组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。 2. 组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听到过一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。 3. 组合数学在国外的状况 纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的组合数学家。计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是没有对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，AT&T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了组合数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威。我所熟悉的美国重要的国家实际室（Los Alamos国家实验室，以造出第一颗原子弹著称于世），从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括组合数学的研究。我所接触到的有关组合数学的计算机模拟项目经费达三千万美元。不仅如此，该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究实力。美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数学有密切的联系，各国对生物信息学的研究都很重视，这也是组合数学可以发挥作用的一个重要领域。前不久召开的北京香山会议就体现了国家对生物信息学的高度重视。据说IBM也将成立一个生物信息学研究中心。由于DNA就是组合数学中的一个序列结构，美国科学院院士，近代组合数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为组合数学的一个前沿领域。 美国的大学，国家研究机构，工业界，军方和情报部门都有许多组合数学的研究中心，在研究上投入了大量的经费。但他们得到的收益远远超过了他们的投入，更主要的是他们还聚集了组合数学领域全世界最优秀的人才。高层次的软件产品处处用到组合数学，更确切地说就是组合算法。传统的计算机算法可以分为两大类，一类是组合算法，一类是数值算法（包括计算数学和与处理各种信息数据有关的信息学）。依我个人的浅见，近年来计算机算法又多了一类：那就是符号计算算法。吴文俊院士开创的机器证明方法就属于符号计算，引起了国际上的高度评价，被称为吴方法。而国际上还有专门的符号计算杂志。符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密切的联系。组合数学，数值计算（包括计算数学，科学计算，非线性科学，和与处理各种信息数据有关的信息学）和统计学可能是应用最广的数学分支，而组合数学的价值甚至不亚于统计学和数值计算。由于数学机械化近年来的发展和在计算机科学中的重要性，把数学机械化，科学计算和组合数学组合起来，就可以说是中国信息产业的基础。组合数学家H. Wilf和D. Zeilberger1998因为在组合恒等式的机械化证明方面的成果，获得1998年美国数学会的Steele奖。 Gian-Carlo Rota教授在他去年不幸逝世之前，还专门向我提出，希望我向中国有关部门和领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。中国在软件技术上远远落后于美国，而在组合数学上则更是落后于美国和欧洲。如果中国只是想在软件技术上跟着西方走，而不在组合数学上下功夫，那么中国的软件将一直处于落后的状态。他特别强调组合数学在计算机科学中的作用，以及在大学计算机系加强组合数学教学和人才培养。 最近Thomson Science公司创刊的一份电子刊物《离散数学和理论计算机科学》即是一个很好的说明。它的内容涉及离散数学和计算机科学的众多方面。由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学基础，逐渐成为了数学的主流分支。本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。这一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得到了中国数学界的赞同和响应。 加拿大在Montreal成立了试验数学研究中心，他们的思路可能和吴文俊院士的数学机械化研究中心的发展思路类似，使数学机械化，算法化，不仅使数学为计算机科学服务，同时也使计算机为数学研究服务。吴文俊院士指出，中国传统数学中本身就有浓厚的算法思想。 今后的计算机要向更加智能化的方向发展，其出路仍然是数学的算法，和数学的机械化。另外的一个有说服力的现象是，组合数学家总是可以在大学的计算机系或者在计算机公司找到很好的工作，一个优秀的组合数学家自然就是一个优秀的计算机科学家。相反，美国所有大学计算机系都有组合数学的课程。 除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。 4. 组合数学花絮 ** 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。 ** 我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九这九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数之和都是一十五。组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。 ** 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。 ** 在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。 ** 我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。 ** 航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足 不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是 组合数学的问题。 ** 对于城市的交通管理，交通规划，哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方 应该设单行道，立交桥建在哪里最合适，红绿灯怎样设定最合理， 如此等等，全是组合数学的问题。 ** 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该怎样选择什么样的路径，这就是著名的"中国邮递员问题"，由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J. Edmonds和他的合作者给出了一个解答。 ** 一个通讯网络怎样布局最节省？美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。 ** 据说，假日饭店的管理中，也严格规定了有关的工序，如清洁工的第一步是换什么，清洗什么，第二步又做什么，总之，他进出房间的次数应该最少。既然，这样一个简单的工作都需要讲究工序，那么一个复杂的工程就更不用说了。 ** 库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取（如存储时间短的应该放在容易存取的地方）。 ** 我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。 ** 组合数学中有一个著名问题：是否存在稳定婚姻的问题。假如能找到两对夫妇（如张（男）--李（女）和赵（男）--王（女）），如果张（男）更喜欢王（女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜在的不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。这种组合数学的方法却有 一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请排序。按这样的 次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。 实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。 ** 组合数学还可用于金融分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。南开大学组合数学研究中心开发出了"金沙股市风险分析系统"现已投放市场，为短线投资者提供了有效的风险防范工具。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。 胡锦涛同志在1998年接见"五四"青年奖章时发表的讲话中指出，组合数学不同于传统的纯数学的一个分支，它还是一门应用学科，一门交叉学科。他希望中国的组合数学研究能够为国家的经济建设服务。 如果21世纪是信息社会的世纪，那么21世纪也必将是组合数学大有可为的世纪。
改革开放以来，在科技革命和经济全球化的推动下，全球服务贸易飞速发展，全球经济竞争的重点正从货物贸易向服务贸易转变。根据WTO的统计，1980-2007年，世界服务贸易出口额从3600亿美元增加到32600亿美元，27年间增长了9.1倍；而同期世界货物贸易出口额则从19880亿美元增加到135700亿美元，增长了6.8倍，服务贸易的增长速度已经超过了货物贸易，世界服务贸易的地位在世界贸易中的地位越来越高。伴随着世界服务贸易的发展，中国的服务业逐步开放，服务贸易发展快速。服务贸易和服务业的快速发展不仅推动了我国产业结构升级，改变了长期主要依靠第二产业带动经济增长的格局，同时在促进我国经济平稳较快地发展，扩大就业，节能降耗等方面发挥了重要作用。 一、中国服务贸易发展概况 改革开放以来，我国的服务贸易发展迅速，一些新兴的服务业从无到有，基本形成了较为完整的服务业体系。1978年到2007年的30年间，服务业平均增速超过10%，高于同期国内生产总值的平均增长速度。纵观改革开放30年来中国服务贸易发展历程，可以看出，中国服务贸易表现出总量增长和结构失衡的特点。 1.从贸易总量上看，迅速增长，逆差扩大。 随着我国的服务业逐步开放，服务贸易得到了快速发展。中国服务贸易进、出口分别从1982年的20.24、25.12亿美元发展到2007年的1290、1270亿美元，年均增长率分别为21.2%和17.6%,具体情况如图1所示。1989年我国的服务出口在全世界名列第27位，进口居第32位，到2000年服务出口301亿美元，进口359亿美元，服务贸易总额660亿美元，居世界第12位。2003年中国服务贸易进出口总额首次突破1000亿美元大关，增长率为18%，成为全球第九大服务贸易国，首次进入世界前10位3。2005年，中国服务贸易的规模继续扩大，服务贸易收支总规模达到1582亿美元，增长18%，占同期中国GDP的7%，较2004年略有上升4。2007年，中国服务贸易进出口双双突破1000亿美元大关，服务贸易总额为2560亿美元，增速超过20%。其中服务贸易进口额为1290亿美元，占世界服务贸易份额4.2%，居世界第五位；服务贸易出口额为1270亿美元，占世界服务贸易份额3.9%，居世界第七位5。 图1 1982～2007年中国服务贸易进、出口情况 注：图中增长率是指服务进、出口总额比上年增长的比率，没有扣除价格水平的影响。 资料来源：根据商务部《中国服务贸易发展报告2007》提供的有关年份“服务贸易进出口分项目情况”整理而成。 除此以外，从图1可以看出，1982～1991年期间，服务出口一般大于服务进口，服务贸易处于顺差状态，但自1992年开始直至2007年，服务出口小于服务进口(1994年除外)，服务贸易处于逆差状态，且逆差呈现逐年加大的态势。从服务贸易总额的增速看，1982～2007年期间，服务贸易总额比上年增长的速度多数处于10%～30%之间(少数年份可能由于受到外部环境的影响而出现负增长或异常高速增长除外，如1983, 1992和1996年等)。进入21世纪，在入世的强有力推动下，服务贸易又出现高速增长，这期间出口年均增速达到22%，进口年均增速达到21%。 2.从贸易结构上看，失衡突出，逐步改善。 根据生产服务的要素密集属性，将服务分为两种类型：一是自然资源或劳动密集型的传统服务，主要包括运输和旅游等；二是知识、技术或资本密集型的新兴服务，主要包括通讯、保险、金融计算机和信息服务、专利许可和技术转让、电影等音像制品、会计、法律、咨询和广告等。 从图2和图3可以看出，(1)无论是服务出口还是进口，以运输和旅游为主的传统服务贸易都占有较大比重，两者之和的比重在选取的年份中均超过60%，而以金融、保险、咨询、专有权利使用费和特许费等为主的新兴服务贸易占比较小；(2)从出口方面看，运输服务出口占服务贸易出口总额的比重显著下降，在1999年，占比至最低水平，此后逐渐回升；旅游服务出口从1982年至1990年间的比重基本不变，但从1991年开始比重则明显上升，直至2003年(由于非典的原因)比重又开始回落；其他商务服务出口比重则基本呈现稳步增长的态势；(3)从进口方面看，运输服务进口占服务贸易进口总额的比重显著下降，由1982年的66.86%下降为2007年的30.94%；旅游服务进口则逐步增加，从1982年的3.54%增加到2007年的23.96%；其他商务服务进口比重也基本呈现稳步增长的态势。因此，虽然我国的服务贸易结构仍然以劳动密集型和资源密集型为主，但是我国的服务贸易出口结构进口结构正逐步由传统的劳动密集型或资源密集型向新兴的知识（技术）密集型转化。 图2 1982～2007年中国服务贸易出口结构变化 图3 1982～2007年中国服务贸易进口结构变化 资料来源： 《中国统计年鉴》、国家外汇管理局《中国国际收支平衡表》、世界贸易组织统计年鉴历年数据。 通过比较可以发现，进入21世纪以后，随着我国服务市场的不断放开，服务贸易内部结构逐步改善，一方面，以自然资源或劳动密集型为主的传统服务部门如旅游服务，其出口比重和进口比重都在逐步下降，而运输服务虽然出口比重和进口比重都在增加，但相对于20世纪80年代而言，却是大幅下降；另一方面，以知识(技术)密集型为主的新兴服务部门如计算机和信息服务、咨询服务都得到了相对较快发展，进口和出口比重都日益提高。但同时也必须看到，部分重要服务部门如保险服务、专有权利使用费和特许费、咨询等部门的进口比重显著上升，反映了这些服务的国内供给水平较低。 二、文献综述 回顾近年来已有的国外文献，对于服务贸易与经济增长的研究文献主要从服务贸易自由化角度展开，而服务贸易自由化对一国经济影响主要集中在总体服务贸易、金融和电信两个关键行业领域。具体而言，大致包括以下四个方面： 1.利用贸易自由化效应的理论模型，分析总体服务贸易自由化对经济增长的影响。 Dee and Hanslow(2000)研究表明，如果完全取消乌拉圭回合后的服务贸易和商品贸易的贸易壁垒，则整个世界经济可以从中获利2600亿美元，其中1300亿美元来自服务贸易，约与商品贸易获利等同。Sherman Robinson (2002 )选取了10个国家和地区、11个部门的截面数据作为研究对象，研究结构表明，服务贸易不仅直接影响世界服务产品的生产和贸易，而且通过产业间投入和产出的关系对经济其他部门产生重要影响。对于发展中国家而言，当其从发达国家进口服务产品时，可获得信息和先进的技术，从而引起了全要素生产率提高，对经济增长产生了推动作用。Rutherford, Tarr and Shepotylo(2005)则利用CGE模型对俄罗斯的“入世”效应进行了评估分析。他们得出了一个共同的结论，就是服务市场的开放能够增加一个国家的福利，而消除服务业FDI市场准入壁垒是一国服务贸易自由化福利增加的主要来源。 2.基于特定服务贸易部门，讨论具体服务贸易部门开放对一国经济增长的影响。 由于服务贸易谈判主要集中在金融和电信两个部门，因此研究具体服务部门和经济增长关系的文献主要围绕这两个部门展开。Goldsmith(1969)认为金融服务业通过将金融资本投资于最有生产效率的部门，使得一国产出和收入增长。他利用金融资产和GNP的比例作为衡量金融部门业绩的指标，并以此作为解释变量来解释经济的增长。King and Levine(1993)指出金融服务通过提高资本积累和（或）技术创新带动行业增长，在控制其它影响长期增长因素的前提下，采用金融系统负债/GDP、金融系统对私人部门贷款/GDP这两个比例来解释金融业自身的增长，并得到了显著正的回归结果。Francois and Schuknecht(2000)运用贸易开放度、主要宏观经济变量以及金融部门集中度来解释实际人均GDP增长率。他们发现金融业开放与贸易和经济增长之间存在着正向关系。Khoury and Savvides(2006)选取了包括发展中国家和发达国家在内的60个国家的电信和金融服务部门横截面数据，建立了起点回归模型（Threshold Regression Model）。研究结果表明，服务市场开放对低收入国家和高收入国家的经济增长效应具有显著的差异,具体服务部门开放对经济增长的影响与该国经济发展水平有关。 3.基于服务作为中间投入品角度，研究生产者服务贸易对一国经济增长的影响。 Markusen(1989)研究发现，不论是资本密集型的中间投入制造品，还是知识密集型的生产者服务都能够带来报酬递增。虽然服务市场开放以后，服务业外商直接投资会对国内服务企业产生部分的“挤出效应”，但由于该服务部门的竞争导致了国内对该服务的更大需求，因而，外资提供的服务对国内相应服务的替代效应小于因竞争产生的规模效应；同时，由于服务差异化的特性，使得外商提供的服务成为国内提供中间投入品的有益补充。因此，他认为生产者服务的自由化有可能对一国的社会福利带来显著的正面效应。Francois,Joseph and Kenneth Reinert(1996)利用17国数据分析了服务在生产和贸易结构中的作用；这些研究普遍认为，生产者服务贸易的进口对于一国的经济增长有着积极的影响，主要表现为生产者服务通过提高整个经济部门生产率带动经济发展，而且生产者服务贸易与其它服务贸易以及商品贸易是一种互补关系而不是替代关系。Hoekman(2006)研究认为，服务可能成为一些国家经济增长的发动机，例如印度。他分析认为，在服务市场开放条件下，服务将成为国内企业竞争力的关键因素，企业竞争力在很大程度上取决于是否能够获得低成本、高质量的生产者服务，如金融、电信、运输、分销服务等。因此，通过进口生产者服务，带动国内相关服务业的快速发展，从而提高该国的经济绩效。 4.基于特定服务贸易模式，研究不同模式下服务贸易自由化对一国经济增长的影响。 Whalley and Bob Hamilton(1984)是较早研究消除劳动力在国家间流动的所有限制后对全球经济影响的。由于自然人流动的开放，基于不同国家劳动边际产品的劳动力资源在全球范围内进行了新的配置，因此，他们估算在某些条件下由于劳动力的自由流动使得全球收入将可能翻一倍，并且对各国的收入分配产生较为显著的影响。Walmsley and Winters(2005)指出，如果发达国家允许相当于其国内劳动力3%的国外服务提供者进入其国内市场，则全球获得的收益可能远远超出任何现存的贸易形式自由化所带来的收益，而且发达国家和发展中国家能够共享这种福利的增加。此外，他们还指出，目前熟练工的自由流动问题得到了广泛的讨论和解决，然而，非熟练工的自由流动也将会产生更多的收益。 回顾国内学者关于服务贸易与经济增长的研究，主要从定性和定量两个方面展开。在定性分析方面，一些学者详细剖析了服务贸易对一国经济多方面影响，主要有王建（1999）、熊春兰（2000）、龚锋（2003）、程大中（2004）、苗秀杰（2005）等；在定量分析方面，危旭芳、郑志国（2004）采用最小二乘法对中国服务贸易与经济增长进行实证分析，结果表明，中国进出口额与GDP存在正相关关系，且服务进口对经济增长的促进作用大于出口；孙茂辉（2005）实证研究了服务贸易与澳门经济增长的数量关系，结果表明澳门每增加1美元的服务贸易净出口，GDP将会增加2.25美元；胡日东、苏梽芳（2005）利用中国1985-2004年度数据进行回归分析后发现，长期上看，服务贸易出口对经济增长具有推动作用，而服务贸易进口对经济增长具有抑制作用，但二者净效应为正；短期上看，服务进口与出口对经济增长的作用很小；潘爱民（2006）采用误差修正模型研究表明：服务贸易出口、进口与经济增长之间存在长期稳定的均衡关系；从短期来看，三者之间的关系由短期偏离向长期均衡调整的速度很快，且服务贸易进口的短期波动对经济增长的短期变化比较明显。 综合上述的研究文献可以发现，国内外大多数实证方面的文献都集中在服务贸易总量对经济增长的影响分析上，而对于服务贸易结构与经济增长的关系研究尚属空白。因此，本文利用我国1982-2007年不同部门服务贸易的进口、出口和GDP数据，通过构造贸易结构指标，基于脉冲响应函数分析法来考察服务贸易结构与经济增长之间的动态冲击反应，揭示两者长期相互动态作用。 三、数据与方法 (一)数据来源与变量定义 1.数据来源 笔者选取1982-2007年的年度数据作为样本数据，数据全部来源于《中国统计年鉴》、国家外汇管理局《中国国际收支平衡表》、世界贸易组织统计年鉴历年数据。世界贸易组织将服务贸易分为三个部门，分别是运输、旅游和其它商务服务，其它商务服务中一共包括八项，具体为通讯、建筑、保险、金融计算机和信息服务、专利许可和技术转让、文体娱乐（包括电影等音像制品）和其它商业服务（包括会计、法律、咨询和广告等）。 2.变量定义 根据生产服务的要素密集属性，将服务分为两种类型：一是自然资源或劳动密集型的传统服务，主要包括运输和旅游等；二是知识、技术或资本密集型的新兴服务，主要包括通讯、建筑、保险、金融计算机和信息服务、专利许可和技术转让、电影等音像制品、会计、法律、咨询和广告等。因此，在考察服务贸易结构时，构造传统服务出口份额 (EXSH)和传统服务进口份额(IMSH)对其进行度量。传统服务出口份额 (EXSH)表示传统服务出口额占出口总额的比重，即： 其中、、分别指当年运输出口额、旅游出口额和出口总额；传统服务进口份额(IMSH)表示传统服务进口额占进口总额的比重，即：其中、、分别指当年运输进口额、旅游进口额和进口总额。考虑到其它商务服务中的其它商业服务可能包含一部分传统服务，但是由于无法获取各项新兴服务的具体数据，因此笔者采用、指标大致反映我国的服务贸易结构，用历年的GDP来表示经济增长。 为了消除汇率和物价因素的影响，将GDP数据折合成美元计算，同时用消费者价格指数对各个年度的GDP数据进行平减，由于我国的CPI指数是从1985年才开始编制的，因此对1982到1984年的数据用城市居民消费价格指数来平减，平减后得到RGDP。为避免时间序列经济数据中的异方差影响，对RGDP取自然对数，记为LRGDP，这种变换不会改变时间序列的特征。 图3 服务贸易结构指标EXSH和IMSH的变动趋势 从图3可以看出，传统服务贸易的出口额和进口额占比在1982-2007年间均超过50%，说明传统服务贸易仍然是我国服务贸易的主要部分，在服务贸易的发展过程中扮演着重要角色。传统服务贸易出口在20世纪80年代发展迅猛，各年占比均超过70%，随后逐步降低，2003年占比达到最低水平，仅占54.58%；传统服务贸易进口在1982-1993年期间，除个别年份外（1984年），占比均超过70%，个别年份如1986、1990年达到90%，随着我国加入WTO，服务贸易市场进一步放开，传统服务贸易进口自2000年后稳步下降。 (二)单位根检验与协整分析 在对时间序列进行分析时，传统上要求数据是平稳的，即没有随机趋势或确定性趋势，如果用非平稳的时间序列变量进行回归，会出现“伪回归”现象。但是，现实经济中的时间序列往往是非平稳的，为了使回归有意义，对时间序列实行平稳化处理，方法是对其进行差分后再回归，但这样做的缺点是会失去原序列中的有用信息，而这些信息对问题分析又是必须的。Enger和Granger提出的协整方法很好的解决了这个问题，而协整分析需要进行单位根检验。单位根检验的方法很多，如DF方法、ADF方法，PP方法，本文采用ADF方法。 我们对各变量进行ADF检验，经过多次尝试，选择最佳滞后期和检验形式，得到单位根结果如表2。从表2可以看出，在1%的显著性水平下，所有变量序列的水平项都是非平稳序列；经过一阶差分以后，在0.01的显著性水平上都是平稳的，故它们都是一阶单整I(1)，可以在此基础上进行协整检验。 由于VAR模型对滞后期的选择比较敏感，故先采用AIC或SC最小原则确定最佳滞后期。在滞后期数确定滞后，再对协整中是否具有常数项和时间趋势项进行验证，然后对数据进行协整检验，得到的结果如表3。从表3可以看出，GDP与两个协整方程，变量之间存在着长期的均衡关系。通过对各协整方程残差进行ADF检验，结果显示残差为平稳序列，也证明了经济增长与传统服务出口份额、传统服务进口份额之间存在着协整关系。 表2 各变量平稳性检验结果 变量 类型(C T K) DW值 ADF 1%临界值 结论 LRGDP (C,T,4) 2.072 0.853 -4.441 不平稳 EXSH (C,T,4) 2.006 -3.325 -4.374 不平稳 IMSH (C,T,3) 2.109 -2.926 -4.374 不平稳 DLRGDP (C,T,0) 2.215 -5.398 -4.394 平稳 DEXSH (C,N,0) 1.920 -7.059 -3.738 平稳 DIMSH (C,N,0) 1.776 -6.443 -3.738 平稳 注：检验类型中的C,T,K分别表示单位根检验中的常数项、时间趋势项和滞后阶数；N表示不包括C或者T，D表示一阶差分。 表3 协整检验结果 H0 迹统计量 1%临界值 相伴概率 r=0 60.1317 35.4582 0.0000 r≤1 26.8711 19.9371 0.0007 r≤2 6.1900 6.6349 0.0128 四、VAR模型以及脉冲函数响应路径 (一)模型的设定与估计 由于贸易结构和经济增长之间的关系是双向互动的，贸易结构的升级会刺激经济的增长，而经济增长总是伴随着贸易结构的升级，因此，采用不必加以区分外生变量和内生变量的VAR模型来分析服务贸易结构和经济增长的关系，从而，更加有利于分析各个变量之间的长期动态影响而避免变量缺省的问题。向量自回归模型VAR(p)的一般形式如下： t=1,2,…,T (1) 其中：是k维内生变量向量，是d维外生变量向量，p是滞后阶数，T是样本个数。维矩阵和维矩阵B是要被估计的系数矩阵。是k维随机扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与不等式右边的变量相关。 在(1)式的基础上，我们以时间序列LRGDP、EXSH、IMSH建立VAR自回归模型。准确建立VAR模型的关键在于滞后期数的确定，在实际应用中，一方面希望滞后期p足够大，可以更加完整的反映构造模型的动态特征；但另一方面，滞后期越长，模型中待估参数越多，损失的自由度也越多。因此，在滞后期和自由度之间寻找一个均衡点，一般根据AIC和SC信息量取值最小的准则来确定模型的滞后阶数。根据多次的实际测算，最后确定滞后阶数为4，模型设定为VAR(4)，采用OLS得到估计式如下，模型整体拟合程度较好。 对模型进行稳定性检验以及残差自相关检验，结果显示模型稳定且整体拟合度较高，各扰动项不与自己的滞后值相关，模型拟合效果良好，可以作为进一步分析的依据。 (二)脉冲响应分析 脉冲响应函数是分析当一个误差项发生变化，或者模型受到某种冲击时对系统的动态影响，用于衡量随机扰动项的一个标准差冲击对内生变量当前和未来取值的影响。根据得到了VAR模型，基于脉冲响应函数分析方法，可以得到传统服务贸易进口份额、出口份额和经济增长之间的相互冲击动态响应路径。 1.由图5可以看出，经济增长对于传统服务贸易出口份额标准差的扰动一直呈现正向的效应。尽管在第1期没有显现出来，但从此以后一直呈现正值，经过1-5期的小幅上下波动后，第5期开始逐渐上升，从第8期以后稳步增长。这表明传统服务贸易出口份额受外部条件的某一冲击后，给经济增长带来同向的冲击，而且这一冲击具有显著的促进作用和较长的持续效应。 2.由图6可以看出，经济增长对于传统服务贸易进口份额标准差的扰动一直呈现负向的影响。LRGDP在当期反应为零，此后逐渐下降，经过3-4期小幅上升后，一直下降至期终。其经济涵义是传统服务贸易进口份额的某一冲击会给经济带来持续的反向冲击，长期来看，对经济增长具有显著的抑制作用。 3.由图7可以看出，传统服务贸易出口份额对经济增长一个标准差的冲击，当期显现出很高的负效应，在第2期上升为正值，从第4期开始逐渐下降，6-7期上升以后，一直下降至期终。计算分析期内EXSH的累计反应值可以发现，当期LRGDP一个标准差冲击对EXSH的累计反应为-0.063，表明经济增长对传统服务贸易出口份额长期有微弱的负效应。 4.由图8可以看出，在本期给经济增长一个标准差的冲击后，传统服务贸易进口份额在1-2期内上升，第2期达到最高点(即在第2期IMSH对LRGDP的响应是0.0114)，此后逐渐下降为负值，此阶段一直持续到5-6期，第6期出现微弱正值后逐渐下降为负值并保持到期终。这一结果的经济涵义是经济增长在初始阶段可以增加传统服务贸易进口的份额，但长期而言，经济增长对传统服务贸易进口份额具有显著的抑制作用。 图5 LRGDP对EXSH冲击的响应 图6 LRGDP对IMSH冲击的响应 图7 EXSH对LRGDP冲击的响应 图8 IMSH对LRGDP冲击的响应 五、结论和建议 与已有集中于分析服务贸易总量与经济增长的研究不同，笔者基于VAR模型的脉冲响应函数分析方法，对我国1982-2007年服务贸易出口结构、进口结构与经济增长进行了协整分析，并在此基础上考察了三者的相互动态影响过程。脉冲响应函数的模拟结果表明： 1.传统服务贸易出口对我国的经济增长具有显著的促进作用和较长的持续效应，而传统服务贸易进口具有显著的抑制作用。这说明：一方面，随着我国服务贸易自由化程度的不断加深，具有比较优势的传统服务业(旅游、运输等)，特别是传统服务贸易出口对我国的经济增长具有较大的推动作用，因此，在未来的较长时间内，应该继续充分发挥这种优势并形成竞争优势；另一方面，传统服务贸易进口抑制经济增长反映了新兴服务贸易进口对经济增长存在着刺激作用。新兴服务部门主要生产知识、技术密集型或资本密集型服务，这类服务的特点是高附加值高收益，大力发展新兴服务业有利于实现我国服务贸易的可持续发展，因而从动态的角度看，应当扩大服务贸易特别是新兴服务贸易的进口，实现服务贸易结构的升级。 2.从短期来看，经济增长对于传统服务贸易出口和进口具有微弱的正效应，这说明短期内经济增长会加快传统服务贸易的出口和进口，但是随着新兴服务部门的快速发展，服务贸易结构将呈现出新兴服务贸易比例上升，传统服务贸易比例下降的新局面。此外，从长期来看，经济增长对传统服务贸易出口和进口具有抑制作用，这也进一步说明经济增长必然会带来产业结构的升级。随着经济的不断发展，对新兴服务的需求逐渐上升，增加对新兴服务的进口，通过引进先进技术和经营理念，促进中国国内服务业和服务贸易的发展，从而通过“引进来”最终实现“走出去”。 因此，随着我国加入WTO后服务业对外开放的不断深入，中国服务贸易的发展应该遵循“循序渐进、重点突破、逐一深入”的方针。首先，立足传统比较优势，继续巩固发展以劳动和自然资源密集型为主的传统服务贸易领域，如运输服务、旅游服务，培育竞争优势并形成长期动态比较优势；其次，积极开展生产者服务业，优化服务贸易结构。一方面，运用现代信息技术和经营管理方法，加快改造传统生产者服务业，大力发展现代物流业，如整合交通、运输、仓储、邮政服务业等；另一方面，重点发展知识密集型的生产者服务业，包括金融、电信以及科技服务、广告设计、管理咨询等各类专业和商务服务业，提高这些产业在整个服务业的比重，从而为我国调整和优化服务贸易结构提供强有力的产业基础；第三，提高对外开放水平，加大引导外资进入现代服务业部门力度。目前，外资主要分布在制造业，流入服务业的外资较少，政府应制定适当的政策引导外资进入知识密集型的现代服务业领域。通过引进国外先进的技术和管理经验，促使国内相关服务企业边干边学，不断创新，从而促进国内服务业的发展；第四，鼓励优势企业实施“走出去”战略，树立服务品牌。服务企业应提高服务生产管理水平，加强现代物流和供应链管理，针对本行业服务的特点，制定科学经营管理体制，提高服务生产的计划、组织与控制能力，同时通过政府和企业的共同努力，培育中国的服务名牌。对于一些具有优势的服务企业，鼓励实施“走出去”战略，充分发挥自己的比较优势，争取成为世界知名的服务企业
关于【组合数学】的论文 生活中矩阵的应用摘要：矩阵作为一种重要的工具，在生活的方方面面都存在应用。比如科学地选彩票号码，图形的变换处理，控制监控系统都存在了矩阵的痕迹。矩阵在各个领域的应用为我们展示了矩阵的广泛实用性。矩阵实现了对组合的优化，对质量的管理优化，会变得越来越重要。关键词：矩阵 应用 优化 一．矩阵的概念在开始讨论矩阵应用前，先了解一下矩阵及相关的一些概念。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。一些矩阵在农业，经济，通信等领域都存在许多特别的应用。二．矩阵的特别的应用 1．矩阵应用在选彩票号码一些彩民由于未了解“旋转矩阵”的作用，都采取旧式的复式投注方式(即完全复式)，完完整整地拿去打彩，一些对复式投注进行深入研究的彩民发现进行复式投注浪费了不少成本。据研究者发现约有三分之一号码组合，实际上是不可能中奖或极难中奖的。据说在美国彩票史上，Gail Howard运用一种叫做“旋转矩阵”投注选号法，奇迹般地中出了74个大奖。这种“旋转矩阵”法，是一种基于“旋转矩阵”数学原理构造的选号法，其核心是：以极低的成本实现复式投注的效果。那么如何以极低的成本实现复式投注的最佳效果呢？这是由“旋转矩阵”法优点决定的。实际上，旋转矩阵是教你如何科学地组合号码。与完全复式投注组合号码的方法相比，旋转矩阵有着投入低、中奖保证高的优点。举个例子讲，10个号码的中6保5型的旋转矩阵的含义就是，你选择了10个号码，如果其中包含了6个中奖号码，那么运用该矩阵提供的14注号码，你至少有一注中对5个号码的奖。本矩阵只要投入28元，而相应的复式投注需要投入420元。大家知道，用10个号码，只购买其中的14注，如果你胡乱组合的话，即使这10个号码中包含有6个中奖号码，你也很可能只中得一些小奖。而运用旋转矩阵的话，就可以得到一个对5个号码的奖的最低中奖保证。旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。 （1）旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。2．矩阵在透视投影应用三维计算机图形学中另外一种重要的变换是透视投影。与平行投影沿着平行线将物体投影到图像平面上不同，透视投影按照从投影中心这一点发出的直线将物体投影到图像平面。这就意味着距离投影中心越远投影越小，距离越近投影越大。 最简单的透视投影将投影中心作为坐标原点，z = 1 作为图像平面，这样投影变换为 x' = x / z; y' = y / z，用齐次坐标表示为：这个乘法的计算结果是 (xc,yc,zc,wc) = (x,y,z,z)。在进行乘法计算之后，通常齐次元素 wc 并不为 1，所以为了映射回真实平面需要进行齐次除法，即每个元素都除以 wc： 更加复杂的透视投影可以是与旋转、缩放、平移、切变等组合在一起对图像进行变换。比如给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转 这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。3．矩阵在质量问题中的运用 矩阵是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。 在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。 矩阵图的形式：A为某一个因素群，a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群，b1、b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系。按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以从中得到解决问题的启示。 质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格品时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。 矩阵图法的用途十分广泛．在质量管理中，常用矩阵图法解决以下问题： ①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，从中找出研制新产品或改进老产品的切入点，进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据 。②明确应保证产品质量特性及与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠； ③当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除。 ④明确产品的质量特性与试验测定仪器、试验测定项目之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率；（2）三，对矩阵应用的感悟 上述的矩阵应用说明了矩阵不仅仅是解方程组的工具，而且它是一种有用的工具，不仅仅在数学领域，还在经济，计算机领域等领域。相信在不久的未来，矩阵会变得越来越重要。矩阵的作用会越来越多地让人们发现。在线性代数数学书中，方程组可以转换为矩阵，再通过矩阵来简单，快速地解决问题。在质量管理问题上，它采用矩阵图来找出切入点，了解原因，使质量效率提高。 相信在不久的未来，矩阵对于优化问题的应用会越来越广泛，触及面会越来越多。矩阵是生活变得更简单，方便。参考文献：[1] 《科学通报》蒋昌俊,吴哲辉..,1989. [2] 求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法的研究彭亚新.湖南大学,2005.
它具有组织模式，摘要和综合结合起来,摘要是对源的重点信息的概述，并不是简单的摘要,摘要非常重要的信息就行了
矩阵 在光、信号科学里面 用的实在是太广了！
找几本现代数字信号处理的教材来看看。里面的推导到处都是矩阵形式。
这个问题也不太难啊，你可以向你的学长和学姐们请教一下，或者向你的老师问问
最有可能问的是:1. 分块矩阵的初等变换 与 矩阵初等变换 的异同.2. 分块矩阵初等变换需注意什么. 3. 利用分块矩阵初等变换, 你得到了什么新的结论, 或对已有结论的证明有什么大的改进满意请采纳^_^
初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。 高等代数的基本内容 代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等代数与其他学科的关系 代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？ 首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。 其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。
矩阵的应用是很多的。尤其是在程序处理方面。在世界上存在的，都是离散的，那些理想的才是连续的~而矩阵可以很好地诠释世界上的各种东西~例如我们经常处理的图片，我们平时的数据等等。
如果这两个不行,你可以把这两篇论文综合一下哦
组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。 2. 组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听到过一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。 3. 组合数学在国外的状况 纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。美国最重要的计算机科学系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的组合数学家。计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。例如，Bell实验室的有关线性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是没有对外公开的。美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，AT&T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了组合数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威。我所熟悉的美国重要的国家实际室（Los Alamos国家实验室，以造出第一颗原子弹著称于世），从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括组合数学的研究。我所接触到的有关组合数学的计算机模拟项目经费达三千万美元。不仅如此，该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究实力。美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数学有密切的联系，各国对生物信息学的研究都很重视，这也是组合数学可以发挥作用的一个重要领域。前不久召开的北京香山会议就体现了国家对生物信息学的高度重视。据说IBM也将成立一个生物信息学研究中心。由于DNA就是组合数学中的一个序列结构，美国科学院院士，近代组合数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为组合数学的一个前沿领域。 美国的大学，国家研究机构，工业界，军方和情报部门都有许多组合数学的研究中心，在研究上投入了大量的经费。但他们得到的收益远远超过了他们的投入，更主要的是他们还聚集了组合数学领域全世界最优秀的人才。高层次的软件产品处处用到组合数学，更确切地说就是组合算法。传统的计算机算法可以分为两大类，一类是组合算法，一类是数值算法（包括计算数学和与处理各种信息数据有关的信息学）。依我个人的浅见，近年来计算机算法又多了一类：那就是符号计算算法。吴文俊院士开创的机器证明方法就属于符号计算，引起了国际上的高度评价，被称为吴方法。而国际上还有专门的符号计算杂志。符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密切的联系。组合数学，数值计算（包括计算数学，科学计算，非线性科学，和与处理各种信息数据有关的信息学）和统计学可能是应用最广的数学分支，而组合数学的价值甚至不亚于统计学和数值计算。由于数学机械化近年来的发展和在计算机科学中的重要性，把数学机械化，科学计算和组合数学组合起来，就可以说是中国信息产业的基础。组合数学家H. Wilf和D. Zeilberger1998因为在组合恒等式的机械化证明方面的成果，获得1998年美国数学会的Steele奖。 Gian-Carlo Rota教授在他去年不幸逝世之前，还专门向我提出，希望我向中国有关部门和领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。中国在软件技术上远远落后于美国，而在组合数学上则更是落后于美国和欧洲。如果中国只是想在软件技术上跟着西方走，而不在组合数学上下功夫，那么中国的软件将一直处于落后的状态。他特别强调组合数学在计算机科学中的作用，以及在大学计算机系加强组合数学教学和人才培养。 最近Thomson Science公司创刊的一份电子刊物《离散数学和理论计算机科学》即是一个很好的说明。它的内容涉及离散数学和计算机科学的众多方面。由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学基础，逐渐成为了数学的主流分支。本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。这一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得到了中国数学界的赞同和响应。 加拿大在Montreal成立了试验数学研究中心，他们的思路可能和吴文俊院士的数学机械化研究中心的发展思路类似，使数学机械化，算法化，不仅使数学为计算机科学服务，同时也使计算机为数学研究服务。吴文俊院士指出，中国传统数学中本身就有浓厚的算法思想。 今后的计算机要向更加智能化的方向发展，其出路仍然是数学的算法，和数学的机械化。另外的一个有说服力的现象是，组合数学家总是可以在大学的计算机系或者在计算机公司找到很好的工作，一个优秀的组合数学家自然就是一个优秀的计算机科学家。相反，美国所有大学计算机系都有组合数学的课程。 除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。 4. 组合数学花絮 ** 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。 ** 我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九这九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数之和都是一十五。组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。 ** 当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。 ** 在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。 ** 我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。 ** 航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足 不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样作最合理的调整，这些都是 组合数学的问题。 ** 对于城市的交通管理，交通规划，哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方 应该设单行道，立交桥建在哪里最合适，红绿灯怎样设定最合理， 如此等等，全是组合数学的问题。 ** 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该怎样选择什么样的路径，这就是著名的"中国邮递员问题"，由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J. Edmonds和他的合作者给出了一个解答。 ** 一个通讯网络怎样布局最节省？美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。 ** 据说，假日饭店的管理中，也严格规定了有关的工序，如清洁工的第一步是换什么，清洗什么，第二步又做什么，总之，他进出房间的次数应该最少。既然，这样一个简单的工作都需要讲究工序，那么一个复杂的工程就更不用说了。 ** 库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取（如存储时间短的应该放在容易存取的地方）。 ** 我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。 ** 组合数学中有一个著名问题：是否存在稳定婚姻的问题。假如能找到两对夫妇（如张（男）--李（女）和赵（男）--王（女）），如果张（男）更喜欢王（女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜在的不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。这种组合数学的方法却有 一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请排序。按这样的 次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。 实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。 ** 组合数学还可用于金融分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。南开大学组合数学研究中心开发出了"金沙股市风险分析系统"现已投放市场，为短线投资者提供了有效的风险防范工具。 总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。 胡锦涛同志在1998年接见"五四"青年奖章时发表的讲话中指出，组合数学不同于传统的纯数学的一个分支，它还是一门应用学科，一门交叉学科。他希望中国的组合数学研究能够为国家的经济建设服务。 如果21世纪是信息社会的世纪，那么21世纪也必将是组合数学大有可为的世纪。
好写哦！科技论文，专业性这么强，写出来，也是只有专业人员才能明白。首先，序言：把矩阵的乘法原理，加以介绍、解释和说明，这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些，具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文，集中写清楚，你要介绍的应用及事例。字数要多，就多写，写详细一些；字数一般，就写得一般，就可以啦。。。祝成功！
一类特殊对称矩阵的特征值与特征向量陆全 徐仲 【摘要】：【作者单位】：西北工业大学西北工业大学【关键词】：矩阵的特征值正交特征向量特征值与特征向量对称矩阵实对称阵特征问题矩阵A正交变换《线性代数》正交阵【分类号】：O151【DOI】：CNKI:SUN:XUSJ.0.1997-04-013【正文快照】：同济大学《线性代数》第130页例10要求一个正交变换．把二次型化为标准形，其中需要求矩阵的特征值与单位正交特征向量。事实上，这个矩阵R是一种具有特殊对称性的矩阵。这类矩阵的特征问题有如下的一般结论。考虑如下的特殊对称矩阵其中A、B均为m阶实对称阵，u是m维列向量，
这个抄袭也太厉害了:)
将矩阵变为行阶梯形矩阵，然后矩阵的秩=非零行数。在阶梯形矩阵中，选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
将矩阵变为行阶梯形矩阵，然后矩阵的秩=非零行数。在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式
先问这个I是不是E，如果是的话一定有特征值a=-1r（A+E）+r（A-E）=n所以（A+E)(A-E)=0所以（A+E)(A-E)的行列式=0因为A不等于E所以A+E的行列式=0所以a=-1一定是他的特征值。
这个应该是比较简单的,关于这个命题的证明好象很多书上都是有的，而且好象还不址一种.找找最古老的一本高等代数或者线性代数的书看看就可以了我推荐北京大学的,好象是不错的，武汉大学的有个教材也不错.主要是证明乘积后的秩的规律性