形的。这种感受和教学效果是一般教学手段难以达到的。 总之，教育是一种创造，缺乏了创造，教育是很难成功的。把一个个活生生的独特个体从朦胧状态培养成社会所期望和需要的各方面素质较高的人才，绝不是某种模式和机械可以完成的，而必须依靠高度的创造性劳动。古人讲：“以己之昏昏，焉能使人之昭昭。”作为一名教师，培养学生提高学习数学的兴趣是一种创造性劳动的重要体现，也是素质教育对教师素质的新挑战参考文献：〔1〕王日大.浅谈数学教学中学生自主探究能力的培养〔J〕.海南新教育，。〔2〕谢桂荣.浅谈提高学生学习小学数学的兴趣〔J〕.海南新教育，。 〔3〕曾德博.教学过程中如何组织学生参与数学学习〔J〕.海南新教育，。〔4〕王强.如何激发学生的学习兴趣〔J〕.海南新教育，。〔5〕羊凌攀.怎样培养学生学习的兴趣〔J〕.海南新教育，。 〔6〕吕武前.激发学生数学学习兴趣的方法〔J〕.海南新教育，。〔7〕王基华.教学中培养民族学生数学兴趣的策略〔J〕.海南新教育，
这位几星期后的校友 自己写吧。。。 没办法啊。。。 不过可以看一下参考书 上面有一些内容应该能用的上。。。。。。。再次表示同情以及无奈。。。。。
(1)设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则1/x+1/y=1/61/y+1/z=1/101/x+1/z=2/3×1/5解方程组，得：x=10天y=15天z=30天(2)丙队工作30天首先排除。设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则有：6ab=870010bc=95005ac=5500解方程组，得：a=800元b=650元c=300元∵10a=8000元，15b=9750元，∴由甲队单独完成此工程花钱最少。答：(1)甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成(2)由甲队单独完成此工程花钱最少。
我只会列二元一次的解设静水中的速度为x，两码头的距离为yy=7（x+1）y=8（x-1）解得x=15，y=112不要迷信哥，哥的数学从没上过A
设船在静水中的速度为x千米/小时，则（x+1）*7=（x-1）*8 得出X=15千米/小时两岸距离为(15+1)*7=112（千米）
设船的速度为x千米每小时，则（x+1）*7=（x-1）*8 求出X为15千米每小时，两岸距离为(15+1)*7=112千米
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二次元，从定义上严格的说，是包括电影，游戏，书籍或者动漫在内的一大部分亚文化，之所以是二次元，是因为通常在使用这些作品时是隔着一层屏幕，屏幕上的画面终归是二维的。三次元其实也不准确。。因为人类的视觉其实也只有长和宽，其他的属性都是交给大脑补充的。
“二次元”是ACG次文化中对于动画、漫画、游戏等作品中的虚构世界的一种称呼用语，与“三次元”相对。
“二次元”一词来自于日语「二次元にじげん」，本意为「二维」，引申为「在纸面、屏幕等平面上展示的动画、游戏等作品中角色」，与之相应的，「三次元さんじげん」也被引申用来指现实中的人物。“二次元”实际上是一种「画风」，也就是日本动画的主流风格的代名词，其核心是日本的萌文化。
另外，在传统上，以平面的媒体所表现的虚拟角色，如漫画或动画中的人物，因其二维空间的本质，而常称“二次元角色”，以有别于现实(三维空间)的人物。但是立体造型的玩偶等物，还有以三维电脑图像所制作的角色，从本来的定义来说，应该是三次元角色。但因为本身通常基于二次元角色立体化而来，又或者强调其虚拟的本质，所以有时候亦称“次元角色”。
扩展资料：
一、分层
1、一次元：一条直线、一维空间。
2、二次元：动画(Animations即ACG的A)、漫画(Comics即ACG的C)、游戏(Games即ACG的G)。
3、三次元：现实世界。
4、四次元：四次元指代某些从空间角度来说十分不可思议的现象。如多啦A梦的四次元口袋。
5、异次元：指的是不同空间的存在、生存环境、生物存在状态以及文明等都异于现实世界，甚至不同空间不同时间的世界。
二、从日本到中国
“二次元”一词传入中国时，因为人们将「二维」与「二维空间」混淆，并望文生义地将“二次元”误解为「日本动画、游戏等作品中的世界(观)」，而实际上在日本，这只是上述二次元的一个引申义。因为从「画风」变成了「世界观」，二次元一词在中国的含义变得宽泛并暧昧，并且几乎不再有性的意味。二次元和三次元的对比也变成了表达对现实的不满和对美好虚构的追求。
参考资料来源：百度百科-二次元
1、与之相对的三次元则是指现实世界，所以二次元音乐就是动漫音乐。
2、为动漫创作的op、ed、角色歌、同人音乐等，是二次元的歌；歌星歌手、一般作曲家创作演唱的音乐是三次元歌。
3、二次元的歌更多彩多样、注重内容。而三次元的歌很大方面看歌手功力，但质量会更有保证。
4、二次元音乐风格多变。国漫音乐多为古风，而日本动漫音乐风格多变，游戏音乐风格多为热血。还有就是无真人形象，虚拟生成或通过电脑录音变音而合成的音乐，如甩葱歌。
二次元，来自于日语的“二次元（にじげん）”，意思是“二维”，在日本的动画爱好者中指动画、游戏等作品中的角色，相对地，“三次元（さんじげん）”被用来指代现实中的人物。
二次元音乐一般是在动漫、游戏中出现或随动画衍生出的音乐，包括动画的片头曲、片尾曲、插曲、角色歌和纯音乐等。由网友根据动画音乐翻唱，或重新作词演绎的音乐也被称为二次元音乐，属于动画音乐的衍生品。
扩展资料：
二次元音乐与二次元产品息息相关，二次元音乐一般不能脱离二次元产品单独存在。对于喜爱二次元的人来说，二次元的世界或是含有二次元元素的人，都拥有一些类似的特质，纯粹、简单、正能量，这些可以说是二次元文化核心的属性。
二次元歌曲：
1、《网球王子》里迹部真田为了欢迎手冢回来，动画制作组出品的由动漫中的角色演唱的歌曲——《Wonderful day》。在这首歌里声优不仅唱歌技巧高超，同时也很大程度的发挥了声音本身的魅力。
2、来自于国漫《精灵世纪》主题曲《霞光》。讲的是一群笔历经艰险打败大魔王的故事。主题曲《霞光》空灵曼妙，没有其他动漫歌曲那么多吵吵闹闹的元素。
3、动漫《狐妖小红娘》的歌曲，出现在《狐妖小红娘》第二章《王权富贵篇》。前世的王权富贵和清瞳相知相识，王权富贵带清瞳冲破阻力，离开王权家。《梦回还》响起的瞬间，令人不禁泪目。
参考资料：百度百科-二次元
参考资料：百度百科-二次元相关
参考资料：百度百科-三次元世界
从物理上说的话，二次元是个只有长和宽的二维平面，三次元是个拥有长宽高的立体空间。从流行语方面说的话，二次元是指诸如动漫，番剧，漫画作品等及其衍生物形式的存在，三次元就是指纯粹的现实世界