幂等矩阵的主要性质：1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；2.幂等矩阵可对角化；3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；4.可逆的幂等矩阵为E；5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 )；3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。
幂等矩阵的主要性质：
1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1。
2、幂等矩阵可对角化。
3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)。
4、可逆的幂等矩阵为E。
5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。
6、幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0。
7、幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)。
扩展资料：
A是n阶实对称幂等矩阵，故A的特征值只能是0和1。所以存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=diag。
设特征值1是r重，0是n-r重，则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1，n-r重特征值0-2=-2；所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)。
参考资料来源：百度百科—幂等矩阵
幂等矩阵幂等矩阵（idempotent matrix）若A为方阵，且A^2＝A，则A称为幂等矩阵。 幂等矩阵的2个主要性质： 1.其特征值只可能是0，1。2.可对角化。如果要加个对称的条件，那么就满足A^T=A对角的幂等矩阵矩阵就满足这两个条件。
(2021.01.17)
对称半正定方阵
对称正定方阵
矩阵 的广义逆
矩阵 的Moore-Penrose广义逆
满足 且具有最大秩的矩阵
矩阵 的秩
矩阵 的行列式
矩阵 的范数
方阵 的迹
的第 个顺序特征根
矩阵 的列向量张成的子空间
向 的正交投影变换阵
分量皆为1的列向量
将 的列向量依次排成的列向量
的上确界Supremum
的下确界Infimum
与 的Kronecher乘积
随机变量或向量的 的均值
随机变量 的方差
随机变量或向量 ， 的协方差
均值为 ，协方差阵为 的随机变量
均值为 ，协方差阵为 的 维正态向量
LS估计 最小二乘估计
BLU估计 最佳线性无偏估计
MVU估计 最小方差无偏估计
MINQUE 最小范数二次无偏估计
RSS 回归平方和
SS e 残差平方和
MSE 均方误差
MSEM 均方误差矩阵
GMSE 广义均方误差
矩阵的秩 一个矩阵 的列秩是 的线性独立的纵列的极大数，表示为 。
方阵的列秩和行秩总是相等的，因此可以简单的称作矩阵 的秩。 矩阵的秩最大为 和 中的较小值，即 。有尽可能大的秩的矩阵被称为有 满秩 。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
矩阵的迹 trace 阶方阵 的主对角线的和，称为矩阵的迹。矩阵 中在 行 列的元素是 ，迹 。
线性独立 linearly independent 向量的线性独立，指一组向量中任意一个向量都不能由其他几个向量线性表示。或这些向量的线性组合等于0时，其系数只能是0.
一组向量 ，另有一组未知的系数 。若 中的 没有非零解，则向量 线性独立。
(2021.01.21 Thur) 对称矩阵symmetric matrices 以对角线为中心，对应位置相等的矩阵，就是对称矩阵。用 表示一个矩阵的第 行第 列元素，则有
单位矩阵Identity Matrix 一个方阵的对角线都是1，其他元素是0，称为单位矩阵，用 或 表示。可记为
逆矩阵 对于n阶矩阵 存在n阶矩阵 ，使得 ，则称矩阵 可逆， 是 的逆矩阵。记为 。
转置transposition 一个矩阵的行与列调换，即 。矩阵 的转置表示为 或 。
正交矩阵 一个矩阵与其转置的积是单位阵，则该矩阵是正交矩阵。 或 。
正定矩阵positive definite matrix
半正定矩阵positive semi-definite matrix 是n阶方阵，对于任意非零向量 ，有 ，则称 是半正定矩阵。
(2021.01.23 Sat) 奇异矩阵singular matrix 奇异矩阵的条件：方阵、矩阵的行列式为0。非奇异矩阵和奇异矩阵都是方阵。
(2021.01.24 Sun) 特征值 characteristic value / eigenvalue 对一个 阶方阵 ，有一个数 和一个非零 维列向量 使关系式 成立，这样的数 称为方阵 的特征值，向量 称为方阵 对应特征值 的特征向量。表达式 的另一种表达式是 。这是一个 个未知数 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是行列式 。该行列式称为矩阵 的特征多项式。
特征方程 是一个 次代数方程，称为 的特征方程。特征方程的根称为矩阵 的特征根。
(2021.01.29 Fri) 矩阵分解 定理：实数构成的方阵可以对角化分解。 证明：一个 阶的矩阵 可以分解为 其中 的每一列都是特征向量， 对角线上的元素是从大到小排列的特征值。将 表示成 。根据特征值特征向量的定义，有 因此有 ，其中 是 的特征向量的集合， 是对角阵，对角线的元素是 特征值从大到小排列。 定理：实数对称方阵可正交对角化。 一个 阶的实对称矩阵 ，存在一个对称对角化分解 其中 的列是特征向量且标准正交， 是对角阵，对角元素是 的特征值由大到小排列。
设 ，矩阵 可写成
根据一个矩阵 求其正交对角阵分解的过程：
奇异值分解( 这篇文章 也有相同的内容)
(2021.01.27 Wed) 正交基和标准正交基 内积dot product/inner product： 维向量 和 的内积表示为 。 正交orthoganality：向量空间中的两个向量的内积为0，则这两个向量正交。 正交基：一个内积空间的正交基，是元素两两正交的基。 标准正交基：正交基的基向量的模长都是1，则该正交基是标准正交基。 比如， 是 的一组正交基。 是 的一组标准正交基。
(2021.02.21 Sun) 代数余子式algebraic cofactor 在 阶行列式中，将元素 所在的第 行第 列元素划去后，留下的 阶行列式 ，称为 的余子式。设 ，则 称作元素 的代数余子式。
代数余子式的大小只与元素的位置 有关系。
阶行列式 中任意选定 行 列划去，余下的元素按原来顺序组成的 阶行列式 ，称为行列式 的 阶子式 的余子式 。 的行与列在 中的标记分别为 和 ，则行列式 的 阶子式 的代数余子式是
幂等矩阵idempotent matrix 若方阵 满足 ，则称 是幂等矩阵。 投影矩阵 既是对称阵，有时幂等矩阵，即 ，则 是投影矩阵。 幂等矩阵的性质
...
(2021.04.06 Tues) 相容方程consistent system 若线性方程组 有解，则称 为相容方程组，也可以成为线性方程组 相容。若其无解则称为不相容。
幂等矩阵的主要性质：
1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1。
2、幂等矩阵可对角化。
3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)。
4、可逆的幂等矩阵为E。
5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。
6、幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0。
7、幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)。
扩展资料：
A是n阶实对称幂等矩阵，故A的特征值只能是0和1。所以存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=diag。
设特征值1是r重，0是n-r重，则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1，n-r重特征值0-2=-2；所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)。
参考资料来源：百度百科—幂等矩阵
不可以的.矩阵的对角化不是只用初等变换把它变成对角线形式就叫对角化了,而是对角线必须为特征值.如果把它变成对角线形式就叫对角化,那可以在任一行乘个数,结果就变了,而对角形式保持不变如矩阵0 -11 0 用初等变换交换2行就成对角式了,但对角化必须是特征值正负i.当然,用初等变换当然可以实现对角化,但是只能是你知道对角化矩阵后在用初等变换往上靠
证明如下：
初等矩阵是指由单位矩阵经过一次三种矩阵初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。
扩展资料：
初等矩阵的应用：
1、在解线性方程组中的应用
初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。
2、用于求解一个矩阵的逆矩阵
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
同济的线性代数5版中有证明
初等变换：1）交换矩阵的两行（列）；2）用一个不为零的数乘矩阵的某一行(列)；3）用一个数乘矩阵某一行（列）加到另一行（列）上。利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系等。例：
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不可以的.矩阵的对角化不是只用初等变换把它变成对角线形式就叫对角化了,而是对角线必须为特征值.如果把它变成对角线形式就叫对角化,那可以在任一行乘个数,结果就变了,而对角形式保持不变如矩阵0 -11 0 用初等变换交换2行就成对角式了,但对角化必须是特征值正负i.当然,用初等变换当然可以实现对角化,但是只能是你知道对角化矩阵后在用初等变换往上靠
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段学复，数学家 。1914年7月29日生于陕西华县。1936年毕业于清华大学。1941年获加拿大多伦多大学硕士学位。1943年获美国普林斯顿大学博士学位。1955年被选聘为中国科学院学部委员(院士)。2005年2月6日逝世。 曾任清华大学、北京大学教授。在有限群的模表示论，特别是指标块及其在有限单群和有限线性群构造研究中的套用方面取得突出成果。在代数李群方面与国外学者合作完成了早期奠基性工作。在有限P群方面取得重要的成就。在中国开辟了代数学群论等研究领域并形成了富有特色的研究群体。在数学套用于国防科研和国防建设方面做了大量工作。
1914年7月29日，段学复出生在陕西华州(今渭南市华州区)。
1917年，段学复随父母定居北京。10岁之前，段学复一直在家由父亲教语文，从认方块字起，直到读一些经史书籍 。
1924年秋，段学复考入北京师范大学附属国小，读高小一年级。第二年又跳级考入北京师范大学附属中学。
1926年暑假后，他因病休学一年。在中学的后五年中，他一直是在成绩优异、身体瘦弱的状态下度过的 。
1929年秋，段学复考入了北京师范大学附中的高中理科班 。
1932年，高中毕业后段学复考入了清华大学数学系(当时称为"算学系") 。
1936年，段学复毕业于清华大学获得理学士学位，毕业留校任助教 。
1937年7月29日，与母亲一起离开北平到西安，住在叔父家中。当年10月他来到由北大、清华和南开大学联合组成的长沙临时大学工作 。
1938年，段学复到达昆明，在西南联大一清华大学任教 。
1939年上半年，段学复考取了留英公费生 。
1940年9月，到达加拿大，进入多伦多大学 。
1943年，获美国普林斯顿大学哲学博士学位 。
1946年5月底，段学复由普林斯顿西行，先后向阿廷、布饶尔等老师辞行，于7月间从旧金山乘船到达上海。10月，任清华大学数学系教授。
1947年，代理清华大学数学系系主任职务 。
1950-1952年，参加了中国科学院数学研究所的筹建工作 。1952年起，在北京大学数学系任教 。1955年，当选为中国科学院院士(学部委员) 。
1956年，参加了国家"十二年科学远景规划"等全国科学规划及数学学科规划的制定和名词审定工作，参加了教育部和高教部的科研规划、教学计画的制定以及教材编审工作 。
1959年，夏天做直肠癌切除手术 。
1960-1966年，段学复还兼任北京电视大学数学系主任，两次参加北京市中学生数学竞赛工作，写文章、作报告，并撰写了《对称》一书，为普通教育和成人教育付出了心血 。1981年上半年，段学复主动辞去了北京大学数学系主任的职务 。
1982年，段学复主持中国数学会第一届全国代数学学术交流会 。
1984年，主持北京国际群论讨论会，并主编了《会议论文集》 。
1988年，参加编写《高等代数》。
2005年2月6日，逝世。
段学复长期从事代数学的研究。指导学生用表示论和有限单群分类定理彻底解决了著名的Brauer第39问题、第40问题 。段学复在代数李群方面也做了出色的工作。在这方面最早的一篇论文是《关于幂零矩阵的复型的一个注记》。在这篇论文中，段学复对前述谢瓦莱的第一篇文章里的定理6，给出了一个利用矩阵若尔当(Jordan)标准型的计算的直接而简单得多的证明，并将其加强且推广到特征p≠0的域上 。段学复在《关于p群的一个定理》中，利用换位元素的运算法则证明了:若p群G包含一个最大交换正规子群A且G/A为循环群，则A/Z≌K，其中Z是G的中心而K是G的换位子群。对于G的上、下中心群列中相应的子群，他也证明了存在相应的同构。这项工作为一些中外学者所引用。布劳尔与段学复还有一些未发表的关于p群的工作，手稿保留至今 。
他的最早也是最重要的成就是在有限群的模表示论，特别是指标块及其在有限单群和有限线性群构造研究中的套用上。有限群的模表示论研究有限群在特征为素数P的域上的表示，当P能够整除群的阶时，其表示与通常的有限群在特征0的域上的表示有很大的不同，理论更加复杂、深刻。这一理论自1935年由布劳尔创立，到40年代已初具规模。就在这时段学复开始了这方面的研究工作。在布劳尔1942年发表的重要论文《论阶恰含某素数的一次幂的有限群》的指引下，他在同一题目的博士论文(普林斯顿大学，1943年)中，在与布劳尔合作并继续布氏的工作而完成的两篇论文中取得了一些迄今仍有意义的重要成果 。它们主要是:
(1)得出了其阶为pqm的某些单群的结构，其中p和q是互不相同的素数，b和m为正整数且满足m≤p-1。
(2)证明了L.E.迪克森(Dickson)在其《线性群》一书中所列出的单群表直到10000阶都是完全的。
(3)对于pg'阶的线性群，这里p为素数且(p，g')=1，当其维数≤(2p十1)/3时，确定了它们的构造。
为了得到这些结果，段学复证明了模表示论的一些基本事实，例如他确定了pg'阶群的p块的布劳尔树的重要性质。他证明的三个引理，分别被人们称为"(布劳尔-段-)斯坦顿(Stanton)原则"、"(布劳尔-段)指标块分离原则"和"布劳尔-段定理" 。
从80年代初起，段学复和王萼芳的学生 *** 曜、唐守文等人在上述几篇论文的思想指引下和发展中进行工作，在p群的幂结构和换位子结构之间的联系上取得了研究成果。唐守文继续段学复1939年对于具有循环弗拉蒂尼(Frattini)子群的有限p群的工作，最终给出了这类p群的一个完全分类 。
1:段学复，华罗庚.Some Anzahl theorems for groups of primepower or-ders.J.Chinese Math.Soc.，1940，2:313-319.
2:段学复，华罗庚.Deter mination of the groups of odd-prime-power pnwhich contain a cyclic subgroup of indexp2.Sci.Reports Nat.Tsing-Hua University Ser.A，1940，4:145-151.
3:段学复，布劳尔.Some remarks on sim ple groups of finite order(Ab-stract).Bull.Amer.Math.Soc.1942，48:356.
4:段学复.On simple groups of order Iess than 10000.1942，unpub lished.(参见R.Brauer，Blocks of characters and structure of finite groups.Bull.Amer.Math.Soc.New Series，1979，1:21-38.)
5:Hsiio Fu Tuan.On groups whose orders contain a prime number to thefirst power.Ann.Math.1944，45(2):110-140.(Ph.D.Dissertation，Princeton Univ.，1943)
6:Hsio-Fu Tuan.A note on the replicas of nilpotent matrices.Bull.Amer.Math.Soc.，1945，51:305-313.
7:段学复，谢瓦莱.On algebraic Lie algebras.Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.A1945，3:195-196.
8:段学复，布劳尔.On simple groups of finiteorderI.Bull.Amer.Math.Soc.，1945，51:756-766.
9:段学复.An Anzahl theorem of Kulakoff's type for p-groups.S Ci.Rep.Nat.Tsing Hua Univ.Ser.A，1945，5:182-189.
10:段学复.A theorem about p-groups With abeliansub groups of inde Xp.AcadSinica Sci.Record，1950，3:27-32.
11:段学复，谢瓦莱.Algebraic Liealgebras and their invariants.J.ChineseMath.Soc.(New Ser.)or Acta Math.Sinica，1951，1:215-242.
12:段学复.近代中国数学家在代数方面的贡献.数学进展，1955，1:609-614.
13:段学复，王萼芳.有限群模表示论讲义.北京大学数学力学系资料，1964-1966.
14:段学复.Works on finite group the ory by some Chinese mathe maticians.Proc.of Sympos.in Pure Math.Vol.37，Amer.Math.Soc.，1980:187-194.
15:段学复.关于有限单群分类问题解决情况及其影响.中国数学会全国第一届代数学学术交流会议，1982.
16:段学复，万哲先，曹锡华等.代数学.上海自然杂志社科学年鉴，1983，2:711.
17:段学复编.Group Theory，Beijing 1984.Lecture Notesin MathematicsVol.1185，Berlin-Heidelberg:Springer-Verlag，1986.
18:段学复.Somere Cent works on finite group theory by my col1eagues andgraduate students，Lecture Notes in Mathematics Vol.1185，Berlin Heide lberg:Springer-Verlag，1986.
19:段学复.Some problems in the block theory of modularrep resentations，Proc.of a Conference on classical groups and related t opics(beijing，1987).Comtemp.Math.Vol.82，Amer.Math.Soc.181-190.
20:段学复."代数学"，"群"，"布劳尔，R.(D)"，"谢瓦莱，C"(中国大百科全书·数学).中国大百科全书出版社，1988:111-116;546-550;42;776-777.
21:段学复.对称(北京数学会数学小丛书之二).北京:科学出版社，1956.
22:段学复译.李群论(苏联数学四十年，代数学分册).北京:科学出版社，1964:76-93.
23:段学复.悼念郑之蕃先生.数学进展，1964，7:119.
24:段学复.Memories of Loo-Keng Hua.Comtemp.Math.Vol，82，Amer.Math.Soc.，1-5.
1946至1948年的两学年里，段学复连续开设了高等代数、高等微积分、近世代数、点集拓扑等课程 。
20世纪50-60年代，段学复在北京大学组织过两次有限群模表示论讨论班，指导青年教师和研究生。特别是通过1964年-1966年的讨论班培养的研究生洪加威、李慧陵，他们决定了一些特殊类型的单群 。
自1952年始任北京大学数学系系主任近40年，培养了一大批代数学研究人才 。如学生:许以超、石生明、李慧陵、孟道骥、张继平。万哲先、丁石孙、曾肯成、裘光明、王萼芳 。其中突出的学生是博士生张继平，他用表示论和单群分类定理彻底解决了维数小于p的复线性群的结构问题 。
代数学与数论编写组主编
段学复父亲段大贞为清光绪十年(1884)甲申进士，曾在北京等地做宫、教书。母亲雷咏霓虽然是家庭妇女，但亦知书达理 。
段学复是中国著名数学家、教育家，中国群表示论的奠基人，中国代数学的重要创始人和开拓者 。(北京大学党委书记、校务委员会主任朱善璐评)
段先生是一位可以跟他谈心里话的人。段先生在北大主持数学工作的时候正是中国学科建设和发展非常迅速、变动非常大的时期，他在这样的时期发挥了中流砥柱的作用，他对于北大乃至全国数学界的影响都是巨大的 。(北京大学数学科学学院姜伯驹院士评)
段先生不仅为人和蔼，而且非常爱惜人才，并且能很公平、公正地对待周围的人 。(北京大学数学科学学院张恭庆院士评)
段学复在中国开辟了代数学群论等研究领域并形成了富有特色的研究群体。为数学套用于国防科研和国防建设方面做了大量贡献工作 。(中国科学院评)
2014年6月28日下午，由北京大学国际数学研究中心和数学科学学院主办的纪念段学复诞辰100周年座谈会在国际数学研究中心报告厅举行 。
具体回答如图：
对于n阶方阵N，存在正整数k，使得N^k=0，这样的方阵N就叫做幂零矩阵。满足条件的最小的正整数k被称为N的度数或指数。更一般来说，零权变换是向量空间的线性变换L，使得对于一些正整数k（并且因此，对于所有j≥k，Lj = 0），L^k= 0。
扩展资料：
如果N是幂零矩阵，则I + N是可逆的，其中I是n×n个单位矩阵。n×n幂零矩阵的度数总是小于或等于n。幂零矩阵不是可逆矩阵的。唯一幂零且可对角化的矩阵是零矩阵。若M为实对称矩阵，则M=0。非零的幂零矩阵A不能对角化。
每个奇异矩阵都可以写成一个幂零矩阵的乘积。幂零矩阵是收敛矩阵的一种特殊情况。尽管矩阵没有零项，但是其幂次方为零矩阵，因此该矩阵为幂零矩阵。
参考资料来源：百度百科——幂零矩阵